2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.2函数的单调性与最值
[最新考纲]
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.
知识回顾
一、函数的单调性
1.单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是 或 ，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．21·cn·jy·com
二、函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有 ；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
(3)对于任意x∈I，都有 ；
(4)存在x0∈I，使得 .
结论
M为最大值
M为最小值
三、函数单调性的判定
1、用定义证明函数单调性的一般步骤
即：
（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1< x2.
（2）作差：即f(x2) –f(x1)(或f(x1)-f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。【来源：21cnj*y.co*m】
（3）定号：根据给定的区间和x2- x1符号，确定差f(x2) –f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符号。当符号不确定时，可以进行分类讨论。【版权所有：21教育】
（4）判断：根据定义得出结论。
2、利用导数的基本步骤是：
3、求函数的单调性或单调区间的方法
（1）能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为:
（2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：
（3）能求导的用导数法，其思维流程为：
（4）能作差变形的用定义法，其思维流程为：
注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x在内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为，不能用“∪”
四、应用函数的单调性
1．应用函数的单调性可求解的问题
(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；
(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；
(3)求解析式中参数的值或取值范围；
(4)求函数的最值；
(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.
考点例题精析
考点一 确定函数的单调性或单调区间
【例1】 (1)判断函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．
(2)求函数y＝log(x2－4x＋3)的单调区间．
解 (1)法一 任意取x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).2·1·c·n·j·y
当≥x1＞x2＞0时，x1－x2＞0,1－＜0，
有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
此时，函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，]上为减函数；
当x1＞x2≥时，x1－x2＞0,1－＞0，
有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
此时，函数f(x)＝x＋(k＞0)在[，＋∞)上为增函数；
综上可知，函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．
法二 f′(x)＝1－，令f′(x)＞0，则1－＞0，
解得x＞或x＜－(舍)．令f′(x)＜0，则1－＜0，
解得－＜x＜.∵x＞0，∴0＜x＜.
∴f(x)在(0，)上为减函数；在(，＋∞)上为增函数，
也称为f(x)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．
(2)令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝logu与u＝x2－4x＋3的复合函数．
令u＝x2－4x＋3＞0.则x＜1或x＞3.
∴函数y＝log(x2－4x＋3)的定义域为
(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，
∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，【来源：21·世纪·教育·网】
∴y＝log(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
规律方法
对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；
②可导函数则可以利用导数解之．
(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．2-1-c-n-j-y
【变形训练1】
已知函数f(x)=ax+(a＞1)
(1)证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根．
考点二 利用单调性求参数
【例2】 已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递减．
(2)函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，求实数a的取值范围．
(1)证明 任设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝－.
∵(x1＋1)(x2＋1)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)上单调递减．
(2)解 法一 f(x)＝＝a－，设x1
则f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝，
又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，
所以f(x1)－f(x2)>0.
由于x1∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，
∴a＋1<0，即a<－1.
故a的取值范围是(－∞，－1)．
法二 由f(x)＝，得f′(x)＝，又因为f(x)＝在(－∞，－1)上是减函数，所以f′(x)＝≤0在x∈(－∞，－1)上恒成立，解得a≤－1，
而a＝－1时，f(x)＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a的取值范围是(－∞，－1)．
规律方法
利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．21cnjy.com
【变形训练2】 已知a≥0，且函数f(x)=(x2-2ax)ex在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围．21·世纪*教育网
考点三 利用函数的单调性求最值
【例3】 已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
审题路线 (1)当a＝时，f(x)为具体函数→求出f(x)的单调性，利用单调性求最值．
(2)当x∈[1，＋∞)时，f(x)＞0恒成立→转化为x2＋2x＋a＞0恒成立．
解 (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，联想到g(x)＝x＋的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性．任取1≤x1＜x2，21教育网
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝，
∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.
又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，
则?等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，
∴当x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3.
∴a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．
规律方法
求函数最值的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
【变形训练3】 已知定义域为[0，1)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)．21世纪教育网版权所有
(1)求f(0)的值；
(2)求函数f(x)的最大值．
小结
1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．www.21-cn-jy.com
2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．21*cnjy*com
3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用．
易错辨析1——分段函数单调性的判定
【典例】 (2013·金华模拟)f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是( )．
A．(1，＋∞) B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8)
[错解] 由题意知解得1＜a＜8.
[答案] D
[错因] 忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．
[正解] f(x)在R上单调递增，则有
解得：4≤a＜8.
[答案] B
[防范措施]
对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．21教育名师原创作品
【自主体验】
已知函数f(x)＝(a＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是________．
真题汇编
1．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．【出处：21教育名师】
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]21*cnjy*com
2．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．
3.（2017课标全国Ⅰ，理5) 函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
4.（2014课标全国Ⅰ，文15)设函数则使得成立的的取值范围是________.
5.（2015课标全国Ⅰ，文10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=
（A）- （B）- （C）- （D）-
6.（2017课标全国Ⅰ，文9）已知函数，则
A．在（0,2）单调递增 B．在（0,2）单调递减
C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1,0）对称
7.（2014课标全国Ⅱ，理15）已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.
8.（2014课标全国Ⅱ，文11）若函数在区间单调递增，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
9.（2017课标全国Ⅱ，理8）函数 的单调递增区间是
A.(-,-2) B. (-,-1) C.(1, +) D. (4, +)www-2-1-cnjy-com
10（2017课标全国Ⅲ，理15）设函数则满足的x的取值范围是_________。
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
12.2函数的单调性与最值（答案）
[最新考纲]
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.
知识回顾
一、函数的单调性
1.单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．21世纪教育网版权所有
二、函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
结论
M为最大值
M为最小值
考点例题精析
考点一 确定函数的单调性或单调区间
【【变形训练1】
已知函数f(x)=ax+(a＞1)
(1)证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根．
解
设-1ax2-ax1+=ax1(ax2-x1-1)+=ax1(ax2-x1)+.
∵x2-x1>0，又a>1，
∴ax2-x1>1．而-10，x2+1>0．
∴f(x2)-f(x1)＞0
∴f(x)在(-1，+∞)上为增函数．
(2)设x0为方程f(x)=0的负数根，则有ax0+=0．即ax0=-1+
显然x0≠-1，
当0＞x0＞-1时，1＞x0+1＞0，＞3，-1+>2．而-1的解．21教育网
当x0<-1时．x0+1＜0<0，-1+＜-1，而ax0>0矛盾．即不存在x0<-1的解
考点二 利用单调性求参数
【变形训练2】 已知a≥0，且函数f(x)=(x2-2ax)ex在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围．21·cn·jy·com
解：f′(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=ex[x2+2(1-a)x-2a] www.21-cn-jy.com
∵f(x)在[-1，1]上是单调函数．
(1)若f(x)在[-1，1]上是单调递增函数．
则f′(x)≥0在[-1，1]上恒成立，即ex[x2+2(1-a)x-2a]≥0在[-1，1]上恒成立．∵ex>0．∴g(x)=x2+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立，则有或△=4(1-a)2+8a＜0或
解得，a∈?．
(2)若f(x)在[-1，1]上是单调递减函数，
则f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立．
∴ex[x2+2(1-a)x-2a]≤0在[-1，1]上恒成立．
∵ex>0．∴h(x)=x2+2(1-a)x-2a≤0在[-1，1]上恒成立．
则有
∴当a∈[，+∞]时，f(x)在[-1，1]上是单调函数．
考点三 利用函数的单调性求最值
【变形训练3】 已知定义域为[0，1)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)．21·世纪*教育网
(1)求f(0)的值；
(2)求函数f(x)的最大值．
解析：(1)令x1=x2=0，由条件①得f(0)≥0，由条件③得f(0)≤0．故f(0)=0．
(2)任取0≤x1≤x2≤1，可知x2-x1∈(0，1)，则f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x)．又∵x1- x2∈(0，1)，∴f(x2-x1)≥0．∴f(x)≥f(x1) ∴f(x)在[0，1]上是增函数，于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1．∴当x=1时，[f(x)]max=1．即f(x)的最大值为1．www-2-1-cnjy-com
易错辨析1——分段函数单调性的判定
自主体验】
已知函数f(x)＝(a＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是________．
解析
法一 任取2＜x1＜x2，由已知条件f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝＜0恒成立，即当2＜x1＜x2时，x1x2＞a恒成立，又x1x2＞4，则0＜a≤4.21*cnjy*com
法二 f(x)＝x＋，f′(x)＝1－＞0得f(x)的递增区间是(－∞，－)，(，＋∞)，由已知条件得≤2，解得0＜a≤4.【来源：21cnj*y.co*m】
答案 (0,4]
真题汇编
1．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．【来源：21·世纪·教育·网】
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]
【解析】
由y＝|f(x)|的图象知：
①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.
②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.
故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.
当x＝0时，不等式为0≥0成立．
当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.
∵x－2＜－2，∴a≥－2.
综上可知：a∈[－2,0]．
12．
答案：B
2．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．2·1·c·n·j·y
【解析】
∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，
∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，
即
解得
∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.
由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，
得x1＝－2－，x2＝－2，x3＝－2＋.
易知，f(x)在(－∞，－2－)上为增函数，在(－2－，－2)上为减函数，在(－2，－2＋)上为增函数，在(－2＋，＋∞)上为减函数．2-1-c-n-j-y
∴f(－2－)＝[1－(－2－)2][(－2－)2＋8(－2－)＋15]
＝(－8－)(8－)
＝80－64＝16.
f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]
＝－3(4－16＋15)
＝－9.
f(－2＋)＝[1－(－2＋)2][(－2＋)2＋8(－2＋)＋15]
＝(－8＋)(8＋)
＝80－64＝16.
故f(x)的最大值为16.
3.（2017课标全国Ⅰ，理5) 函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【解析】
答案;D
（2014课标全国Ⅰ，文15)设函数则使得成立的的取值范
围是________.
【解析】
解：
答案：
5.（2015课标全国Ⅰ，文10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=
（A）- （B）- （C）- （D）-
【解析】
解;
答案;A21cnjy.com
6.（2017课标全国Ⅰ，文9）已知函数，则
A．在（0,2）单调递增 B．在（0,2）单调递减
C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1,0）对称
【解析】
解:
答案：C
7.（2014课标全国Ⅱ，理15）已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.【出处：21教育名师】
【解析】
解：
答案：（-1,3）
8.（2014课标全国Ⅱ，文11）若函数在区间单调递增，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【解析】
解：
答案：D
9.（2017课标全国Ⅱ，理8）函数 的单调递增区间是
A.(-,-2) B. (-,-1) C.(1, +) D. (4, +)
【解析】
解:
; 答案：D
10（2017课标全国Ⅲ，理15）设函数则满足的x的取
值范围是_________。
【解析】
解:
答案：
