课件41张PPT。第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法一 复合变换与二阶矩阵的乘法1.理解复合变换的定义,了解矩阵与矩阵的乘法法则.
2.会进行矩阵与矩阵的乘法运算,能利用复合变换解决简单问题.1212名师点拨1.在进行线性变换的复合时,要特别注意复合的顺序.先施行变换g,再施行变换f,它们的复合变换记为f·g,而不记为g·f.
2.对任意平面向量α,有(f·g)α=f(gα).1212121212121212题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五分析:先利用二阶矩阵的乘法公式计算AB,然后再与向量α相乘即可求得β.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思在求平面内的向量经过连续变换后得到的新向量时,可先根据公式求出复合变换对应的矩阵,即两个矩阵的乘积,再求向量.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思要注意复合变换的顺序,先经过ρ作用再经过σ作用,与先经过σ作用再经过ρ作用的几何意义是不同的,因此结果也不同.题型一题型二题型三题型四题型五【例4】 已知矩形ABCD,其中A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),先将矩形绕原点逆时针旋转90°,再将所得图形作关于y轴的反射变换.
(1)求连续两次变换所得的复合变换对应的矩阵M;
(2)求点A,B,C,D在连续两次变换后所得到的结果;
(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形.
分析:利用二阶矩阵乘法的几何意义求解.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五(3)如图所示.
反思在求解题(1)时,一定要注意先后顺序.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五123451234512345123451234512345123451234512345课件32张PPT。二 矩阵乘法的性质1.掌握矩阵乘法的性质,会验证二阶矩阵乘法满足结合律,通过具体的几何图形变换,体会矩阵乘法不满足消去律和交换律.
2.会利用矩阵乘法的性质解决计算、判断等简单问题.121.结合律
设A,B,C是任意的三个二阶矩阵,则A(BC)=(AB)C.
名师点拨与实数乘法的运算律类似,二阶矩阵的乘法满足结合律,但在书写时其先后顺序不可颠倒,而实数可以颠倒.1212122.二阶矩阵A的方幂及其性质
设A是二阶矩阵,n为任意自然数,规定A0=E2,A1=A,A2=AA1,A3=AA2,…,An=AAn-1,称An为A的n次方幂.
二阶矩阵A的方幂具有的性质:①AkAl=Ak+l;②(Ak)l=Akl.其中k,l是任意自然数.
名师点拨1.二阶矩阵的方幂的定义及其性质与实数的方幂的定义及其性质十分类似,只是实数a0=1,而二阶矩阵A0=E2,为单位矩阵.
2.二阶矩阵的乘法不满足交换律,即AB不一定等于BA.
3.二阶矩阵的乘法不满足消去律,即AB=CB,但A不一定等于C.12题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四?题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思矩阵的乘法不满足交换律,但在某些特定情况下,如连续两次旋转或连续两次伸缩变换,此时乘法满足交换律;对于同一个矩阵,有AmAn=AnAm等.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思对于实数a,b,c来说,ab=ac,且a≠0等价于b=c.但对于矩阵而言,由例题可以看出,对于二阶矩阵A,B,C,即使满足AB=AC(或BA=CA),且A≠0,一般来说,也不一定有B=C,即矩阵的乘法不满足消去律.这一点也是零矩阵与实数零的不同之处.12345123451234512345123451234512345123451234512345课件22张PPT。本讲整合变换的复合与二阶矩阵的乘法 专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三解:矩阵M表示纵坐标y不变,横坐标依纵坐标的比例增加,即(x,y)→(x',y')=(x+y,y),矩阵N表示绕原点逆时针旋转90°的变换,MN表示的几何意义是先把点A(x,y)绕原点逆时针旋转90°得A1(-y,x),再将A1(-y,x)向x轴正方向切变变换得到点A2(-y+x,x);NM表示的几何意义是先把A(x,y)向x轴正方向切变得到点A'1(x+y,y),再将A'1(x+y,y)绕原点逆时针旋转90°得到点A'2(-y,x+y),故MN≠NM.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三应用2在直角坐标系中,直线l1,l2都经过原点O,倾斜角分别是α,β,设TA,TB分别表示关于直线l1,l2的反射变换.求:
(1)复合变换TBTA对应的矩阵BA;
(2)复合变换TATB对应的矩阵AB;
(3)讨论当α,β满足什么条件时AB≠BA.
提示:首先分别写出变换TA和变换TB所对应的矩阵A,B,然后分别计算AB和BA,最后判断它们之间的关系.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题三 矩阵的乘法满足结合律
对于矩阵A,B,C来说,它们的乘法满足结合律,即有A(BC)=(AB)C.因为矩阵的乘法不满足交换律,所以在运用结合律时,要注意顺序不能颠倒.由结合律可得矩阵的方幂也满足与实数一样的性质,即An·Al=An+l,(Am)l=Aml(m,n,l∈N).专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三231231231231231231
