第二章 2.2 2.2.2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三个内角都小于60°
B．假设三个内角都大于60°
C．假设三个内角至多有一个大于60°
D．假设三个内角至多有两个大于60°
解析： “至少有一个”的反设词是“一个也没有”，故选A.
答案： A
2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数
解析： 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数，故选D.
答案： D
3．下列四个命题中错误的是( )
A．在△ABC中，若∠A＝90°，则∠B一定是锐角
B．，，不可能成等差数列
C．在△ABC中，若a>b>c，则∠C>60°
D．若n为整数且n2为偶数，则n是偶数
解析： 显然A、B、D命题均真，C项中若a>b>c，
则∠A>∠B>∠C，
若∠C>60°，则∠A>60°，∠B>60°，
∴∠A＋∠B＋∠C>180°与∠A＋∠B＋∠C＝180°矛盾，故选C.
答案： C
4．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析： 用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q>2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的，故选D.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定是________．
解析： 命题的结论为a>b，其否定为a
答案： a≤b
6．与两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．
解析： 假设AC与BD相交或平行，则AC与BD共面，
∴AB与CD共面，这与AB与CD是异面直线相矛盾．
∴假设错误，
∴AC，BD异面．
答案： 异面
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
证明： 假设，，成等差数列，则
＋＝2，即a＋c＋2＝4b，
而b2＝ac，即b＝，
∴a＋c＋2＝4，
∴(－)2＝0.
即＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
8．求证方程2x＝3有且仅有一个实根．
证明： ∵2x＝3，
∴x＝log2
3，这说明方程有一个实根．
下面用反证法证明根的唯一性．
假设方程2x＝3有两个实根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1，
如果b1－b2＞0，则2b1－b2＞1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
如果b1－b2＜0，则2b1－b2＜1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2相矛盾．
如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．
故方程2x＝3有且只有一个实根．
???
☆☆☆
(10分)已知方程x2－4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
解析： 设三个方程都没有实根，则有
∴－∴当三个方程中至少有一个方程有实根时，a的取值范围是第二章 2.3
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
A．1＋a
B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3
D．1＋a＋a2＋a3＋a4
解析： 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
答案： C
2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需要增乘的代数式为( )
A．2(2k＋1)
B．2k＋1
C．
D．
解析： 当n＝k时，等式左端为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，
当n＝k＋1时，等式左端为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋k＋1)(2k＋2)，
∴从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需增乘的式子为2(2k＋1)．
答案： A
3．若命题A(n)(n∈N
)n＝k(k∈N
)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N
)时命题成立．则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
解析： 由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．
答案： C
4．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N
)( )
A．f(k)＋k－1
B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k
D．f(k)＋k－2
解析： 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．
猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，
则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．
解析： ∵210＝1
024>103,29＝512<93，
∴填10.
答案： 10
6．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N
)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N
，等式都成立．
上述证明的错误是________．
解析： 本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．
答案： 未用归纳假设
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．
证明： (1)当n＝1时，左边＝1－＝＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
当n＝k＋1时，1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋…＋＋＋，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)和(2)，知等式对所有n∈N＋都成立．
8．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N
)．
证明： (1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，
∴≤1＋≤，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N
都成立．
???
☆☆☆
(10分)是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立，并证明你的结论．
解析： 将n＝1,2,3分别代入等式得方程组：
解得a1＝6，a2＝9，a3＝12，
设等差数列{an}的公差为d，则d＝3，从而an＝3n＋3.
故存在一个等差数列an＝3n＋3，
使得当n＝1,2,3时，等式成立．
下面用数学归纳法证明结论成立．
①当n＝1时，结论显然成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N
)时，等式成立，即a1＋2a2＋3a3＋…＋kak
＝k(k＋1)(k＋2)．
那么当n＝k＋1时，
a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＋(k＋1)ak＋1
＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]
＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)
＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]
所以当n＝k＋1时结论也成立．
由①②知存在一个等差数列an＝3n＋3，
使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立．第三章 3.2 3.2.2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知i为虚数单位，z＝，则复数z对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： z＝＝
＝＝＋i.
∴复数z对应的点为，位于第一象限．
答案： A
2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝( )
A．
B．
C．1
D．2
解析： 方法一：|z|＝＝
＝＝.
∴z＝|z|2＝，
故选A.
方法二：z＝＝
＝
＝＝
＝.
则＝－－i，
z·＝
＝＋＝，
故选A.
答案： A
3．已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋i，若z1·z2为纯虚数，则实数a的值为( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析： 因为z1·z2＝(a－1)＋(a＋1)i为纯虚数，
所以，解得a＝1.
答案： B
4．已知i是虚数单位，2
012等于( )
A．－1
B．1
C．i
D．－i
解析： ∵＝＝＝－i，
∴2
012＝(－i)2
012＝i503×4＝i4＝1.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知复数z＝，则复数z的共轭复数为________．
解析： z＝＝＝－i＋1，
∴＝1＋i.
答案： 1＋i
6．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝__________ .
解析： 利用复数相等的条件求出a，b的值．
＝
＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i.
∴解得∴a＋b＝3.
答案： 3
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．计算：(1)i2
009＋(＋i)8－50＋；
(2)＋(2＋i)·(1－i)．
解析： (1)i2
009＝i4×502＋1＝i，(＋i)8＝[2(1＋i)2]4＝(4i)4＝44＝256，50＝25＝25＝(－i)25＝－i，＝＝i，
所以原式＝i＋256＋i＋i＝256＋3i.
(2)原式＝＋3－i2－i
＝i(－1－2i)＋4－i
＝－i＋2＋4－i＝6－2i.
8．已知复数z满足＝2i，求复数z对应点坐标．
解析： 方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则＝＝2i，
得x＋yi＝－2y＋2(x－1)i，
则 ，
则复数z＝－i.
即复数z对应点为.
方法二：由＝2i，得z＝(z－1)2i＝2zi－2i，
则z(1－2i)＝－2i，
∴z＝＝
＝＝－i.
即z对应点为.
???
☆☆☆
9．(10分)已知z＝1＋i，a，b为实数．
(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；
(2)若＝1－i，求a，b的值．
解析： (1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，
所以|ω|＝.
(2)由条件，得＝1－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，
所以解得第三章 3.1 3.1.2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： 复数z1＝2－ai对应的点为(2，－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i，它对应点的点在第二象限，故选B.
答案： B
2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是( )
A．(1，)
B．(1，)
C．(1,3)
D．(1,5)
解析： |z|＝，
∵0＜a＜2，
∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．
答案： B
3．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为( )
A．1－2i
B．－1＋2i
C．3＋4i
D．－3－4i
解析： 由题意知＝(2,1)，＝(－1，－3)．
＝＋＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，
∴对应的复数为－3－4i.
答案： D
4．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应点的轨迹是( )
A．一条直线
B．两条直线
C．圆
D．椭圆
解析： 设z＝x＋yi，
∵|z－i|＝|3＋4i|，
∴＝5.
则x2＋(y－1)2＝25，
∴复数z对应点的轨迹是圆．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．复平面内长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C所对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数为________．
解析： 由题意可知A(2,3)，B(3,2)，C(－2，－3)，设D(x，y)，则＝，即(x－2，y－3)＝(－5，－5)，解得故D点对应的复数为－3－2i.
答案： －3－2i
6．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是________．
解析： ∵|z1|＝，|z2|＝，
∴＜，∴－1＜a＜1.
答案： (－1,1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．写出如图所示复平面内各点所表示的复数(每个正方格的边长为1)．
解析： 如题图所示，点A的坐标为(4,3)，
则点A对应的复数为4＋3i.
同理可知点B，C，F，G，H，O对应的复数分别为：
3－3i，－3＋2i，－2,5i，－5i,0.
8．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i.则当m为何值时，
(1)z∈R
(2)z是纯虚数？
(3)z对应的点位于复平面第二象限？
(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上？
解析： 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；当a＜0，b＞0时，z对应的点位于复平面的第二象限；复数z对应的点的坐标是直线方程的解，则这个点就在这条直线上．
(1)由m2＋2m－3＝0且m－1≠0，得m＝－3.故当m＝－3时，z∈R.
(2)由
解得m＝0，或m＝－2.
故当m＝0，或m＝－2时，z为纯虚数．
(3)由解得m＜－3.
故当m＜－3时，z对应的点位于复平面的第二象限．
(4)由＋(m2＋2m－3)＋3＝0，
解得m＝0或m＝－2.
故当m＝0或m＝－2时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
???
☆☆☆
9．(10分)已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
解析： (1)|z1|＝|＋i|＝＝2，
|z2|＝
＝1，
∴|z1|>|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．第二章 2.2 2.2.1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．欲证不等式－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
解析： 要证－<－成立，只需证＋<＋成立，只需证(＋)2<(＋)2成立．
答案： C
2．使不等式<成立的条件是( )
A．a>b
B．aC．a>b且ab<0
D．a>b且ab>0
解析： 要使<，须使－<0，即<0.
若a>b，则b－a<0，ab>0.
若a0，ab<0.
答案： D
3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．a≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2
D．a2＋b2≤3
解析： ∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
答案： C
4．已知p＝a＋(a＞2)，q＝2－x2＋4x－2(x＞0)，则( )
A．p＞q
B．p＜q
C．p≥q
D．p≤q
解析： p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4.q＝2－x2＋4x－2＝2－(x－2)2＋2≤4.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．命题“函数f(x)＝x－xln
x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln
x取导得f′(x)＝－ln
x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln
x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
解析： 该证明过程符合综合法的特点．
答案： 综合法
6．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是__________ .
解析： a＋b>a＋b a－a>b－b
a(－)>b(－) (a－b)(－)>0
(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案： a≥0，b≥0且a≠b
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在△ABC中，＝，证明：B＝C.
证明： 在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.
于是sin
Bcos
C－cos
Bsin
C＝0，
因sin(B－C)＝0，
因为－π所以B＝C.
8．已知a>0，b>0，求证：＋≥＋.
证明： 方法一：(综合法)因为a>0，b>0，所以＋－－＝＋＝＋＝(a－b)＝≥0，所以＋≥＋.
方法二：(分析法)要证＋≥＋，只需证a＋b≥a＋b，即证(a－b)(－)≥0，因为a>0，b>0，所以a－b与－符合相同，不等式(a－b)(－)≥0成立，所以原不等式成立．
???
☆☆☆
(10分)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3.
证明： 证法一：(分析法)
要证＋＋>3.
只需证明＋－1＋＋－1＋＋－1>3，
即证＋＋＋＋＋>6，
而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数，
∴＋>2，＋>2，＋>2.
∴＋＋＋＋＋>6.
∴＋＋>3得证．
证法二：(综合法)
∵a，b，c全不相等
∴与，与，与全不相等．
∴＋>2，＋>2，＋>2，
三式相加得＋＋＋＋＋>6，
∴＋＋>3.
即＋＋>3.第一章 1.5 1.5.3
1．由定积分的几何意义可得dx的值等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 定积分dx等于直线y＝与x＝0，x＝2，y＝0围成三角形的面积S＝×2×1＝1.
答案： A
2．已知f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于( )
A．0
B．4
C．8
D．16
解析： ∵被积函数f(x)是偶函数，
∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形的面积相等．
∴f(x)dx＝2f(x)dx＝2×8＝16.
答案： D
3．定积分xdx与dx的大小关系是( )
A．xdx＝dx
B．xdx>dx
C．xdxD．无法确定
解析： 由定积分的几何意义结合右图可知xdx4．函数y＝(cos
t＋t2＋2)dt(x>0)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．以上都不正确
解析： y＝＝2sin
x＋＋4x，为奇函数．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．定积分|x|dx＝________.
解析： 如图，|x|dx＝＋2＝.
答案：
6．下列等式成立的是________．(填序号)
①[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx；
②[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a；
③f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx；
④sin
xdx＝sin
xdx＋sin
xdx.
解析： 利用定积分的性质进行判断③不成立．
例如xdx＝，x2dx＝，x3dx＝，但x3dx≠xdx·x2dx.
答案： ①②④
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知exdx＝e－1，exdx＝e2－e，x2dx＝，dx＝2ln
2.求：
(1)exdx；
(2)(ex＋3x2)dx；
(3)dx.
解析： (1)exdx＝exdx＋exdx
＝e－1＋e2－e＝e2－1.
(2)(ex＋3x2)dx＝exdx＋(3x2)dx
＝exdx＋3x2dx＝e2－1＋8＝e2＋7.
(3)dx＝exdx＋dx
＝e2－e＋ln
2.
8．已知函数f(x)＝，求f(x)在区间[－1,3π]上的定积分．
解析： 由定积分的几何意义知
x5dx＝0.sin
xdx＝0(如图所示)．
f(x)dx＝x5dx＋xdx＋sin
xdx
＝xdx＝(π2－1)．
??
☆☆☆
9．(10分)计算
(－x3)dx的值．
解析： 如图，
由定积分的几何意义，得dx＝＝，
x3dx＝0.
由定积分的性质，得
(－x3)dx＝dx－x3dx＝.第一章 1.5 1.5.1、2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )
A．y＝x2
B．y＝|x|
C．y＝
D．y＝
解析： 由于函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线．
答案： D
2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替( )
A．f
B．f
C．f
D．f(0)
解析： 当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
答案： C
3．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
A．
B．
C．
D．
解析： 将区间[0,1]三等分为，，，各小矩形的面积和为s1＝03·＋3·＋3·＝.
答案： A
4．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 将区间[0，a]n等分，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则Sn＝2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝·，依题意得
·＝9，∴＝9，解得a＝3.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
解析： ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
答案： 55
6．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________．
解析： 由题意得
S＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33.
答案： 0.33
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝所围成的曲边梯形的面积．
解析： 令f(x)＝.
(1)分割
将区间[0,2]n等分，分点依次为
x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.
第i个区间为(i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝·Δx＝2··＝2
＝(12＋22＋…＋n2)＝·
＝.
(3)取极限S＝Sn＝
＝，即所求曲边梯形的面积为.
8．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动．在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
解析： ①分割：将时间区间[0,1]分为n等份，形成n个小区间[ti－1，ti]＝(i＝1,2，…，n)，且每个小区间长度为Δti＝(i＝1,2，…，n)．汽车在每个时间段上行驶的路程分别记作：Δs1，Δs2，…，Δsn.
则显然有s＝si.
②近似代替：当n很大，即Δt很小时，在区间上，函数v(t)＝－t2＋2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值v＝－2＋2.从物理意义看，就是汽车在时间段(i＝1,2，…，n)上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度v＝－2＋2做匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”．于是
Δsi≈Δs′i＝vΔt＝·
＝－2·＋(i＝1,2，…，n)．
(
)
③求和：由(
)得sn＝s′i＝Δt
＝
＝－0·－2·－…－2·＋2
＝－[12＋22＋…＋(n－1)2]＋2
＝－·＋2
＝－＋2.
④取极限：当n趋向于无穷大，即Δt趋向于0时，
sn＝－＋2趋向于s，从而有
s＝sn＝v
＝
＝.
???
☆☆☆
9．(10分)求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝x3所围成的图形的面积．
解析： ①分割
如图所示，用分点，，…，，把区间[1,2]等分成n个小区间，，…，，…，，每个小区间的长度为Δx＝－＝(i＝1,2,3，…，n)．过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
②近似代替
各小区间的左端点为ξi，取以点ξi的纵坐标ξ为一边，以小区间
长Δx＝为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξ·Δx＝3·(i＝1,2,3，…，n)．
③求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即S＝Si≈3·.
④取极限
当分点数目越多，即Δx越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD的面积S.因此n→∞，即Δx→0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形ABCD的面积．
因为3·＝(n＋i－1)3
＝(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3]
＝[n(n－1)3＋3(n－1)2·＋3(n－1)··(n＋1)·(2n＋1)＋n2(n＋1)2]，
所以S＝3·
＝1＋＋1＋＝.第一章 1.6
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列各式中错误的是( )
A．sin
φdφ＝1
B.
cos
φdφ＝1
C．exdx＝－1
D．dx＝1
解析： sin
φdφ＝(－cos
φ)＝－0－(－1)＝1，
cos
φdφ＝sin
φ＝1－0＝1，
exdx＝ex＝ee－e，
dx＝ln
x＝ln
e－0＝1.
故选C.
答案： C
2．已知f(x)是一次函数且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为( )
A．4x＋3
B．3x＋4
C．－4x＋3
D．－3x＋4
解析： 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则xf(x)＝ax2＋bx，
f(x)dx＝＝＋b＝5，
①
xf(x)dx＝＝＋＝，
②
联立①②得 ，
∴f(x)＝4x＋3，
故选A.
答案： A
3．若dx＝，则b＝( )
A．
B．2
C．3
D．4
解析： dx＝－＝－＝，解得b＝2.
答案： B
4．设f(x)＝，则f(x)dx等于( )
A．
B．
C．
D．不存在
解析： f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋＝.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.
解析： 由f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝－1，
知f(x)dx＝－1－f(x)dx＝－2.
答案： －2
6．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
解析： f(x)dx＝＝＋c，
又f(x0)＝f(x)dx，
∴＋c＝ax＋c，∴x＝，
∴x0＝±，又0≤x0≤1，
∴x0＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．计算下列定积分．
(1)
(1＋x＋x2)dx；
(2)
(3x2－2x＋5)dx；
(3)(cos
x－sin
x)dx；
(4)dx.
解析： (1)(1＋x＋x2)dx＝1dx＋xdx＋x2dx
＝x＋x2＋x3
＝(3－1)＋(32－12)＋(33－13)
＝.
(2)(3x2－2x＋5)dx＝3x2dx－2xdx＋5dx
＝x3－x2＋5x＝(53－23)－(52－22)＋5(5－2)
＝111.
(3)(cos
x－sin
x)dx＝(sin
x＋cos
x)
＝(sin
2π＋cos
2π)－(sin
0＋cos
0)＝0.
(4)dx＝(ex－ln
x)
＝(e2－ln
2)－(e1－ln
1)
＝e2－e－ln
2.
8．(1)求函数f(x)＝在区间[0,3]上的定积分；
(2)求
(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
解析： (1)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx
＝x3dx＋dx＋2xdx
＝x4＋x＋
＝＋－＋－
＝－＋＋.
(2)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝
∴
(|2x＋3|＋|3－2x|)dx
??
☆☆☆
9．(10分)已知函数f(x)＝
(at2＋bt＋1)dt为奇函数，且f(1)－f(－1)＝，试求a，b的值．
解析： f(x)＝
(at2＋bt＋1)dt
＝＝x3＋x2＋x.
∵f(x)为奇函数，
∴＝0，即b＝0.
又∵f(1)－f(－1)＝，∴＋1＋＋1＝，
∴a＝－.第一章 1.3 1.3.1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列函数中，在(2，＋∞)内为增函数的是( )
A．3sin
x
B．(x－3)ex
C．x3－15x
D．ln
x－x
解析： (3sin
x)′＝3cos
x，[(x－3)ex]′＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，(x3－15x)′＝3x2－15，(ln
x－x)′＝－1，当x>2时，只有[(x－3)ex]′>0恒成立，故选B.
答案： B
2．已知函数f(x)＝＋ln
x，则有( )
A．f(e)B．f(3)C．f(e)D．f(2)解析： f′(x)＝＋，∴x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
又2答案： D
3．函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： 设f′(x)与x轴交于x0，显然x0<0，
当x当x>x0时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．
显然f(x0)答案： C
4．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则( )
A．a≥
B．a＝1
C．a＝2
D．a≤0
解析： 因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，
即3ax2≤1恒成立．
当x＝0时，0≤1恒成立，此时a∈R；
当x≠0时，若a≤恒成立，则a≤0.
综上可得a≤0.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析： f′(x)＝－x＋，
∵f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
∴b≤x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立，
又x∈(－1，＋∞)时，x(x＋2)>－1，
∴b≤－1.
答案： (－∞，－1]
6．设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是__________ .
解析： f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝3ax2＋1.
若a>0，则f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，此时，f(x)只有一个单调区间，与已知矛盾；
若a＝0，则f(x)＝x，此时，f(x)也只有一个单调区间，亦与已知矛盾；
若a<0，则f′(x)＝3a，
综上可知a<0时，f(x)恰有三个单调区间．
答案： (－∞，0)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－ln
x.
解析： (1)f′(x)＝1－3x2，
令1－3x2>0，解得－因此，函数f(x)的单调增区间为.
令1－3x2<0，解得x<－或x>.
因此，函数f(x)的单调减区间为，.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为.
8．(2014·济宁高二期末)求函数f(x)＝(a＋1)ln
x＋ax2＋1的单调区间．
解析： f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)单调递增．
当a≤－1时，f′(x)<0，
故f(x)在(0，＋∞)单调递减．
当－1解得x＝
则当x∈时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
???
☆☆☆
9．(10分)已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解析： (1)由已知f′(x)＝3x2－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．
即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵3x2≥0，∴只要a≤0.
又∵a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
∴f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．
∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．
又∵－1当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，
即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．第一章 1.1 1.1.3
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为( )
A．4
B．16
C．8
D．2
解析： 因为＝＝4x＋2Δx，所以
f′(x)＝
＝
(4x＋2Δx)＝4x.
则点A处的切线斜率k＝f′(2)＝8.
答案： C
2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0
B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0
D．2x－y－1＝0
解析： 由导数定义求得y′＝2x，
∵抛物线y＝x2的切线与直线2x－y＋4＝0平行，
∴y′＝2x＝2 x＝1，即切点为(1,1)，
∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0，故选D.
答案： D
3．已知曲线y＝x3上过点(2,8)的切线方程为12x－ay－16＝0，则实数a的值为( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析： ∵y′|x＝2＝
＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12，
∴＝12，∴a＝1.故选B.
答案： B
4．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则切点坐标为( )
A．(2,3)
B．(3,8)
C．(4,15)
D．(－2,3)
解析： 由导数定义求得y′＝2x，设切点坐标为(x0，y0)，
则由题意知y′|x＝x0＝4，即2x0＝4，
∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故选A.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．
解析： 根据题意可设切点为P(x0，y0)，
因为Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x)
＝2xΔx＋(Δx)2－3Δx，
＝2x＋Δx－3，
所以f′(x)＝
＝
(2x＋Δx－3)＝2x－3.
由f′(x0)＝0，即2x0－3＝0，得x0＝，
代入曲线方程得y0＝－，
所以P.
答案：
6．给出下列四个命题：
①若函数f(x)＝，则f′(0)＝0；
②曲线y＝x3在点(0,0)处没有切线；
③曲线y＝在点(0,0)处没有切线；
④曲线y＝2x3上一点A(1,2)处的切线斜率为6.
其中正确命题的序号是________．
解析： ①f(x)＝在点x＝0处导数不存在．
②y＝x3在点(0,0)处切线方程为y＝0.
③y＝在点(0,0)处切线方程为x＝0.
④k＝y′|x＝1＝
＝6.
故只有④正确．
答案： ④
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
解析： 曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)的斜率
k＝y′|x＝1＝
＝
(3Δx＋2)＝2.
∴过点P(－1,2)直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
8．(1)已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．
(2)在曲线y＝x2上哪一点处的切线，满足下列条件：
①平行于直线y＝4x－5；
②垂直于直线2x－6y＋5＝0；
③与x轴成135°的倾斜角．
分别求出该点的坐标．
解析： (1)设切点P(x0，y0)，
由y′＝
＝
＝
(4x＋2Δx)＝4x，
得k＝y′|x＝x0＝4x0，根据题意4x0＝8，
x0＝2，代入y＝2x2－7得y0＝1.
故所求切点为P(2,1)．
(2)f′(x)＝
＝
＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
①因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．
②因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0·＝－1，得
x0＝－，y0＝，即P.
③因为切线与x轴成135°的倾斜角，则其斜率为－1.
即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P.
???
☆☆☆
9．(10分)已知抛物线y＝x2，直线l：x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线l的最短距离．
解析： 根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝
＝2x0＝1，
所以x0＝，
所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.第一章 1.3 1.3.2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－1，极大值1
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2
D．极小值－1，极大值3
解析： y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝±1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
递减
极小值
递增
极大值
递减
所以当x＝－1时取得极小值－1，当x＝1时取得极大值3.
答案： D
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
解析： 由导数与函数极值的关系知，当f′(x0)＝0时，在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x)在x＝x0处取得极小值，设y＝f′(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．
答案： C
3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
解析： 方法一：由y＝f′(x)的图象可以清晰地看出，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，则f(x)为减函数，只有C项符号，故选C.
方法二：在导函数f′(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由此可知原函数f(x)在x＝0时取得极大值．又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x＝2时取得极小值，只有选项C符合，故选C.
答案： C
4．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，则a，b的值为( )
A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11
B．a＝－4，b＝2或a＝－4，b＝11
C．a＝－4，b＝11
D．以上都不对
解析： f′(x)＝3x2－2ax－b，f′(1)＝0即2a＋b＝3 ①，
f(1)＝a2－a－b＋1＝10，即a2－a－b＝9 ②，
解由①②组成的方程组，得a＝－4，b＝11(有极值)或a＝3，b＝－3(舍去，无极值)．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
解析： f′(x)＝
＝
由题意知f′(1)＝0，
∴＝0，解得a＝3.
经验证，a＝3时，f(x)在x＝1取得极值．
答案： 3
6．若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．
解析： 函数f(x)为三次函数，其导函数f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)为二次函数，要使函数f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2.
答案： a＜－1或a＞2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．设f(x)＝aln
x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解析： (1)因f(x)＝aln
x＋＋x＋1.
故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln
x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，
x2＝－.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，函数有极大值3.
(1)求a，b的值；
(2)求函数的极小值．
解析： (1)∵当x＝1时，函数有极大值3.f′(x)＝3ax2＋2bx
∴
∴
解之得a＝－6，b＝9.经验证a＝－6，b＝9符合题意．
∴a＝－6，b＝9.
(2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
当f′(x)＝0时，x＝0或x＝1.
当f′(x)>0时，0当f′(x)<0时，x<0或x>1.
∴函数f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为f(0)＝0.
???
☆☆☆
9．(10分)已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解析： (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0解得x<－，或x>，
由f′(x)<0解得－∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值
f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．第一章 1.7 1.7.1
1．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为( )
A．
B．
C．ln
2
D．2ln
2
解析： S＝dx＝ln
2－ln＝2ln
2，故选D.
答案： D
2．如图，两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是( )
A．6
B．9
C．12
D．3
解析： 由
解得交点(－1,2)，(2，－1)，
所以S＝
[(3－x2)－(x2－2x－1)]dx
＝
(－2x2＋2x＋4)dx
＝
＝9，故选B.
答案： B
3．如图，阴影部分面积为( )
A．
[f(x)－g(x)]dx
B．
[g(x)－f(x)]dx＋
[f(x)－g(x)]dx
C．
[f(x)－g(x)]dx＋
[g(x)－f(x)]dx
D．
[g(x)－f(x)]dx
解析： ∵在区间(a，c)上g(x)>f(x)，而在区间(c，b)上g(x)∴S＝
[g(x)－f(x)]dx＋
[f(x)－g(x)]dx，故选B.
答案： B
4．由y＝x2，y＝，y＝1所围成的图形的面积为( )
A．
B．
C．2
D．1
解析： 因为曲线所围成的图形关于y轴对称，如图所示，面积S满足
S＝x2dx＋1dx－dx
＝＋x－＝，
所以S＝，
故选A.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图所示，由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
解析： 由，得交点坐标为(1,5)，(4,20)，
∴所求面积S＝
(x2＋4－5x)dx＋
(5x－x2－4)dx
＝＋＝.
答案：
6．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围图形的面积为________．
解析： 由y′＝－2x＋4得在点A，B处切线的斜率分别为2和－2，则直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，
由得两直线交点坐标为C(2,2)，
∴S＝S△ABC－
(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－＝2－＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形的面积．
解析： 作出图形，
S＝
(ex－e－x)dx
＝(ex＋e－x)
＝e＋e－1－e0－e0
＝e＋－2.
8．求由曲线y＝与直线y＝2－x，y＝－x围成的图形的面积．
解析： 由曲线y＝与直线y＝2－x，y＝－x围成的图形大致如下图所示，
由
可得交点A(1,1)，O(0,0)，B(3，－1)．
所以所求面积为
S＝dx＋dx
＝＋
＝＋6－3－2＋＝.
??
?☆☆☆
9．(10分)过原点的直线l与抛物线y＝x2－4x所围成图形的面积为36，求l的方程．
解析： 由题意可知直线的斜率存在，故设直线l的方程为
y＝kx，
则由
得或
(1)当k＋4>0，即k>－4时，
面积S＝(kx－x2＋4x)dx
＝
＝k(k＋4)2－(k＋4)3＋2(k＋4)2
＝(k＋4)3＝36，
∴k＝2，故直线l的方程为y＝2x；
(2)当k＋4<0，即k<－4时，
S＝(kx－x2＋4x)dx
＝
＝－
＝－(k＋4)3＝36，
∴k＝－10，故直线l的方程为y＝－10x.
综上，直线l的方程为y＝2x或y＝－10x.第一章 1.1 1.1.1、2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f(x)＝2x2－1在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率等于( )
A．4
B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2
D．4x
解析： 因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，
所以＝4＋2Δx，故选B.
答案： B
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.41
B．2
C．0.3
D．0.2
解析： ＝＝2.
答案： B
3．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3
B．2
C．3
D．－2
解析： 根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.
答案： C
4．若f(x)在x＝x0处存在导数，则
( )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．以上答案都不对
解析： 由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于________．
解析： ＝＝4＋2Δx.
答案： 4＋2Δx
6．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是__________ .
解析： ∵＝＝－Δx－3，
∴
＝－3.
答案： －3
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数y＝x2－2x＋1在x＝2附近的平均变化率．
解析： 设自变量x在x＝2附近的变化量为Δx，则y的变化量Δy＝[(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋1]－(22－4＋1)＝(Δx)2＋2Δx，
所以，平均变化率＝＝Δx＋2.
8．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，求常数a.
解析： 因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
所以＝4a＋aΔt，
即当t＝2时，瞬时速度为
＝4a，即4a＝8.所以a＝2.
???
☆☆☆
9．(10分)已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．
解析： ∵f′(x0)＝
＝
＝
＝
(－8＋2x0＋Δx)
＝－8＋2x0，
∴－8＋2x0＝4，解之得x0＝3.第三章 3.1 3.1.1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： a＝0时，a＋bi不一定为纯虚数，因为a＝0，b＝0时，a＋bi＝0，当a＋bi为纯虚数时a＝0.
答案： B
2．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为( )
A．x＝0且y＝3
B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝2
D．x＝3且y＝0
解析： 由得故选A.
答案： A
3．复数(2x2＋5x＋2)＋(x2＋x－2)i为虚数，则实数x满足( )
A．x＝－
B．x＝－2或x＝－
C．x≠－2
D．x≠1且x≠－2
解析： 依题意得x2＋x－2≠0，解得x≠1且x≠－2.
答案： D
4．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析： ①由于x，y∈C，
所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题．
③当x＝1，y＝i时，
x2＋y2＝0成立，
∴③是假命题．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1>z2，则a的取值集合为________．
解析： ∵z1＞z2，∴
∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}．
答案： {0}
6．若a－2i＝bi＋1(a、b∈R)，则b＋ai＝________.
解析： 根据复数相等的充要条件，得，
∴b＋ai＝－2＋i.
答案： －2＋i
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．设m∈R，复数z＝2m2－3m－2＋(m2－3m＋2)i.试求m为何值时，z分别为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
解析： (1)当z为实数时，则有m2－3m＋2＝0，
解得m＝1或2.即m为1或2时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有m2－3m＋2≠0，解得m≠1且m≠2.即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有，
解得m＝－，即m＝－时，z是纯虚数．
8．已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i，求x，y.
解析： 因为y是纯虚数，可设y＝bi(b∈R，且b≠0)，
则(2x－1)＋3i＋b＝bi－i＝(b－1)i，
整理得(2x－1＋b)＋3i＝(b－1)i.
由复数相等的充要条件得
解得所以x＝－，y＝4i.
???
☆☆☆
9．(10分)已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩N?M，M∩N≠ ，求整数a，b.
解析： 依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i.②
由①，得a＝－3，b＝±2，
经检验，a＝－3，b＝－2不合题意，舍去．
∴a＝－3，b＝2.
由②，得a＝±3，b＝－2.
又a＝－3，b＝－2不合题意．
∴a＝3，b＝－2.
综上，a＝－3，b＝2，或a＝3，b＝－2.第二章 2.1 2.1.2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下面说法：
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析： ①③④都正确．
答案： C
2．下列推理过程属于演绎推理的有( )
①数列{an}为等比数列，所以数列{an}的各项不为0；
②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；
③由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点；
④通项公式形如an＝cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析： 由演绎推理的定义知①、④两个推理为演绎推理，②为归纳推理，③为类比推理．故选C.
答案： C
3．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
解析： 由三段论的一般模式知应选B.
答案： B
4．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
解析： 使用了“三段论”，大前提“有理数是无限循环小数”是错误的．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．给出下列推理过程：因为和都是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以＋也是无理数，这个推理过程________(填“正确”或“不正确”)．
解析： 结论虽然正确，但证明是错误的，这里使用的论据(即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．
答案： 不正确
6．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：_______________________________________________________.
小前提：___________________________________________________.
结论：____________________________________________________.
解析： 本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．
答案： ①一次函数的图象是一条直线 ②y＝2x＋5是一次函数 ③函数y＝2x＋5的图象是一条直线
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(3)通项公式an＝2n＋3表示的数列{an}为等差数列．
解析： (1)所有的循环小数是有理数，
(大前提)
0．33是循环小数，
(小前提)
所以，0.33是有理数．
(结论)
(2)因为每一个矩形的对角线相等，
(大前提)
而正方形是矩形，
(小前提)
所以正方形的对角线相等．
(结论)
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，
(大前提)
通项公式an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，
(小前提)
所以，通项公式an＝2n＋3表示的数列为等差数列．
(结论)
8．已知在梯形ABCD中，如图，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.
证明： ∵等腰三角形的两底角相等，
(大前提)
△DAC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，
(小前提)
∴∠1＝∠2.
(结论)
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，
(大前提)
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，
(小前提)
∴∠1＝∠3.
(结论)
∵等于同一个角的两个角相等，
(大前提)
∠2＝∠1，∠3＝∠1，
(小前提)
∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.
(结论)
同理可证DB平分∠CBA.
??
?☆☆☆
(10分)已知a，b，m均为正实数，b证明： 因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，
(大前提)
b0，
(小前提)
所以，mb(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，
(大前提)
mb(小前提)
所以，mb＋ab(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，
(大前提)
b(a＋m)0，
(小前提)
所以，<，即<.
(结论)第一章 1.3 1.3.3
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f(x)＝x＋2cos
x在区间上的最小值是( )
A．－
B．2
C．＋
D．＋1
解析： f′(x)＝1－2sin
x，
∵x∈，
∴sin
x∈[－1,0]，∴－2sin
x∈[0,2]．
∴f′(x)＝1－2sin
x>0在上恒成立，
∴f(x)在上单调递增．
∴f(x)min＝－＋2cos＝－.
答案： A
2．函数y＝的最大值为( )
A．e－1
B．e
C．e2
D．
解析： 令y′＝＝0，则x＝e
当x∈(0，e)时，y′>0，当x∈(e，＋∞)时，y′<0.
∴当x＝e时y取最大值，故选A.
答案： A
3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A．－37
B．－29
C．－5
D．以上都不对
解析： ∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∵f(x)在(－2,0)上为增函数，
在(0,2)上为减函数，
∴当x＝0时，f(x)＝m最大．
∴当m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值为－37.故选A.
答案： A
4．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
①f(x)>0的解集是{x|0②f(－)是极小值，f()是极大值；
③f(x)没有最小值，也没有最大值．
A．①③
B．①②③
C．②
D．①②
解析： 由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±，
当x<－或x>时，f′(x)<0.
当－0.
∴x＝－时，f(x)取得极小值，
当x＝时，f(x)取得极大值，故②正确．
当x→－∞时，f(x)<0，
当x→＋∞时，f(x)<0.
综合函数的单调性与极值画出函数草图(如下图)．
∴函数f(x)有最大值无最小值，故③不正确．
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f(x)＝＋x(x∈[1,3])的值域为________．
解析： f′(x)＝－＋1＝，所以在[1,3]上f′(x)>0恒成立，即f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝.故函数f(x)的值域为.
答案：
6．设函数f(x)＝x2ex，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析： f′(x)＝xex＋x2ex
＝·x(x＋2)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝－2.
当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
?
?
∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，
要使f(x)＞m对x∈[－2,2]恒成立，
只需m＜f(x)min，∴m＜0.
答案： m＜0
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，x＝3是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在x∈[1,5]上的最大值和最小值．
解析： 根据题意，f′(x)＝3x2－2ax＋3，x＝3是函数f(x)的极值点，得f′(3)＝0，
即27－6a＋3＝0，得a＝5.
所以f(x)＝x3－5x2＋3x.
令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，得x＝3或x＝(舍去)．
当1当30，函数f(x)在(3,5]上是增函数．
由此得到当x＝3时，函数f(x)有极小值f(3)＝－9，也就是函数f(x)在[1,5]上的最小值；又因为f(1)＝－1，f(5)＝15，即函数f(x)在[1,5]上的最大值为f(5)＝15.
综上，函数f(x)在[1,5]上的最大值为15，最小值为－9.
8．设函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
解析： 函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a＞0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
???
☆☆☆
9．(10分)已知函数f(x)＝－x＋＋ln
x在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的取值范围．
解析： 在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，
由f′(x)＝－－＋
＝－＝－，
∴当x∈时，f′(x)<0，
故f(x)在上单调递减；当x∈时，f′(x)>0，
故f(x)在上单调递增；当x∈(1,2)时，f′(x)<0，
故f(x)在(1,2)上单调递减．
∴f是f(x)在上的极小值．
而f＝＋ln
＝－ln
2，f(2)＝－＋ln
2，
且f－f(2)＝－ln
4＝ln
e－ln
4，
又e3－16>0，∴ln
e－ln
4>0，
∴在上f(x)min＝f(2)，
∴c≥f(x)min＝－＋ln
2.
∴c的取值范围为.第一章 1.2 1.2.1、2(二)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列运算中正确的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin
x－2x2)′＝(sin
x)′－2′(x2)′
C．′＝
D．(cos
x·sin
x)′＝(sin
x)′cos
x＋(cos
x)′cos
x
解析： A项中(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确．
答案： A
2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝( )
A．0
B．－4
C．－2
D．2
解析： 因为f′(x)＝2x＋2f′(1)，
所以f′(1)＝2＋2f′(1)．
解得f′(1)＝－2，所以f′(x)＝2x－4，
所以f′(0)＝－4.故选B.
答案： B
3．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为( )
A．x－y－2＝0
B．x＋y－2＝0
C．x＋4y－5＝0
D．x－4y－5＝0
解析： y′＝，
∵点(1,1)在曲线上，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝|x＝1＝－1，由直线的点斜式方程得切线方程是x＋y－2＝0.
答案： B
4．若函数f(x)＝exsin
x，则此函数图象在点(3，f(3))处的切线的倾斜角为( )
A．
B．0
C．钝角
D．锐角
解析： f′(x)＝exsin
x＋excos
x＝ex(sin
x＋cos
x)＝exsin，f′(3)＝e3sin＜0，则此函数图象在点(3，f(3))处的切线的倾斜角为钝角．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数y＝的导数是________．
解析： y′＝′
＝
＝＝.
答案：
6．(全国大纲卷改编)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.
解析： y′＝4x3＋2ax，因为曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，
所以y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.
答案： －6
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求下列函数的导数：
(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(3)y＝；(4)y＝－sin
.
解析： (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′
＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′
＝5x4－9x2－10x.
(2)方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.
方法二∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)方法一：y′＝′
＝
＝
＝.
方法二：∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝－
＝.
(4)∵y＝－sin
＝－sin＝sin
x，
∴y′＝′＝(sin
x)′＝cos
x.
8．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝sin2；
(3)y＝ln(2x2＋x)；(4)y＝x·.
解析： (1)设u＝1－3x，则y＝u－4，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u－4)′·(1－3x)′
＝－4u－5·(－3)＝12u－5
＝12(1－3x)－5＝.
(2)设y＝u2，u＝sin
v，v＝2x＋，
则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos
v·2
＝4sin
v·cos
v
＝2sin
2v＝2sin.
(3)设u＝2x2＋x，则yx′＝yu′·ux′
＝(ln
u)′·(2x2＋x)′
＝·(4x＋1)＝.
(4)y′＝x′·＋x·()′.
先求t＝的导数．
设u＝2x－1，则t＝u，
tx′＝tu′·ux′＝·u－·(2x－1)′
＝××2＝.
∴y′＝＋＝.
???
☆☆☆
9．(10分)已知曲线y＝e2x·cos
3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
解析： ∵y′＝(e2x)′·cos
3x＋e2x·(cos
3x)′
＝2e2x·cos
3x－3e2x·sin
3x，
∴y′|x＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，
即y＝2x＋1.
设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，
根据题意，得＝，解得b＝6或－4.
∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.第一章 1.4
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20
cm，要使其体积最大，则高应为( )
A．cm
B．100
cm
C．20
cm
D．cm
解析： 设高为h，体积为V，
则底面半径r2＝202－h2＝400－h2，
∴V＝πr2h＝(400h－h3)，
V′＝(400－3h2)，
令V′＝0，
得h＝或h＝－(舍)．
答案： A
2．某厂生产某产品x(万件)的总成本C(x)＝1
200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大( )
A．23万件
B．25万件
C．50万件
D．75万件
解析： 设单价为a，由题意知
a2＝且502＝，
∴k＝502×100＝25×104，
∴a2＝，即a＝，
总利润y＝a·x－C(x)
＝·x－
＝500×－x3－1
200，
y′＝250x－－x2，
令y′＝0得x＝25，
∴产量定为25万件时总利润最大．
答案： B
3．用长为24
m的钢筋做成一个长方体形框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为( )
A．8
m3
B．12
m3
C．16
m3
D．24
m3
解析： 设长方体的底面边长为x，则高为(6－2x)m，
∴0则V＝x2·(6－2x)＝6x2－2x3，
V′＝12x－6x2，
令V′＝0得x＝2或x＝0(舍)，
∴当x∈(0,2)时，V是增函数，
当x∈(2,3)时，V是减函数，
∴当x＝2时，Vmax＝4×2＝8(m3)．
答案： A
4．某公司生产某种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产量是( )
A．100
B．150
C．200
D．300
解析： 设Q(x)表示产量为x时的总利润
则Q(x)＝R(x)－100x－20
000
＝
当0≤x≤400时，Q′(x)＝300－x，
令Q′(x)＝0，则x＝300，
当0≤x<300时，Q′(x)>0，
当300∴当x＝300时，Q(x)max＝Q(300)＝25
000.
当x>400时，Q′(x)＝－100<0，
∴Q(x)单调递减Q(x)综上Q(x)max＝Q(300)．故选D.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的售价比原来减少1元．试问订购________件的合同将会使公司的收益最大．
解析： 设x表示销售的件数，R表示公司的收益，则R等于每件的售价×销售件数．
当x＞150时，则R(x)＝[200－(x－150)]x＝350x－x2.
为求最大收益的件数，不妨认为R(x)连续可导，求R′(x)＝350－2x.令R′(x)＝0，得x＝175时，R有最大值．
答案： 175
6．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/小时，当速度为10海里/小时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．
解析： 由题意设燃料费y与航速x间满足y＝ax3(0≤x≤30)，
又∵25＝a·103，∴a＝.
设从甲地到乙地海轮的航速为v，费用为y，
则y＝av3×＋×400＝20v2＋，
由y′＝40v－＝0得v＝20<30.
答案： 20海里/小时
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．从长为32
cm，宽为20
cm的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
解析： 设剪去的正方形的边长为x
cm，则箱子的容积V(x)＝x(32－2x)(20－2x)(0＝4x3－104x2＋640x，
V′(x)＝12x2－208x＋640
＝4(3x2－52x＋160)
＝4(3x－40)(x－4)．
令V′(x)＝0，
得x1＝(舍去)，x2＝4.
当00，
当4所以V(x)在(0,4)内为增函数，
在(4,10)内为减函数．
因此V(x)在(0,10)内有唯一的极大值V(4)，且该极大值即为函数V(x)的最大值，其最大值V(4)＝4×(32－8)×(20－8)＝1
152(cm3)．
答：当剪去的正方形边长为4
cm时，容器的容积最大，最大容积为1
152
cm3.
8．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解析： (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可知，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
???
☆☆☆
9．(10分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解析： (1)设需新建n个桥墩，
则(n＋1)x＝m，
即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，
f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；
当64f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．
所以f(x)在x＝64处取得最小值，
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．第二章 2.1 2.1.1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析： 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.
答案： C
2．根据给出的数塔猜测1
234
567×9＋8＝( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1
111
1
234×9＋5＝11
111
12
345×9＋6＝111
111
A．11
111
110
B．11
111
111
C．11
111
112
D．11
111
113
解析： 根据数塔的规律，后面加几结果就是几个1，
∴1
234
567×9＋8＝11
111
111.
答案： B
3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9
D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析： 由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
答案： D
4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”( )
A．定值
B．变数
C．有时为定值、有时为变数
D．与正四面体无关的常数
解析： 设正四面体S－ABC的棱长为a，正四面体内任意一点O到各面的距离分别为h1，h2，h3，h4，由体积关系得VS－ABC＝·a2·(h1＋h2＋h3＋h4)＝·a2·a
∴h1＋h2＋h3＋h4＝a(此为正四面体的高)．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a，b，则其面积S＝ab.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，类比上述结论可得此三棱锥的体积VP－ABC等于__________ .
解析： V＝Sc＝abc.
答案： abc
6．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，
四边形的内角和为(4－2)·180°，
五边形的内角和为(5－2)·180°，
…
所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tan
x是三角函数，所以y＝tan
x是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的；狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是________．(填序号)
解析： 根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案： (1)(3)(4)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线；…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
解析： 因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差数列求和公式可得n(n－3)(n≥4，n∈N
)．
所以凸n边形的对角线条数为n(n－3)(n≥4，n∈N
)．
8．从大、小正方形的数量关系上，观察如图所示的几何图形，试归纳得出的结论．
解析： 从大、小正方形的数量关系上容易发现：
1＝12，
1＋3＝2×2＝22，
1＋3＋5＝3×3＝32，
1＋3＋5＋7＝4×4＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，
1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.
观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：
1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
??
?☆☆☆
(10分)已知在Rt
△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到
怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．
解析： 猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.猜想正确．
如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.而AF 平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt
△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt
△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．第三章 3.2 3.2.1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若复数z1＝1＋5i，z2＝－3＋7i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： z＝z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋7i)＝4－2i.
答案： D
2．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于( )
A．－3i
B．3i
C．±3i
D．4i
解析： 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，∴a＝0，b＋3≠0.又|z|＝3，∴b＝3，z＝3i.
答案： B
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
解析： 依题意有＝＝－.
而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，
而对应的复数为4－2i，
故选D.
答案： D
4．|(3＋2i)－(1＋i)|表示( )
A．点(3,2)与点(1,1)之间的距离
B．点(3,2)与点(－1，－1)之间的距离
C．点(3,2)到原点的距离
D．以上都不对
解析： 由减法的几何意义可知．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．复数z1＝cos
θ＋i，z2＝sin
θ－i，则|z1－z2|的最大值为__________ .
解析： |z1－z2|＝|(cos
θ－sin
θ)＋2i|
＝
＝
＝≤.
答案：
6．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________.
解析： x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i
∴解得
答案： 6 11
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(1)z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i.求z1＋z2，z1－z2；
(2)计算：＋(2－i)－；
(3)计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2
008＋2
009i)＋(2
009－2
010i)．
解析： (1)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
(2)＋(2－i)－
＝＋i＝1＋i.
(3)方法一：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2
008＋2
009i)＋(2
009－2
010i)
＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2
007－2
008)＋2
009]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2
008＋2
009)－2
010]i
＝(－1
004＋2
009)＋(1
004－2
010)i＝1
005－1
006i.
方法二：(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，(2
007－2
008i)＋(－2
008＋2
009i)＝－1＋i.
相加(共有1
004个式子)，得
原式＝1
004(－1＋i)＋(2
009－2
010i)＝(－1
004＋2
009)＋(1
004－2
010)i＝1
005－1
006i.
8．复平面内有A，B，C三点，点A对应复数是2＋i，向量对应复数是1＋2i，向量对应复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．
解析： ＝－＝(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，
设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，
∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，
故x＝4，y＝－2.
∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．
???
☆☆☆
9．(10分)在复平面内，A，B，C三点对应的复数1,2＋i，－1＋2i.D为BC的中点．
(1)求向量对应的复数；
(2)求△ABC的面积．
解析： (1)由条件知在复平面内B(2,1)，C(－1,2)．
则D，点D对应复数是＋i，
＝－＝－(1,0)＝，
∴对应复数为－＋i.
(2)＝－＝(1,1)，||＝，
＝－＝(－2,2)，||＝＝2，
＝－＝(－3,1)，||＝，
∴||2＝||2＋||2，
∴△ABC为直角三角形．
∴S△ABC＝||·||
＝·2
＝2.第一章 1.2 1.2.1、2(一)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝，则y′＝
D．若y＝x，则y′＝1
解析： 对于A，常数的导数为零，故A正确；
对于B，y′＝′＝－x－＝－，故B错误；
对于C，y′＝′＝x－＝，故C正确；
对于D，y′＝x′＝1，故D正确．
答案： B
2．过曲线y＝上的点(4,2)的切线方程是( )
A．x＋4y＋4＝0
B．x－4y－4＝0
C．x－4y＋4＝0
D．x＋4y－4＝0
解析： ∵y′＝()′＝，
∴y′|x＝4＝＝，
∴切线的斜率k＝，
∴所求的切线方程为y－2＝(x－4)，
即x－4y＋4＝0.故选C.
答案： C
3．已知f(x)＝xn，若f′(－1)＝－4，则n的值为( )
A．4
B．－4
C．5
D．－5
解析： f′(x)＝nxn－1，
f′(－1)＝n×(－1)n－1＝－4，
∴n＝4.
答案： A
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( )
A．e2
B．2e2
C．e2
D．
解析： y′＝ex，曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线的斜率为k＝e2，
∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即e2x－y－e2＝0，
令x＝0，得y＝－e2，
令y＝0，得x＝1，
∴S＝×1×e2＝.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x)＋1＝g′(x)的x值为__________.
解析： 由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.
因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，
即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－.
答案： 1或－
6．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.
解析： ∵f′(x)＝，
∴f′(1)＝＝－1.
∴ln
a＝－1.∴a＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求下列函数的导数．
(1)y＝lg
5；
(2)y＝x；
(3)y＝；
(4)y＝2cos2－1.
解析： (1)y′＝(lg
5)′＝0.
(2)y′＝′＝xln
.
(3)
∵y＝＝x2－＝x，
∴y′＝(x)′＝x.
(4)∵y＝2cos2－1＝cos
x，
∴y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
8．已知曲线y＝.求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0,1)且与曲线相切的切线方程．
解析： (1)设切点为(x0，y0)，由y＝，
得y′|x＝x0＝.
∵切线与y＝2x－4平行，
∴＝2，∴x0＝，∴y0＝.
则所求切线方程为y－＝2，
即16x－8y＋1＝0.
(2)∵点P(0,1)不在曲线y＝上，
故需设切点坐标为M(t，u)，则切线斜率为.
又∵切线斜率为，∴＝＝，
∴2t－2＝t，得t＝4或t＝0(舍去)，
∴切点为M(4,2)，斜率为，
∴切线方程为y－2＝(x－4)，
即x－4y＋4＝0.
???
☆☆☆
9．(10分)点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解析： 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．
则在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，
即y′|x＝x0＝1.
∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，y0＝1，
即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得距离为.第一章 1.7 1.7.2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．一物体从A处向B处运动，速度为1.4t
m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35
m/s，则AB间的距离为( )
A．120
m
B．437.5
m
C．360
m
D．480
m
解析： 从A处到B处所用时间为25(s)．
所以AB＝1.4tdt＝0.7t2＝437.5(m)．
答案： B
2．一物体沿直线以速度v(t)＝2t－3(t的单位为：s，v的单位为：m/s)做变速直线运动，该物体从时刻t＝0至时刻t＝5运动的路程是( )
A．
m
B．15
m
C．10
m
D．
m
解析： ∵当0≤t≤时，v(t)＝2t－3≤0；
当≤t≤5时，v(t)＝2t－3≥0，
∴物体从t＝0至t＝5间运动的路程
＝＋＝(m)．
答案： A
3．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向从x＝0运动到x＝4(单位：m)，则力F(x)做的功为( )
A．44
J
B．46
J
C．48
J
D．50
J
解析： W＝F(x)dx
＝10dx＋(3x＋4)dx
＝10x＋
＝46(J)．
答案： B
4．以初速度40
m/s竖直向上抛一物体，t
s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
解析： 由v＝40－10t2＝0，得到物体达到最高时t＝2，高度
h＝(40－10t2)dt＝＝(m)．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2014·广东东莞模拟)一物体以v＝9.8t＋6.5(m/s)的速度自由下落，则下落后第二个4
s内经过的路程是________．
解析： (9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)
＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4
＝313.6＋52－78.4－26
＝261.2(m)．
答案： 261.2
m
6．某一物体在某种介质中作直线运动，已知t时刻，它的速度为v，位移为s，且它在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，若已知s＝t2，则该物体由位移s＝0移动到位移s＝a时克服阻力所作的功为______________．(注：变力F做功W＝F(s)ds，结果用k，a表示．
解： ∵在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，
∴F＝kv2，
∵t时刻，它的速度为v，位移为s，
∴s＝t2，
s′(t)＝t，即v＝s′(t)＝t，
∴s＝t2＝v2，
即v2＝2s，
即F＝kv2＝2ks，
则由W＝F(s)ds得W＝2ksds＝ks2＝ka2，
故答案为：ka2.
答案： ka2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在
s～6
s间的运动路程．
解析： 由图可得v(t)＝
由变速直线运动的路程公式，可得：
所以该物体在
s～6
s间的运动路程是
m.
8．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，求由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功．
解析： W＝F(x)cos
30°dx＝(5－x2)dx
＝＝(J)．
??
?☆☆☆
9．(10分)汽车以每小时32千米的速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车以减速度a＝1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解析： 首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间．当t＝0时，汽车速度
v0＝32千米/小时＝米/秒≈8.89米/秒，刹车后汽车减速行驶，其速度为v(t)＝v0－at＝8.89－1.8t，当汽车停住时，速度v(t)＝0，故从v(t)＝8.89－1.8t＝0解得
t＝≈4.94秒
于是在这段时间内，汽车所走过的距离是
s＝
v(t)dt＝(8.89－1.8t)dt
＝≈21.95米，
即在刹车后，汽车需走过21.95米才能停住．