2018年高考一轮复习精讲精练：
2.1函数概念及其表示
[最新考纲]
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
知识回顾
一、函数的基本概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是两个 数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的 ．
(3)函数的三要素是： 、 和对应关系．
(4)表示函数的常用方法有： 、 和图象法．
(5)分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
二、求函数的定义域、值域
1、确定函数的定义域的原则
（1）当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合;
（2）当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合；
（3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合；
（4）当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。
2、确定函数定义域的依据
（1）若f(x)是整式，则定义域为 ；
（2）若f(x)是分式，则定义域为 ；
（3）当f(x)是偶次根式时，定义域是 ；
（4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是 ；
（5）若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f(g(x))定义域由不等式a≤g(x)≤b解出;【来源：21·世纪·教育·网】
(6)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域。21·世纪*教育网
3、求简单函数值域的方法
(1) ；(2)图象观察法；(3) ；(4) ；(5)均值不等式法；(6) .21*cnjy*com
三、函数定义域的求法
类型
x满足的条件
，n∈N*
f(x)≥0
与[f(x)]0
f(x)≠0
logaf(x)
f(x)＞0
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义
四、函数值域的求法
方法
示例
示例答案
配方法
y＝x2＋x－2
y∈
性质法
y＝ex
y∈(0，＋∞)
单调性法
y＝x＋
y∈[2，＋∞)
换元法
y＝sin2 x＋sin x＋1
y∈
分离常数法
y＝
y∈(－∞，1)∪
(1，＋∞)
考点例题精析
考点一 求函数的定义域与值域
【例1】 对定义域Df、Dg的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=
(1)若函数f(x)=,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式;
(2)求问题(1)中函数h(x)的值域．
【错解展示：】
(1)∵f(x)的定义域Df为(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定义域Dg为R.∴h(x)=
(2)当x≠1时，h(x)==x-1++2≥4．或h(x)= ∈(-∞，0)∪(0，+∞)． ∴h(x)的值域为(4，+∞)，当x=1时，h(x)=1．综合，得h(x)的值域为{1}∪[4，+∞]．
分析
以上解答有两处错误：一是当x∈Df但xDg时，应是空集而不是x≠1．二是求h(x)的值域时，由x≠1求h(x)=x-1++2的值域应分x>1和x<1两种情况的讨论．
[优化解答]
(1)∵f(x)的定义域Df=(-∞，1)∪(1，+∞)·g(x)的定义域是Dg=(-∞，+∞)．所以，h(x)=21世纪教育网版权所有
(2)当x≠1时，h(x)= ==x-1++2．
若x>1，则x-1>0，∴h(x)≥2+2=4．
当且仅当x=2时等号成立．
若x＜1，则x-1<0．∴h(x)=-[-(x-1)- ]+2≤-2+2=0．当且仅当x=0时等号成立．
当x=1时，h(x)=1．
综上，得h(x)的值域为(-∞，0)∪{1}∪[4，+∞]．
规律方法
(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．21教育网
(2)求函数的值域：
①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；
②若与二次函数有关，可用配方法；
③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．
【变式训练1】（1）函数f(x)=的定义域为 。
（2）已知函数f(x)的值域是[-2，3]，则函数f(x-2)的值域为 ( )
A．[-4，1] B．[0,5]
C．[-4，1]∪[0，5] D．[-2，3]
考点二 分段函数及其应用
【例2】已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是 ( )．21·cn·jy·com
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
解析 a，b，c互不相等，不妨设a
∵f(a)＝f(b)，
∴|lg a|＝|lg b|，
∴lg a＝－lg b，即lg a＝lg ?a＝，
∴ab＝1,10答案 C
规律方法
(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．2·1·c·n·j·y
【变式训练2】 知函数f(x)＝则f(log27)＝( )．
A. B. C. D.
考点三 求函数的解析式
【例3】 (1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试求出f(x)的解析式．
(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
解 (1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，
∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x＞1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.
∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.21cnjy.com
∴∴
∴f(x)＝x2－x＋3.
(3)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得，
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
规律方法 求函数解析式常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．2-1-c-n-j-y
【变式训练3】 设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－ax，
x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．
求函数h(a)的解析式；
小结
1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．【来源：21cnj*y.co*m】
2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．【出处：21教育名师】
教你审题1——分段函数中求参数范围问题
【典例】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax?，则a的取值范围是( )．【版权所有：21教育】
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
(1)
[审题]一审条件?：f(x)＝转化为一元二次函数与对数函数的图象问题．如图(1)．
二审条件?：|f(x)|≥ax，由f(x)的图象得到|f(x)|的图象如图(2)．
(2)
三审图形：观察y＝ax的图象总在y＝|f(x)|的下方，则当a＞0时，不合题意；当a＝0时，符合题意；当a＜0时，若x≤0，f(x)＝－x2＋2x≤0，
所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，
即x2≥(a＋2)x，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2.
综上－2≤a≤0.
答案 D
[反思感悟]
(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；
(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
【自主体验】
已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
真题汇编
1.（2015全国卷2理5）设函数,( )
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
2.（2015全国卷2文13）已知函数的图象过点，则a = _________。
考点巩固练习
1．下列各组函数中表示相同函数的是( )
A．y＝与y＝
B．y＝lnex与y＝eln x
C．y＝与y＝x＋3
D．y＝x0与y＝
2． 函数y＝的定义域是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D.
3． 函数f(x)＝的值域是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)∪(0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
4.（1)函数y＝ln＋的定义域为________．
(2)函数f(x)＝的值域为________．
5.(1)已知函数f＝x2＋，则f(3)＝________;
(2)已知f(2x＋1)＝3x－4，f(a)＝4，则a＝________.
6.函数f(x)=lg(2x-3)的定义域 ，函数g(x)=的定义域 。www-2-1-cnjy-com
7.设f(x)的定义域为D，若f(x)满足下面两个条件，则称f(x)为闭函数．
①f(x)在D内是单调函数；
②存在[a，b]?D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]．
如果f(x)＝＋k为闭函数，那么k的取值范围是________．
8.解答下列问题：
(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)；
(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)；
(3)若函数f(x)＝，f(2)＝1，且方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)．
2018年高考一轮复习精讲精练：
2.1函数概念及其表示
知识回顾
一、函数的基本概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.21世纪教育网版权所有
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．
(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．
(5)分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
2、确定函数定义域的依据
（1）若f(x)是整式，则定义域为全体实数；
（2）若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合；
（3）当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合；
（4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值的集合；
（5）若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f(g(x))定义域由不等式a≤g(x)≤b解出;21教育网
(6)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域。21·cn·jy·com
3、求简单函数值域的方法
(1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)均值不等式法；(6)换元法.www.21-cn-jy.com
考点例题精析
考点一 求函数的定义域与值域
【变式训练1】（1）函数f(x)=的定义域为 。
（2）已知函数f(x)的值域是[-2，3]，则函数f(x-2)的值域为 ( )
A．[-4，1] B．[0,5]
C．[-4，1]∪[0，5] D．[-2，3]
解：(1)由2-≥0，得≥0，
∴x<-1或x≥1．即A=(-∞，-1)∪[1，+∞]．
（2）f(x-2)的图象是把f(x)的图象向右平移2个单位.因此f(x-2)的值域不变.答案：D 2·1·c·n·j·y
考点二 分段函数及其应用
【变式训练2】 知函数f(x)＝则f(log27)＝( )．
A. B. C. D.
解析 因为log27＞1，log2＞1,0＜log2＜1，所以f(log27)＝f(log27－1)＝f(log2)＝f(log2－1)＝f(log2)＝2log2＝.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 C
考点三 求函数的解析式
【变式训练3】 设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－ax，
x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．
求函数h(a)的解析式；
解 (1)由题意知g(x)＝
当a<0时，函数g(x)是[1,3]上的增函数，此时g(x)max＝g(3)＝2－3a，g(x)min＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝1－2a；21·世纪*教育网
当a>1时，函数g(x)是[1,3]上的减函数，此时g(x)min＝g(3)＝2－3a，g(x)max＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝2a－1；2-1-c-n-j-y
当0≤a≤1时，若x∈[1,2]，则g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)；
若x∈(2,3]，则g(x)＝(1－a)x－1，有g(2)故当0≤a≤时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a；
当综上所述，h(a)＝
教你审题1——分段函数中求参数范围问题
【自主体验】
已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[解析] 当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得，2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得，a＋1＋2＝0，解得a＝－3，选A.
答案 D
真题汇编
1.（2015全国卷2理5）设函数,( )
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
【解析】
解;由题意得，
答案：C
（2015全国卷2文13）已知函数的图象过点，则a = _________。
【解析】
解:根据条件的;4=-a+2;所以a=-2 答案：-2
考点巩固练习
1．下列各组函数中表示相同函数的是( )
A．y＝与y＝
B．y＝lnex与y＝elnx
C．y＝与y＝x＋3
D．y＝x0与y＝
[解析]
对于A，两函数的对应法则不同；
对于B，两函数的定义域不同；
对于C，两函数的定义域不同；
对于D，两函数的定义域都为{x|x∈R，x≠0}，对应法则都可化为y＝1(x≠0)．
答案：D
2． 函数y＝的定义域是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D.
[解析] 由题知log(3x－2)≥0＝log1，又知对数函数的真数大于零，所以0<3x－2≤1，解得答案：D
3． 函数f(x)＝的值域是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)∪(0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
[解析]
＝2x－1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f(x)∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故选D.
答案：D
4.（1)函数y＝ln＋的定义域为________．
(2)函数f(x)＝的值域为________．
【解析】
(1)根据题意可知，??0＜x≤1，故定义域为(0,1]．
(2)当x≥1时，logx≤0；当x＜1时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．【出处：21教育名师】
答案 (1)(0,1] (2)(－∞，2)
5.(1)已知函数f＝x2＋，则f(3)＝________;
(2)已知f(2x＋1)＝3x－4，f(a)＝4，则a＝________.
[解析]
(1)因为f＝2＋2，所以f(x)＝x2＋2，所以f(3)＝32＋2=11.
(2)令3x－4＝4，得x＝，∴a＝2x＋1＝.
6.函数f(x)=lg(2x-3)的定义域 ，函数g(x)=的定义域 。www-2-1-cnjy-com
解：由2x-3＞0，得x＞．∴函数f(x)=lg(2x-3)的定义域{x|x＞}．
由1-≥0得∴x≥3或x<1．∴函数g(x)=的定义域{x|x≥3或x<1}．
7.设f(x)的定义域为D，若f(x)满足下面两个条件，则称f(x)为闭函数．
①f(x)在D内是单调函数；
②存在[a，b]?D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]．
如果f(x)＝＋k为闭函数，那么k的取值范围是________．
[解析]
f(x)＝＋k为上的增函数，又f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，∴即f(x)＝x在上有两个不等实根，即＝x－k在上有两个不等实根．21cnjy.com
方法一：问题可化为y＝和y＝x－k的图象在上有两个不同交点．对于临界直线m，应有－k≥，即k≤－.对于临界直线n，y′＝()′＝，令＝1，得切点P横坐标为0，∴P(0,1)．【版权所有：21教育】
∴直线n：y＝x＋1，令x＝0，得y＝1，
∴－k＜1，即k>－1.综上，－1方法二：化简方程＝x－k，得x2－(2k＋2)x＋k2－1＝0.
令g(x)＝x2－(2k＋2)x＋k2－1，则由根的分布可得即
解得k>－1.又＝x－k，∴x≥k，∴k≤－.综上，－18.解答下列问题：
(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)；
(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)；
(3)若函数f(x)＝，f(2)＝1，且方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)．
[解答]
(1)令t＝x＋1，则x＝t－1，
所以f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3.
所以f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)因为2f(x)－f(－x)＝x＋1，
用－x去替换等式中的x，
得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，
即有
解方程组消去f(－x)，得f(x)＝＋1.
(3)由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2.
由f(x)＝x得＝x，变形得x＝0，解此方程得：x＝0或x＝.
又因为方程有唯一解，所以＝0，解得b＝1，
代入2a＋b＝2得a＝，
所以所求解析式为f(x)＝.
