课件31张PPT。第三讲 逆变换与逆矩阵一 逆变换与逆矩阵1.通过具体变换,了解逆变换的定义,理解逆矩阵的意义;通过具体的投影变换,体会逆矩阵可能不存在.
2.会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质,并了解其在变换中的意义.
3.会求逆矩阵,并能用其性质解决简单的问题.1231.逆变换
设ρ是一个线性变换,如果存在线性变换σ,使得σρ=ρσ=I,则称变换ρ可逆,并且称σ是ρ的逆变换.
名师点拨不是每个变换都存在逆变换,有些变换存在逆变换,而有些变换就不存在逆变换,如投影变换不可逆.1231231232.逆矩阵
设A是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得BA=AB=E2,则称矩阵A可逆,或称矩阵A是可逆矩阵,并且称B是A的逆矩阵.1231231231233.逆矩阵的性质
性质1 设A是一个二阶矩阵,如果A是可逆的,则A的逆矩阵是
唯一的.把A的逆矩阵记为A-1,读作A的逆矩阵或A的逆,从而A-1A=AA-1=E2.
名师点拨性质1用线性变换的语言可叙述为:如果二阶矩阵A所对应的线性变换σ是可逆的,则其逆变换是唯一的,并记σ的逆变换为σ-1,读作σ的逆变换或σ的逆.
性质2 设A,B是二阶矩阵,如果A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.
名师点拨因为矩阵的乘法不满足交换律,所以(AB)-1不一定等于(BA)-1,而且B-1A-1不一定等于A-1B-1,所以书写时,顺序不可颠倒.123123如果一个线性变换是可逆的,那么它的逆变换是唯一的吗?如果一个矩阵是可逆的,那么它的逆矩阵唯一吗?
剖析:若线性变换σ是可逆的,对应的逆变换为ρ,则σρ=ρσ=I.
如果还有一个变换ρ'也是σ的逆变换,则σρ'=ρ'σ=I.
这样对平面内的任一向量α来说就会有:
ρ α=I(ρα)=(ρ'σ)(ρα)=ρ'(σρ)α=ρ'(Iα)=(ρ'I)α=ρ'α.
因为α是任意的,从而ρ=ρ',所以如果σ是可逆的,则对应的逆变换是唯一的.
如果B1,B2都是A的逆矩阵,则B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2,从而B1=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1)=B2E2=B2,即B1=B2.所以如果矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵也是唯一的.题型一题型二题型三题型四反思旋转、切变、伸缩、反射等这四种变换都是可逆的,可按沿“原路返回”的方法找到其逆变换.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思除利用AA-1=E2求A-1外,也可利用线性变换的逆变换求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思若矩阵A,B都可逆,则AB,BA也可逆,且(AB)-1=B-1A-1,(BA)-1=A-1B-1.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四错因分析:没有正确地应用逆矩阵的性质(AB)-1=B-1A-1,而是错误地按照(AB)-1=A-1B-1进行运算的.123451234512345123451234512345123451234512345课件30张PPT。二 二阶行列式与逆矩阵1.了解二阶行列式的定义.
2.会用二阶行列式求逆矩阵.121212121212题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思当detA=ad-bc≠0时,二阶矩阵可逆;当detA=ad-bc=0时,二阶矩阵不可逆.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四12345123451234512345123451234512345课件30张PPT。三 逆矩阵与二元一次方程组1.能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义.
2.会用系数矩阵的逆矩阵解方程组.
3.会通过具体的系数矩阵,从几何上说明线性方程组解的存在性和唯一性.123123123名师点拨由定理解二元一次方程组比较简便,只需进行矩阵的运算.但要注意系数矩阵必须可逆才行.123123123123题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思二元一次方程组的解实际上是已知某向量在系数矩阵对应的线性变换下的像,求此向量的问题.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思此题说明利用矩阵知识可以解决二元一次方程组的问题. 题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为零,即ad=bc.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思对于方程组的左、右两边都含有未知量x,y时,可以先化简,化为二元一次方程组的矩阵形式,再解答.123451234512345123453.下列方程组有唯一解的是 .
?
答案:③④123451234512345解:由于A对应的线性变换是将平面上的向量(点)保持横坐标不变,而将纵坐标依横坐标比例增加,即(x,y)→(x,2x+y),因此它存在唯一的逆变换,将平面内的向量(点)保持横坐标不变,纵坐标依横坐标减少,12345课件32张PPT。本讲整合专题一专题二专题三专题四专题一 逆变换
对于两个变换ρ和σ来说,如果它们的复合变换是恒等变换I,即ρσ=σρ=I,则称变换ρ是σ的逆变换,也称σ是ρ的逆变换,有些线性变换是可逆的,如旋转变换、切变变换、反射变换、伸缩变换;而有些线性变换不可逆,如投影变换.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四解:设α为平面直角坐标系xOy内的任意一个向量,α在旋转变换R60°作用下,沿逆时针方向绕原点旋转60°,设R60°α=α',如果我们接着把α'再在旋转变换R-60°作用下,即再把α'按顺时针方向旋转60°,则又回到了α,由此可以看出,对直角坐标系内的任意一个向量α,都有R-60°(R60°α)=(R-60°R60°)α=α,即复合变换R-60°R60°使得每个平面向量保持不动,从而R-60°R60°=I.
所以R-60°与R60°是互逆变换.专题一专题二专题三专题四专题二 逆矩阵
一个二阶可逆矩阵A对应的线性变换为ρ,则其逆矩阵对应的变换应为ρ的逆变换.A的逆矩阵记作A-1,则AA-1=A-1A=E2,由于不是所有线性变换都有逆变换,所以不是所有的矩阵都有逆矩阵.在求矩阵的逆矩阵时,可以先设后求,也可以先求行列式,再套用公式求逆矩阵.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四提示:要求(AB)-1,可以先求出AB,再求det(AB),最后求出(AB)-1;也可以先求A-1,B-1,再由逆矩阵的性质(AB)-1=B-1A-1,求出(AB)-1.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题三 利用逆矩阵解二元一次方程组
二元一次方程组可以改写为矩阵的形式,方程组有没有解,可通过判断系数矩阵是否可逆来判断;而对于齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式为0.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题四 转化思想
转化思想是指在研究和解决有关问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.本讲中用到转化思想的有:判断某矩阵A是否可逆,可转化成判断|A|=ad-bc是否为0,判断某二元一次方程组是否有唯一解可转化为判断系数矩阵的行列式是否为零.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四21212121
