课件42张PPT。第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量一 变换的不变量——矩阵的特征向量1.掌握矩阵的特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义.
2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形).1231231231231232.特征向量的性质
设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则对任意的非零常数k,kξ也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.
属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.
名师点拨1.如果k是非零常数,则kξ≠0,由于A(kξ)=kAξ=k(λξ)=(kλ)ξ=λ(kξ),所以kξ是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.
2.从几何直观上看,如果ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,那么与ξ共线的所有非零向量都是A的属于这个特征值λ的特征向量.
3.不是每个二阶矩阵都有特征向量和特征值.1231231231231231231231231231231.矩阵的特征值与特征向量的含义是什么?
剖析:ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则Aξ=λξ,其中
使得向量ξ变为λξ,即变为与向量ξ共线的向量λξ,当λ>0时,所得向量λξ与ξ同向;当λ<0时,所得向量λξ与ξ反向;当λ=0时,所得向量λξ为零向量.也就是存在特征值λ和特征向量ξ,在线性变换A的作用下,只让向量ξ发生了伸缩变换.既然是伸缩变换,则kξ也发生了伸缩变换,所以kξ也是属于特征值λ的特征向量.2.求二阶矩阵特征值和特征向量的简要步骤是什么?
剖析:(1)设矩阵A的特征值为λ,特征向量为ξ,则Aξ=λξ;
(2)将上述矩阵形式的方程改写为普通方程组,并合并同类项;
(3)把得到的方程组改写为齐次线性方程组的矩阵形式;
(4)令齐次线性方程组的系数矩阵的行列式为0,解出λ的值;
(5)将λ的值分别代入齐次线性方程组解出特征向量.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思特征值与特征向量是相伴出现的,特征向量只属于一个特征值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思根据特征值与特征向量的意义列出所求量的函数关系式是解决此类题的基本途径.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四12345123451234512345123451234512345123451234512345课件26张PPT。二 特征向量的应用1.利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα的简单的表示,并能用它来解决问题.
2.会利用特征向量解决简单的实际问题.121.Anα的简单表示
设A是一个二阶矩阵,α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量,则Anα=λnα(n∈N*).
名师点拨由此可把矩阵的乘方转为实数的乘方,比较简便.1212122.性质
设λ1,λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值,ξ1,ξ2是矩阵A的分别属于特征值λ1,λ2的特征向量,对于任意的非零平面向量α,设α=t1ξ1+t2ξ2(其中t1,t2为实数),则对任意的正整数n,有
名师点拨由于ξ1和ξ2是矩阵A的分别属于特征值λ1,λ2的特征向量,所以ξ1与ξ2不共线,由平面向量的基本定理,知平面内的任意一个非零向量α都可以用ξ1和ξ2表示出来,即存在两个实数t1,t2使α=t1ξ1+t2ξ2,也就是α可以用特征向量表示出来.12121.设二阶矩阵A的两个特征值λ1,λ2对应的两个特征向量分别为ξ1,ξ2,σ为二阶矩阵A对应的线性变换,α为平面内的任意一个向量,那么Anα(n∈N*)能否用ξ1和ξ2表示出来呢?
剖析:因为ξ1,ξ2是二阶矩阵A的两个特征向量,所以ξ1,ξ2不共线,
则平面内的任意一个向量α就可以用ξ1,ξ2表示出来,即存在实数t1,t2使得α=t1ξ1+t2ξ2,Aξ1=λ1ξ1,Aξ2=λ2ξ2.
所以σ α=Aα=A(t1ξ1+t2ξ2)=t1(Aξ1)+t2(Aξ2)=t1λ1ξ1+t2λ2ξ2,
σ2α=A2α=A(Aα)=A(t1λ1ξ1+t2λ2ξ2)=t1λ1(Aξ1)+t2λ2(Aξ2)2.求Anα的基本步骤是什么?
剖析:第一步:由特征向量的定义Aξ=λξ,求出特征值λ和相应的特征向量ξ;
第二步:把向量α改写为用ξ1和ξ2表示,即α=t1ξ1+t2ξ2;
第三步:由性质公式计算题型一题型二题型一题型二题型一题型二反思利用特征值和特征向量的知识,可以方便地计算多次变换的结果. 题型一题型二【例2】 当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:
(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;
(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0.1倍;
(3)第n年时,兔子数量用Rn表示,狐狸数量用Fn表示;
(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有R0=100只,狐狸数量有F0=30
只.这样,兔子和狐狸的生态模型为
试用矩阵知识求出Rn,Fn关于n的关系式,并讨论当n越来越大时,兔子和狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态?题型一题型二分析:根据已知条件首先要转化为向量表示及其矩阵形式表示,其次求出矩阵的特征值及其特征向量,最后解答. 题型一题型二和Fn分别趋向常量210和140,即随着时间的增加,兔子和狐狸的数量逐渐增加,当时间充分长后,兔子和狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态.题型一题型二反思解决实际问题时,需要先从题目中提炼出信息,本题转为矩阵表示,用矩阵及特征向量表示解答问题.123451234512345123451234512345123455.自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响,比如出生率、死亡率、资源的可利用性以及竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等.因此它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系.但是如果没有任何限制,种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群X,Y随时间段变化的数量分别为{an},{bn},并有关系式1234512345课件23张PPT。本讲整合专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题二 Anα的简单表示
设A为二阶矩阵,ξ是矩阵A的属于特征值λ的任一特征向量,则Anξ=λnξ(n∈N*).由此可知,如果一个二阶矩阵A有两个特征值λ1,λ2,ξ1和ξ2是矩阵A的分别属于λ1,λ2的特征向量,对于平面内任意一专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题三 特征向量在实际问题中的应用
在实际生活中常常利用Anα的简单表示来解决实际问题,如人口流动问题、扩散理论问题、生态平衡问题等与数列有关的问题和动态平衡问题.专题一专题二专题三专题四应用 工业发展时常伴有环境污染,怎样减少甚至消除环境污染是很重要的问题.某研究机构提出了有关污染和工业发展的工业增长模型.设P是目前的污染程度,D是目前的工业发展水平,P1和D1分别是5年以后的污染程度和工业发展水平.在许多发展中国家,工业发展模型实际上是:P1=P+2D,D1=2P+D.
(1)设P2和D2分别是第二个5年以后的污染程度和工业发展水平,试求P2,D2与P,D的关系式;
(2)某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是1,设第n个5年以后,污染程度和工业发展水平分别为Pn和Dn,试求Pn,Dn,并说明污染程度和工业发展的趋势.
提示:这是一个动态前沿问题,也是目前我们生产生活中常遇到的重要问题,可以通过多次变换,即矩阵的乘法进行演变,由矩阵的特征向量求解.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四说明污染程度和工业发展水平同时以3倍的速度发展,高水平工业能提高人们的生活水平,但处理不当,随之加重的环境污染会造成严重后果.这个结果告诫人们在发展工业的同时,一定要注意减轻污染,治理污染.专题一专题二专题三专题四专题四 转化思想的应用
转化思想就是把待解决或难解决的问题,转化为一类已经解决或比较容易解决的问题.每一个数学问题都是在不断转化中获得解决的,本讲中在求Anα时就利用了这种思想.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四
