2.1.1 合情推理
[学习目标]
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．
2．了解合情推理在数学发现中的作用．
[知识链接]
1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
答 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
2．由合情推理得到的结论可靠吗？
答 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．
[预习导引]
1．归纳推理和类比推理
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
类比推理是由特殊到特殊的推理
2.合情推理的含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
3．合情推理的过程
→→→
要点一 归纳推理的应用
例1 观察如图所示的“三角数阵”
1…………第1行
2 2…………第2行
3 4 3…………第3行
4 7 7 4…………第4行
5
1114115…………第5行
…………
记第n(n＞1)行的第2个数为an(n≥2，n∈N
)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；
(2)依次写出a2、a3、a4、a5；
(3)归纳出an＋1与an的关系式．
解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．
(1)6,16,25,25,16,6
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11
(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4
由此归纳：an＋1＝an＋n.
规律方法 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．
跟踪演练1 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；
(2)a1＝a，an＋1＝；
(3)对一切的n∈N
，an>0，且2＝an＋1.
解 (1)由已知可得a1＝3＝22－1，
a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，
a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，
a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.
猜想an＝2n＋1－1，n∈N
.
(2)由已知可得a1＝a，
a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝.
猜想an＝(n∈N
)．
(3)∵2＝an＋1，∴2＝a1＋1，即2＝a1＋1，
∴a1＝1.又2＝a2＋1，
∴2＝a2＋1，∴a－2a2－3＝0.
∵对一切的n∈N
，an>0，
∴a2＝3.
同理可求得a3＝5，a4＝7，
猜想出an＝2n－1(n∈N
)．
要点二 类比推理的应用
例2 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos
C＋c·cos
B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解
如右图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos
α＋S2·cos
β＋S3·cos
γ.
规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形类比
平面图形
空间图形
点
线
线
面
边长
面积
面积
体积
线线角
二面角
三角形
四面体
跟踪演练2 已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率k＝.类比上述方法求出双曲线x2－＝1在P(，)处的切线方程为________．
答案 2x－y－＝0
解析 将双曲线方程化为y2＝2(x2－1)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy′＝4x，则y′＝，即过P的切线的斜率k＝，由于P(，)，故切线斜率k＝＝2，因此切线方程为y－＝2(x－)，整理得2x－y－＝0.
要点三 平面图形与空间图形的类比
例3 三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
解
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边
四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心
规律方法 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．
跟踪演练3 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．①
B．①②
C．①②③
D．
③
答案 C
解析 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．
1．下列说法正确的是( )
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论不能判断正误
答案 B
解析 根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．
2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )
A．白色
B．黑色
C．白色可能性大
D．黑色可能性大
答案 A
解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．
3．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……………………
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
答案
解析 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
4．观察下列各式
9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….
这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示正整数，用关于n的等式表示为________．
答案 (n＋2)2－n2＝4n＋4
解析 由已知四个式子可分析规律：(n＋2)2－n2＝4n＋4.
1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：
→→→.
一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．
2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.
一、基础达标
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )
A．47
B．65
C．63
D．128
答案 B
解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.
2．根据给出的数塔猜测123
456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1
111
1
234×9＋5＝11
111
12
345×9＋6＝111
111
…
A．1
111
110
B．1
111
111
C．1
111
112
D．1
111
113
答案 B
解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1
111
111.
3．设0<θ<，已知a1＝2cos
θ，an＋1＝，猜想an＝( )
A．2cos
B．2cos
C．2cos
D．2
sin
答案 B
解析 法一 ∵a1＝2cos
θ，
a2＝＝2＝2cos
，
a3＝＝2
＝2cos
，…，
猜想an＝2cos
.
法二 验n＝1时，排除A、C、D，故选B.
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
答案 D
解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．
5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33
＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．
答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)
解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152.
6．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为________．
答案 n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
7．在△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．
解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P－ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”．
证明 设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h，
由PC⊥PA，PC⊥PB得PC⊥面PAB，从而PC⊥PM，又∠PMC＝α，
cos
α＝sin∠PCO＝，cos
β＝，cos
γ＝
∵VP－ABC＝PA·PB·PC＝
·h，
∴h＝1
即cos2
α＋cos2
β＋cos2
γ＝1.
二、能力提升
8．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝( )
A.
B．
C．
D．
答案 C
解析
设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A－BCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.
9．(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n
正方形数 N(n,4)＝n2
五边形数 N(n,5)＝n2－n
六边形数 N(n,6)＝2n2－n
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
答案 1
000
解析 由归纳推理可知：n2和n前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N(n，k)＝n2－n(k－4)，
所以N(10,24)＝×102－×10(24－4)＝1
100－100＝1
000.
10．(2013·陕西)观察下列等式：
照此规律，
第n个等式可为________．
答案 12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)
解析 分n为奇数、偶数两种情况．
当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－.
当n为奇数时，第n个等式＝－＋n2＝.
综上，第n个等式：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)．
11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin
13°cos
17°；
②sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°；
③sin218°＋cos212°－sin
18°cos
12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos
48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos
55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°＝1－sin
30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)2－sin
α·(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)
＝sin2α＋cos2α＋sin
αcos
α＋sin2α－sin
αcos
α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
12．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2－a2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
解 (1)证明如下：设点P(x0，y0)，(x0≠±a)
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)．
令x＝0，得yM＝，
同理得yN＝－，所以yMyN＝.
又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)，所以yMyN＝＝b2.
因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)，
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)－(a2＋b2)．
三、探究与创新
13.
如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解 在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1.2.3 数学归纳法(二)
[学习目标]
1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．
2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．
[知识链接]
1．数学归纳法的两个步骤有何关系？
答案 使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点？
答案 与正整数n有关的命题
[预习导引]
1．归纳法
归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．
2．数学归纳法
(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关的数学命题；
(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．
要点一 用数学归纳法证明不等式问题
例1 用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N
)．
证明 (1)当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝.
因为<，所以不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N
)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋<1－＋
＝1－＝1－<1－＝1－，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
规律方法 用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．
跟踪演练1 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立．
证明 (1)当n＝2时，左＝1＋＝，右＝，左>右，
∴不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2且k∈N
)时，不等式成立，即
…>，
那么当n＝k＋1时，
…>
·＝＝>
＝＝，
∴n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
要点二 用数学归纳法证明整除性问题
例2 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．
证明 ①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．
②假设n＝k(k∈N
)时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9
＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，
而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，
所以f(k＋1)能被36整除．
由①②可知，对任意的n∈N
，f(n)能被36整除．
规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．
跟踪演练2 用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N
)能被7整除．
证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．
(2)假设当n＝k(k∈N
，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1
＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
由(1)，(2)知命题成立．
要点三 用数学归纳法证明几何问题
例3 用数学归纳法证明凸n边形的对角线有n(n－3)条．
证明 ①当n＝3时，n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N
)时结论正确，
即凸k边形的对角线有k(k－3)条，
当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak＋1，增加的对角线是顶点Ak＋1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k－2＋1＝k－1.
∴f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1
＝(k2－k－2)
＝(k＋1)(k－2)
＝(k＋1)[(k＋1)－3]
故当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对任意n≥3，n∈N
，命题成立．
规律方法 用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n＝k到n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．
跟踪演练3 平面内有n(n∈N
，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f(n)＝.
证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)＝k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为
f(k)＝k(k－1)，
l与其他k条直线交点个数为k，
从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k
＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)
＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)，(2)可知，对任意n∈N
(n≥2)命题都成立．
要点四 归纳—猜想—证明
例4 在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N
)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋…＋＜.
(1)解 由条件得2bn＝an＋an＋1，
a＝bnbn＋1.
由此可以得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上可得结论成立．
②假设当n＝k(k∈N
)时，结论成立．
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)
＝(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]，
bk＋1＝＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2，
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，
bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
(2)证明 ＝＜.
n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.
故＋＋…＋
＜＋
＝＋
＝＋＜＋＝.
综上，原不等式成立．
规律方法 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用．
跟踪演练4 已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
解 S1＝＝；S2＝＋＝；
S3＝＋＝；S4＝＋＝.
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝(n∈N
)．
下面我们用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝＝，
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时猜想成立，即
＋＋＋…＋＝，那么，
＋＋＋…＋
＋＝＋
＝＝＝，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N
都成立．
1．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N
)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )
A．n＝6时该命题不成立
B．n＝6时该命题成立
C．n＝4时该命题不成立
D．n＝4时该命题成立
答案 C
解析 ∵n＝k(k∈N
)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题成立．∴若n＝5时，该命题不成立，则n＝4时该命题不成立．
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第一步验证n＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N
)时命题正确，再推证n＝2k＋3时命题正确
B．假设n＝2k－1(k∈N
)时命题正确，再推证n＝2k＋1时命题正确
C．假设n＝k(k∈N
)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确
D．假设n≤k(k∈N
)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确
答案 B
解析 因n为正奇数，所以否定C、D项；当k＝1时，2k－1＝1,2k＋1＝3，故选B.
3．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N
)第一步应验证________．
答案 n＝3时是否成立
解析 n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立．
4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是________．
答案 (2k＋2)＋(2k＋3)
解析 当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．
1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．
2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.
3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子，一定要用到归纳假设．
一、基础达标
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N
)，验证n＝1时，左边应取的项是( )
A．1
B．1＋2
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
答案 D
解析 等式左边的数是从1加到n＋3.
当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2
B．3
C．5
D．6
答案 C
解析 当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.
3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N
)成立，其初始值至少应取( )
A．7
B．8
C．9
D．10
答案 B
解析 左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.
4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n∈N
)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )
A．增加了一项
B．增加了两项和
C．增加了B中的两项，但又减少了一项
D．增加了A中的一项，但又减少了一项
答案 C
解析 当n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，故选C.
5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N
)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．
答案 (k＋3)3
解析 假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N
)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________．
答案 Sn＝
解析 S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.
7．已知正数数列{an}(n∈N
)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.
证明 (1)当n＝1时．a1＝S1＝，
∴a＝1(an>0)，∴a1＝1，又－＝1，
∴n＝1时，结论成立．
(2)假设n＝k(k∈N
)时，结论成立，即ak＝－.
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝－
＝－.
∴a＋2ak＋1－1＝0，
解得ak＋1＝－(an>0)，
∴n＝k＋1时，结论成立．
由(1)(2)可知，对n∈N
都有an＝－.
二、能力提升
8．k(k≥3，k∈N
)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为( )
A．f(k)＋k－1
B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k
D．f(k)＋k－2
答案 A
解析 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．
9．对于不等式≤n＋1(n∈N
)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
②假设n＝k(n∈N
)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案 D
解析 从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．
10．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
答案 ＋＋…＋＋＋>－
解析 观察不等式中的分母变化知，＋＋…＋＋＋>－.
11．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N
)．
证明 (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时命题成立，即＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋
＋＞＋
＞＋
＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N
均成立．
12．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.
∴Sn＝－(n≥2)．
则有：S1＝a1＝－，
S2＝－＝－，
S3＝－＝－，
S4＝－＝－，
由此猜想：Sn＝－(n∈N
)．
用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．
(2)假设n＝k(k∈N
)猜想成立，
即Sk＝－成立，
那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－
＝－
＝－＝－.
即n＝k＋1时猜想成立．
由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．
三、探究与创新
13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若不等式··…·≤对任意n∈N
，试猜想出实数m的最小值，并证明．
解 (1)设数列{an}公差为d(d＞0)，
由题意可知a1·a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2，
解得d＝1或d＝0(舍去)．
所以，an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)不等式等价于···…·≤，
当n＝1时，m≥；当n＝2时，m≥；
而＞，所以猜想，m的最小值为.
下面证不等式···…·≤对任意n∈N
恒成立．
下面用数学归纳法证明：
证明 ①当n＝1时，≤＝，成立．
②假设当n＝k时，不等式···…·≤成立，
当n＝k＋1时，···…··≤·，
只要证·≤，
只要证≤，
只要证≤2k＋2，
只要证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，只要证3≤4，显然成立．即n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，对任意n∈N
，不等式···…·≤恒成立．2.1.2 演绎推理
[学习目标]
1．理解演绎推理的意义．
2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
[知识链接]
1．演绎推理的结论一定正确吗？
答 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．
2．如何分清大前提、小前提和结论？
答 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．
3．演绎推理一般是怎样的模式？
答 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
[预习导引]
1．演绎推理
含义
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
2.三段论
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
S是P
要点一 用三段论的形式表示演绎推理
例1 把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100
℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100
℃时，水会沸腾；
(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，y＝tan
α是三角函数，因此y＝tan
α是周期函数．
解 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100
℃，大前提
在一个标准大气压下把水加热到100
℃，小前提
水会沸腾．结论
(2)一切奇数都不能被2整除，大前提
2100＋1是奇数，小前提
2100＋1不能被2整除．结论
(3)三角函数都是周期函数，大前提
y＝tan
α是三角函数，小前提
y＝tan
α是周期函数．结论
规律方法 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
跟踪演练1 试将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行；
(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；
(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；
(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
解 (1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行；
小前提：海王星是太阳系里的大行星；
结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．
(2)大前提：所有导体通电时发热；
小前提：铁是导体；
结论：铁通电时发热．
(3)大前提：一次函数都是单调函数；
小前提：函数y＝2x－1是一次函数；
结论：y＝2x－1是单调函数．
(4)大前提：等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q；
小前提：数列1,2,3，…，n是等差数列；
结论：数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
要点二 演绎推理的应用
例2 正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.
(1)求证：A1B⊥AD；
(2)求证：CE∥平面AB1D.
证明
(1)连接BD.
∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，
∴A1ABB1为正方形，∴A1B⊥AB1.
∵D是C1C的中点，
∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD，∵G为A1B的中点，∴A1B⊥DG，
又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D.
又∵AD 平面AB1D，∴A1B⊥AD.
(2)连接GE，∵EG∥A1A，∴GE⊥平面ABC.
∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC，
∵GE＝DC＝a，∴四边形GECD为平行四边形，∴CE∥GD.
又∵CE 平面AB1D，DG 平面AB1D，
∴CE∥平面AB1D.
规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．
跟踪演练2 求证：函数y＝是奇函数，且在定义域上是增函数．
证明 y＝＝1－，
所以f(x)的定义域为R.
f(－x)＋f(x)＝＋
＝2－＝2－
＝2－＝2－2＝0.
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
任取x1，x2∈R，且x1
则f(x1)－f(x2)＝－
＝2＝2·.
由于x1所以f(x1)要点三 合情推理、演绎推理的综合应用
例3 如图所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．
(1)求证：O为△BCD的垂心；
(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．
(1)证明 ∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，
∴AD⊥平面ABC，又BC 平面ABC.
∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心．
(2)解 猜想：S＋S＋S
＝S.
证明：连接DO并延长交BC于E，连结AE，
由(1)知AD⊥平面ABC，
AE 平面ABC，
∴AD⊥AE，又AO⊥ED，
∴AE2＝EO·ED，
∴2＝·，
即S＝S△BOC·S△BCD.
同理可证：S＝S△COD·S△BCD，
S＝S△BOD·S△BCD.
∴S＋S＋S＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S.
规律方法 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
跟踪演练3 已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝(n∈N
)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝也是等差数列．
证明如下：
设等差数列{an}的公差为d，则bn＝＝＝a1＋(n－1)，
所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列．
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
解析 A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．
2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝log
x是对数函数(小前提)，所以y＝log
x是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
答案 A
解析 y＝logax是增函数错误．故大前提错．
3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________；小前提：________；结论：________.
答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y＝x2＋x＋1是二次函数 函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线
4．
“如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．
证明：在△ABC中
，
因为CD⊥AB，AC>BC，
①
所以AD>BD，
②
于是∠ACD>∠BCD.
③
则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)
答案
③
解析 由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．
2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.
一、基础达标
1．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D．①③⑤
答案 D
解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．
2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理
B．归纳推理
C．演绎推理
D．一次三段论
答案 C
解析 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin
(x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．全不正确
答案 C
解析 由于函数f(x)＝sin
(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案 B
解析 利用三段论分析：
大前提：矩形都是对角线相等的四边形；
小前提：四边形ABCD是矩形；
结论：四边形ABCD的对角线相等．
5．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．
答案 ③
解析 在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．
6．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是________．
答案 y＝的定义域是[4，＋∞)
解析 由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.
7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.
证明 因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．
设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．
二、能力提升
8．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是( )
A．小前提错
B．结论错
C．正确的
D．大前提错
答案 C
解析 由三段论推理概念知推理正确．
9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 ①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.
10．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2
010)＝________.
答案
解析 令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)
即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)
①
令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)
②
由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，
即f(x－1)＝－f(x＋2)，
∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)，
∴f(x)＝f(x＋6)，
即f(x)周期为6，
∴f(2
010)＝f(6×335＋0)＝f(0)
对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得
4f(1)f(0)＝2f(1)，
∴f(0)＝，即f(2
010)＝.
11．用演绎推理证明函数f(x)＝|sin
x|是周期函数．
证明 大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数)，则它为周期函数，T为它的一个周期．
小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin
x|＝f(x)．
结论：函数f(x)＝|sin
x|是周期函数．
12．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.
证明
如图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB.AE 平面SAB.
∴AE⊥平面SBC，
又BC 平面SBC.
∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC.
∵SA∩AE＝A，SA 平面SAB，AE 平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.
∵AB 平面SAB.∴AB⊥BC.
三、探究与创新
13．设f(x)＝，g(x)＝(其中a＞0且a≠1)．
(1)5＝2＋3请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；
(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
解 (1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝＋＝，
又g(5)＝因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(2＋3)＝
f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．
证明 因f(x)＝，g(x)＝(大前提)，
所以g(x＋y)＝，g(y)＝，f(y)＝(小前提及结论)，
所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝·＋＝＝g(x＋y).2.3 数学归纳法(一)
[学习目标]
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
[知识链接]
1．对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝(n∈N
)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？
答 a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想数列的通项公式为an＝.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．
2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？
答 (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K＋1块也倒下．
3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？
答 (1)当n＝1时，猜想成立；(2)若当n＝k时猜想成立，证明当n＝k＋1时猜想也成立．
[预习导引]
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N
)时命题成立；
②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
2．应用数学归纳法时注意几点：
(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．
(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立”为条件．
要点一 正确判断命题从n＝k到n＝k＋1项的变化
例1 已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．
答案 2k
解析 观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
f(2k)＝1＋＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．
规律方法 在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．
跟踪演练1 设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．
答案 ＋＋
解析 ∵f(n)＝1＋＋＋…＋，
∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，
∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
要点二 证明与自然数n有关的等式
例2 已知n∈N
，证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，
等式成立；
(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N
)时等式成立，即：
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋.
则当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋
－
＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋
＝右边；
所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知对一切n∈N
等式都成立．
规律方法 (1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；
(2)用数学归纳法证题时，要把n＝k时的命题当作条件，在证n＝k＋1命题成立时须用上假设．要注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．
跟踪演练2 用数学归纳法证明：
当n≥2，n∈N
时，·…·＝.
证明 (1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时等式成立，
即…＝，
那么当n＝k＋1时，
…＝·＝＝
＝.
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N
，等式都成立．
要点三 证明与数列有关的问题
例3 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.
(1)写出这个数列的前五项；
(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明．
解 (1)已知a1＝1，由题意得a1·a2＝22，
∴a2＝22，∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.
同理可得a4＝，a5＝.
因此这个数列的前五项为1,4，，，.
(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为：
an＝
下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.
①当n＝2时，a2＝＝22，
所以等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立，
即ak＝，
则当n＝k＋1时，∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，
∴a1·a2·…·ak＋1＝(k＋1)2.
∴ak＋1＝
＝·＝，
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是
an＝，∴an＝
规律方法 (1)数列{an}既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式an，并用数学归纳法加以证明．
(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法．
跟踪演练3 数列{an}满足：a1＝，前n项和Sn＝an，
(1)写出a2，a3，a4；
(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．
解 (1)令n＝2，得S2＝a2，
即a1＋a2＝3a2，解得a2＝.
令n＝3，得S3＝a3，
即a1＋a2＋a3＝6a3，解得a3＝.
令n＝4，得S4＝a4，
即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，解得a4＝.
(2)由(1)的结果猜想an＝，下面用数学归纳法给予证明：
①当n＝1时，a1＝＝，结论成立．
②假设当n＝k(k∈N
)时，结论成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，Sk＝ak，
①
Sk＋1＝ak＋1，
②
②与①相减得ak＋1＝ak＋1－ak，
整理得ak＋1＝ak＝·＝＝，
即当n＝k＋1时结论也成立．
由①、②知对于n∈N
，上述结论都成立．
1．若命题A(n)(n∈N
)在n＝k(k∈N
)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N
)时命题成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
答案 C
解析 由已知得n＝n0(n0∈N
)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
A．1＋a
B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3
D．1＋a＋a2＋a3＋a4
答案 C
解析 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N
)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N
，等式都成立．上述证明的错误是________．
答案 未用归纳假设
解析 本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．
4．当n∈N
时，Sn＝1－＋－＋…＋－，Tn＝＋＋＋…＋，
(1)求S1，S2，T1，T2；
(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．
解 (1)∵当n∈N
时，Sn＝1－＋－＋…＋－，Tn＝＋＋＋…＋.
∴S1＝1－＝，S2＝1－＋－＝，
T1＝＝，T2＝＋＝.
(2)猜想Sn＝Tn(n∈N
)，即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋(n∈N
)．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，已证S1＝T1，
②假设n＝k时，Sk＝Tk(k≥1，k∈N
)，
即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋，
则Sk＋1＝Sk＋－＝Tk＋－
＝＋＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋
＝Tk＋1.
由①，②可知，对任意n∈N
，Sn＝Tn都成立．
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
一、基础达标
1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N
)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出( )
A．当n＝6时命题不成立
B．当n＝6时命题成立
C．当n＝4时命题不成立
D．当n＝4时命题成立
答案 B
2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
答案 B
解析 由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．
3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．0
答案 C
解析 因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.
4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，则n＝1时f(n)是( )
A．1
B．
C．1＋＋
D．以上答案均不正确
答案 C
5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N
)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．
答案 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k
解析 由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项．
6．已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N
)，则f(k＋1)＝________.
答案 f(k)＋＋＋－
7．用数学归纳法证明…＝(n∈N
)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时等式成立，即
…＝，
当n＝k＋1时，
…·＝＝＝＝，
所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n∈N
等式都成立．
二、能力提升
8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N
)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为( )
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
C．
D．
答案 B
解析 n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)．
9．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
答案 D
解析 观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，
∴项数为n2－n＋1.
10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N
)”的过程中的错误为________．
证明：假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N
等式都成立．
答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础
11．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，
右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．
(2)假设当n＝k时，结论成立．
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，
那么当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k·(k＋1)
＝(－1)k·
＝(－1)k＋1－1·.
即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．
12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N
)，Sn为数列{an}的前n项和．
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
(1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝.
(2)证明 ①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．
②假设n＝k(k≥2，k∈N
)时成立，
即ak＝5×2k－2，
当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak
＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.
＝5＋＝5×2k－1＝5×2(k＋1)－2.
故n＝k＋1时公式也成立．
由①②可知，对n≥2，n∈N
，有an＝5×2n－2.
所以数列{an}的通项公式为
an＝.
三、探究与创新
13．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N
)．
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
解 (1)计算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝.
(2)猜想an＝.下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，猜想显然成立．
②假设n＝k(k∈N
)时，猜想成立，即ak＝.
那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.
又Sk＝1－kak＝，
所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
从而ak＋1＝＝.
即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立2.2.1 综合法和分析法
[学习目标]
1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
[知识链接]
1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”
2．必修五中基本不等式≥(a>0，b>0)是怎样证明的？
答 要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
[预习导引]
1．综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．分析法
分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．
要点一 综合法的应用
例1 在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明 由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.
①
因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.
②
由①②，得B＝.
③
由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋c2－ac.
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c，
从而有A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝.所以△ABC为等边三角形．
规律方法 利用综合法证明问题的步骤：
(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
跟踪演练1 已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明 法一 ∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.
法二 ∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，
＋≥2
>0，
∴(a＋b)≥4.
又a＋b＝1，∴＋≥4.
法三 ＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2
＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．
要点二 分析法的应用
例2 设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
证明 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
规律方法 用分析法证明不等式时应注意
(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．
跟踪演练2 已知a，b是正实数，求证：＋≥＋.
证明 要证＋≥＋，
只要证a＋b≥·(＋)．
即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，
因为a，b是正实数，
即证a＋b－≥，
也就是要证a＋b≥2，
即(－)2≥0.
该式显然成立，所以＋≥＋.
要点三 综合法和分析法的综合应用
例3 已知a、b、c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx证明 要证明：
logx＋logx＋logx只需要证明logx由已知0abc.
由公式≥>0，≥>0，≥>0，
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
跟踪演练3 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：＋＝2.
证明 由已知条件得b2＝ac，
①
2x＝a＋b,2y＝b＋c.
②
要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．
1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么( )
A．x<B．2xyC．x<<2xyD．x<2xy<答案 D
解析 ∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，
则＝，2xy＝，∴x<2xy<2．欲证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
答案 C
解析 根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，
∴只需证：＋<＋，
只需证：(＋)2<(＋)2.
3．求证：＋＋<2.
证明 因为＝logab，所以左边
＝log195＋2log193＋3log192
＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.
因为log19360所以＋＋<2.
4．已知＝1，求证：cos
α－sin
α＝3(cos
α＋sin
α)．
证明 要证cos
α－sin
α＝3(cos
α＋sin
α)，
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tan
α＝3(1＋tan
α)，只需证tan
α＝－，
∵＝1，∴1－tan
α＝2＋tan
α，
即2tan
α＝－1.∴tan
α＝－显然成立，
∴结论得证．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.
一、基础达标
1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>
D．若a2>b2且ab>0，则<
答案 C
解析 对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：若a3>b3且ab<0，则，所以>，故C对；对于D：若，则D不成立．
2．A、B为△ABC的内角，A>B是sin
A>sin
B的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
答案 C
解析 由正弦定理＝，又A、B为三角形的内角，∴sin
A>0，sin
B>0，∴sin
A>sin
B 2Rsin
A>2Rsin
B a>b A>B.
3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 若l⊥α，m β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；
若l⊥α，m β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤
B．ab<1<
C．ab<<1
D．答案 B
解析 因为a≠b，故>ab.
又因为a＋b＝2>2，
故ab<1，＝＝2－ab>1，即>1>ab.
5．要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________．
答案 分析法
6．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
答案 a>c>b
解析 ∵a2－c2＝2－(8－4)＝4－6＝－>0，∴a>c.∵＝＝＞1，∴c＞b.
7．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
证明 法一 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，
所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
法二 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，
只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，
∴上式成立．
二、能力提升
8．设0A．a
B．b
C．c
D．不能确定
答案 C
解析 ∵b－c＝(1＋x)－＝＝－<0，
∴bx＝a，∴a9．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分不必要条件是( )
A．ab>0
B．ab<0
C．a>0，b<0
D．a>0，b>0
答案 C
解析 ∵与同号，由＋≤－2，知<0，<0，
即ab<0.又若ab<0，则<0，<0.
∴＋＝－≤
－2＝－2，
综上，ab<0是＋≤－2成立的充要条件，
∴a>0，b<0是＋≤－2成立的一个充分而不必要条件．
10．
如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
答案 对角线互相垂直
解析 本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．
11．已知a＞0，b＞0，－＞1.求证：＞.
证明 要证＞成立，
只需证1＋a＞，
只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即1－b＋a－ab＞1，
∴a－b＞ab，只需证：＞1，即－＞1.
由已知a＞0，－＞1成立，
∴＞成立．
12．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
证明
如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|，
由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．
所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
三、探究与创新
13．(2013·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N
.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.
(1)解 当n＝1时，＝2a1＝a2－－1－＝2，解得a2＝4.
(2)解 2Sn＝nan＋1－n3－n2－n
①
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)
②
①－②得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n
整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，即＝＋1，－＝1，当n＝1时，－＝2－1＝1.
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以＝n，即an＝n2.
所以数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N
.
(3)证明 因为＝＜＝－(n≥2)，
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜.2.2.2 反证法
[学习目标]
1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．
2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
[知识链接]
1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？
答 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．
2．反证法主要适用于什么情形？
答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
[预习导引]
1．反证法定义
假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题
例1 已知x，y>0，且x＋y>2.
求证：，中至少有一个小于2.
证明 假设，都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．
跟踪演练1 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明 假设a，b，c，d都是非负数，
∵a＋b＝c＋d＝1，
∴(a＋b)(c＋d)＝1.
又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
∴ac＋bd≤1.
这与已知ac＋bd>1矛盾，
∴a，b，c，d中至少有一个是负数．
要点二 用反证法证明不存在、唯一性命题
例2 求证对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．
证明 假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)线段AB的中点在直线y＝ax上，所以
由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④
当k2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意．
由②、③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2⑤
由④知x1＋x2＝，代入⑤整理得：
ak＝3，这与①矛盾．
所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．
规律方法 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．
跟踪演练2 求证方程2x＝3有且只有一个根．
证明 ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1.
若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．
∴b1－b2＝0，则b1＝b2.
∴假设不成立，从而原命题得证．
要点三 用反证法证明否定性命题
例3 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N
)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(1)解 设公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明 由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N
，
∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
规律方法 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
跟踪演练3 已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明 假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，由0解得故方程f(x)＝0没有负数根．
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
答案 B
2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )
A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
答案 B
3．“aA．a≠b
B．a>b
C．a＝b
D．a＝b或a>b
答案 D
4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )
A．a不垂直于c
B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b
D．a与b相交
答案 D
5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．
证明 (反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．
设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，a一定是偶数．
1．反证法证明的基本步骤
(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)
(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)
2．用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.
一、基础达标
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( )
①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②③④
答案 D
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
答案 C
解析 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.
3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或xA．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案 B
解析 ①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
答案 B
解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________
答案 a，b，c都不是偶数
解析 a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．
6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．
答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证f(x)＝0无整数根．
证明 设f(x)＝0有一个整数根k，则
ak2＋bk＝－c.
①
又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，
∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；
当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，
则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．
二、能力提升
8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( )
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使xn≤xn＋1
答案 D
解析 “任意”的反语是“存在一个”．
9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
答案 C
解析 假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则＋＋<6.
又＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤－2或a≥－1
解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－211．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证a>0，b>0，c>0.
证明 用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)
ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，
这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
12．已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.
证明 假设三个式子同时大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，
①
又因为0同理0所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤，
②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
三、探究与创新
13．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：
(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；
(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.
证明 (1)因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，
又因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)＞f(－b)，
f(b)＞f(－a)，
由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．
(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，
因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，
这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)矛盾，
所以假设不正确，所以原命题成立.第二章
推理与证明
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．
3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．
4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．
5．归纳、猜想、证明
探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.
题型一 归纳推理和类比推理
归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．
运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证．
例1 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28
B．76
C．123
D．199
答案 C
解析 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N
，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
跟踪演练1 自然数按下表的规律排列
则上起第2
007行，左起第2
008列的数为( )
A．2
0072
B．2
0082
C．2
006×2
007
D．2
007×2
008
答案 D
解析 经观察可得这个自然数表的排列特点：
①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；
②第一行第n个数为(n－1)2＋1；
③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；
④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.
故上起第2
007行，左起第2
008列的数，应是第2
008列的第2
007个数，即为[(2
008－1)2＋1]＋2
006＝2
007×2
008.
题型二 直接证明
由近三年的高考题可以看出，直接证明的考查中，各种题型均有体现，尤其是解答题，几年来一直是考查证明方法的热点与重点．
综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用．
例2 已知a>0，求证：－≥a＋－2.
证明 要证－≥a＋－2，
只需证＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只需证2≥2，
即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋
2＋2，
从而只需证2≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
跟踪演练2
如图，在四面体B－ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
证明 (1)要证直线EF∥平面ACD，
只需证EF∥AD且EF 平面ACD.
因为E，F分别是AB，BD的中点，
所以EF是△ABD的中位线，
所以EF∥AD，所以直线EF∥平面ACD.
(2)要证平面EFC⊥平面BCD，
只需证BD⊥平面EFC，
只需证
因为所以EF⊥BD.
又因为CB＝CD，F为BD的中点，
所以CF⊥BD.所以平面EFC⊥平面BCD.
题型三 反证法
如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法．通过反设已知条件，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．
反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题．
例3 如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB、DF的中点．
(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
(1)解 法一
图(1)
如图(1)所示，取CD的中点G，连接MG，NG，设正方形ABCD，DCEF的边长为2，
则MG⊥CD，MG＝2，NG＝，
∵平面ABCD⊥平面DCEF，
∴MG⊥平面DCEF，
∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．
∵MN＝，∴sin∠MNG＝，
∴直线MN与平面DCEF所成角的正弦值为.
图(2)
法二 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图(2)所示．
则M(1,0,2)，N(0,1,0)，
∴＝(－1,1，－2)．
又＝(0,0,2)为平面DCEF的法向量，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴MN与平面DCEF所成角的正弦值为
|cos〈，〉|＝.
(2)证明 假设直线ME与BN共面，则AB 平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，
∵两正方形不共面，
∴AB 平面DCEF.
又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
∴AB∥EN.又AB∥CD∥EF，
∴EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．
∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．
跟踪演练3 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.
证明 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c＞0，
这与a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不成立，∴a，b，c中至少有一个大于0.
题型四 数学归纳法
1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换．
2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证明．
例4 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N
，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N
)，
证明：对任意的n∈N
，不等式··…·＞成立．
(1)解 由题意：Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，
由于b＞0且b≠1，
所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
＝b，即＝b，解得r＝－1.
(2)证明 当b＝2时，由(1)知an＝2n－1，
因此bn＝2n(n∈N
)，
所证不等式为··…·＞.
①当n＝1时，左式＝，右式＝.
左式＞右式，所以结论成立．
②假设n＝k(k∈N
)时结论成立，
即··…·＞，
则当n＝k＋1时，··…··
＞·＝.
要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证＞成立，
只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8成立，显然成立，
∴当n＝k＋1时，··…··＞成立，综合①②可知不等式··…·＞成立．
跟踪演练4 数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋1.
(1)写出a2，a3，a4.
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)因为a1＝1，an＋1＝an＋1，
所以a2＝a1＋1＝＋1＝，
a3＝a2＋1＝·＋1＝，
a4＝a3＋1＝·＋1＝.
(2)法一 猜想an＝，下面用数学归纳法证明．
证明 (1)当n＝1时，a1＝＝1，满足上式，显然成立；
(2)假设当n＝k时ak＝，那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝ak＋1＝·＋1＝＋1＝＝满足上式，即当n＝k＋1时猜想也成立．
由(1)(2)可知，对于n∈N
都有an＝.
法二 因为an＋1＝an＋1，所以an＋1－2＝an＋1－2，即an＋1－2＝(an－2)，
设bn＝an－2，则bn＋1＝bn，
即{bn}是以－1为首项，为公比的等比数列，
所以bn＝b1·qn－1＝－，所以an＝bn＋2＝.
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理
(1)归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论： d∈M，d也具有某属性．
(2)类比推理的基本模式：A具有属性a，b，c，d；B具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
2．使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：
原结论词
反设词
原结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
綈p且綈q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
綈p或綈q
3.数学归纳法的应用必须注意以下两点：
(1)验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”．
(2)递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用一次或几次．