一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n等于( )
A．7
B．－20
C．28
D．11
解析： m＝(0,8,3)，n＝(－1,5，－4)，
∴m·n＝40－12＝28.
答案： C
2．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是( )
A．(2,4，－1)
B．(2,3,1)
C．(－3,1,5)
D．(5,13，－3)
解析： 由题意，A＝(－2，－6，－2)，
设点D(x，y，z)，
则D＝(3－x,7－y，－5－z)．
因为A＝D，
所以x＝5，y＝13，z＝－3.
答案： D
3．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于( )
A．3
B．2
C.
D．5
解析： ∵a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)
＝(9,3,0)，
∴|a－b＋2c|＝＝3.
答案： A
4．若a＝(0,1，－1)，b＝(3,2＋x2，x2)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是( )
A．－1
B．0
C．1
D．－2
解析： 由(a＋λb)⊥a知，(a＋λb)·a＝0，
即a2＋λa·b＝0，
∴2＋λ(2＋x2－x2)＝0，
∴λ＝－1，故选A.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知点A(－1,3,1)、B(－1,3,4)、D(1,1,1)，若A＝2P，则|P|的值是________．
解析： 设点P(x，y，z)，
则由A＝2P，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，
则，解得，即P(－1,3,3)，
则|P|＝＝＝2.
答案： 2
6．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________．
解析： ∵＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)，
∴·＝5×2＋1×(－3)＋(－7)×1＝0，
∴⊥，
∴∠ACB＝90°，
又∵||≠||，
∴△ABC为直角三角形．
答案： 直角三角形
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，以及点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
求：(1)|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使O⊥b(O为原点)．
解析： (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
所以|2a＋b|＝＝5.
(2)O＝O＋A＝O＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)
＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若O⊥b，则O·b＝0，
即－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，
故存在点E，使O⊥b，此时E点坐标为(－，－，)．
8．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，
(1)若∥，∥，求点D的坐标；
(2)问是否存在实数x、y，使得＝x＋y成立？若存在，求x、y的值；若不存在，说明理由．
解析： (1)设点D的坐标为(x，y，z)，
∴＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，
＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)．
∵∥，∥，
∴
此时点D(－1,1,2)．
(2)∵＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)．
假设存在x、y∈R满足条件，则由已知可得
(－1,0,2)＝x(－1,1,0)＋y(0，－1,2)，
即(－1,0,2)＝(－x，x,0)＋(0，－y,2y)＝(－x，x－y,2y)．
∴ x＝y＝1.
∴存在实数x＝1，y＝1使得结论成立．
??☆☆☆
9.(10分)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有的棱长均为2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得与所成的夹角为？
解析： 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，由已知，棱长都等于2，
所以A(0,0,0)、B(，1,0)、C(0,2,0)、B1(，1,2)、M.
假设存在点N在棱CC1上，可以设N(0,2，m)(0≤m≤2)，
则有＝(，1,2)，＝，
∴||＝2，||＝，·＝(，1,2)·＝2m－1.
cos〈，〉＝cos＝＝＝－，
解得m＝－.
这与0≤m≤2矛盾，所以在棱CC1上不存在点N，使得与所成的夹角为.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( )
A．a与b共线
B．a与b同向
C．a与b反向
D．a与b共面
解析： 由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B、C都是A的一种情况，空间中任两个向量都是共面的，故D错．
答案： A
2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( )
A．2a，a－b，a＋2b
B．2b，b－a，b＋2a
C．a,2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析： 不共面的三个向量才可以构成基底，A中，a＋2b＝(2a)＋(－2)(a－b)，三个向量共面；B中，b＋2a＝(2b)＋(－2)(b－a)，三个向量共面；D中，a＋c＝2c＋(a－c)，三个向量共面；只有C中的三个向量不共面．
答案： C
3.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A.a－b＋c
B.a－b－c
C.a－b＋c
D.a－b＋c
解析： ＝－＝－
＝(＋)－
＝(＋)－
＝(＋－)－
＝－＋
＝a－b＋c.
故选C.
答案： C
4．正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1
B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝
D．x＝y＝z＝2
解析： ＝＋＝＋＋＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
对比＝x＋y＋z得x＝y＝z＝1.
答案： A
二、填空题(每题5分，共10分)
5．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记＝a，＝b，1＝c，则＝________.(用a，b，c表示)
解析： ＝＋
＝＋(＋)
＝＋(＋－)
＝c＋(a＋b－c)
＝a＋b
答案： a＋b
6．我们称(x，y，z)是向量p＝xa＋yb＋zc关于基底{a，b，c}的坐标，则向量m＝2a－b－3c的相反向量关于基底{a，b，c}的坐标为________．
解析： －m＝－2a＋b＋3c，∴坐标为(－2,1,3)．
答案： (－2,1,3)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中．求，的坐标．
解析： 设x、y、z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则
＝4i，＝2j，＝4k，
∴＝＋＝＋(＋)
＝＋＋＝＋＋
＝2i＋j＋4k，
∴＝－＝－2i－j－4k，
∴＝(－2，－1，－4)，
＝－＝－(＋)
＝－－＝－－
＝－4i＋2j－4k，
∴＝(－4,2，－4)．
8.如图所示，四棱锥P OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设O＝a，O＝b，O＝c，E、F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：B、B、A、E.
解析： 连接BO，
则B＝B＝(B＋O)
＝(c－b－a)
＝－a－b＋c.
B＝B＋C＝－a＋C＝－a＋(C＋O)
＝－a－b＋c.
A＝A＋P＝A＋O＋(P＋O)
＝－a＋c＋(－c＋b)
＝－a＋b＋c.
E＝C＝O＝a.
??☆☆☆
9.(10分)如图所示，已知正四面体的棱长为1，点E、F分别是OA、BC的中点，选择适当的基底：
(1)表示，并求出||；
(2)计算·，并求出〈，〉．
解析： 设＝a，OB＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝，
∴a·b＝a·c＝b·c＝.
(1)＝－＝(＋)－
＝－a＋b＋c＝－(a－b－c)
则有||＝
＝
＝＝；
(2)∵＝－＝c－a＝－(a－c)
∴·＝(a－b－c)·(a－c)
＝(a2＋c2－a·b＋b·c－2a·c)
＝＝.
则有cos〈，〉＝＝＝，
∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D．不能确定
解析： 由题意知正三角形的边长为a，c为正三角形的高，
故e＝＝.
答案： B
2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D．以上都不对
解析： 由题意知：，
∴解得a＝5，b＝4.
又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
答案： C
3．(2012·诸暨高二检测)已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )
A．(±，0)
B．(0，±)
C．(±，0)
D．(0，±)
解析： 直线x＋2y＝2与坐标轴的交点为(2,0)，(0,1)，
即为椭圆的两个顶点，
又焦点在x轴上，∴a＝2，b＝1，
∴c＝＝，
∴焦点坐标为(±，0)．故选A.
答案： A
4．已知椭圆＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于( )
A．4
B．5
C．7
D．8
解析： 由题意：焦距为4，则有m－2－(10－m)＝2，
解得m＝8.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是________．
解析： 设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径为4，即a＝2.
而＝，得c＝1，所以b＝，
则椭圆方程为＋＝1.
答案： ＋＝1
6．若椭圆＋＝1(k＞－8)的离心率为e＝，则k的值等于________．
解析： 若焦点在x轴上，则＝ k＝4.
若焦点在y轴上，则＝ k＝－.
答案： 4或－
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c＞0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的标准方程．
解析： 依题意得：，
∴解得a＝2，c＝，∴b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆的方程为：＋x2＝1.
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(3,4)，若PF1⊥PF2，试求该椭圆的方程．
解析： ∵椭圆经过点P(3,4)，
∴＋＝1.①
又a2＝b2＋c2，②
设F1(－c,0)，F2(c,0)，
则kPF1＝，kPF2＝.
∵PF1⊥PF2，∴kPF1·kPF2＝－1.
∴·＝－1，即9－c2＝－16.
∴c2＝25.∴c＝5.
由①②得∴.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
??☆☆☆
9．(10分)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，
PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
解析： 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
则F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，
直线PF1的方程为x＝－c，
代入方程＋＝1，得y＝±，
∴P.
∵PF2∥AB，且kPF2＝＝，
又kAB＝－，
∴由kPF2＝kAB，得－＝－.
∴b＝2c，a＝c，∴e＝.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．过拋物线y2＝4x的焦点作直线交拋物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，那么|AB|等于( )
A．9
B．10
C．7
D．5
解析： 由拋物线方程知：p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p＝8＋2＝10，故选B.
答案： B
2．拋物线x2＝－4y的通径为线段AB，O为拋物线的顶点，则( )
A．通径长为8，△AOB的面积为4
B．通径长为8，△AOB的面积为2
C．通径长为4，△AOB的面积为4
D．通径长为4，△AOB的面积为2
解析： |AB|＝2p＝4，S△AOB＝×1×4＝2.
答案： D
3．若拋物线y2＝2px(p＞0)上一点到准线和拋物线的对称轴距离分别为10和6，则该点横坐标为( )
A．6
B．2或8
C．1或9
D．10
解析： 设点坐标为(x0,6)，则62＝2px0，
∴x0＝，又x0＋＝10，∴＋＝10，
∴p＝2或p＝18，∴x0＝9或x0＝1，故选C.
答案： C
4．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径为直径的圆与y轴的位置关系是( )
A．相交
B．相离
C．相切
D．不确定
解析：
如图，取AF中点C，作CN⊥y轴，AM⊥y轴，可得|CN|＝|AF|.
故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F间的距离|PF|＝________.
解析： 由于点P到x轴的距离为12，
可知点P的纵坐标为12，
∴点P的横坐标x＝＝＝9.
由抛物线的定义知|PF|＝x＋＝9＋4＝13.
答案： 13
6．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析： 设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
则x1＋x2＋p＝8.
设直线AB的方程为y＝x－，
联立y2＝2px，得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p.∴3p＋p＝8，即p＝2.
答案： 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．正三角形AOB的两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上．若S△OAB＝36，试确定抛物线的方程．
解析： 由于正△AOB的A、B两点在抛物线y2＝2px上，依对称性知∠AOX＝30°，其中X为线段AB与x轴的交点．设OA所在直线方程为y＝x.
方法一：联立得A(6p,2p)，B(6p，－2p)．
则|AB|＝4p.
由S△AOB＝×(4p)2＝12p2＝36，得p2＝3，p＝.
故抛物线的方程为y2＝2x.
方法二：设|OA|＝a，由S△AOB＝a2＝36知a＝12.
即|OA|＝＝＝12，
得x＝±6，y＝×(±6)＝±6.
由于A(x，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，所以A(6，6)．
由点A(6，6)在y2＝2px上得p＝.
故抛物线的方程为y2＝2x.
8.
已知直线l经过拋物线y2＝4x的焦点F，且与拋物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
解析： 拋物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1.
(1)设A(x0，y0)，则|AF|＝|x0＋1|＝4，
∴x0＝3，∴y0＝±2，∴A(3，±2)．
(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝4，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
易知k≠0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝.
∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋＞4，
综上所述，|AB|≥4.
∴线段AB的最小值为4.
??☆☆☆
9．(10分)A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求证：
(1)A、B两点横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；
(2)直线AB经过一个定点．
证明： (1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.
∵OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.
∴y·y＝4p2x1·x2＝4p2(－y1·y2)，
∴y1·y2＝－4p2.∴x1·x2＝4p2，结论成立．
(2)∵y－y＝(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
∴＝.
则直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)．
∴y＝·x－·＋y1＝·x＋.
又∵y1·y2＝－4p2.
∴y＝·x－＝(x－2p)．
∴直线AB过定点(2p,0)．一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： 根据双曲线的定义：乙 甲，但甲 /乙，只有当2a＜|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．
答案： B
2．已知双曲线－＝1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为( )
A．3
B．5
C．6
D．9
解析： 由－＝1得a2＝9，∴a＝3，
根据双曲线定义|d－3|＝2a＝6，
∴d＝9或d＝－3(舍)．
答案： D
3．已知椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为10，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析： 由题意知椭圆C1的两个焦点为(－3,0)，(3,0)．设曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝9，且2a＝4.∴a2＝4，b2＝5，故选A.
答案： A
4．k＞9是方程＋＝1表示双曲线的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
解析： 原方程表示双曲线的充要条件是(9－k)(k－4)＜0，即k＞9或k＜4，故k＞9是原方程表示双曲线的充分不必要条件．
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则k＝________.
解析： 依题意，双曲线方程可化为－＝1，
所以－－＝9，解得k＝－1.
答案： －1
6．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是________．
解析： 由双曲线的定义
|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
∴|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，
∴△ABF2的周长为4a＋2|AB|＝26.
答案： 26
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．分别求符合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点P到两焦点距离之差的绝对值为24；
(2)求与椭圆＋＝1共焦点且过点(3，2)的双曲线的方程．
解析： (1)由题意，双曲线的焦点在y轴上，因此可设其标准方程为－＝1.
∵2a＝24，∴a＝12.
∵一个焦点坐标为F1(0，－13)，
∴c＝13，
∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)椭圆＋＝1的焦点为(2，0)，(－2，0)，
设双曲线的方程为－＝1，
则a2＋b2＝20.①
又∵过点(3，2)，
∴－＝1.②
由①②，得a2＝10，b2＝10
∴双曲线方程为－＝1.
8．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离．
解析： ∵双曲线方程为－＝1，
∴c＝＝13，
于是焦点坐标为F1(－13,0)、F2(13,0)，
设过点F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y＞0)，
∴＝－1＝，
∴y＝，即|AF1|＝.
又∵|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
∴|AF2|＝24＋|AF1|＝24＋＝.
故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为和.
??☆☆☆
9．(10分)在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sin
A＋sin
C＝2sin
B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指明它表示什么曲线．
解析： 如图所示，以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理得sin
A＝，
sin
B＝，sin
C＝.
∵2sin
A＋sin
C＝2sin
B，
∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|.
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|，
由双曲线定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝6，
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)，
故点C的轨迹为双曲线的右支且除去点(，0)．一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列语句中是命题的是( )
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin
0°＝0
C．x2－2x＋1＞0
D．作△ABC∽△EFG
解析： A、C、D不能判断真假，不是命题，故选B.
答案： B
2．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析： 原命题与逆否命题为真，逆命题：“△ABC为等腰三角形，则AB＝AC”是假命题，因为还可以是AB＝BC，所以否命题也是假命题．
答案： C
3．下列命题中真命题的个数为( )
①面积相等的两个三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： ①错．②错，若xy＝0则x，y至少一个为0，而未必|x|＋|y|＝0.③对，同向不等式，两边加上同一个常数．不等号不变．④错．
答案： A
4．下列命题中，是真命题的是( )
A．命题“若ac＞bc，则a＞b”
B．命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题
D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
解析： 对于A，因为c的正负未知，因而a与b的大小不定，所以A为假；对于B，逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，它未必成立，因为b可能等于－3，所以B为假；对于C，否命题是“当x≠2时，x2－3x＋2≠0”，因为x＝1时也可以使x2－3x＋2＝0成立，所以C为假；对于D，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似”，因为原命题与逆否命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选D.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．给出下列命题
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形
②若一个四边形的对角互补，则它内接于圆
③圆的内接四边形的对角互补
④正方形的四条边相等
⑤对角不互补的四边形不内接于圆
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形
其中，互为逆否命题的有________，互为否命题的有________，互为逆命题的有________．
答案： ①和④，③和⑤ ①和⑥，②和⑤ ④和⑥，②和③
6．下列命题是真命题的有________．(填序号)
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．
解析： ①逆命题“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题．②∵原命题为假，∴逆否命题也为假．③否命题“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，假如x＝4>－3，但x2＋x－6＝14>0，故为假．
答案： ①
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当m＜时，方程mx2－x＋1＝0有实根；
(2)实数的平方是非负实数；
(3)互相垂直的两直线斜率乘积等于－1.
解析： (1)若m＜，则方程mx2－x＋1＝0有实根，真命题．因为方程mx2－x＋1＝0有无实根取决于判别式Δ＝1－4m，
当m＜时，Δ＞0，
故当m＜时，方程mx2－x＋1＝0有实根为真；
(2)若x∈R，则x2≥0，真命题．
(3)若两条直线互相垂直，则这两条直线的斜率乘积等于－1.假命题．当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时两条直线垂直，而斜率乘积不等于－1.
8．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝1，则a＝1且b＝1.
(3)若直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于平面；
解析： (1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，为真命题．
否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题；
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命题．
(2)逆命题：若a＝1且b＝1，则ab＝1，真命题．
否命题：若ab≠1，则a≠1或b≠1，真命题；
逆否命题：若a≠1或b≠1，则ab≠1，假命题．
(3)逆命题：若直线垂直于平面，则这条直线垂直于平面内的两条相交直线，为真命题；
否命题：若直线不垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线不垂直于平面，为真命题；
逆否命题：若直线不垂直于平面，则这条直线不垂直于平面内的两条相交直线，为真命题．
??☆☆☆
9．(10分)已知c＞0，设p：函数y＝cx在R上单调递减，q：不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R，如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围．
解析： 函数y＝cx在R上单调递减 0＜c＜1.
记P＝{c|0＜c＜1}．不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R 函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.
∵x＋|x－2c|＝
∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c.
∴不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R 2c＞1 c＞.
记Q＝.如果p正确，且q不正确，则0＜c≤.
如果p不正确，且q正确，则c≥1，所以c的取值范围为∪[1，＋∞)．一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
解析： 判断曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程，应同时满足定义中的两个条件，缺一不可．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但是“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线C上”．故选B.
答案： B
2．方程(x＋y－2)＝0的曲线是( )
A．两个点
B．一个圆
C．一条直线和一个圆
D．两条射线和一个圆
解析： 由题意得x＋y－2＝0或x2＋y2－4＝0，由于x2＋y2－4≥0，因此x≥2或x≤0，方程表示的曲线是两条射线和一个圆．
答案： D
3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
解析： 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|得
＝2，
整理得x2－4x＋y2＝0
即(x－2)2＋y2＝4.
所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，
故S＝4π.
答案： B
4．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若B＝2P，且O·A＝1，则P点的轨迹方程是( )
A．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)
B．3x2－y2＝1(x>0，y>0)
C.x2－3y2＝1(x>0，y>0)
D.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
解析： ∵B＝2P，
∴点P分有向线段B所成的比为2.
∴由P(x，y)可得B(0,3y)，A.
∴A＝.
∵点Q与点P关于y轴对称，
∴Q(－x，y)，且O＝(－x，y)．
∴由O·A＝1得＋3y2＝1(x>0，y>0)．
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹方程为________．
解析： 由抛物线定义可知，点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.
答案： y2＝8x
6．若曲线C：xy＋3x＋ky＋2＝0，则当k＝________时，曲线C经过点(2，－1)．
解析： 由题意知点(2，－1)在曲线上，故将(2，－1)代入方程得2×(－1)＋3×2＋k×(－1)＋2＝0，解得k＝6.
答案： 6
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．判断下列命题是否正确：
(1)设点A(10,0)、B(0,10)，则线段AB的方程是x＋y－10＝0；
(2)到原点的距离等于5的动点的轨迹是y＝；
(3)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2－y2＝0.
解析： 命题(1)中方程x＋y－10＝0表示一条直线，坐标满足该方程的点如(11，－1)等不在线段AB上，故命题(1)错误；命题(2)中到原点距离等于5的动点的轨迹方程为x2＋y2＝52，方程y＝表示的曲线是圆x2＋y2＝25除出x轴下半部分的曲线，故命题(2)错误；
命题(3)中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y＝±x，满足x2－y2＝0，反过来坐标满足方程x2－y2＝0的点到两坐标轴的距离相等，故命题(3)正确．
8．已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且A∶M＝1∶2，求动点M的轨迹方程．
解析： 设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，由A∶M＝1∶2得
，∴.
∵|AB|＝6，∴2＋(3y)2＝36.
化简得＋＝1为所求动点M的轨迹方程．
??☆☆☆
9．(10分)已知点G是△ABC的重心，A(0，－1)，B(0,1)，在x轴上有一点M满足|M|＝|M|，G＝λ(λ∈R)，求点C的轨迹方程．
解析： 设点C的坐标为(x，y)，则G(，)，
设M(x0,0)，则＝(－x0，－1)，M＝(x－x0，y)，
G＝，A＝(0,2)，
由G＝λ，得(x0－，－)＝λ(0,2)，所以x0＝.①
由|M|＝|M|，得＝.
即x＋1＝(x－x0)2＋y2，②
将①代入②式，得＋y2＝1.
因为C点不与A，B共线，所以x≠0.
所以点C的轨迹方程为＋y2＝1(x≠0)．一、选择题(每小题5分，共20分)
1．椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的关系为( )
A．有相等的长、短轴长
B．有相等的焦距
C．有相同的焦点
D．有相同的长、短轴
解析： 显然，两椭圆的焦点、长轴长、短轴长均不相同，但两方程中的c是一样的，故有相等的焦距．
答案： B
2．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析： 焦点在y轴上，∴8sin
α＞4，
∴sin
α＞，
∵α是锐角，∴α∈.
答案： C
3．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝( )
A.
B.
C．1
D.
解析： 由方程可知a＝5，b＝3，c＝4.
＝＝＝.
答案： A
4．(2012·三明高二检测)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析： ∵∠F1PF2＝60°，
∴在Rt△PF1F2中，|PF2|＝2|PF1|，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝a，
又＝＝tan
60°＝，
∴＝，即e＝.故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________．
解析： 椭圆方程可化为：＋＝1，
∵点(m，n)在椭圆上，∴－≤m≤，
∴－2＋4≤2m＋4≤2＋4.
答案： [－2＋4,2＋4]
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析： 设椭圆的长半轴为a，
由2a＝12知a＝6，
又e＝＝，故c＝3，
∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.
∴椭圆标准方程为＋＝1.
答案： ＋＝1
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求中心在原点，一个焦点为(0,5)且被直线y＝3x－2截得的弦中点横坐标为的椭圆方程．
解析： 设椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)，弦AB的中点M，设直线y＝3x－2与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，得a2(x－x)＋b2(y－y)＝0，
两边同时除以x1－x2，
得a2·(x1＋x2)＋b2(y1＋y2)·＝0，
∴a2·2x0＋b2·2y0·k＝0，
∴a2·2×＋b2·2××3＝0，
∴a2＝3b2，又a2－b2＝50，∴＋＝1.
8.
如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且2＝2，求椭圆的方程．
解析： (1)由∠F1AB＝90°知b＝c，则e＝＝＝＝.
(2)由已知条件a2－b2＝1， ①
设B(x，y)，A(0，b)，则＝(1，－b)，＝(x－1，y)，
由＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)，
解得x＝，y＝－，
则＋＝1，解得a2＝3， ②
①－②得b2＝2.所求椭圆的标准方程为＋＝1.
??☆☆☆
9．(10分)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
解析： (1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离2csin
60°＝2，即c＝2，故c＝2.椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＜0，y2＞0，
直线l的方程为y＝(x－2)，
联立消去x得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0，
解得y1＝，y2＝，
因为2＝2，所以－y1＝2y2，
即＝2，解得a＝3，
而a2－b2＝4，所以b＝，
∴椭圆C的方程为＋＝1.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．对拋物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0,1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，焦点为
解析： 拋物线方程可化为：x2＝y，∴2p＝，开口向上，焦点为，故选B.
答案： B
2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A.
B．－
C．8
D．－8
解析： 由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－.
答案： B
3．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
解析： 设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.故选A.
答案： A
4．焦点在x轴上，又在直线3x－4y－12＝0上的拋物线的标准方程是( )
A．y2＝－16x
B．y2＝－12x
C．y2＝16x
D．y2＝12x
解析： 直线3x－4y－12＝0与x轴的交点坐标为(4,0)，故拋物线方程为y2＝16x.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．抛物线y2＝2px，过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．
解析： y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.
答案：
6．若拋物线y2＝mx与椭圆＋＝1有一个共同的焦点，则m＝________.
解析： ∵椭圆＋＝1的焦点为(2,0)、(－2,0)，若拋物线与椭圆共焦点(2,0)，则＝2，∴m＝8；若共焦点(－2,0)，则m＝－8，∴m＝±8.
答案： ±8
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在平面直角坐标系xOy中，拋物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．
(1)求拋物线C的标准方程；
(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．
解析： (1)由题意，可设拋物线C的标准方程为y2＝2px，因为点A(2,2)在拋物线C上，所以p＝1.因此，拋物线C的标准方程为y2＝2x.
(2)由(1)可得焦点F的坐标是，又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x＋y－＝0.
8．某桥的桥洞呈拋物线形，桥下水面宽16
m，当水面上涨2
m时，水面宽变为12
m，求此时桥洞顶部距水面的高度．
解析： 建立坐标系如图所示，
设拋物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
由条件可知点B的横坐标为8，点E的横坐标为6.
两点的纵坐标分别为yB＝－，yE＝－，
∴yE－yB＝＝2，得p＝7，
∴拋物线方程为：x2＝－14y，yE＝－，
所以此时桥洞顶部距水面的高度为
m.
??☆☆☆
9．(10分)已知拋物线的顶点为直角坐标系的原点，准线方程为4x＋1＝0.
(1)在拋物线上有一定点P，到拋物线焦点的距离为|PF|＝，求点P的坐标；
(2)设拋物线上有一动点Q，当动点Q与点A(1,0)的距离|QA|取得最小值时，求Q点的坐标，及|QA|的最小值．
解析： (1)因为准线方程为4x＋1＝0，即x＝－，得＝，所以p＝，由题意，拋物线方程为y2＝x.
设P(x1，y1)，因为|PF|等于点P到准线的距离，所以x1－＝，得x1＝，进而y1＝±，即点P坐标为或.
(2)设Q(a2，a)，则|QA|＝＝，当且仅当a2＝时，|QA|取得最小值，此时Q点的坐标为或.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．l与α斜交
解析： ∵u＝－2a，∴a∥u.∴a⊥α，∴l⊥a，故选B.
答案： B
2．已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交不垂直
D．以上都不对
解析：
＝(0,1，－1)，
＝(1,0，－1)，
n·A＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)
＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，
n·A＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)
＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，
∴n⊥，n⊥.
∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，
∴α∥β.
答案： A
3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1)
B.
C.
D.
解析： 对于选项A，
＝(1,0,1)，
则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；
对于选项B，＝，
则·n＝·(3,1,2)＝0，故选B.
答案： B
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1A
解析： 以D为原点建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标方法证明·＝0即可．
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.
解析： ∵α∥β，∴u1∥u2.∴＝＝.
∴y＝1，z＝－4.∴y＋z＝－3.
答案： －3
6．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．
解析： 如右图：DA⊥平面ABC，且∠BAC＝90°如图建系：采用向量法易证：
·＝0
答案： 垂直
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.
证明： 证法一：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，则A(0,0,0)，B，
C1(0，a，b)，B1，
D.
＝，＝，＝.
设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥，得
∴
取y＝1，得n＝.
由1·n＝·＝0，
得⊥n，即AB1∥平面DBC1.
证法二：如图所示，记＝a，＝b，＝c，
则＝a＋c，＝－＝a－b，＝＋＝b＋c.
∴＋＝a＋c＝，∴，，共面．
又∵AB1 平面DBC1，
∴AB1∥平面DBC1.
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥面B1AC.
证明： 证法一：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为2，则有A(2,0,0)、B1(2,2,2)、C(0,2,0)、E(2,2,1)、F(1,1,2)，
∴＝(0,2,2)，
＝(－2,2,0)，＝(－1，－1,1)，
∴·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0－2＋2＝0 ⊥，·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0 ⊥，即EF⊥AB1，EF⊥AC，
又AB1∩AC＝A，
∴EF⊥面B1AC.
证法二：建系如证法一，设面B1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)，由 ，
令x＝1可得：y＝1，z＝－1，
∴n＝(1,1，－1)＝－ n∥，∴EF⊥面B1AC.
??☆☆☆
9．(10分)如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，
PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在△PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.
解析： (1)证明：∵M是PC的中点，取PD的中点E，
则ME綊CD，又AB綊CD，
∴四边形ABME是平行四边形．
∴BM∥EA，BM 平面PAD，EA 平面PAD，
∴BM∥平面PAD.
(2)以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
则B(1,0,0)，C(2,2,0)，
D(0,2,0)，P(0,0,2)，M(1,1,1)，E(0,1，1)．
在平面PAD内设N(0，y，z)，
则＝(－1，y－1，z－1)，
＝(1,0，－2)，＝(1，－2,0)．
∵⊥，⊥，
∴·＝－1－2z＋2＝0.
·＝－1－2y＋2＝0.
∴y＝，z＝，N，
∴N是AE的中点．
∴当点N是△PAD边PD中线上的中点时，MN⊥平面PBD.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： 当a＋b＝0时，a＝－b，∴a∥b；
当a∥b时，不一定有a＝－b.
∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
答案： A
2．“x＜2”的充分条件是( )
A．x＜1
B．x＞1
C．x＜3
D．x＞3
解析： ∵x＜1 x＜2，
∴“x＜1”是“x＜2”的充分条件．故选A.
答案： A
3．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件和必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： 在空间中，两条直线没有公共点可能平行也可能异面．因此选B.
答案： B
4．(2011·浙江卷)若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： ∵0＜ab＜1，∴a，b同号，且ab＜1.
当a＞0，b＞0时，a＜；当a＜0，b＜0时，b＞.
∴“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分条件．
而取a＝－1，b＝1，显然有a＜，但不能推出0＜ab＜1，
故“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分而不必要条件．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知P＝{x|x2－4x＋3≤0}，Q＝{x|y＝＋}，则“x∈P”是“x∈Q”的________条件．
解析： P＝{x|1≤x≤3}，Q＝{x|－1≤x≤3}
∵P?Q，∴P是Q的充分不必要条件．
答案： 充分不必要
6．在下列电路图中，分别指出开关A闭合是灯泡B亮的什么条件：
①中，开关A闭合是灯泡B亮的________条件；
②中，开关A闭合是灯泡B亮的________条件；
③中，开关A闭合是灯泡B亮的________条件；
④中，开关A闭合是灯泡B亮的________条件．
解析： ①中，开关A闭合，灯泡B亮；反之，灯泡B亮，开关A闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
②中，仅当开关A、C都闭合时，灯泡B才亮；反之，灯泡B亮，开关A必须闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
③中，开关A不起作用，故开关A闭合是灯泡B亮的既不充分又不必要条件；
④中，开关A闭合，灯泡B亮；但灯泡B亮，只需开关A或C闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件．
答案： 充要 必要不充分 既不充分又不必要 充分不必要
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．
解析： q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．则p q但qp.
∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.
∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤.
∴满足条件的a的取值范围为.
8．已知a，b，c是△ABC的三条边，证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
证明： (1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc △ABC为等边三角形)．
∵a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，
∴2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，
∴(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，
∴a＝b，a＝c，b＝c，故a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
(2)必要性(由△ABC为等边三角形 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)．
∵a＝b＝c，
∴a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，
∴a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
综上知，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
??☆☆☆
9．(10分)已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解析： 由图可知，(1)因为q s，s r q，所以s是q的充要条件．
(2)因为r q，q s r，
所以r是q的充要条件．
(3)因为q s r p，而p
q，所以p是q的必要不充分条件．一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列说法正确的是( )
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆
C．到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．到F1(－4,0)，F2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆
解析： 椭圆是到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
A中，|F1F2|＝8，故到F1，F2两点距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2.B中，到F1，F2的两点距离之和为6，小于|F1F2|的距离，故这样的轨迹不存在．C中，点(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，故轨迹是椭圆．D中，轨迹是线段F1F2的垂直平分线．故选C.
答案： C
2．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析： 因为P到两焦点的距离和为2a，a＝5，所以2a＝10，又因P到一个焦点的距离为2，则到另一个焦点的距离为10－2＝8.
答案： D
3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C．x2＋＝1
D.＋＝1
解析： 由题意焦点在x轴上，c＝2，b2＝2，
所以a2＝b2＋c2＝2＋4＝6.
答案： D
4．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
解析： 因为|AB|＝8，|CA|＋|CB|＝18－8＝10，所以顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．因2a＝10，2c＝8，所以b2＝9.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若方程＋＝1表示椭圆，则参数k的取值范围是____________．
解析： 依题意，
∴4＜k＜9且k≠.
答案： 4＜k＜9且k≠
6．(2010～2011·银川一中高二期末)椭圆－＝1的焦点坐标为________．
解析： 椭圆方程为＋＝1，
∵k＜－，∴0＜4＋k＜，－(3＋k)＞，
∴椭圆焦点在y轴上，a2＝－(3＋k)，b2＝4＋k，
∴c2＝a2－b2＝－2k－7，
∴c＝，
∴焦点坐标为(0，－)，(0，)．
答案： (0，－)，(0，)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解析： (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，
∴，∴，
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)，
∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.
∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.
8．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
解析： 设|PB|＝r.
∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.
∴a＝5，c＝3.
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，
即点P的轨迹方程为＋＝1.
??☆☆☆
9．(10分)已知点P是焦点在坐标轴上的椭圆上一点，点P到两焦点的距离分别为和，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
解析： 设两焦点为F1、F2，
∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2.∴a＝.
∵|PF1|＞|PF2|，
∴由题意，△PF1F2为以PF1为斜边的直角三角形．
∴(2c)2＝|PF1|2－|PF2|2＝2－2.
∴c＝.∴b2＝a2－c2＝()2－2＝.
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列说法中正确的是( )
A．任意两个空间向量都可以比较大小
B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小
C．空间向量的大小与方向有关
D．空间向量的模可以比较大小
解析： 任意两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A、B不正确；向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确；由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．
答案： D
2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，与向量的模相等的向量有( )
A．7个
B．3个
C．5个
D．6个
解析： ||＝||＝||＝||＝||＝||
＝||＝||.
答案： A
3．若空间向量a与向量b不相等，则a与b一定( )
A．有不同的方向
B．有不相等的模
C．不可能是平行向量
D．不可能都是零向量
解析： a，b不相等，可能方向不同，也可能模不相等，故选D.
答案： D
4．下面关于空间向量的说法正确的是( )
A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面
解析： 我们可以通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确．由向量平行与直线平行的区别，可知A不正确．可用反证法证明D是正确的．
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．下列说法正确的有________．
①所有单位向量都相等；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若a∥b，b∥c，则a∥c；④0方向任意；
⑤相等向量是指它们的起点与终点对应重合．
解析： ①中所有单位向量其模相等；②中|a|＝|b|仅说明模相等，方向没有限定；③中b＝0时得不到a∥c；⑤中相等向量指大小相等方向相同，但起点与终点不一定重合的向量．
答案： ④
6．下列有关平面法向量的说法中，正确的是________．(填写相应序号)
①平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量；
②一个平面的所有法向量互相平行；
③如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直；
④如果a，b与平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．
解析： 由平面法向量的定义知①②③正确，对于④当a与b共线时，n就不一定是平面α的法向量，故④错误．
答案： ①②③
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图所示，以长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为的所有向量．
(3)试写出与相等的所有向量．
(4)试写出的相反向量．
解析： (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的，，，，，，，这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，共8个．
(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)共有，及3个．
(4)向量的相反向量为，.
8．如图，正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，求平面SBD的法向量与A的夹角．
解析： ∵正四棱锥底面为正方形，
∴ AC⊥平面SBD.
∴A为平面SBD的一个法向量．
又∵〈A，A〉＝45°，
∴平面SBD的法向量与A的夹角为45°.
??☆☆☆
9．(10分)如图是一空间几何体的三视图，在该几何体的棱所表示的向量中，试写出6对夹角为90°的向量．
解析： 由三视图可知此几何体是直三棱柱，且底面△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
其直观图如图．
则夹角为90°的向量如下：与，与，与，与，与，与等．一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于( )
A.
B．3
C．3
D．2
解析： －＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2＝3.
答案： B
2．下列五个命题( )
①|a|2＝a2；②＝；③(a·b)2＝a2·b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
其中正确命题的序号是( )
A．①②③
B．①④
C．②④
D．②⑤
解析： ②向量不能约分，故②错，③(a·b)2＝(|a||b|cos〈a，b〉)2＝|a|2·|b|2cos2〈a，b〉，a2·b2＝|a|2·|b|2，故③错，⑤a·b＝0 a＝0或b＝0或a⊥b，故⑤错．故选B.
答案： B
3．已知非零向量a，b不共线，且其模相等，则a＋b与a－b的关系是( )
A．垂直
B．共线
C．不垂直
D．以上都可能
解析： ∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
∴a＋b与a－b垂直．
答案： A
4．已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6
B．6
C．3
D．－3
解析： 由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，化简向量表达式A－C＋B－D的结果为________．
解析： A－C＋B－D＝－
＝A－C＝2A.
答案： 2A
6．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)
解析： ＝＋＝a＋＝a＋(－)
＝a＋＝a＋×(＋)
＝a＋b＋c.
答案： a＋b＋c
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图所示，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列表达式．
(1)A＋－＋－B；
(2)－A＋A－.
解析： (1)A＋－＋－B
＝A＋＋＋－B
＝A＋(＋)＋(－B)＝A.
(2)－A＋A－＝＋＝＋＝.
8.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－A－A；
(2)设E是棱DD1上的点，且D＝，若E＝xA＋yA＋z，试求x、y、z的值．
解析： (1)∵A＋A＝A，
∴－A－A＝－(A＋A)
＝－A＝－A＝.
(2)∵E＝E＋D＝＋D
＝＋(D＋A)＝＋D＋A
＝A－A－，
∴x＝，y＝－，z＝－.
??☆☆☆
9．(10分)空间四边形OABC的各边和对角线都相等，D、E分别是AB、OC的中点，求异面直线OD与BE所成角的余弦值．
解析： 如图，不妨设空间四边形的边长为1，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝.
∵D、E分别是AB、OC的中点，
∴＝(a＋b)，＝c－b
∴·＝(a＋b)·＝a·c－a·b＋b·c－b2＝×－×＋×－×1＝－.
又∵||＝||＝，
∴cos〈，〉＝＝－，
即与的夹角余弦值为－，
∴异面直线OD与BE的夹角为其补角，余弦值为.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列命题中既是特称命题，又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个x∈R，使x2≤0
C．两个无理数的和是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析： A与C是全称命题，D是特称命题但是假命题，B是特称命题，且x＝0时满足x2≤0，故也是真命题．
答案： B
2．“a∥α，则a平行于α内任一条直线”是( )
A．真命题
B．全称命题
C．特称命题
D．不含量词的命题
解析： 命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．
答案： B
3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
解析： 原命题是全称命题，则其否定为特称命题，
即存在x∈R，x3－x2＋1>0.
答案： C
4．下列命题的否定为真命题的是( )
A．有理数是实数
B．末位数是0的整数能被5整除
C．存在x0∈R，x－3＝0
D．任意的x∈R，x2＋2x>0
解析： A的否定是“存在有理数不是实数”，是假命题；B的否定是“有一个末位数是0的整数不能被5整除”，是假命题；C的否定是“任意x∈R，x2－3≠0”，是假命题；D的否定是“存在x0∈R，x＋2x0≤0”，是真命题．
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________________________________________________________________________．
解析： 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．
答案： 有的向量与零向量不共线
6．给出以下命题：
(1)对任意x∈R，有x4＞x2；
(2)存在α∈R，使sin
3α＝3sin
α；
(3)存在a∈R，对任意x∈R都有x2＋2x＋a＜0，
其中的假命题是________．
解析： (1)它是全称命题，举反例，当x＝时，x4＞x2不成立，是假命题；(2)它是特称命题，当α＝0时，sin
3α＝3sin
α成立，是真命题；(3)令函数y＝x2＋2x＋a，是二次函数，开口方向向上，不存在实数a，使x2＋2x＋a＜0成立，是假命题．
答案： (1)(3)
三、解答题(每题10分，共20分)
7．判断下列命题是特称命题还是全称命题，并判断真假．
(1)正三角形都是等腰三角形；
(2)存在两条异面直线有交点；
(3)任意的偶数都是正数；
(4)存在一条拋物线，其图像的开口向右．
解析： (1)此命题隐含了全称量词“所有的”，是全称命题；而且是真命题；
(2)此命题含有存在量词“存在”，是特称命题；而且是假命题；
(3)此命题含有全称量词“任意的”，是全称命题；而且是假命题；
(4)此命题含有存在量词“存在”，是特称命题；而且是真命题．
8．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)任意x∈R，x2＋x＋1＞0；
(2)存在x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
(3)存在α、β∈R，使sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β；
(4)存在x，y∈Z，使3x－2y≠10.
解析： (1)的否定是“存在x∈R，x2＋x＋1≤0”．假命题．
(2)的否定是“任意x∈Q，x2＋x＋1都不是有理数”．假命题．
(3)的否定是“任意α，β∈R，使sin(α＋β)≠sin
α＋sin
β”．假命题．
(4)的否定是“任意x，y∈Z，使3x－2y＝10”．假命题．
??☆☆☆
9．(10分)若三个方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少存在一个方程有实根，求a的取值范围．
解析： 由x2＋ax＋1＝0无实根，可知a2－4<0，即a2<4；由x2＋2ax＋2＝0无实根，可知a2－2<0，即a2<2；
由x2－ax＋4＝0无实根，
可知a2－16<0，即a2<16；
∴当a2<2，
即－
∴当a≤－或a≥时，
三个方程至少存在一个方程有实根．一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知向量n＝(1,0，－1)与直线l垂直，且l经过点A(2,3,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为( )
A.
B.
C.
D.
解析： ＝(－2,0，－1)，又n与l垂直，所以P到l的距离为＝＝.
答案： B
2．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)、B(5，－6,2)、C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析： ＝(4，－5,0)，＝(0,4，－3)，∴|AC＝5，
∴||＝＝＝4，
∴高BD＝＝＝5.
答案： C
3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A.
B.
C.
D.
解析： 建立如右图所示坐标系，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，O
则＝(1,0,1)，＝，由题意知为平面ABC1D1的法向量，∴O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.
答案： B
4．如图所示，在几何体A－BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为( )
A.
B.
C．2
D.
解析： A＝A＋B＋C，
∵|A|＝|B|＝1＝|C|，
且A·B＝A·C＝B·C＝0.
又∵A2＝(A＋B＋C)2，
∴A2＝3，∴AE的长为.故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________．
解析： 如右图，以BC边上的垂线为y轴，建立空间直角坐标系取BC中点D，则PD的长即为所求，由A(0,0,0)，P(0,0,8)，D(0,4,0)，则||＝＝4.
答案： B
6．已知过点P(1,0,0)的两条直线l1与l2，l1平行于向量s1＝(0,1，－1)，l2平行于向量s2＝(1,1,0)，则点P1(0,1,0)到直线l1与l2确定的平面π的距离为________．
解析： 设平面π的法向量n＝(x，y，z)，
由s1·n＝s2·n＝0得.
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．
又因＝(－1,1,0)，
所以点P1到平面π的距离为
＝＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点B1到直线AC的距离．
解析： 方法一：建立坐标系如图，
B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
∴＝(－1,1,0)，＝(0,1,1)，＝，
∴点B1到直线AC的距离为
d＝＝＝.
方法二：连接AB1，B1C，AC，则△AB1C为正三角形，边长为，而B1到AC的距离就是正三角形一边上的高d＝h＝×＝.
8.如右图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形．E、F分别是AB、PD的中点．若PA＝AD＝3，CD＝.求点F到平面PCE的距离．
解析： 如右图，建立空间直角坐标系A－xyz.
A(0,0,0)，P(0,0,3)，D(0,3,0)，E，F，C(，3,0)．
设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，
＝，＝.
，即.
取y＝－1，得n＝(，－1,1)．
又＝，
故点F到平面PCE的距离为
d＝＝＝.
??☆☆☆
9．(10分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E(不与端点重合)使得点A1到平面AED的距离为？
解析： 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，
y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，设＝λ，λ∈(0,1)，
则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．
又＝(－2,0,1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，设n＝(x，y，z)为平面AED的一个法向量，
则 ，
取x＝1，则y＝，z＝2，
即n＝.
由于d＝＝，
∴＝，
又λ∈(0,1)，解得λ＝.
所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．由下列各组命题构成的复合命题中，“p或q”为真，“p且q”为假，“綈p”为真的一组为( )
A．p：∈Q，q： A
B．p：π＜3，q：5＞3
C．p：a∈{a，b}，q：{a}{a，b}
D．p：QR，q：N＝Z
解析： 若“綈p”为真，则p为假．
又p或q真，p且q假，所以q真．故选B.
答案： B
2．命题p：a2＋b2<0(a、b∈R)，命题q：a2＋b2≥0(a、b∈R)，下列结论正确的是( )
A．“p或q”为真
B．“p且q”为真
C．“綈p”为假
D．“綈q”为真
解析： 因为p为假q为真，所以“p且q”为假；“p或q”为真；“綈p”为真；“綈q”为假．
答案： A
3．(2012·金华高二检测)“p或q为假命题”是“ p为真命题”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： 由“p或q为假命题”可知，p、q均为假命题，故 p为真命题．而由“ p为真命题”可知p为假命题，而q的真假不定，“p或q”也可能是真命题．故选A.
答案： A
4．若p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P的坐标是( )
A．(0，－3)
B．(1,2)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
解析： 由题意知点P的坐标满足，故可验证各选项，只有C正确．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若命题p：不等式ax＋b＞0的解集为，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p且q”“p或q”“ p”中真命题是________．
解析： p与q均为假命题，故“p且q”与“p或q”都假，只有“ p”真．
答案： p
6．设命题p：2x＋y＝3；q：x－y＝6.若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________.
解析： 若p∧q为真命题，则p，q均为真命题，所以有解得
答案： 3 －3
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．分别写出由下列各命题构成的“p且q”、“p或q”、“綈p”形式的命题，并判断真假：
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
解析： (1)p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等，
∵q：梯形有一组对边相等是假命题，
∴p且q是假命题．
p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等，
∵p：梯形有一组对边平行是真命题，
∴命题p或q是真命题．
綈p：梯形没有一组对边平行，
∵p真，∴綈p是假命题．
(2)p且q：－3与－1都是x2＋4x＋3＝0的解，真命题，
p或q：－3或－1是x2＋4x＋3＝0的解，真命题，
綈p：－1不是x2＋4x＋3＝0的解，
∵p是真命题，∴綈p是假命题．
8．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次．设命题p：“第一次射击击中飞机”，命题q：“第二次射击击中飞机”．试用p、q及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：
(1)两次都击中飞机；
(2)恰有一次击中飞机；
(3)两次都没击中飞机；
(4)至少有一次击中飞机．
解析： (1)“两次都击中飞机”是“p且q”；
(2)“恰有一次击中飞机”是“p且非q或q且非p”；
(3)“两次都没击中飞机”是“非p且非q”；
(4)“至少有一次击中飞机”是“p或q”．
??☆☆☆
9．(10分)设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是 ；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p且q为假命题，p或q为真命题．求a的取值范围．
解析： 由命题：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集为 ，可得：Δ＝(a＋1)2－4＜0，解得：－3＜a＜1，即p：－3＜a＜1，
由函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内为增函数，
可得：a＋1＞1，
∴a＞0，即q：a＞0.
如果p且q为假命题，p或q为真命题，则p、q一真一假．
若p真q假，则有：－3＜a≤0，
若p假q真，则有a≥1.
综上所述，a的取值范围为(－3,0]∪[1，＋∞)．一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD，则异面直线AC与BF所成角等于( )
A．45°
B．30°
C．90°
D．60°
解析： 作出图形，建立如右图所示的空间直角坐标系Oxyz，则：A(0,0,0)，C(1,1,0)，F(0,0,1)，B(0,1,0)，
∴A＝(1,1,0)，B＝(0，－1,1)，
∴|A|＝，|B|＝，A·B＝－1，
cos〈A，B〉＝＝－，
∴〈A，B〉＝120°.
又异面直线所成角的取值范围为(0,90°]．
∴AC与BF所成角为60°.故选D.
答案： D
2．若平面α的法向量为u，直线l的方向向量为v，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )
A．cos
θ＝
B．cos
θ＝
C．sin
θ＝
D．sin
θ＝
解析： u与v的夹角的余角才是直线l与平面α所成的角，因此选D.
答案： D
3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
解析： 以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则A(4,0,0)，C(0,4,0)，B(4,4,0)，C1(0,4,2)，
∴＝(－4,4,0)，＝(－4,0,2)，
易知为平面DBB1D1的一个法向量，设BC1与平面DBB1D1的夹角为α，
则sin
α＝|cos〈，〉|＝＝，选C.
答案： C
4．平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )
A．－
B.
C.
D．以上都不对
解析： cos〈n1，n2〉＝＝－，
∴平面α与平面β夹角的余弦值为.故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是________．
解析： 以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则E，F，E＝，D＝(0,1,0)，所以cos〈E，D〉＝＝－，
所以〈E，D〉＝135°，
所以异面直线EF和CD所成的角是45°.
答案： 45°
6．已知平面α过定点A(1,2,1)，且法向量为n＝(1，－1,1)．已知平面外一点P(－1，－5，－1)，求PA与平面α所成角的正弦值________．
解析： P＝(2,7,2)，
则cos〈P，n〉＝＝＝－.
设PA与平面α所成角为θ，则sin
θ＝|cos〈P，n〉|＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC的夹角．
解析： 方法一：因为＝B＋，
A＝A＋B，
所以·A＝(B＋)·(A＋B)
＝B·A＋B·B＋·A＋·B.
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
所以B·B＝0，·A＝0，·B＝0，B·A＝－a2，
所以·A＝－a2.
又cos〈，A〉＝＝＝－，
所以〈，A〉＝120°，所以异面直线BA1和AC的夹角为60°.
方法二：分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)．
∴＝(0，－a，a)，A＝(－a，a,0)．
∴cos〈，A〉＝
＝＝－.
∴〈，A〉＝120°.
∴异面直线BA1和AC的夹角为60°.
8．在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA夹角的正切值．
解析： 建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)、D、C(1,1,0)、S(0,0,1)，
易知平面SAB的一个法向量是＝.
设n＝(x，y，z)是平面SCD的法向量，
则n⊥，n⊥，
即n·＝0，n·＝0，
又＝，＝，
∴x＋y＝0，且－x＋z＝0.
∴y＝－x，且z＝x.
∴n＝.
取x＝1，得n＝.
∴cos〈，n〉＝
＝＝.
设两平面夹角为θ，即cos
θ＝，
∴tan
θ＝.
??☆☆☆
9.(10分)如图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ.
(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；
(2)试确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB的夹角为.
解析： (1)证明：以C为原点．以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，D，V，
于是，＝，＝，＝(－a，a,0)．
从而·＝(－a，a,0)·＝－a2＋a2＋0＝0，即AB⊥CD.
同理·＝(－a，a,0)·＝－a2＋a2＋0＝0，即AB⊥VD.
又CD∩VD＝D，
∴AB⊥平面VCD.又AB 平面VAB.
∴平面VAB⊥平面VCD.
(2)设平面VAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由n·＝0，n·＝0，得，
可取n＝，又＝(0，－a,0)，
于是sin
＝＝＝sin
θ，
即sin
θ＝.
∵0＜θ＜，∴θ＝.
故当θ＝时，直线BC与平面VAB的夹角为.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±2x
C．y＝±x
D．y＝±x
解析： 由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案： C
2．双曲线mx2＋y2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝( )
A．－
B．－4
C．4
D.
解析： 由题意知m＜0，方程化为y2－＝1，
∴a2＝1，b2＝－，又a＝2b，∴a2＝4b2.
∴1＝－，∴m＝－4.
答案： B
3．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析： ∵b＝6，＝，∴a＝8
又焦点在x轴上，∴方程为－＝1.
答案： D
4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析： ∵渐近线方程是y＝x，∴＝.①
∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，∴c＝6.②
又c2＝a2＋b2，③
由①②③知，a2＝9，b2＝27，
此双曲线方程为－＝1.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2011·江西卷)若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.
解析： 由a2＝16，b2＝m，∴c2＝16＋m，＝＝4，
∴m＝48.
答案： 48
6．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．
解析： 双曲线－＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝x或y＝－x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝＝2.
答案： 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)顶点在x轴，两顶点的距离为8，离心率是；
(2)离心率e＝，且过点(4，)．
解析： (1)由已知设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)．
则2a＝8，∴a＝4.
由e＝＝得c＝5.
∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.
∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)e＝，可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵过点(4，)，∴λ＝16－10＝6，
∴双曲线方程为－＝1.
8．直线x＝t过双曲线－＝1的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，若原点在以AB为直径的圆内，求双曲线离心率的取值范围．
解析： 双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由x＝t＝c可得|AB|＝，
又∵原点在以AB为直径的圆内，
∴c＜，∴a＜b，∴＞1，
∵e＝＝，∴e＞，
∴离心率e的取值范围是(，＋∞)．
??☆☆☆
9．(10)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)求△F1MF2的面积．
解析： (1)∵离心率e＝，
∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－)在双曲线上，知λ＝42－(－)2＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6，
即－＝1.
(2)证明：若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3.
由双曲线x2－y2＝6知，F1(2，0)，F2(－2，0)，
∴·＝(2－3，－m)·(－2－3，－m)
＝9－(2)2＋m2＝0.
∴⊥，故点M在以F1F2为直径的圆上．
(3)S△F1MF2＝×2c×|m|＝c|m|＝2×＝6.(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( )
A．6
B．12
C．12
D．24
解析： 由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，
|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2c＝2.
由余弦定理得cos
∠F1PF2＝＝0.
∴三角形为直角三角形．
∴S△PF1F2＝×6×4＝12.
答案： B
2．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为( )
A．x2－y2＝1
B．x2－y2＝2或x2－y2＝－2
C．x2－y2＝
D．x2－y2＝或x2－y2＝－
解析： 由题意，设双曲线方程为－＝1(a＞0)，
则c＝a，渐近线为y＝x，∴＝，∴a2＝2.
∴双曲线方程为x2－y2＝2.若焦点在y轴上，双曲线方程为x2－y2＝－2.
答案： B
3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两渐近线含实轴的夹角为θ，离心率e∈[，2]，则θ的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析： 由e2＝＝1＋∈[2,4]，可得1≤≤，故两渐近线含实轴的夹角范围为，故选C.
答案： C
4．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为( )
A.
B.
C.
D.
解析： 不妨设点P(x0，y0)在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得|PF1|＝e＝a＋ex0＝1＋x0，
|PF2|＝e＝ex0－a＝x0－1.
由余弦定理得cos∠F1PF2＝，
即cos
60°＝，
解得x＝，所以y＝x－1＝，
故P到x轴的距离为|y0|＝.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则|PF1|·|PF2|＝________.
解析： ∵·＝0，∴⊥.
又||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝20，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|
＝20－2|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝2.
答案： 2
6．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l与双曲线有唯一的交点，则直线l的斜率等于________．
解析： 要使过右焦点F的直线l与双曲线有唯一的交点，则直线l应平行于双曲线的渐近线，又双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故直线l的斜率为±1.
答案： ±1
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．
解析： 由于椭圆焦点为F(0，±4)，离心率为e＝，
所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c＝4，a＝2，
b＝2，
所以所求双曲线方程为－＝1.
8．已知双曲线中心在原点，以坐标轴为对称轴，并且与圆x2＋y2＝17相交于A(4，－1)，若圆在点A的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的方程．
解析： ∵圆x2＋y2＝17在点(4，－1)处的切线方程为4x－y＝17，
∴双曲线的渐近线为y＝4x，
(1)当双曲线的焦点在x轴上时，
由解得，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)当双曲线的焦点在y轴上时，
由无解．
综上，双曲线方程为－＝1.
??☆☆☆
9．(10分)设双曲线C：－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求实数a的取值范围．
(2)设直线l与y轴的交点为P，取＝，求a的值．
解析： (1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1(a＞0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
依题意
又a＞0，∴0＜a＜且a≠1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为＝，所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．由此得x1＝x2.
由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，
所以x2＝－，x＝－.
消去x2得－＝.
由a＞0，解得a＝.一、选择题(每小题5分，共20分)
1．过点P(1,1)作直线与拋物线y2＝2x只有一个公共点，这样的直线的条数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 由于点P(1,1)在拋物线y2＝2x内部，所以只有一条平行于x轴的直线与拋物线只有一个公共点．故选A.
答案： A
2．已知抛物线y2＝8x的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率为2，则弦AB的长为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
解析： 由y2＝8x得p＝4，焦点(2,0)，则直线方程为y＝2(x－2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由有x2－6x＋4＝0，
∴x1＋x2＝6.
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10.
答案： C
3．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．至多一个
B．2个
C．1个
D．0个
解析： 由题意，>2可得m2＋n2<4，所以(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，椭圆中，短半轴长为2，结合图形可得有两个交点，故选B.
答案： B
4．若椭圆＋＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为( )
A．2
B．－2
C.
D．－
解析： 设弦端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，
∴ x－x＝－4(y－y)
k＝＝－
＝－＝－.故选D.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知动点P的坐标(x，y)满足＝，则动点P的轨迹是________．
解析： 原等式即点P到(1,1)的距离与到直线x＋y＋2＝0的距离之比为，故点P的轨迹为椭圆．
答案： 椭圆
6．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________．
解析： 由得(1－k2)x2－4kx－10＝0，
当时，
直线与双曲线右支有两个不同交点，解得－答案： －三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(2011·黄冈高二检测)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
解析： (1)∵|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，
∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝3|AB|＝4a＝4，∴|AB|＝.
(2)设直线的方程为y＝x＋c，
由得(b2＋1)x2＋2cx＋c2－b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
＝
＝ ①
又c2＝1－b2 ②
由①、②解得b＝.
8．(2011·中山高二检测)已知顶点在原点O，准线方程是y＝－1的拋物线与过点M(0,1)的直线l交于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为1，
(1)求此拋物线的标准方程；
(2)求直线l的方程；
(3)求直线l与拋物线相交弦AB的弦长．
解析： (1)由题意可知拋物线焦点在y轴正半轴，设拋物线的标准方程为x2＝2py，
由准线方程是y＝－1，可得p＝2.
所以拋物线的标准方程为x2＝4y.
(2)设直线l的方程为：y＝kx＋1，
代入拋物线的标准方程消y整理得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1 ①
因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，
代入①，得2k＋＝1 ②
因为x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，代入②得k＝1.
所以直线l的方程为：y＝x＋1.
(3)将直线方程与拋物线的标准方程联立得：，
消y整理得x2－4x－4＝0.
∴|AB|＝|x1－x2|＝＝8.
??☆☆☆
9．(10分)(2011·广东惠州一模)已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
解析： (1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，
则右焦点F(，0)，
由题设得＝3，解得a2＝3.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P为弦MN的中点，
由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
∵直线与椭圆相交，
∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)＞0 m2＜3k2＋1. ①
∴xP＝＝－，从而yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝＝－，
又∵|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
则－＝－，即2m＝3k2＋1. ②
把②代入①得m2＜2m，解得0＜m＜2；
由②得k2＝＞0，解得m＞.
综上求得m的取值范围是＜m＜2.