2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.3函数的奇偶性与周期性
[最新考纲]
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
知识回顾
一、函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数
关于 对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数
关于 对称
注：
1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2·1·c·n·j·y
2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。
二、奇(偶)函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”)．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是 ，两个奇函数的积函数是偶函数．
②两个偶函数的和函数、积函数是 ．
③一个奇函数，一个偶函数的积函数是 ．
若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝（ ）
1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 （填 “相同”、“ 相反”）。
2、在公共定义域内，
亦即：
（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；
（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。
注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。
3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.
4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；
5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
6、可逆性： 是偶函数；
奇函数；
7、等价性：
8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．www-2-1-cnjy-com
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．21教育名师原创作品
四、函数奇偶性的判定
<1>利用定义判断函数奇偶性的一般步骤
，即：
（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。
（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系
①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为 ；
②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为 ；
③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x) ;
④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x) 。
<2>图象法：
<3>性质法：
<4>一些重要类型的奇偶函数
函数f(x)=ax+a-x为偶函数;
函数f(x)=ax-a-x为奇函数；
函数f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（a>0且a≠1）为奇函数；
函数f(x)=loga()为奇函数（a>0且a≠1）;
函数f(x)= loga()为奇函数（a>0且a≠1）
五、分段函数的奇偶性
1、分段函数奇偶性的判定步骤
分析定义域是否关于原点对称；
对x的值进行分段讨论，寻求f(X)与f(-X)在各段上的关系；
综合（2）在定义域内f(X)与f(-X)的关系，从而判断f(X)的奇偶性。
注：奇偶性是函数的一个整体性质，不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。
六、抽象函数的奇偶性
判断（或证明）抽象函数的奇偶性的步骤
利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现f(x),f(-x)）;
巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；
找出f(X)与f(-X)关系，得出结论。
七、函数奇偶性应用
应用函数奇偶性可解决的问题及方法：
(1)已知函数的奇偶性，求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
(2)已知函数的奇偶性求解析式
将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.【出处：21教育名师】
(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值
常常利用待定系数法：利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.
(4)应用奇偶性画图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
八、函数的周期性及其应用
关于周期函数的常用结论：
（1）若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：
①，则函数f(x)必为周期函数， 是它的一个周期；
②f(x+a)=，则函数f(x)必为周期函数， 是它的一个周期；
③，则函数f(x)必为周期函数， 是它的一个周期；
(2)如果T是函数y=f(x)的周期，则
①kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)；
②若已知区间［m,n］(m
考点例题精析
考点一 函数奇偶性的判断及应用
【例1】（1）已知函数f(x)＝则该函数是 ( )．
A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减
C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减
（2）函数是（ ）
A. 是奇函数又是减函数
B. 是奇函数但不是减函数
C. 是减函数但不是奇函数
D. 不是奇函数也不是减函数
解析 (1)当x>0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x<0时2x－1<0，故f(x)为R上的增函数．21·cn·jy·com
(2)
为奇函数，而为减函数.
答案 C，A
规律方法
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．【来源：21·世纪·教育·网】
【变式训练1】 (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞，0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是 ( )
A．(-∞，2)
B．(2，+∞)
C．(-∞，-2)∪(2，+∞)
D．(-2，2)
(2)设函数f(x)在(-∞，+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)．f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0．21*cnjy*com
试判断函数y=f(x)的奇偶性；
考点二 函数的单调性与奇偶性
【例2】 (1)f(x)＝2x＋sin x为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f(1－a)＋f(1－2a)<0的解集是 ________.
解析 f(x)在(－1,1)上是增函数，且f(x)为奇函数．于是原不等式为f(1－a)解得答案
若函数是偶函数，则的递减区间是 .
解析:由函数是偶函数，则有
解得的递减区间
答案
规律方法
对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
【变式训练2】 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数．求实数a的取值范围．
考点三 分段函数的奇偶性与抽象函数的奇偶性
〖例1〗已知函数。试判断的奇偶性
分析：确定定义域判断每一段上与的关系判断整个定义域上与的关系结论。
解答：由题设可知函数的定义域关于原点对称。
当时，
注：分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(-x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．www.21-cn-jy.com
〖例2〗判断函数 的奇偶性
解析：显然函数f(x)的定义域为：(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；
当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数；
【变式训练3】已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)．
【变式训练4】函数f(x)=lg(1+x2)，g(x)==tan2x中________是偶函数
考点四 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用
【例3】 (经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．2-1-c-n-j-y
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
审题路线 f(x－4)＝－f(x)f(x－8)＝f(x)→结合f(x)奇偶性、周期性把－25,11,80化到区间[－2,2]上→利用[－2,2]上的单调性可得出结论．
解析 ∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．21教育网
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．【版权所有：21教育】
∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，
f(x)在R上是奇函数，
∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
答案 D
规律方法
关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．21*cnjy*com
【变形训练5】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x+2)=-f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)=2x+x2．
(1)求证:f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
（3）计算:(0+)f(1)+f(2)+…+f(2004)
小结
1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)．
3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
方法优化1——根据函数的奇偶性求参数值
【典例】 (2011·辽宁卷)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )．
A. B. C. D．1
[一般解法] 由题意知f(－x)＝－f(x)恒成立，
即＝－，
即(x＋a)＝(x－a)恒成立，所以a＝.
[优美解法] (特值法)
由已知f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)，
即＝，
所以a＋1＝3(1－a)，解得a＝.
[答案] A
[反思感悟] 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函数的奇偶性的定义转化为f(－x)＝±f(x)，从而建立方程，使问题获得解决，但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为了使解题更快，可采用特值法．21世纪教育网版权所有
【自主体验】
若函数f(x)＝是奇函数，则a的值为( )．
A．0 B．1 C．2 D．4
真题汇编
1.（2014课标全国Ⅰ，理3）.设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是
.是偶函数 .||是奇函数
.||是奇函数 .||是奇函数
2.（2015课标全国Ⅰ，理13）若函数为偶函数，则
3.（2014课标全国Ⅰ，文5）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是
是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
4.（2014课标全国Ⅱ，文15） 偶函数的图像关于直线对称，，则=________.
5.（2017课标全国Ⅱ，文14）已知函数是定义在R上的奇函数，当x时，,则 21·世纪*教育网
6.（2016课标全国Ⅲ，理15）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。
7.（2016课标全国Ⅲ，文16）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.3函数的奇偶性与周期性
知识回顾
一、函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
二、奇(偶)函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．21cnjy.com
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．
③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．
若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。21世纪教育网版权所有
三、周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．www.21-cn-jy.com
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．www-2-1-cnjy-com
四、函数奇偶性的判定
1、相关链接
<1>利用定义判断函数奇偶性的一般步骤
，即：
（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。
（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系
①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数；
②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数；
③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;
④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
<2>图象法：
<3>性质法：
<4>一些重要类型的奇偶函数
函数f(x)=ax+a-x为偶函数;
函数f(x)=ax-a-x为奇函数；
函数f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（a>0且a≠1）为奇函数；
函数f(x)=loga()为奇函数（a>0且a≠1）;
函数f(x)= loga()为奇函数（a>0且a≠1）
八、函数的周期性及其应用
关于周期函数的常用结论：
（1）若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：
①，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；
②f(x+a)=，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；
③，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；
考点例题精析
考点一 函数奇偶性的判断及应用
【变式训练1】 (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞，0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是 ( )
A．(-∞，2)
B．(2，+∞)
C．(-∞，-2)∪(2，+∞)
D．(-2，2)
解析∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)=f(|x|)．∴f(x)<0．f(|x|)＜f(2)．又∵f(x)在(-∞，0)上是减函数，∴f(x)在[0，+∞]上是增函数，|x|＜2-2(2)设函数f(x)在(-∞，+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)．f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0．21教育网
试判断函数y=f(x)的奇偶性；
解析 由f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)得函数丁y=f(x)的对称轴为x=2和x=7．
从而知函数y=f(x)不是奇函数．
由f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)．从而知f(x)是周期为10的周期函数．【来源：21·世纪·教育·网】
又f(3)=f(1)=0,而f(7)=f(-3)≠0．
故函数y=f(x)是非奇非偶函数
考点二 函数的单调性与奇偶性
【变式训练2】 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数．求实数a的取值范围．
解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
当a＝0时，f(x)＝x2，(x≠0)
显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，
因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，
所以函数f(x)＝x2＋既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)f′(x)＝2x－＝，
当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
当a>0时，由f′(x)＝>0，
解得x> ，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
可知 ≤2.解得0综上可知实数a的取值范围是(－∞，16]．
考点三 分段函数的奇偶性与抽象函数的奇偶性
【变式训练3】已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)．
分析：判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看f(-x)与f(x)的关系，进而得出函数的奇偶性；解决本题的关键是在f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出现f(-x)；用a表示f(12)实际上是如何用f(-3)表示f(12)，解决该问题的关键是寻找f(12)与f(-3)的关系．
解答：
【变式训练4】【变式训练4】函数f(x)=lg(1+x2)，g(x)==tan2x中________是偶函数2·1·c·n·j·y
解析：f(x)、g(x).运用奇偶性定义进行判断。
考点四 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用
【变形训练5】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x+2)=-f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)=2x+x2．21*cnjy*com
(1)求证:f(x)是周期函数；
解析：(1)f(x+2)=-f(-x), ∵f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
∴f(x)是周期为4的周期函数。
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
答案：当x∈[-2,0]时，-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.
又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2. ∴f(x)=x2+2x.
又当x ∈[2,4]时，x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).
又f(x)是周期为4的周期函数。
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
因而求得 x∈[2,4] 时f(x)=x2-6x+8.
（3）计算:(0+)f(1)+f(2)+…+f(2004)
答案：f(0)=0f(2)=0f(1)=1f(3)=-1,又f(x)是周期为4的周期函数。
所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2000)+f(2001)+f(2002)+f(2003)=0.
又f(2004)=f(0)=0, ∴f(0)+f(1)+f(2)+ …+f(2004)=0.
方法优化1——根据函数的奇偶性求参数值
【【自主体验】
若函数f(x)＝是奇函数，则a的值为( )．
A．0 B．1 C．2 D．4
解析 由f(－1)＝－f(1)，得＝，
∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0.
答案 A
真题汇编
1.（2014课标全国Ⅰ，理3）.设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是21·cn·jy·com
.是偶函数 .||是奇函数
.||是奇函数 .||是奇函数
【解析】
∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数． 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数， 可得?f（x）|g（x）|为奇函数， 故选：C．21·世纪*教育网
2.（2015课标全国Ⅰ，理13）若函数为偶函数，则
解析:
解：∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).
又f(-1)=-ln(-1+)=ln,f(1)=ln(1+),【来源：21cnj*y.co*m】
因此ln(+1)-ln a=ln(+1),
于是ln a=0,∴a=1.
答案:a=1
3.（2014课标全国Ⅱ，文15） 偶函数的图像关于直线对称，，则=________.
解析:
解:
答案:a=3
5.（2017课标全国Ⅱ，文14）已知函数是定义在R上的奇函数，当x时，,则 【出处：21教育名师】
【解析】
解：
答案：12
6.（2016课标全国Ⅲ，理15）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。【版权所有：21教育】
【解析】
由题意可得当时,，则，
，则在点处的切线方程为，即．
答案：
7.（2016课标全国Ⅲ，文16）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.
【解析】
解：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．2-1-c-n-j-y
答案：．
?
