第一章 §1 1.2、1.2、1.3
一、选择题
1．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归方程为y＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )www.21-cn-jy.com
A．身高在145.83 cm左右 B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm以下 D．身高一定是145.83 cm
解析： 回归方程得到的预报值是预报变量的估计值，它是预报变量可能取值的平均值．
答案： A
2．已知线性回归方程y＝1＋bx，若＝2，＝9，则b等于( )
A．4 B．－4
C．18 D．0
解析： 样本点的中心为(2,9)，因回归直线过样本点的中心，所以9＝1＋b×2，b＝4.故选A.
答案： A
3．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫( )21cnjy.com
A．函数关系 B．线性关系
C．相关关系 D．回归关系
解析： 由相关关系的概念可知，C正确．
答案： C
4．工人月工资y(元)关于劳动生产率x(千元)的回归方程为y＝650＋80x，下列说法中正确的个数是( )21·cn·jy·com
①劳动生产率为1 000元时，工资为730元；
②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元；
③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元；
④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 代入方程计算可判断①②④正确．
答案： C
二、填空题
5．已知回归直线方程为y＝－3.0x＋0.55，y的估计值为－5.45时，x的值为________．
解析： 将y的值代入回归方程即可．
答案： 2.0
6．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系．其中，具有相关关系的是________．21世纪教育网版权所有
解析： 本题考查相关关系的概念，相关关系是一种不确定性关系．曲线上的点与该点的坐标之间具有确定性关系．2·1·c·n·j·y
答案： ①③④
三、解答题
7．高三一班学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学平均成绩y(单位：分)之间有如下数据：
x
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
y
92
79
97
89
64
47
83
68
71
69
根据这些数据判断x与y之间是否具有相关关系．
解析： 由表中数据可得＝17.4，＝75.9，
所以相关系数r＝≈0.892.
所以x与y具有线性相关关系．
8．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下表：
温度(x)
0
10
20
50
70
溶解度(y)
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由资料看y与x呈线性相关，试求回归方程．
解析： 由表中数据得，＝30，
＝＝93.6，
iyi＝0×66.7＋10×76.0＋20×85.0＋50×112.3＋70×128.0＝17 035，21教育网
＝02＋102＋202＋502＋702＝7 900，
所以b＝≈0.880 9，
a＝－b＝93.6－0.880 9×30＝67.173.
所以回归方程为y＝0.880 9x＋67.173.
9．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积(m2)
115
110
80
135
105
销售价格(万元)
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．
解析： (1)散点图如图所示：
(2)＝i＝109，(xi－)2＝1 570，
＝23.2，(xi－)(yi－)＝308.
设所求回归直线方程为y＝bx＋a，
则b＝≈0.196 2，
a＝－b＝23.2－109×≈1.816 6.
故所求回归直线方程为y＝0.196 2x＋1.816 6.
(3)据(2)，当x＝150 m2时，销售价格的估计值为
y＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．
第一章 §2 2.1
一、选择题
1．下面几种概率是条件概率的是( )
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都命中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下，乙投篮一次命中的概率
C．10件产品中有3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率
解析： 由条件概率定义知选B.
答案： B
2．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是( )21·cn·jy·com
A．0.26 B．0.08
C．0.18 D．0.72
解析： P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
答案： A
3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )www.21-cn-jy.com
A. B．
C. D．
解析： 设甲射击一次中靶为事件A，乙射击一次中靶为事件B，则P(A)＝＝，P(B)＝，P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.2·1·c·n·j·y
答案： D
4．一袋中有3个红球，2个白球，另一袋中有2个红球，1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到1个白球的概率是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B．
C. D．
解析： 分两大类：1白球1红球或全是白球．P＝×(一白一红)＋×(一红一白)＋×(两白)＝或1－×＝.2-1-c-n-j-y
答案： B
二、填空题
5．已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________；P( )＝________.
解析： A、B是相互独立事件，
∴A与，与也是相互独立事件．
又∵P(A)＝，P(B)＝，
故P()＝，P()＝1－＝，
∴P(A )＝P(A)·P()＝×＝；
P( )＝P()·P()＝×＝.
答案：
6．一射手对同一目标独立地射击4次，若至少命中一次的概率为，则该射手一次射击的命中率为________．21cnjy.com
解析： 设命中率为p，则1－(1－p)4＝，(1－p)4＝，
p＝.
答案：
三、解答题
7．一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．21世纪教育网版权所有
解析： 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B.注意，这里的问题与“求第一次取到白球，第二次取到黑球的概率”不一样．21教育网
方法一：显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率P(AB)＝＝＝.
由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝＝＝.
方法二：因为n(A)＝CC，n(AB)＝CC，
所以P(B|A)＝＝＝.
8．甲、乙、丙三人分别对一目标射击，甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标．21·世纪*教育网
(1)求目标被击中的概率；
(2)求三人中至多有1人击中目标的概率．
解析： 甲、乙、丙分别射中目标是相互独立的，利用独立事件来求概率，目标被击中是指甲、乙、丙三人至少有一人射中目标．常从反面解答，即求出目标未被击中的概率．设甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，丙击中目标为事件C，目标未被击中为事件 ，www-2-1-cnjy-com
(1)目标被击中的概率P＝1－P( )＝1－P()P()P()
＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝1－＝，
即目标被击中的概率为.
(2)三人中至多有1人击中目标为事件 ＋A ＋ B ＋ C
概率为P( ＋A ＋B＋ C )
＝P( )＋P(A )＋P(B)＋P( C)
＝＋×＋××＋×
＝＋＋＋
＝
9．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
(2)“恰有两人中奖”与“恰有一人中奖”的概率哪个大？说明理由．
解析： 设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么
P(A)＝P(B)＝P(C)＝
(1)甲中奖且乙、丙都没有中奖的事件为A··，
P(A )＝P(A)P()P()
＝××
＝
(2)恰有两人中奖的事件为AB＋AC＋BC
P(AB＋AC＋BC)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C)
＝××＋××＋××＝
恰有一人中奖的事件为A ＋B＋ C
P(A ＋B＋ C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝××＋××＋××＝
∵<
∴“恰有一人中奖”的概率大于“恰有两人中奖”的概率．
第一章 §2 2.2、2.3、2.4
一、选择题
1．在吸烟与患肺病这两个变量的计算中，下列说法正确的是( )
A．若χ2的观测值为χ2＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病21·世纪*教育网
B．从独立性检验，可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病www-2-1-cnjy-com
C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误
D．以上三种说法都不正确
解析： 由独立性检验的基本思想可知，选D.
答案： D
2．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2＝18.09，则这两个变量有关系的可能性为( )
A．90% B．95%
C．99% D．85%
解析： 因为χ2＝18.09>6.635，所以有关系的可能性为99%.
答案： C
3．分类变量X和Y的列联表如下：
Y1
Y2
总计
X1
a
b
a＋b
X2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
则下列说法正确的是( )
A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
解析： 因为χ2＝，当(ad－bc)2越大时，χ2越大，说明X与Y关系越强．
答案： C
4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，
K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
解析： K2＝≈7.8＞6.635，
所以我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.
答案： C
二、填空题
5．独立性检验中，两个分类变量“X和Y有关系”的可信程度是95%，则随机变量χ2的取值范围是________．21cnjy.com
解析： 当χ2>3.841时，有95%的把握判断X与Y有关系，
当χ2>6.635时，有99%的把握判断X与Y有关系，
∴3.841<χ2≤6.635.
答案： (3.841,6.635]
6．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天的结果如下表所示：www.21-cn-jy.com
死亡
存活
合计
第一种剂量
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
合计
20
30
50
进行统计分析时的统计假设是____________________．
解析： 根据独立性检验的基本思想，可知类似反证法，即要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立．对本题进行统计分析时的统计假设应是“小白鼠的死亡与剂量无关”．21教育网
答案： 小白鼠的死亡与剂量无关
三、解答题
7．(2014·辽宁卷)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：21·cn·jy·com
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
解析： 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝≈4.762.
由于4.762>3.841，
所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
8．为了了解患慢性气管炎与吸烟量的关系，调查了228人，其中每天的吸烟支数在10支以上20支以下的调查中，患者人数有98人，非患者人数有89人；每天的吸烟支数在20支以上的调查者中，患者人数有25人；非患者人数有16人，试问患慢性气管炎是否与吸烟量相互关联？2·1·c·n·j·y
解析： 由已知条件得出下表：
10支～19支
20支以上
合计
患者人数
98
25
123
非患者人数
89
16
105
合计
187
41
228
由公式可得χ2＝
＝≈0.994.
由于0.994<2.706，所以没有理由认为患慢性气管炎与吸烟量有关．即认为患慢性气管炎与吸烟无关．
9．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．21世纪教育网版权所有
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)判断性别与休闲方式是否有关系．
解析： (1)2×2列联表如下：
休闲方式
性别
看电视
运动
合计
女
43
27
70
男
21
33
54
合计
64
60
124
(2)假设“休闲方式与性别无关”
计算χ2＝≈6.201，
因为χ2≥3.841，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的．故有95%的把握认为性别与休闲方式有关系．【来源：21·世纪·教育·网】
第二章 §1
一、选择题
1．下列框图中，是流程图的是( )
A.→→
B.→→
C.→→→
D.
解析： 流程图是一个动态过程，有先后顺序，只有C项符合要求．
答案： C
2．如右图是求12＋22＋32＋…＋1002的程序框图，则图中的①②分别是( )
A．①S＝S＋i ②i＝i＋1
B．①S＝S＋i2 ②i＝i＋1
C．①i＝i＋1 ②S＝S＋i
D．①i＝i＋1 ②S＝S＋i2
解析： 各个加数的指数应为2，
故①中应为S＝S＋i2，②应为i＝i＋1.
答案： B
3．进入互联网时代，发电子邮件是必不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是( )21世纪教育网版权所有
A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→b
C．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e
解析： 打开电子信箱后，先点击“写邮件”，然后再输入．
答案： C
4．(2014·北京卷)执行如图所示的程序框图，则输出的S值为( )
A．1 B．3
C．7 D．15
解析： 程序框图运行如下：
k＝0＜3，S＝0＋20＝1，k＝1＜3；
S＝1＋21＝3，k＝2＜3；
S＝3＋22＝7，k＝3.输出S＝7.
答案： C
二、填空题
5．椭圆＋＝1(a>b>0)的面积为S＝πab，当a＝4，b＝2时，计算椭圆面积的流程图如图所示，则空间处应为________．21教育网
解析： 由S＝πab知，需要a，b的值，由已知a＝4，b＝2，而且用的是框，故为赋值．
答案： a＝4，b＝2
6．下面的程序框图输出的结果是________．
解析： 该框图中的问题即为求S＝1×5×4的值，所以输出的结果为20.
答案： 20
三、解答题
7．某市环境保护局信访工作流程如下：
(1)信访办受理来访，一般信访填单转办，重大信访报局长批示后转办；
(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延期办理，办理完毕后反馈；
(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．试画出该事件的流程图．
解析： 流程图如下图所示：
8．下图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：
根据此流程图回答下列问题：
(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？
(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？
(3)该流程图的终点是什么？
解析： (1)一件屏幕成品经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．
(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．21cnjy.com
(3)流程图的终点是“屏幕成品”和屏幕废品”．
9．高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间内申请查分，步骤如下：21·cn·jy·com
(1)本人填写《查分登记表》，交县(区)招生办申请查分，县(区)招生办呈交市招生办，再报省招生办．
(2)省招生办复查，无误，则查分，工作结束后通知市招生办；有误，则具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知市招生办．www.21-cn-jy.com
(3)市招生办通知县(区)招生办，再由县(区)招生办通知考生．
试画出该事件的流程图．
解析： 流程图如下图所示．
第二章 §2
一、选择题
1．如图所示的框图中“幂函数的定义”“幂函数的图象与性质”与“幂函数”的关系是( )
A．并列关系 B．从属关系
C．包含关系 D．交叉关系
解析： 从知识结构图中可判断为从属关系．
答案： B
2．下图是三角形的分类图，则等腰三角形可排在哪个构成要素之后( )
A．① B．②
C．③ D．以上都不对
解析： 等腰三角形有可能为锐角三角形，也有可能为直角三角形，还有可能为钝角三角形．
答案： D
3．根据下列结构图，总经理的直接下属是( )
A．总工程师和专家办公室
B．开发部
C．总工程师、专家办公室和开发部
D．总工程师、专家办公室和七个部
解析： 由图可知，总经理直接领导总工程师、开发部和专家办公室．
答案： C
4．如图所示的框图是某班级班委会的( )
A．知识结构图 B．组织结构图
C．体系结构图 D．关系结构图
答案： B
二、填空题
5．如下图所示是一商场某段时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有________个．21教育网
解析： 影响“计划”的主要是其上位要素：政府行为、策划部和社会需求．
答案： 3
6．如图所示为有关函数的结构图，由图可知基本初等函数包括________，函数与映射的关系是________．21世纪教育网版权所有
解析： 理解函数的知识结构即可求解.
答案： 指数函数、对数函数、幂函数 函数是一类特殊的映射
三、解答题
7．为迎接世博会，某咨询公司做人事调整；设总经理一人，配有总经理助理一名；设副经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副总经理A管理生产部、安全部和质量部；副总经理B管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司的组织结构图．21cnjy.com
解析： 结构图如图所示．
8．设计《数学选修1－1》第二章“圆锥曲线与方程”的知识结构图．
解析： 如图所示．
9．一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能：
(1)用户管理能够修改密码，显示用户信息，修改用户信息；
(2)用户登录；
(3)名片管理．能够对名片进行删除、添加、修改、查询；
(4)出错信息处理．
根据这些要求画出该系统的结构图．
解析： 结构图如下图所示．
第三章 §1 1.1
一、选择题
1．如图所示是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
解析： 由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．【来源：21·世纪·教育·网】
答案： A
2．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
解析： 利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.21·世纪*教育网
答案： D
3．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析： ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝19 531 25,510＝9 765 625，…
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，
且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，
则f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)．
∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125，故选D.
答案： D
4．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)等于( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析： 凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)可看作是凸n边形的对角线条数f(n)加上从第n＋1个顶点出发的n－2条对角线和凸n边形的一条边之和，即f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.
答案： C
二、填空题
5．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝6(a，b均为实数)，请推测a＝____________，b＝________.21世纪教育网版权所有
解析： 由三个等式知，左边被开方式中整数和分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 ＝6中，a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.www.21-cn-jy.com
答案： 6 35
6．根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．
解析： 观察图形的增长规律可得：图(2)从中心点向两边各增长1个点，图(3)从中心点向三边各增长2个点，图(4)从中心点向四边各增长3个点，如此，第n个图从中心点向n边各增长(n－1)个点，易得答案：1＋n·(n－1)＝n2－n＋1.本题若从图形的数值变化方面入手也可归纳出结果，但没有从图形的结构方面入手直接．21·cn·jy·com
答案： n2－n＋1
三、解答题
7．观察下表，填表后再解答问题：
(1)完成下列表格：
序号
1
2
3
…
图形
…
◎的个数
8
24
…
☆的个数
1
4
…
(2)试求第几个图形中“◎”的个数和“☆”的个数相等？
解析： (1)16,9；(2)设第n个图形中“◎”的个数和“☆”的个数相等．观察图形可知8n＝n2，解得n＝8或n＝0(舍去)．21cnjy.com
所以第8个图形中“◎”的个数和“☆”的个数相等．
8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜测a5及数列{an}的通项公式．
解析： (1)a2＝＝，a3＝＝＝，
a4＝＝.
(2)猜想a5＝＝，由(1)猜想an的通项公式为an＝.
9．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则在第n个图形中共有顶点多少个？21教育网
解析： 第1个图形中共有顶点12个，第2个图形中共有顶点20个，第3个图形中共有顶点30个．
这几个图形中顶点个数的特征是12＝3×4,20＝4×5,30＝5×6，因此猜测第n个图形中共有顶点(n＋2)(n＋3)个．2·1·c·n·j·y
第三章 §1 1.2
一、选择题
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
解析： 只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.
答案： C
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )21世纪教育网版权所有
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析： 由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a9＝…＝2a5.易知D成立．
答案： D
3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )21cnjy.com
①各棱长都相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．① B．①②
C．①②③ D．③
解析： 因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面所成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)类比，所以①②③都恰当．21·cn·jy·com
答案： C
4．给出下列三个类比结论．
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析： ③正确．
答案： B
二、填空题
5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1 ∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．21教育网
解析： ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.www.21-cn-jy.com
答案： 1∶8
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．【来源：21·世纪·教育·网】
解析： T4＝a·q6，＝a·q22，＝a·q38，＝a·q54.
所以T4，，，成公比为q16的等比数列，直接用类比法将“差”变“比”即可得出结果．
答案：
三、解答题
7．如下图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如下图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题．www-2-1-cnjy-com
解析： 命题是：三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD是一个真命题．21·世纪*教育网
证明如下：
如右图，连结DM并延长交BC于E，连结AE，则有DE⊥BC.
因为AD⊥面ABC，
所以AD⊥AE.
又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.
于是S＝2
＝·
＝S△BCM·S△BCD.
8．就任一等差数列{an}，计算a7＋a10和a8＋a9，a10＋a40和a20＋a30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题．在等比数列中会有怎样的类似的结论？2-1-c-n-j-y
解析： 设等差数列{an}的公差为d，则
an＝a1＋(n－1)d，
从而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d.
所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15d，
可得a7＋a10＝a8＋a9.
同理a10＋a40＝a20＋a30.
由此猜想，任一等差数列{an}，若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有am＋an＝ap＋aq成立．
类比等差数列，可得等比数列{an}的性质：若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有am·an＝ap·aq成立．2·1·c·n·j·y
9．设f(x)＝，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值．21*cnjy*com
解析： ∵f(x)＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋＝＝＝.
令S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6)
则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－4)＋f(－5)
∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(5)＋
f(－4)]＋[f(6)＋f(－5)]＝12×＝6.
∴S＝3.
第三章 §2
一、选择题
1．下面说法：
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．2·1·c·n·j·y
其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析： ①③④都正确．
答案： C
2．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理中( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．小前提错误 B．结论错误
C．都正确 D．大前提错误
解析： 大前提与小前提都是正确的．
答案： C
3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )21·世纪*教育网
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
解析： 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
答案： D
4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°
B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油21世纪教育网版权所有
C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和www.21-cn-jy.com
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
解析： A项中“两条直线平行，两同旁内角互补”这是大前提，是真命题，该推理为三段论推理；B项中为类比推理；C、D项都是归纳推理．www-2-1-cnjy-com
答案： A
二、填空题
5．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，“小前提”是________．21·cn·jy·com
解析： ①是大前提，②是小前提，③是结论．
答案： ②
6．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么称k是A的一个“孤立元”给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．21教育网
解析： “孤立元”的定义，大前提
给定A＝{1,2,3}，小前提
所以集合A不含“孤立元”．结论
同理可得不含“孤立元”的集合还有{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6，7}，{6,7,8}．故不含“孤立元”的集合共有6个．2-1-c-n-j-y
答案： 6
三、解答题
7．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)所有的金属都导电，树枝不导电，所以树枝不是金属．
(2)三角形内角和都为180°，所以等边三角形的内角和为180°.
(3)两直线平行，同位角相等，如果∠A和∠B是两平行直线的同位角，那么∠A＝∠B.
解析： (1)所有的金属都导电(大前提)
树枝不导电(小前提)
所以树枝不是金属(结论)
(2)每一个三角形的内角和都为180°(大前提)
等边三角形是三角形(小前提)
所以等边三角形内角和是180°(结论)
(3)两直线平行，同位角相等(大前提)
∠A和∠B是两平行直线的同位角(小前提)
所以∠A＝∠B(结论)
8．用三段论证明：通项公式为an＝a1＋(n－1)d的数列{an}为等差数列．
证明： 因为若数列{an}满足an＋1－an＝d(常数)，则数列{an}是等差数列，大前提
通项公式为an＝a1＋(n－1)d的数列{an}，满足an＋1－an＝a1＋nd－a1－(n－1)d＝d，小前提
所以通项公式为an＝a1＋(n－1)d的数列{an}是等差数列．结论
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，BD＝2AD＝8，AB＝4.设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD.21cnjy.com
证明： 两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，(大前提)
在△ABD中，AD＝4，BD＝8，AB＝4，即AD2＋BD2＝AB2，(小前提)
故△ABD是直角三角形，即AD⊥BD.(结论)
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．(大前提)
平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，BD⊥AD，小前提
所以BD⊥平面PAD.结论
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，(大前提)
BD⊥平面PAD，BD?平面MBD，(小前提)
故平面MBD⊥平面PAD.(结论)
第三章 §3 3.1
一、选择题
1．若a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a2＋b2≥2ab B．a＋b≥2
C．a2＋b2≥(a＋b)2 D．＋<(a≠b)
解析： a2＋b2≥2ab，a＋b≥2.
a2＋b2－(a＋b)2＝a2＋b2－ab＝(a－b)2≥0
即a2＋b2≥(a＋b)2.故选D.
答案： D
2．对于0＜a＜1，给出四个不等式：①loga(1＋a)＜loga；②loga(1＋a)＞loga；③a1＋a＜a1＋；④a1＋a＞a1＋.21世纪教育网版权所有
其中成立的是( )
A．①与③ B．①与④
C．②与③ D．②与④
解析： ∵0＜a＜1，∴0＜a＜
∴1＜1＋a＜1＋，
又∵0＜a＜1，
∴loga(1＋a)＞loga，且a1＋a＞a1＋.
答案： D
3．p＝＋，q＝ (m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．不确定
解析： q＝≥
＝＋＝p.
答案： B
4．在△ABC中，已知sin Acos A＝sin Bcos B，则该三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析： 由sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
答案： D
二、填空题
5．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
解析： ∵a2－c2＝2－(8－4)
＝4－6＝－＞0，∴a＞c.
∵＝＝＞1，∴c＞b.
答案： a＞c＞b
6．已知a、b、u∈R*，且＋＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是________．
解析： a＋b＝×(a＋b)
＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当＝即3a＝b时取等号，
若a＋b≥u恒成立，则u≤16.
答案： (－∞，16]
三、解答题
7．已知a，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明： 证法一：∵a，b>0，且a＋b＝1，
∴a＋b≥2.∴≤.
∴＋＝＝≥4.
证法二：∵a，b是正数，
∴a＋b≥2>0.＋≥2>0.
∴(a＋b)≥4.又∵a＋b＝1，∴＋≥4.
证法三：＋＝＋＝1＋＋＋1
≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b时，取“＝”号．
8．在△ABC中，若a2＝b(b＋c)．求证：A＝2B.
证明： ∵a2＝b(b＋c)，而
cos A＝＝＝，
cos 2B＝2cos2B－1＝22－1
＝22－1＝＝，
∴cos A＝cos 2B.
又A、B是三角形的内角，∴A＝2B.
9．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1＜a≤b≤c，证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.21教育网
证明： (1)由于x≥1，y≥1，所以
x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．21cnjy.com
由于x≥1，y≥1，
所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为
x＋y＋≤＋＋xy，
又由于1
所以x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)知所要证明的不等式成立．
第三章 §3 3.2
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题
1．要证明＋＜2可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A．综合法 B．分析法
C．类比法 D．归纳法
解析： 要证明＋＜2，
只需证＋＜＋.
两边平方有10＋2＜10＋10.
即只要证2＜10.
再两边平方有84＜100成立．
故＋＜2成立．
由证明过程可知分析法最合理．
答案： B
2．如果a、b都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是( )
A．|a＋b|－|b|≤|a| B．2≤|a＋b|(ab＞0)
C．|a－b|≥|b|－|a| D．|a＋b|≥a－b
解析： A中，|a|＝|(a＋b)－b|≥|a＋b|－|b|成立；
B中，要使2≤|a＋b|成立，只需4ab≤a2＋2ab＋b2，
即(a－b)2≥0成立，∴B中不等式恒成立；
C中，|a－b|≥|b|－|a|成立；
但D中不一定恒成立，当a≤b时显然成立，
当a＞b时，要使|a＋b|≥a－b成立，只需使(a＋b)2≥(a－b)2即4ab≥0成立，但a＞b不一定有ab≥0成立，所以D中不等式不恒成立．21教育网
答案： D
3．设正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，且|a－d|＜|b－c|，则( )
A．ad＝bc B．ad＜bc
C．ad＞bc D．ad≤bc
解析： |a－d|＜|b－c|，∴|a－d|2＜|b－c|2，
即a2＋d2－2ad＜b2＋c2－2bc.
∵a＋d＝b＋c，
∴(a＋d)2＝(b＋c)2
∴a2＋d2＋2ad＝b2＋c2＋2bc.
∴－4ad＜－4bc.∴ad＞bc.
答案： C
4．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分不必要条件是( )
A．ab＞0 B．ab＜0
C．a＞0，b＜0 D．a＞0，b＞0
解析： ∵与同号，由＋≤－2，知＜0，＜0，即ab＜0.又若ab＜0，则＜0，＜0.
∴＋＝－
≤－2＝－2，
综上，ab＜0是＋≤－2的充要条件，
∴a＞0，b＜0是＋≤－2的一个充分而不必要条件．
答案： C
二、填空题
5．如右图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足____________________时，BD⊥A1C.(写出一个条件即可)．21cnjy.com
解析： 欲使BD⊥A1C，
只需BD⊥面A1ACC1，
∴可填条件：BD⊥AC或ABCD为菱形(正方形)等．
答案： BD⊥AC(不唯一)
6．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是__________________．
解析： a＋b＞a＋b
?a－a＞b－b
?a(－)＞b(－)
?(a－b)(－)＞0
?(＋)(－)2＞0，
只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案： a≥0，b≥0且a≠b
三、解答题
7．已知a>6，求证：－<－.
证明： 证法一：要证－<－，
只需证＋<＋
?(＋)2<(＋)2，
?2a－9＋2<2a－9＋2
?<，
?(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)，
?18<20
因为18<20显然成立，
所以原不等式－<－成立．
证法二：要证－<－，
只需证<，
只需证＋>＋.
∵a>6，∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0.
又∵a－3>a－5，∴>.
同样有>，
则＋>＋.
∴－<－.
8．已知a，b是正实数，求证：＋≥＋.
证明： 证法一(比较法)：
∵＋－－
＝＋＝
＝≥0，
∴＋≥＋.
证法二(分析法)：
要证＋≥＋，
只要证：a＋b≥(＋)．
即证(a＋b－)(＋)≥(＋)．
即证a＋b－≥.
也就是要证a＋b≥2.
显然a＋b≥2成立，
故＋≥＋.
证法三(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式x＋≥2(x>0)使左边向整式型过渡)：
(法一)∵＋＋＋≥2＋2＝2＋2，当且仅当a＝b时取等号，∴＋≥＋.
(法二)∵(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2，当且仅当a＝b时取等号，∴＋≥＋.21世纪教育网版权所有
9．设a、b、c为三角形的三边，且S2＝2ab，S＝(a＋b＋c)，
试证：S＜2a.
证明： 欲证S＜2a，∵S＝(a＋b＋c)，
即只需证(a＋b＋c)＜2a，
即需证b＋c＜3a，再往下无法进行，故需另用其他证法．
又由S2＝2ab，故只需证S＜
即b＜S，即2b＜a＋b＋c
故只需证b＜a＋c，由三角形一边小于其他两边和，此式显然成立．原命题得证．
第三章 §4
一、选择题
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析： “至少有一个不”对立面是“都”，故反设正确的是B.
答案： B
2．下列命题错误的是( )
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四面体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数
解析： a＋b为奇数?a、b中有一个是奇数，另一个是偶数．
答案： D
3．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法证明a＞0，b＞0，c＞0时的反设为( )
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a≤0，b＞0，c＞0
C．a、b、c不全是正数 D．abc＜0
答案： C
4．设a、b、c都是正数，则三个数a＋、b＋、c＋( )
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析： a＋＋b＋＋c＋＝＋＋≥6，故三个数中至少有一个不小于2.
答案： D
二、填空题
5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析： 考查反证法的一般步骤．
答案： ③①②
6．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2…，a7是1,2，…，7的一个排列，
求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：反设p为奇数，则________均为奇数．
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝___________________________________________________________________
＝________________________________________________________________________
＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
解析： 乘积为奇数，则每一个正整数就为奇数，再利用求和、求差而得到结论．
答案： a1－1，a2－2，…，a7－7
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
三、解答题
7．已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
证明： 假设a1，a2，a3，a4都不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100.21世纪教育网版权所有
这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设不成立．
所以，a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
8．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．21教育网
解析： 设三个方程均无实根，则有：
，解得.
即－9．已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2.
证明： 假设：p＋q＞2成立，由此得q＞2－p.
从而得到q3＞8－12p＋6p2－p3，
故得p3＋q3＞6＝6.
p3＋q3＞2＋6(p－1)2.由此可知p3＋q3≠2，
这和已知条件p3＋q3＝2矛盾．所以p＋q≤2成立．
第四章 §1 1.1
一、选择题
1．复数(1＋)i的虚部是( )
A．1 B．
C．0 D．1＋
答案： D
2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
解析： 依题意得，由此解得x＝－1.
答案： A
3．下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析： ①a＝－1时，(a＋1)i是实数
②虚数不能比较大小
③当x＝－1时，不符合题意
所以①②③错，④正确．
答案： D
4．若x，y∈R，则“x＝0”是“x＋yi的纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析： x＝0?/ x＋yi为纯虚数．
答案： B
二、填空题
5．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为________．
解析： 由M∩N＝{3}得
m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3.
∴
解得m＝－1.
答案： －1
6．m∈R，复数(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i表示纯虚数的条件是________．
解析： 由题意知，
∴，∴m＝－.
答案： m＝－
三、解答题
7．判断下列命题的真假：
(1)ai是纯虚数；
(2)3＋2i的虚部是2i；
(3)“a＝0”是“a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的一个必要不充分条件；
(4)3＋4i>2＋i.
解析： (1)当a＝0时，ai＝0不是纯虚数，故(1)是假命题；
(2)3＋2i的虚部是2，故(2)是假命题；
(3)当a＝0时，a＋bi不一定是纯虚数；反之，若a＋bi是纯虚数，一定有a＝0且b≠0，故(3)是真命题．21世纪教育网版权所有
(4)两个虚数不能比较大小，故(4)是假命题．
8．当实数m为何值时，复数z＝2m2－3m＋1＋(m2－5m＋4)i.
(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)为零．
解析： (1)要使z为实数，须有m2－5m＋4＝0，
∴m＝1或m＝4.
即当m＝1或m＝4时，z为实数；
(2)要使z为虚数，须有m2－5m＋4≠0，即m≠1且m≠4.
∴当m≠1且m≠4时，z为虚数．
(3)要使z为纯虚数，须有，
∴.
∴m＝，即当m＝时，z为纯虚数．
(4)要使z为零，须有，
∴，
∴m＝1.
即当m＝1时，z为零．
9．已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i>0，求实数x的值．
解析： 因为z>0，故z∈R，由x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3.
因为z>0，所以－x>0，
故x＝1适合，x＝3不适合，
因此x＝1.
第四章 §1 1.2
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析： ∵＜2＜π，
∴sin 2＞0，cos 2＜0，
∴点(sin 2，cos 2)在第四象限．
答案： D
2．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是( )
A．(1,5) B．(1,3)
C．(1，) D．(1，)
解析： 由题意得z＝a＋i，∴|z|＝.
∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，
∴1＜|z|＜.
答案： C
3．下列四个式子中，正确的是( )
A．4i>3 B．|2＋3i|>|2－3i|
C．|2＋i|>2i4 D．i2>－i
解析： 不全是实数的复数不能比较大小，故A、D都错．
∵|2＋3i|＝，|2－3i|＝，∴B错．
∵|2＋i|＝>2i4＝2，∴C对．
答案： C
4．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为( )21世纪教育网版权所有
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析： 点A(－1，－2)，关于直线y＝－x的对称点为B(2,1)，则向量对应的复数为2＋i.
答案： B
二、填空题
5．设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是________．21教育网
解析： log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，
log2＝－1，
＝，m＝±，
而m>3，∴m＝.
答案：
6．若复数(k－3)－(k2－4)i所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________．
解析： 由题意可得，
∴k＜－2或2＜k＜3.
答案： (－∞，－2)∪(2,3)
三、解答题
7．在复平面内画出复数z1＝－1，z2＝＋i，z3＝－i对应的向量，，并求出各复数的模．21cnjy.com
解析： 三个复数对应向量，，如下图所示．
|z1|＝|－1|＝1，
|z2|＝＝1，|z3|＝＝1.
8．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
解析： 设z＝x＋yi(x，y∈R)．则x＋yi＋＝2＋8i，
∴
∴，
∴z＝－15＋8i.
9．设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝2；(2)|z|≤3.
解析： 方法一：(1)复数z的模等于2，这表明向量的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件|z|＝2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆．21·cn·jy·com
(2)满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部．
方法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
(1)|z|＝2，∴x2＋y2＝4，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．
(2)|z|≤3，∴x2＋y2≤9.
∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．
第四章 §2 2.1
一、选择题
1．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为( )
A．－4＋20i B．－2＋10i
C．－8＋20i D．－2＋20i
解析： ∵z＋5－6i＝3＋4i，
∴z＝(3＋4i)－(5－6i)
＝(3－5)＋(4＋6)i
＝－2＋10i.
答案： B
2．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m等于( )
A．－1 B．3
C. D．－1或3
解析： ∵z＝(2m2＋m－1)＋(3－m2＋2m)i为纯虚数，
∴解得m＝.
答案： C
3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝( )
A. B．2
C. D．4
解析： 由题意＝－，
∴对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴||＝2.
答案： B
4．非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量与，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则向量与的关系是( )21教育网
A.＝ B．||＝||
C.⊥ D．，共线
解析： 由向量的加法及减法可知：
在?OACB内，＝＋，＝－.
非零复数z1，z2分别对应复平面内向量，，
由复数加减法的几何意义可知：
|z1＋z2|对应的模，|z1－z2|对应的模，
又因为|z1＋z2|＝|z1－z2|，则||＝||，
所以四边形OACB是矩形，因此⊥，故选C.
答案： C
二、填空题
5．复平面内的点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则||＝________.21世纪教育网版权所有
解析： ∵＝＋＝(－)＋(－)，
∴对应的复数为(i－1)＋(4＋2i－1)＝2＋3i，
∴||＝|2＋3i|＝.
答案：
6．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)是______．
解析： ∵f(z)＝z－2i，
∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i
＝(3＋4i)－(－2－i)－2i
＝(3＋2)＋(4＋1)i－2i
＝5＋3i.
答案： 5＋3i
三、解答题
7．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－3＋2i.
(1)求z1－z2；
(2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．
解析： (1)因为z1＝－2＋i，z2＝－3＋2i，
所以z1－z2＝(－2＋i)－(－3＋2i)＝1－i.
(2)在复平面内复数z1－z2所对应的向量是＝1－i，如下图所示．
8．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解析： (1)对应的复数为zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i.
对应的复数为
zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
对应的复数为
zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)由(1)可得：
||＝，||＝，||＝2
∴||2＋||2＝||2
∴△ABC为直角三角形
(3)由(2)可知，三角形为直角三角形，∠A为直角
∴S＝||||
＝××2
＝2
9．已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0,4＋2i，－2＋4i.试求：
(1)点B对应的复数；
(2)判断?OABC是否为矩形．
解析： (1)∵＝＋
＝4＋2i＋(－2＋4i)
＝2＋6i，
∴点B对应的复数为2＋6i.
(2)方法一：∵kOA＝，kOC＝－2，kOA·kOC＝－1，
∴OA⊥OC，∴?OABC为矩形．
方法二：∵＝(－2＋4i)－(4＋2i)＝－6＋2i，
∴||＝||＝2，
∴?OABC为矩形．
第四章 §2 2.2
一、选择题
1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝( )
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i
解析： z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝3＋2i－i2＝4＋2i.故选A.
答案： A
2．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析： ＝＝2－ai＝b＋i，由复数相等得，b＝2，a＝－1，则a＋b＝1.故选B.
答案： B
3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是( )
A．x＝3，y＝3 B．x＝5，y＝1
C．x＝－1，y＝－1 D．x＝－1，y＝1
解析： 由题意得，∴.
答案： D
4．i为虚数单位，则2 011＝( )
A．－i B．－1
C．i D．1
解析： ∵＝＝i，
∴2 011＝i2 011＝i4×502＋3＝i3＝－i.
答案： A
二、填空题
5．在复平面内，复数对应的点的坐标为________．
解析： z＝＝＝－1＋i
则对应的点的坐标为(－1,1)．
答案： (－1,1)
6．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z2的共轭复数与z1的积是实数，则实数t的值为________．
解析： 由题意知2＝t－i(t∈R)，
2z1＝(t－i)(3＋4i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.
∵2z1∈R,4t－3＝0.
∴t＝
答案：
三、解答题
7．计算：(1)；
(2).
解析： (1)＝＝＝i.
(2)
＝
＝
＝(1＋i)4i
＝i[(1＋i)2]2
＝i(2i)2＝－4i.
8．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.21世纪教育网版权所有
解析： (z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
9．已知复数z的共轭复数为，且z·－3i·z＝，求z.
解析： 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，
由已知，得(x＋yi)(x－yi)－3i(x＋yi)＝，
∴x2＋y2－3xi＋3y＝，
∴x2＋y2＋3y－3xi＝1＋3i，
∴，∴，
∴z＝－1或z＝－1－3i.
