课件37张PPT。第二章 §2.1合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
2.了解合情推理在数学发现中的作用.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一 归纳推理问题导学 新知探究 点点落实答案思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体.
以上属于什么推理？答 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理.答案(1)定义：由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的
都具有这些特征的推理，或者由 概括出_____
_____的推理，称为归纳推理.
(2)特征：由 到 ，由 到 .部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体个别一般思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：
(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？知识点二 类比推理答 类比推理.(1)定义：由两类对象具有某些 特征和其中一类对象的某些____特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.
(2)特征：由 到 的推理.类似已知特殊特殊答案思考1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？知识点三 合情推理答 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理.
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.思考2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确.答案1.定义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 、 、 、 、______，再进行 、 ，然后提出 的推理，我们把它们称为合情推理.简言之，合情推理就是合乎情理的推理.
2.推理的过程观察分析比较联想归纳类比猜想答案返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 数、式中的归纳推理解析答案例1 (1)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)·(3＋3)＝
23×1×3×5，…，照此规律，第n个等式可为____________________________________________.解析 从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为
(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1).答案 (n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1) (2)已知：f(x)＝ ，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________.反思与感悟解析答案又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，反思与感悟解析答案反思与感悟1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法：
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论.
2.数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.解析答案跟踪训练1 从1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…中，你能总结出什么结论？解 第一个式子，左边一个数是1，右边结果是12；
第二个式子，左边三个数相加，从2开始，右边结果是32；
第三个式子，左边五个数相加，从3开始，右边结果是52；
第四个式子，左边七个数相加，从4开始，右边结果是72；…；
第n个式子，左边2n－1个数相加，从n开始，右边结果是(2n－1)2.
总结结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋[n＋(2n－2)]＝(2n－1)2(n∈N*)，
即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*).类型二 几何图形中的归纳推理解析答案例2 根据如图所示的5个图形及相应圆圈的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有多少个圆圈.反思与感悟解析答案解 方法一 图(1)中的圆圈个数为12－0，
图(2)中的圆圈个数为22－1，
图(3)中的圆圈个数为32－2，
图(4)中的圆圈个数为42－3，
图(5)中的圆圈个数为52－4，
……
故猜测第n个图形中的圆圈个数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.
方法二 第(2)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有(1＋1)2－1个圆圈.反思与感悟第(3)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有2个圆圈，共有(2＋1)2－2个圆圈.
第(4)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有3个圆圈，共有(3＋1)2－3个圆圈.
第(5)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有4个圆圈，共有(4＋1)2－4个圆圈.
……
由上述的变化规律可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向都有(n－1)个圆圈，共有[(n－1)＋1]2－(n－1)＝(n2－n＋1)个圆圈.反思与感悟图形中归纳推理的特点及思路
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系.
(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化.解析答案跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________.解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.5n＋1
例3 (1)在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有 ..也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和.可类比得到的结论是___________________________________________________.解析答案类型三 类比推理解析 因为等差数列{an}的公差d＝3，
所以(S30－S20)－(S20－S10)
＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d＝300，
同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.
即结论为数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.答案 数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.解析答案反思与感悟解 如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想反思与感悟1.类比推理的一般步骤反思与感悟2.中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量、复数与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何相关类比点如下：跟踪训练3 (1)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式_______________成立.解析答案类型三 类比推理解析 这是由一类事物(等差数列)到与其相似的另一类事物(等比数列)间的类比.在等差数列{an}的前19项中，其中间项a10＝0，则a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0， ∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.相似地，在等比数列{bn}的前17项中，b9＝1为其中间项，则可得b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*).故填b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*).答案 b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)(2)在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想.解析答案返回于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：返回解析答案达标检测 12341.下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )
A.白色
B.黑色
C.白色可能性大
D.黑色可能性大解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色.A512345答案1234解析答案3.将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……………………
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________.51234解析 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，51234解析答案4.如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝______，an＝______(n>1，n∈N*).51234解析 n＝2时，a2＝3×(2－1)＝3，
n＝3时，a3＝3×(3－1)＝6，
n＝4时，a4＝3×(4－1)＝9，
n＝5时，a5＝3×(5－1)＝12，
∴a6＝3×(6－1)＝15，
故an＝3×(n－1)＝3n－3(n>1，n∈N*).答案 15 3n－35123455.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.解析 设两正四面体体积分别为V1，V2，1∶8解析答案1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.
2.合情推理的过程概括为返回课件18张PPT。2.1.1 归纳推理
任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.观察下列等式
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10= 3 + 7
12= 5 + 7归纳出一个规律：
偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验,从6开始,没有出现反例.大胆猜想:哥德巴赫猜想16 = 5+11
18 = 7+11
20 = 7+13
22 = 5+17 第一个是白乒乓球
第二个是白乒乓球
第三个是白乒乓球
第四个是白乒乓球口袋里面都是白乒乓球某一次摸出来的是黄乒乓球口袋里面都是乒乓球又有一次摸出来的是木球口袋里面都是球一个或几个已知命题一个新命题推理（一）创设情境，导入新课1.（观察）金、银、铜、铁都能导电，（猜想）金属能够导电。金属铜金银铁特殊现象一般结论（概括）金、银、铜、铁都是 ？(二）合作探究，收获新知2.（观察）蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟也是用 肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。（猜想）所有的爬行动物都是用肺呼吸的。（概括）蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是 ？蛇鳄鱼蜥蜴爬行动物特殊现象一般结论(二）合作探究，收获新知海龟3.（观察）三角形的内角和是180度，凸四边形的内角和是360 度，凸五边形的内角和是540度（猜想）凸n边形的内角和是(n-2)180度凸多边形三角形四边形五边形 (概括）三角形、凸四边形、凸五边形都是 ？特殊现象一般结论(二）合作探究，收获新知几个特殊事实一般性结论金能导电
银能导电
铜能导电
铁能导电共 性金属能够导电三角形内角和（3-2）×180度
四边形内角和（4-2）×180度
五边形内角和（5-2）×180度凸n边形内角和是
（n-2）×180度蛇用肺呼吸
海龟用肺呼吸
鳄鱼用肺呼吸
蜥蜴用肺呼吸爬行动物都是用肺呼吸的共 性共 性 共性三个推理具有什么共同点？(二）合作探究，收获新知一般模式：
s1具有性质P
s2具有性质P
……
sn具有性质P
S1， S2 ， … Sn …是S类事物的对象
所以：S类事物具有性质P。归纳推理的定义： 从个别事实中推演出一般性的结论，这样的推理通常称为归纳推理。Ｓ类元素概念辨析(二）合作探究，收获新知…归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理观察、分析发现新事实、获得新结论由部分到整体、
个别到一般的推理归纳推理的结论不一定成立(三）课本案例赏析例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.(四）初步应用，巩固概念46455659846455659866861281261046455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想欧拉公式通过本节课的学习，你能回答以下几个问题吗？问题一、归纳推理具有什么共同点？问题二、归纳推理具有什么局限性？问题三、归纳推理具有什么作用？ 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象, 该结论超越了前提所包容的范围。 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验.因此，它不能作为数学证明的工具. 归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.(五）课堂回眸，感悟提高1、在今后学习生活中，我们
如何培养归纳推理能力？2、查阅有关书籍进一步了
解大数学家欧拉及其贡献。(七）作业布置，学以致用1、实数的平方不小于0
-3是实数，
所以-3的平方不小于0 问题：我们在生活和学习中遇到过归纳推理吗？实例辨析：2、金、银、铜、铁都能导电，
金、银、铜、铁都是固体，
所以固体都能导电。3、麻雀、燕子、鸵鸟、喜鹊都是会飞的，
麻雀、燕子、鸵鸟、喜鹊都是鸟，
所以鸟都会飞。下面的几个推理是归纳推理吗？课件21张PPT。2.1.1 归纳推理 春秋时代鲁国的鲁班，木匠业的祖师。一次去林中砍树被一株齿形的茅草割破了手。这件事给了他启发，从而发明了锯子.探究一：
鲁班从茅草割破手这件事得到启发，而发明了锯子。他当时的思维过程是不是归纳推理？ 相似点:功能
（前提） 形状
(猜想的结论)
能割破手能割断木头齿形齿形茅 草锯 子火星上的人脸图火星上有生命吗?行星,围绕太阳运行,绕轴自转有大气层一年中有季节的变更大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存有大气存在可能有生命存在火星上是否存在生命探究二：火星与地球类比的思维过程：火星地球存在类似特征 由两类对象具有某些类似特征和其中
一类对象的某些已知特征,推出另一类对
象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理我珍视“类比”胜过任何东西，它是我最可信赖的“老师”， 它能揭示自然界的秘密。 开普勒类比推理的几个特点;1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能.圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2利用圆的性质类比得出求的性质例2.类比实数加法的运算性质，给出乘法的类似性质例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想． 传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用.
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面.
如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了.
请你试着推测：把 个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?123游戏：河内塔（Tower of Hanoi）123第1个圆环从1到3.设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则 ＝1时， ＝2时，123第1个圆环从1到3.前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则 ＝1 ＝1时， ＝2时， ＝3 ＝1时， ＝1 ＝3时，123第1个圆环从1到3.前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
前1个圆环从2到3.前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3;
前2个圆环从2到3.设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则练习1：试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：
(1) a=b?a+c=b+c;
(2) a=b? ac=bc;
(3) a=b?a2=b2;等等。猜想不等式的性质：(1) a＞b?a+c＞b+c;(2) a＞b? ac＞bc;(3) a＞b?a2＞b2;等等。练习2：在平面内，若a⊥c,b⊥c,则a//b.
类比到空间，你会得到 什么结论？并判断正误.错误（可能相交）猜想:在空间中，若a ⊥g，b ⊥g, 则a//b。课堂小结你能总结一下类比推理的特点吗？1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的，不一定可靠,但它却有发现的功能.归纳推理和类比推理的共同点 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.合情推理课件19张PPT。 2.1.2演绎推理1、观察
1+3=4=22 ,
1+3+5=9=32 ,
1+3+5+7=16=42 ,
1+3+5+7+9=25= ,
……
由上述具体事实能得到怎样的结论？2、在平面内，若a⊥c,b⊥c,则a//b.
类比地推广到空间，你会得到 什么结论？并判断正误。正确错误（可能相交）1+3+……+(2n-1)=n2在空间中，若
α ⊥γ，β ⊥γ
则α//β。一、复习观察上述例子有什么特点？ 1、演绎推理：由一般到特殊的推理。2017不能被2整除冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行铜能导电进一步观察上述例子有几部分组成？各有什么特点？大前提小前提结论2017不能被2整除冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行铜能导电“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结 论——根据一般原理，对特殊
情况做出的判断。
2、三段论大前提：M是P
小前提：S是M
结 论：S是P例1：用三段论的形式写出下列演绎推理。
（1）三角形内角和180°，等边三角形内
角和是180°。
分析：小前提：等边三角形是三角形。大前提结论（2） 是有理数。分析：大前提：所有的循环小数都是有理数。结论（1）三角形内角和180°，等边三角形是三角形,等边三角形内角和是180°3、演绎推理的结论一定正确吗？2017不能被2整除冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行铜能导电大前提小前提结论（1）分析下面的例子：
（2）因为指数函数 是增函数，
而 是指数函数，
所以 是增函数。错因：大前提是错误的，所以结论是错误的。（3）如图：在△ABC中，AC>BC,CD是AB边上的高，求证∠ACD＞∠BCD。证明：
在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC＞BC
所以AD>BD,
于是∠ACD＞∠ BCD。错因：偷换概念3、演绎推理的结论一定正确吗？2017不能被2整除冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行铜能导电大前提小前提结论（1）分析下面的例子：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。“三段论”的符号表示：大前提：M 是 P小前提：S 是 M结 论：S 是 P用集合的知识说明： 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.证明：(1)因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形，同理，△AEB也是直角三角形.所以△ABD是直角三角形. ……大前提在△ABD中，AD⊥BC，
即∠ADB＝90?,………………小前提………结论例2. 如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC， BE⊥AC，D，E为垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等.所以DM＝EM. (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，………………………大前提…………………小前提而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，……………………结 论
例3：证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。大前提：增函数的定义；小前提结论例2：证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。小前提结论1、如图，在△ABC 中，AC > BC , CD是AB上的高，
求证： ∠ACD > ∠BCD.证明：在△ABC 中，因为 ,
AC > BC, 所以AD > BD，于是∠ACD > ∠BCD.
指出上面证明过程中的错误。根据AD > BD，不能推出∠ACD > ∠BCD.因为在同一个三角形中，才有大边对大角，AD和BD不是同一 个三角形的边。正确的证法：在△ABC 中， ∵ AC > BC ，∴ ∠B > ∠A 练习演绎推理概念
一般形式——三段论
证明问题
合情推理与演绎推理的联系与区别（难点）（重点）（重点）四、小结（四）合情推理与演绎推理的区别 对于任意正整数n，猜想（2n-1)与（n+1)2 的大小关系。并用演绎推理证明你的结论。思考题：课件24张PPT。第二章 §2.1合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理1.理解演绎推理的意义.
2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一 演绎推理的含义问题导学 新知探究 点点落实答案思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点.
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除.答 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理.某个特殊情况下一般到特殊思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？知识点二 三段论答 分为三段.
大前提：所有的金属都能导电.
小前提：铜是金属.
结论：铜能导电.已知的一般原理所研究的特殊情况答案返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 演绎推理与三段论答案例1 (1)“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形B(2)将下列演绎推理写成三段论的形式.
①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；解 平行四边形的对角线互相平分， 大前提
菱形是平行四边形， 小前提
菱形的对角线互相平分. 结论②等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B解 等腰三角形的两底角相等， 大前提
∠A，∠B是等腰三角形的底角， 小前提
∠A＝∠B. 结论解析答案③通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.解 数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列， 大前提
通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)， 小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列. 结论解析答案反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.解析答案跟踪训练1 (1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；
③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________.
(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为
大前提：______________________________________.
小前提：_______________________.
结论：_____________________________.②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线类型二 三段论的应用解析答案例2 (1)如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理.解 因为同位角相等，两直线平行， 大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提
所以FD∥AE. 结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提
DE∥BA，且FD∥AE， 小前提
所以四边形AFDE为平行四边形. 结论
因为平行四边形的对边相等， 大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边， 小前提
所以ED＝AF. 结论
解析答案证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.反思与感悟解析答案证明 方法一 (定义法)
任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1
0，且a>1，所以 >1.
而－10，x2＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.
方法二 (导数法)反思与感悟反思与感悟又因为a>1，所以ln a>0，ax>0，
所以axln a>0，所以f′(x)>0.1.用“三段论”证明命题的格式：×××××× (大前提)
×××××× (小前提)
×××××× (结论)2.用“三段论”证明命题的步骤：
(1)理清证明命题的一般思路；
(2)找出每一个结论得出的原因；
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.解析答案跟踪训练2 (1)已知a＝ ，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系是________.解析 ∵指数函数底数0f(n)，∴m点E、F分别是AB、AD的中点， 小前提
所以EF∥BD. 结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，
则直线与此平面平行， 大前提
EF ?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD， 小前提
EF∥平面BCD. 结论返回解析答案达标检测 12341.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同
旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人
数超过50人
C.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质解析 A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理.A解析答案1234A.大前提错误导致结论错误
B.小前提错误导致结论错误
C.推理形式错误导致结论错误
D.大前提和小前提都错误导致结论错误解析 y＝logax是增函数错误.故大前提错.A1234答案3.三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是( )
A.① B.② C.①② D.③D12344.把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：___________________________；
小前提：_________________________；
结论：________________________________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线1.应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.
2.合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.
3.合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.返回课件38张PPT。第二章 §2.2 直接证明与间接证明习题课 综合法和分析法加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一 综合法答案问题导学 新知探究 点点落实定义定理公理推理论证结论已知条件定义定理公理证明的结论知识点二 分析法结论充分条件已知条件定理定义公理答案
知识点三 分析综合法分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推.因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：返回其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示可证明的结论.Pn?P′
?
Q′＝Qm类型一 利用综合法与分析法解决函数问题解析答案题型探究 重点难点 个个击破例1 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f(x＋ )为偶函数.只需证明其对称轴为x＝0，只需证a＝－b.解析答案欲证F(x)为偶函数，只需证F(－x)＝F(x)，∵函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，而函数f(x)与f(－x)的图象也是关于y轴对称的，
∴f(－x)＝f(x＋1)，解析答案解析答案∴f(x)在定义域(－1，＋∞)上单调递增.
又∵x>0，∴f(x)>f(0)＝0，类型二 利用综合法与分析法解决数列问题解析答案例2 在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列，若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，解析答案即证2a≥b＋c.只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，
即证b2＋c2－bc≥bc，
即证(b－c)2≥0.
因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).跟踪训练2 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：解析答案证明 由已知条件得
b2＝ac， ①
2x＝a＋b,2y＝b＋c. ②只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证.类型三 综合法与分析法在三角形中的应用例3 设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.解析答案反思与感悟证明 I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
＝a2＋b2＋c2＋2S.
欲证3S≤I2<4S，
即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.
先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，
只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，
即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；
再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，
只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，解析答案反思与感悟即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，
只需证a由于a、b、c为三角形的三边长，
上述三式显然成立，故有3S≤I2<4S.反思与感悟1.本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法.对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰.证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
(1)a2≥0(a∈R).
(2)(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，反思与感悟(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).
2.涉及到三角形中的证明问题常用的知识点是：(1)两边之和大于第三边；(2)余弦定理；(3)正弦定理.跟踪训练3 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证： . 解析答案而由题意知A＋C＝2B，解析答案类型四 立体几何中位置关系的证明例4 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.
(1)证明：CD⊥AE；解析答案证明 在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，
∴CD⊥AE.(2)证明：PD⊥平面ABE.证明 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD，
∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，又AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.解析答案反思与感悟综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化.另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化.比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等.解析答案跟踪训练4 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝ ，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；证明 如图，设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF∥EG.
因为EG?平面BDE，
AF?平面BDE，
所以AF∥平面BDE.证明 连接FG.
因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，
所以四边形CEFG为菱形.
所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF.
所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，
所以CF⊥平面BDE.(2)求证：CF⊥平面BDE.返回解析答案1.若a>b>0，则下列不等式中不正确的是( )
A.a2>ab B.ab>b2
C. D.a2>b2解析答案达标检测 C1234答案12342.要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A.2ab－1－a2b2≤0D解析答案12343.已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为 的等比数列，则|m－n|＝________.1234解析 方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0，
可得x2－mx＋2＝0或x2－nx＋2＝0，
设x2－mx＋2＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝m，x1x2＝2.设x2－nx＋2＝0的两根为x3，x4.
则x3＋x4＝n，x3·x4＝2，解析答案1234∴x3＝1，x4＝2.∴n＝3.解析答案12344.已知a，b，c为△ABC的三边，x∈R，求证：方程a2x2＋(b2－a2－c2)x＋c2＝0没有实数根.1234证明 已知a，b，c为△ABC的三边，x∈R，和方程a2x2＋(b2－a2－c2)x＋c2＝0.
根据根的判别式可知：Δ＝(b2－a2－c2)2－4a2c2＝(b2－a2－c2＋2ac)(b2－a2－c2－2ac)＝(b－a＋c)(b＋a－c)(b－a－c)(b＋a＋c).
又因为a，b，c是△ABC的三边，故b－a＋c>0，b＋a－c>0，b－a－c<0，b＋a＋c>0.
所以Δ＝(b－a＋c)(b＋a－c)(b－a－c)(b＋a＋c)<0，
故方程a2x2＋(b2－a2－c2)x＋c2＝0没有实数根.返回1.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.
2.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.
3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.课件20张PPT。2.2.1综合法和分析法演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习
合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。
例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2 ≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2 ≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:综合法例1 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c,且A,B,C成等差数列, a, b，c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.【问题启发】
1、本题中涉及到哪几块知识？
2、从这些已知条件，可以得到什么结论？
3、怎样把它们转化为三角形中边角关系？【分析】 本题注意三个问题：
1、将文字语言转化为符号语言；
2、注意边角关系的转化；
3、注意挖掘题中的隐含条件（内角和为 ）例1 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c,且A,B,C成等差数列, a, b，c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.例1 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c,且A,B,C成等差数列, a, b，c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.【本题小结】
解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来。【分析法】 从结论出发，寻找结论成立的充分条件
直至最后，把要证明的结论归结为判定一
个明显成立的条件。要证：??
只要证：??
只需证：??
??显然成立
上述各步均可逆
所以 结论成立格 式只需证 21<25问题1：讨论：能用综合法证明吗？直接证明(回顾小结)分析法 解题方向比较明确，
利于寻找解题思路；
综合法 条理清晰，易于表述。通常以分析法寻求
思路，再用综合法有条理地
表述解题过程分析法
综合法概念直接证明（综合法和分析法）上述两种证法有什么异同？都是直接证明证法1综合法：由因导果，形式简洁，易于表述 ；相同不同 证法2分析法：执果索因，利于思考，易于探路课件33张PPT。第二章 §2.2直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法1.理解综合法、分析法的意义、掌握综合法、分析法的思维特点.
2.会用综合法、分析法解决问题.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一 综合法问题导学 新知探究 点点落实答案思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明 因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac ，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.答 利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论.(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学 、 、 等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
(2)综合法的框图表示(P表示 、已有的 、 、 等，Q表示所要_______
______)定义定理公理推理论证已知条件定义公理定理结论证明的答案知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？答 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件.答案(1)定义：从要证明的 出发，逐步寻找使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 、
、 、 等)为止，这种证明方法叫做分析法.
(2)分析法的框图表示答案返回充分条件已知条件结论定理定义公理题型探究 重点难点 个个击破类型一 综合法解析答案证明 因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.解析答案反思与感悟证明 因为a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，1.用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角.通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则.
2.用综合法证明不等式时常用的结论：解析答案证明 方法一 ∵a，b是正数且a＋b＝1，方法二 ∵a，b是正数，解析答案方法三 ∵a，b是正数，且a＋b＝1，当且仅当a＝b时，取“＝”.解析答案(2)求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β).证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)
＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.
所以原命题成立.解析答案例2 (1)设a，b为实数.求证：类型二 分析法即证a2＋b2≥2ab，
由于a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，(2)已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角.解析答案反思与感悟证明 要证B为锐角，根据余弦定理，即证a2＋c2－b2>0.
由于a2＋c2－b2≥2ac－b2，
要证a2＋c2－b2>0，
只需证2ac－b2>0.
∵a，b，c的倒数成等差数列，解析答案反思与感悟要证2ac－b2>0，
只需证b(a＋c)－b2>0，即b(a＋c－b)>0，
上述不等式显然成立，∴B为锐角.反思与感悟解析答案上述不等式显然成立，故原不等式成立.类型三 综合法和分析法的综合应用解析答案反思与感悟因为a，b，c为不全相等的正数，且上述三式中等号不能同时成立.解析答案反思与感悟反思与感悟综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.返回跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β).即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ①
要证3sin β＝sin(2α＋β)，
即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
这就是①式.所以，命题成立.解析答案解析答案达标检测 12341.已知y>x>0，且x＋y＝1，那么( )D解析答案1234C12343.对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )
A.m⊥l，m∥α，l∥β
B.m⊥l，α∩β＝m，l?α
C.m∥l，m⊥α，l⊥β
D.m∥l，l⊥β，m?αD解析答案1234解析答案1234证明 方法一 (综合法)方法二 (分析法)∵x，y∈R＋且x＋y＝1，∴y＝1－x，解析答案1234即证(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)，
即证2＋x－x2≥9x－9x2，
即证4x2－4x＋1≥0，
即证(2x－1)2≥0，此式显然成立.
∴原不等式成立.1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.
2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”“只需证”“即证”等词语.
3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.返回课件23张PPT。第二章 §2.2直接证明与间接证明2.2.2 反证法1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点 反证法问题导学 新知探究 点点落实答案王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”
思考1 本故事中王戎运用了什么论证思想？答 运用了反证法思想.思考2 反证法解题的实质是什么？答案返回答 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.1.定义
假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了 ，这样的证明方法叫做反证法.
2.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与 矛盾，或与假设矛盾，或与 矛盾等.不成立假设错误原命题成立已知条件定义、公理、定理、事实题型探究 重点难点 个个击破类型一 用反证法证明否定性命题解析答案例1 设{an}是公比为q的等比数列.设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列.反思与感悟证明 假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0 ，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾.
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.反思与感悟1.用反证法证明否定性命题的适用类型：
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.
2.用反证法证明数学命题的步骤解析答案证明 假设x0是f(x)＝0的负数根，故方程f(x)＝0没有负数根.类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题解析答案反思与感悟证明 假设a，b，c都不大于0，
则a≤0，b≤0，c≤0，
∴a＋b＋c≤0，∴a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0矛盾，
∴假设不成立，
故a，b，c中至少有一个是大于0的.反思与感悟应用反证法常见的“结论词”与“反设词”：
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：解析答案跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和得：
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.
所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证.类型三 用反证法证明唯一性命题解析答案反思与感悟例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根.证明 ∵2x＝3，∴x＝log23.
这说明方程2x＝3有根.
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则 ＝3, ＝3，两式相除得 －＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾.
∴假设不成立，从而原命题得证.用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”
“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.返回跟踪训练3 若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根.因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角B5123452.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )
A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°B答案12343.“aA.a≠b B.a>b
C.a＝b D.a＝b或a>bD5答案123454.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )
A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交D答案123455.用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，当a≤－ 或a≥－1时，至少有一个方程有实数根.解析答案12345用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.返回课件17张PPT。2.2.2反证法直接证明（综合法和分析法）上述两种证法有什么异同？都是直接证明证法1综合法：由因导果，形式简洁，易于表述 ；相同不同 证法2分析法：执果索因，利于思考，易于探路 反证法：
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。反证法的思维方法：
正难则反反证法的一般步骤：假设命题的结论不成立,即假
设结论的反面成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确，
从而肯定命题的结论正确。 常用的互为否定的表述方式：至少有一个——
至少有三个——
至少有n个——
最多有一个——一个也没有至多有两个至多有(n-1)个至少有两个≥1＜1≥3＜3≥n＜n≤1＞1准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. ?不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，
不成立存在某x,
成立不等于某个反馈练习假设互补的两个角都大于90°.假设△ABC中,至少有两个钝角ab 1、用反证法证明：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于６０°已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于
或等于６０度.证明假设所求证的结论不成立，即
∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０°
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾
所以假设命题＿＿＿＿＿＿，
所以，所求证的结论成立．＜＜＜三角形的内角和等于１８０°不成立ＡＢＣ填一填2、如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角.证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______.当∠B是_____时，则_____________
这与____________________________矛盾；当∠B是_____时，则______________
这与____________________________矛盾；综上所述,假设不成立.∴∠B一定是锐角.直角钝角直角∠B+ ∠C= 180°三角形的三个内角和等于180°钝角∠B+ ∠C＞180°三角形的三个内角和等于180°填一填总结提炼1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．①反设 ②归谬 ③结论2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? (1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论．
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；
（4）结论为 “唯一”类命题；
3.应用反证法的情形：课件29张PPT。第二章 §2.3数学归纳法习题课 数学归纳法1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.
2.掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一 归纳法答案问题导学 新知探究 点点落实归纳法是一种 的推理方法，分 和_________
_____两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明.由特殊到一般完全归纳法纳法不完全归知识点二 数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与 有关的数学命题；
(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
(3)注意点：在第二步归纳递推时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设.正整数n返回类型一 求参数问题解析答案题型探究 重点难点 个个击破例1 是否存在常数a，b，c，使等式1·(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？并证明你的结论.反思与感悟解 分别用1,2,3代入得解析答案下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝1·(12－12)＝0，②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，反思与感悟则当n＝k＋1时，左边＝1·[(k＋1)2－12]＋2·[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝1·(k2－12)＋2·(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋1·(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)由①②知等式对一切正整数都成立.反思与感悟这类猜测存在性问题的思路：若存在a，b，c使等式成立，首先在n＝1,2,3时，等式应成立，因此由n＝1,2,3先把a，b，c求出，再代回等式，最后用数学归纳法证明存在常数a，b，c使等式成立.解析答案解析答案所以取a＝25.①n＝1时，已证结论正确.解析答案即n＝k＋1时，结论也成立.故a的最大值为25.类型二 整除问题解析答案例2 求证：当n∈N*时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除.反思与感悟证明 (1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当
n＝k＋1时，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，
故当n＝k＋1时命题成立.
由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立.反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证.跟踪训练2 用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除.解析答案证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7，能被7整除.
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，62k－1＋1能被7整除.
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除.
由(1)(2)知命题成立.类型三 有关几何问题例3 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝ .解析答案反思与感悟证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，解析答案反思与感悟∴当n＝2时，命题成立.
(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，
即平面内满足题设的任何k条直线交点个数那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝ k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，
从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，反思与感悟∴当n＝k＋1时，命题成立.
由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立.用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明.跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分.解析答案返回证明 (1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；
(2)假设n＝k(k∈N*)时，
被分成f(k)＝k2－k＋2部分；
那么当n＝k＋1时，依题意，
第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，
所以平面上净增加了2k个区域.
∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k
＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，
即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立.返回1.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立，那么，下列命题成立的是( )
A.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D.若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析答案达标检测 1234解析 若f(4)＝25，则f(4)≥42，由条件可知，当k≥4时，f(k)≥k2，故D正确.D12342.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为( )解析答案1234解析 令n等于1,2,3得答案 A解析答案12343.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为____________________.解析 采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k来，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6解析答案12344.已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，an＋1·an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3,4,5，….
(1)求a3；1234解 由题设得a3，a4均为非负整数，
a3·a4＝(a2＋2)(a1＋2)＝5×2＝10，
∴a3的可能值为1,2,5,10.∴a3＝2.解析答案1234(2)求证：an＝an－2＋2，n＝3,4,5，….证明 用数学归纳法证明.
①当n＝3时，左边＝a3＝2，右边＝a1＋2＝2，左边＝右边，等式成立.
②假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，等式成立，即ak＝ak－2＋2.
∵ak＋1ak＝(ak－1＋2)(ak－2＋2)，且ak＝ak－2＋2≠0，
∴ak＋1＝ak－1＋2.
也就是说当n＝k＋1时，等式ak＋1＝ak－1＋2成立.
由①②知，对于所有n≥3，n∈N*，有an＝an－2＋2.返回1.数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等.
2.证明问题的初始值n0不一定为1，可根据题目要求和问题实际确定n0.
3.从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.课件40张PPT。第二章 推理与证明§2.3 数学归纳法1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点 数学归纳法问题导学 新知探究 点点落实答案对于一个与正整数有关的等式
n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.
思考1 验证n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答 成立.思考2 能否通过以上归纳出n＝51时等式也成立？为什么？答 不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立.(1)数学归纳法的定义
一般地，证明一个与 n有关的命题，可按下列步骤进行：假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立正整数n＝k＋1答案答案返回只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
(2)数学归纳法的框图表示n=n0从n0开始所n=k n=k+1有的正整数题型探究 重点难点 个个击破类型一 用数学归纳法证明等式例1 (1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________.2(2k＋1)答案反思与感悟解析答案左边＝右边，等式成立.
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，反思与感悟解析答案∴当n＝k＋1时，等式成立.
由①②可知，对一切n∈N*等式成立.反思与感悟数学归纳法证题的三个关键点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.
(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.解析答案左边＝右边.
所以当n＝1时等式成立.
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即：解析答案则当n＝k＋1时，左边＝∴当n＝k＋1时等式成立.
由①②知，对一切n∈N*等式成立.类型二 利用数学归纳法证明不等式解析答案反思与感悟(2)假设当n＝k时，不等式成立，解析答案反思与感悟解析答案反思与感悟所以当n＝k＋1时不等式成立.
由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立.反思与感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键：
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，反思与感悟以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.解析答案(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，不等式成立，解析答案∴当n＝k＋1时，不等式成立.
由(1)(2)知对于任意正整数n，不等式成立.类型三 归纳—猜想—证明解析答案(1)求a2，a3；解析答案反思与感悟(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明.解析答案证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；反思与感悟Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，这就证明了当n＝k＋1时命题成立.
由①②可知命题对任何n∈N*都成立.反思与感悟1.“归纳—猜想—证明”的解题步骤2.归纳法的作用
归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想.“观察—猜想—证明”是解答与自然数有关命题的有效途径.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；解析答案解 当n＝1时，(2)证明通项公式的正确性.解析答案返回证明 ①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立.
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，解析答案返回即当n＝k＋1时，通项公式也成立.达标检测 12341.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)第一步应验证( )
A.n＝1 B.n＝2
C.n＝3 D.n＝4C解析 由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立.解析答案12342.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝ (a≠1)”.在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
A.1＋a B.1＋a＋a2
C.1＋a＋a2＋a3 D.1＋a＋a2＋a3＋a4C解析答案解析 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.12343.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝ ＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.
上述证明的错误是________.解析答案1234解析 本题在由n＝k成立，
证n＝k＋1成立时，
应用了等比数列的求和公式，
而未用上假设条件，
这与数学归纳法的要求不符.答案 未用归纳假设12344.请观察以下三个式子：归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之.解析答案1234证明：①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以左边＝右边.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，则当n＝k＋1时，1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3)解析答案1234所以当n＝k＋1时命题成立，
由①②知，命题成立.在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．返回课件32张PPT。问题导学题型探究第二章 推理与证明章末复习课知识点一 合情推理问题导学 新知探究 点点落实答案(1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理.
(2)类比推理：由 到 的推理.
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.部分整体个别一般特殊特殊(1)演绎推理：由 到 的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
① ——已知的一般原理；
② ——所研究的特殊情况；
③ ——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.答案知识点二 演绎推理一般特殊大前提小前提结论知识点三 直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是 和 ：
① 是从已知条件推出结论的证明方法；
② 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.知识点四 数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证n＝ 时结论成立；第二步(归纳递推)是假设n＝ 时结论成立，推得n＝ 时结论也成立.综合法分析法综合法分析法反证法n0kk＋1答案返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 合情推理的应用解析答案例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________.解析 由于1＝13，3＋5＝8＝23，
7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.f(n)＝n3(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；
③Rt△ABC的外接圆半径为r＝ .
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.解析答案反思与感悟③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝ .解 (1)选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则 .解析答案反思与感悟(2)下面对①的猜想进行证明.如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，面ABC，面ABD，面ACD为三个两两垂直的侧面.设AB＝a，AC＝b，AD＝c，解析答案反思与感悟即所证猜想为真命题.反思与感悟(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有________个小正方形.解析答案解析 第1个图有3个正方形记作a1，
第2个图有3＋3个正方形记作a2，
第3个图有6＋4个正方形记作a3，
第4个图有10＋5个正方形记作a4，
……
正方形的个数构成数列{an}，
则a2－a1＝3 (1)
a3－a2＝4 (2)解析答案a4－a3＝5 (3)
? ?
an－an－1＝3 (n－1)
(1)＋(2)＋…＋(n－1)得an－a1＝3＋4＋5＋…＋(n＋1)，(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn, 则T4，______，
______， 成等比数列.解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， 成等比数列.解析答案类型二 综合法与分析法解析答案例2 设a>0，b>0，a＋b＝1，求证 ≥8.试用综合法和分析法分别证明.反思与感悟证明 方法一 (综合法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，方法二 (分析法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，解析答案反思与感悟反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.解析答案证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以sin α得类型三 反证法解析答案反思与感悟因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾.反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d).
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根.解析答案证明 假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.类型四 数学归纳法解析答案例4 用数学归纳法证明当n∈N*时，1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－2)·3＋(n－1)·2＋n·1＝ n(n＋1)·(n＋2).反思与感悟(2)假设n＝k时结论成立，＝1·k＋2·(k－1)＋…＋(k－1)·2＋k·1＋[1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)]当n＝k＋1时，则1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋…＋(k－1)·3＋k·2＋(k＋1)·1即当n＝k＋1时结论也成立.
综合上述，可知结论对一切n∈N*都成立.反思与感悟(1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少.
(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.(1)写出a2，a3，a4；解析答案(2)求数列{an}的通项公式.解析答案下面用数学归纳法证明，那么当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时猜想也成立，解析答案1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.
4.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.返回