§2.1.1
第1课时
归纳推理
教学目标：
1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳进行一些简单的推理；
2．通过本节内容的学习，包括欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜测和发现一些新事实，得出新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用；
3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点：归纳推理及方法的总结；
教学难点：归纳推理的含义及其具体应用．
教学过程设计
（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠
—
“歌德巴赫猜想”。
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:
(a)
任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b)
任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如:
6
=
3
+
3,
8
=
3
+
5,
10
=
5
+
5
=
3
+
7,
12
=
5
+
7,
14
=
7
+
7
=
3
+
11,16
=
5
+
11,
18
=
5
+
13,
.
.
.
.
等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
(二)、探究新知，揭示概念
1.归纳推理的思维过程：几个事实→一种观察→一般观点→从头核对→提出猜想。（由歌德巴赫猜想的过程归纳出来）
2.归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般结论（简称归纳）。（部分推出整体，个别推出一般）
3.学生分小组讨论：
将学生划分为两大部分，一部分讨论生活中运用归纳推理例子，一部分讨论学科学习中使用归纳推理的例子。学生举例之后教师总结。
（三）、分析归纳，抽象概括
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳
整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
归纳推理的思维过程：
（四）、知识应用，深化理解
例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.
（五）、归纳小结、布置作业
(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）
布置作业：.
实验，观察
概括，推广
猜测一般性结论§2.1.2演绎推理
教学目标：
1.
了解演绎推理
的含义。
2.
能正确地运用演绎推理
进行简单的推理。
3.
了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：正确地运用演绎推理
进行简单的推理；
教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．
教学过程设计
（一）、复习引入，激发兴趣。
【教师引入】
复习:合情推理
归纳推理
从特殊到一般
类比推理
从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想
合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？
(二)、探究新知，揭示概念
①
所有的金属都能够导电，铜是金属，所以
；
②
太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此
；
③
奇数都不能被2整除，2017是奇数，所以
.
（填空→讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？
（三）、分析归纳，抽象概括
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
三段论的基本格式
M—P（M是P）
（大前提）
S—M（S是M）
（小前提）
S—P（S是P）
（结论）
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
（四）、知识应用，深化理解
例1：用三段论的形式写出下列演绎推理。
三角形内角和180°，等边三角形内角和是180°.
是有理数。
例2.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,
BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等
解：
(1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提
所以△ABD是直角三角形——结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提
因为
DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提
所以
DM=
AB——结论
同理
EM=
AB
所以
DM=EM.
例3：证明函数在上是增函数.
证明方法（定义法、导数法）
→
指出：大前题、小前题、结论.
练习
如图，在△ABC
中，AC
>
BC
,
CD是AB上的高，求证：
∠ACD
>
∠BCD.
（五）、归纳小结、布置作业
合情推理与演绎推理的区别
合情推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
区别
推理形式
由部分到整体、个别到一般的推理。
由特殊到特殊的推理。
由一般到特殊的推理。
推理结论
结论不一定正确，有待进一步证明。
在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。
布置作业：§2.2.1
综合法与分析法
教学目标：
1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；
2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；
3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点：分析法和综合法的思考过程；
教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点．
教学过程设计
（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】
合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
(二)、探究新知，揭示概念
探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：
已知a,b>0,求证
教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
证明:因为，
所以。
因为，
所以。
因此
。
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。
探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论
Q
出发，反推回去，寻求保证
Q
成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，……
直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。
例如：基本不等式
（a>0，b>0）的证明就用了上述方法。
要证
，
只需证
，
只需证
，
只需证
由于显然成立，因此原不等式成立。
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。
（三）、分析归纳，抽象概括
用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：
综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
分析法可表示为：
分析法的特点是：执果索因
（四）、知识应用，深化理解
例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列,
成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
分析：将
A
,
B
,
C
成等差数列，转化为符号语言就是2B
=A
+
C;
A
,
B
,
C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A
+
B
+
C
=；
a
,
b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．
证明：由
A,
B,
C成等差数列，有
2B=A
+
C
．
①
因为A,B,C为△ABC的内角，所以
A
+
B
+
C=．
②
由①②
，得
B=．
③
由a,
b，c成等比数列，有
．
④
由余弦定理及③，可得
．
再由④，得
．
即
，
因此
．
从而
A=C．
由②③⑤，得
A=B=C=．
所以△ABC为等边三角形．
注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
例2、求证。
分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。
证明：因为都是正数，所以为了证明
，
只需明
，
展开得
，
只需证
，
因为成立，所以
成立。
在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。
事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论
P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．
例4
、已知，且
①
②
求证：。
分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由
①2一2×②
得．把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．
证明：因为，所以将
①
②
代入，可得
.
③
另一方面，要证
，
即证
，
即证
，
即证
，
即证
。
由于上式与③相同，于是问题得证。
课堂练习：
1、课本P89页
练习1、2、3
（五）、归纳小结、布置作业
综合法和分析法的特点
布置作业：.
课本P91页
1、2、3§2.2.2
反证法
教学目标：
1．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2．通过本节内容的学习了解间接证明反证法的思考过程、特点；
3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程；
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法．
教学过程设计
（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】
三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？
（原因：偶次）。
(二)、探究新知，揭示概念
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
（三）、分析归纳，抽象概括
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立
→
从假设出发，经推理论证得到矛盾
→
矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
（四）、知识应用，深化理解
例1
已知直线a，b和平面
,如果
,且,求证:
。
例2
已知三个正数
成等比数列，但不成等差数列，求证：不成等差数列.
证明：假设成等差数列，
则即，
而，即，
，即.
从而，与不成等差数列矛盾，故不成等差数列.
点评：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体，适用反证法.（2）反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”
例3：求证是无理数.
（
提示：有理数可表示为）
证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数），
从而：，，可见m是2的倍数.
设m=2p（p是正整数），则
，可见n
也是2的倍数.
这样，m,
n就不是互质的正整数（矛盾）.
∴不可能，
∴是无理数.
课堂练习：
1、课本P91页
练习1、2
（五）、归纳小结、布置作业
反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确.
注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）布置作业：.
课本P91页
A组4§2.1.1
第2课时
类比推理
教学目标：
1．了解类比推理这一种合情推理的基本方法，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比进行一些简单的推理；
2．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识；
3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。
教学重点：类比推理及方法的总结；
教学难点：类比推理的含义及其具体应用．
教学过程设计
（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
(二)、探究新知，揭示概念
为回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家所作的猜想。
科学家找出了火星和地球的相似点：绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。
然后由
地球上有生命
问题：上述推理基本步骤是什么？
上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
（三）、分析归纳，抽象概括
类比推理的一般步骤：
⑴
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶
检验猜想。即
（四）、知识应用，深化理解
例1．试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆
球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
例2.根据实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。
解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是实数。
（2）从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这使得方程
都有唯一解
（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小，乘法中的1与加法中0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数。即
例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
例4.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
(1)每次只能移动1个金属片；
(2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面；
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
练习、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
猜想不等式的性质：
(1)
a=ba+c=b+c;
(1)
a＞ba+c＞b+c;
(2)
a=b
ac=bc;
(2)
a＞b
ac＞bc;
(3)
a=ba2=b2;等等。
(3)
a＞ba2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
（五）、归纳小结、布置作业
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
布置作业：.
火星上可能有生命
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
