课件31张PPT。 第 一 章 计数原理1．1 分类加法计
数原理与分步乘法计数原理
1．1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用自主学习 新知突破1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2．会利用两个基本原理分析和解决一些简单的实际问题．2013年3月3日政协十一届三次会议在北京举行，某政协委员3月2日要从泉城济南前往北京参加会议．他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车组．假如这天飞机有3个航班可乘，动车组有4个班次可乘． [问题] 此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？
[提示] 3＋4＝7.此委员这一天从济南到北京共有7种快捷途径．1．完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝___________种不同的方法．
2．如果完成一件事情有n类不同方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N＝ _________________ 种不同的方法．分类加法计数原理m＋nm1＋m2＋…＋mn1．完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝__________种不同的方法．
2．如果完成一件事情需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N＝ _________________种不同方法．分步乘法计数原理m1×m2×…×mnm×n关于分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
解析： 要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．
答案： B
2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )
A．18个 B．17个
C．16个 D．10
解析： 分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．
答案： B
3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________．
解析： 第1步取b的数，有6种方法；第2步取a的数，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．
答案： 364．有不同的红球8个，不同的白球7个．
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
解析： (1)由分类加法计数原理得，
从中任取一个球共有8＋7＝15种取法．
(2)由分步乘法计数原理得，
从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法.合作探究 课堂互动分类加法计数原理 新华中学高一有优秀班干部5人，高二有优秀班干部7人，高三有优秀班干部8人，现在学校组织他们去参加旅游活动，需要推选一人为总负责人，有多少种不同的选法？ [思路点拨] 方法一(定义法)：由于要从三个年级的优秀班干部中选出一人，故可分为三类：第一类从高一的5名优秀班干部中选取一人，有5种选法；第二类从高二的7名优秀班干部中选取一人，有7种选法；第三类从高三的8名优秀班干部中选取一人，有8种选法．又根据分类加法计数原理知，共有5＋7＋8＝20种不同的选法．方法二(枚举法)：因为只取一人，这样设三个年级的优秀班干部分别为A1，A2，A3，A4，A5；B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7；C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8，从以上20种情况中选一人有20种选法．
方法三(表格法)：因为推选1人，从三个年级中选取，列表如下：
所以共有5＋7＋8＝20种选法． [规律方法] 利用分类加法计数原理解题的步骤和原则1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解析： 根据题意，将十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．
由分类加法计数原理知：符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．分步乘法计数原理 从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？ [思路点拨] [规律方法] 利用分步乘法计数原理的步骤：2．要安排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？
解析： 先排第一天，可排5人中任一人，有5种排法；
再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；
再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有4种排法；
同理，第四、五天各有4种排法．
由分步乘法计数原理可得值班表不同的排法共有：
N＝5×4×4×4×4＝1 280种．◎用0到6这7个数字，可以能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【错解一】 分4步进行：第1步，排个位，在0,2,4,6中选一个有4种方法；第2步，排十位，有6种方法；第3步，排百位有5种方法；第4步，排千位有4种方法，共有方法种数4×6×5×4＝480.
【错解二】 考虑到首位不能排数字0，分4步进行：第1步，排千位，在1,2,3,4,5,6中选1个，有6种方法；第2步，排个位，在0,2,4,6中选1个，有4种方法；第3步，排十位，在余下的5个数字中选1个，有5种方法；第4步，排百位，在余下的4个数字中选1个，有4种方法；共有6×4×5×4＝480种方法．
[提示] 错解一忽视数字0不能在首位的约束，按此排法有可能为“0134”这种不符合要求的情况．
错解二忽视了题目“无重复数字的四位数”的约束，按此排法有可能为“2032”，不符合条件．
若先排首位，应考虑排的是1,3,5还是2,4,6，因它直接关系到第2步排个位的选取；
若先排个位，应考虑是否排0，因为它关系到首位的选排． 【正解】 分两类：第1类，首位取奇数数字(可取1,3,5中任一个)，则末位数字可取0,2,4,6中任一个，而百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位则不能取与这三个数字重复的数字，故共有3×4×5×4＝240种取法．
第2类，首位取2,4,6中某个偶数数字，如2时，则末位只能取0,4,6中任一个，百位又不能取与上述重复的数字，十位不能取与这三个数字重复的数字，故共有3×3×5×4＝180种取法．
故共有240＋180＝420个无重复数字的四位偶数.谢谢观看！课件46张PPT。1.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用自主学习 新知突破1．进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组，若推选两人做小组组长，这两人需来自不同的班级．
[问题] 有多少种不同的选法？
[提示] 分六类，每类又分两步，从一班、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．两个计数原理在解决计数问题中的方法1．分类要做到“____________”，分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
2．分步要做到“________”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．应用两个计数原理应注意的问题不重不漏步骤完整两个计数原理的使用方法
(1)合理分类，准确分步
处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，接下来要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)．也就是要确定一个合理的分类标准．分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性． (2)特殊优先，一般在后
解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．
(3)分类讨论，数形结合，转化与化归
分类讨论就是把一个复杂的问题，通过正确划分，转化为若干个小问题予以击破，这是解决计数问题的基本思想．
数形结合，转化与化归也是化难为易，化抽象为具体，化陌生为熟悉，化未知为已知的重要思想方法，对解决计数问题至关重要．解析： 由分步乘法计数原理得5×5×5×5×5×5＝56.
答案： A
2．(2015·郑州高二检测)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种 B．35种
C．42种 D．48种
解析： 选3门课程，要求A，B两类至少各选1门，可分为两种情况，一类是A类选修2门，B类选修1门，共有3×4＝12种选法；另一类是A类选修1门，B类选修2门，共有3×6＝18种选法．根据分类加法计数原理可得符合条件的选法共有12＋18＝30(种)．
答案： A3．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示五个盒子中．要求每个盒子只能放一个小球，且A不能放1,2号，B必须放在与A相邻的盒子中．则不同的放法有________．
解析： 以小球A放的盒为分类标准，共分为三类：第一类，当小球放在4号盒内时，不同的放法有3×2×1＝6(种)；第二类，当小球放在3号盒内时，不同的放法有3×3×2×1＝18(种)；第三类，当小球放在5号盒内时，不同的放法有3×2×1＝6(种)．综上所述，不同的放法有6＋18＋6＝30(种)．
答案： 30种
4．由数字1,2,3,4
(1)可组成多少个3位数；
(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；
(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字．
解析： (1)百位数共有4种选法；十位数共有4种选法；个位数共有4种选法，根据分步乘法计数原理知共可组成43＝64个3位数．
(2)百位上共有4种选法；十位上共有3种选法；个位上共有2种选法，由分步乘法计数原理知共可组成没有重复数字的3位数4×3×2＝24(个)．
(3)组成的三位数分别是432,431,421,321共4个.合作探究 课堂互动组数问题 有0,1,2，…8这9个数字．
(1)用这9个数字组成四位数，共有多少个不同的四位数？
(2)用这9个数字组成四位的密码，共有多少个不同的密码？
[思路点拨] 四位密码的首位可为0，四位数的首位不能为0. (1)题中未强调四位数的各位数字不重复，故只需强调首位不为0，依次确定千、百、十、个位，各有8,9,9,9种方法．
所以共能组成8×93＝5 832个不同的四位数．
(2)与(1)的区别在于首位可为0.
所以共能组成94＝6 561个不同的四位密码． [规律方法] 对于组数问题的计数：一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，每类中再分步来计数；但当分类较多时，可用间接法先求出总数，再减去不符合条件的数去计数．1．(1)用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的①四位密码？②四位数？
(2)从1到200的这200个自然数中，每个位数上都不含数字8的共有多少个？解析： (1)①完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120个．②完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．
(2)本题应分3类来解决：
第1类，一位数中，除8以外符合要求的数有8个；
第2类，两位数中，十位数除0,8以外有8种选法，而个位数除8以外有9种选法，故两位数中符合要求的数有8×9＝72个；
第3类，三位数中，
①百位数为1，十位数和个位数上的数字除8以外都有9种选法，故三位数中，百位数为1的符合要求的数有9×9＝81个；
②百位数为2的数只有200这一个符合要求．
故三位数中符合要求的数有81＋1＝82个．
由分类加法计数原理知，符合要求的数字共有8＋72＋82＝162个．种植与涂色问题 用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色．
(1)若n＝6，则为甲图着色时共有多少种不同的方法；
(2)若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.[思路点拨]
解析： (1)对区域A，B，C，D按顺序着色，为A着色有6种方法，为B着色有5种方法，为C着色有4种方法，为D着色有4种方法，由分步乘法计数原理，共有着色方法6×5×4×4＝480(种)．
(2)对区域A，B，C，D按顺序着色，为A着色有n种方法，为B着色有n－1种方法，为C着色有n－2种方法，为D着色有n－3种方法，
利用分步乘法计数原理，不同的着色方法数是：
n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，
解得(n2－3n)(n2－3n＋2)＝120.
即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0.
∴(n2－3n－10)(n2－3n＋12)＝0.
∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去)，
解得n＝5或n＝－2(舍去)，
故n＝5.
[规律方法] 本题是一个涂色问题，是计数问题中的一个难点．求解时要注意以下两点：一要考察全面；二要注意策略．如上述解法把A，D作为讨论区域，求解时优先考察这两个区域．2.如图有4个编号为1、2、3、4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻(有公共边界)的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？
解析： 分为两类：
第一类：若1、3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法．
故N1＝5×4×1×4＝80种．
第二类：若1、3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．
故N2＝5×4×3×3＝180种．
综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260种．两个计数原理的综合应用 假设在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
[思路点拨] 因有两人既会下象棋又会下围棋，在选两人时要分类讨论．
[规律方法] 应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是分清“分类”与“分步”．使用分类加法计数原理时必须做到不重不漏，各类的每一种方法都能独立完成；使用分步乘法计数原理时分步必须做到各步均是完成事件必须的、缺一不可的步骤．3．(1)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数个数是多少？
(2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＞a2且a3＞a2，则称这样的三位数为凹数(如102,323,756等)，那么所有凹数个数是多少？解析： (1)分8类：当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1、0，由分步乘法计数原理，有1×2＝2个；
当中间数为3时，百位可选1、2，个位可选0、1、2，由分步乘法计数原理，有2×3＝6个；同理可得：
当中间数为4时，有3×4＝12个；
当中间数为5时，有4×5＝20个；
当中间数为6时，有5×6＝30个；
当中间数为7时，有6×7＝42个；
当中间数为8时，有7×8＝56个；
当中间数为9时，有8×9＝72个；
故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．
(2)分8类：当中间数为0时，百位可选1～9，个位可选1～9，由分步乘法计数原理，有9×9＝81个；当中间数为1时，百位可选2～9，个位可选2～9，由分步乘法计数原理，有8×8＝64个；同理可得：
当中间数为2时，有7×7＝49个；
当中间数为3时，有6×6＝36个；
当中间数为4时，有5×5＝25个；
当中间数为5时，有4×4＝16个；
当中间数为6时，有3×3＝9个；
当中间数为7时，有2×2＝4个；
当中间数为8时，有1×1＝1个；
故共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285个．◎有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？ 【错解】 第一步，种植A试验田有4种方法；
第二步，种植B试验田有3种方法；
第三步，种植C试验田有3种方法；
第四步，种植D试验田有2种方法；
由分步乘法计数原理知，共有N＝4×3×3×2＝72种种植方法．
[提示] 若按A，B，C，D的顺序依次种植作物，会导致D试验田的种植数受C试验田的影响，情况复杂．实际上种植C，D两块试验田再作为一步，用分类加法计数原理求解．【正解】 方法一：第一步，第二步与错解相同．
第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法．
若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法．
由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种方法．
第四步，由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法．
方法二：(1)若A，D种植同种作物，则A，D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法．
(2)若A，D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法．
综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法.谢谢观看！课件42张PPT。1．2 排列与组合
1．2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式自主学习 新知突破1．理解并掌握排列的概念．
2．理解并掌握排列数公式．
3．能利用排列数公式进行求值和证明．要从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
[提示] 从3名同学中选1名参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，可以看成是先选1名同学参加上午的活动，再选1名同学参加下午的活动这两个步骤完成，先选1名同学参加上午的活动，共有3种选法；再选1名同学参加下午的活动，共有2种选法，∴完成这件事共有3×2＝6种选法． 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照___________________________排成一列，叫做_______________________________________的一个排列．排列的定义一定的顺序从n个不同元素中取出m个元素排列数所有不同排列的个数 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n！ 1 对排列概念的理解
(1)我们把问题中被取的对象叫做元素．
(2)排列的定义中包含两个基本内容：一是“提取元素”；二是“按一定的顺序排列”．因此，排列要完成“一件事情”是“取出m个元素，再按顺序排列”．
(3)若干个元素按照一定顺序排成一列，元素不同或元素相同但顺序不同的排列都是不同的排列，即当且仅当两个排列的元素和顺序都相同时才是同一个排列．
(4)研究排列问题时，要特别注意，排列是从一些不同元素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重复抽取同一元素的情况．1．我体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( )
A．6种 B．30种
C．360种 D．A种
解析： 问题为6选5的排列即A.
答案： D
3．下列问题是排列问题的是________．
(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，有多少种不同的结果；
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，有多少种不同的结果．答案： (2)4．写出从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列．
解析： 画出树形图如图所示：
因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.合作探究 课堂互动有关排列的概念 下列哪些问题是排列问题：
(1)从10名学生中抽2名学生开会；
(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；
(3)以圆上的10个点为端点作弦；
(4)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？
[思路点拨] 判断是否为排列问题的关键是：选出的元素在被安排时，是否与顺序有关． (1)2名同学开会没有顺序，不是排列问题；
(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题；
(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题；
(4)显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关，是排列问题；
(5)飞机票使用时，有起点和终点之分，故飞机票的使用是有顺序的，是排列问题；
(6)焦点在y轴上的椭圆，方程中的a，b必有a＞b，a，b的大小一定，不是排列问题．
[规律方法] 判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一步取出的元素无重复性，第二步选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是不是排列的关键．1．判断下列问题是否为排列问题．
(1)选2个小组分别去种树和种菜；
(2)选5个小组去种花；
(3)选10人组成一个学习小组；
(4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．
解析： (1)种树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；
(2)，(3)不存在顺序问题，不属于排列问题；
(4)中每个人的职务不同，如甲可能当班长，还是当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．树形图法在解决简单排列问题中的应用 从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．
(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；
(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．[思路点拨] (1)组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．
由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数.
4分 画出下列树形图：
7分
由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321. 8分 [规律方法] “树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．2．四人A，B，C，D坐成一排，其中A不坐在排头，写出所有的坐法．
解析： 表示所有坐法的树形图如下：
由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.有关排列数的计算◎从1,2,3,4,7,9这六个数中任取两个数分别作为一个对数的底数与真数，可组成多少个不同的对数值？
【错解】 符合条件的对数值可分为两类：
第1类，若1为真数，而2,3,4,7,9中任何一个为底数，得的对数值均为零，仅1个；
第2类，若2,3,4,7,9中任何一个为真数，而不能作底数，其底在余下的4个数中选1个，共有不同的对数值5×4＝20(个)．
综上，共有21个不同的对数值．
[提示] 审题不细，重复计算．忽略了对数值相同的情况：log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94.解决此类问题要做到：审题细致，避免重复、遗漏；对数性质loganbn＝logab(a＞0，a≠1，b＞0，n∈N*)．
【正解】 分两类：第1类，1作为真数时值为0，仅1个；
第2类，对数的底与真数是从2,3,4,7,9中任取2个的排列有A＝5×4＝20(个)，共20＋1＝21(个)．
但底数和真数都不相同而对数值相同的有log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，故共有21－4＝17个不同的对数值.谢谢观看！课件42张PPT。第2课时 排列的应用自主学习 新知突破1．掌握常见的几种有限制条件的排列问题．
2．能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题．甲、乙、丙三人排成一排，你能写出甲必须站在乙左侧的全部排法吗？(1)特殊元素优先法：对于有特殊元素的排列问题，一般应先考虑_________元素，再考虑其他元素．
(2)特殊位置优先法：对于有特殊位置的排列问题，一般先考虑_________位置，再考虑其他位置．
(3)相邻问题捆绑法：对于要求某几个元素相邻的排列问题，可将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”元素，与其他元素一起排列，然后再对_______元素内部进行排列．解决排列问题常用的方法特殊特殊捆绑
(4)不相邻问题插空法：对于要求有几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后将________的元素插入在已排好的元素之间及两端空隙处．不相邻1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36 B．120
C．720 D．240
答案： C2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．480种3．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．
4．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼，红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？合作探究 课堂互动无限制条件的排列问题 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(2)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？
[思路点拨] (1)选出3个课题进行排列；
(2)每个学习小组都选一个课题． (1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列．
因此不同的安排方法有A＝5×4×3＝60种．
(2)由题意知，3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．
由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事．由分步乘法计数原理得，共有5×5×5＝125种报名方法．
[规律方法] 没有限制条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类题相对简单，分清元素和位置即可．1．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．答案： 15 “在”与“不在”的问题 6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站右端，也不站左端；
(2)甲、乙站在两端；
(3)甲不站左端，乙不站右端．[思路点拨]
[规律方法] 排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．2．(1)某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？
(2)用0,1,2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：
①五位奇数；
②大于30 000的五位偶数． “相邻”与“不相邻”问题 7人站成一排，
(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？
(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？
[思路点拨] 元素相邻，可以视为一个元素，即将甲、乙或甲、乙、丙“捆绑”在一起，视为一个元素，与其他元素一起排列．至于不相邻问题，可以用“总”的排法减去“相邻”的排法，也可以用插空法解决． [规律方法] 元素相邻和不相邻问题的解题策略3．4个男同学和3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？
(4)男生与女生相间排列的方法有多少种？◎从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有多少种？
[提示] 上述解答是首先考虑甲、乙两个特殊元素，但考虑不周全，甲、乙二人还可能选不上呢，或者只选甲、乙二人中的一人呢，所以应分三类情况．谢谢观看！课件39张PPT。1.2.2 组 合
第1课时 组合与组合数公式自主学习 新知突破1．理解组合与组合数的概念．
2．会推导组合数公式，并会应用公式求值．
3．了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．①从全班50人中选出7人组成班委会；
②从全班50人中选出7人分别担任班委中的7个不同的职务；
③从1,2,5,11,19这五个数中取出两个数可得多少个不同的真分数；
④从1,2,5,11,19这五个数中取出两个数可得多少个不同的差．
(1)上面问题中是排列问题的是________．
(2)①③的共同特征是什么？
[提示] (1)①与顺序无关不是排列问题，②④选取元素不同且与顺序有关是排列问题．③中任取出的两个数是不等的，只能确定唯一一个真分数，与顺序无关，不是排列问题．
(2)取出的元素不同且无需排序一般地，从n个________元素中_____________________ ____________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合不同取出m(m≤n)个元素合成一组组合概念的理解
(1)组合的定义中包含两个基本内容：一是“提取元素”；二是“合成一组”，因此，组合要完成“一件事件”是“取出m个元素后再不管顺序地并成一组”．
(2)同排列的要求一样，组合也要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也互不相同．
(3)只要两个组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合．只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 1．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的______________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的组合数．用符号__________表示．组合数所有不同组合的个数1 1．下面几个问题中属于组合问题的是( )
①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．
A．①③ B．②④
C．①② D．①②④
解析： ①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．
答案： C解析： 当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.
答案： A3．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女一定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型所有可能情况有________种．
4．判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．
(1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？
(3)10支球队进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(4)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？
(5)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？解析： (1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区别的．
(2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别．
(3)是排列问题．因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．
(4)是组合问题．因为3个代表之间没有顺序的区别．
(5)是排列问题．因为3个人中，担任哪一科的代表是有顺序区别的.合作探究 课堂互动组合的有关概念 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？
(2)10名同学分成人数相同的两个学习小组，共有多少种分法？(3)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
(4)从a，b，c，d四名学生中选2名，去完成同一件工作，有多少种不同的选法？
[思路点拨] 要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关． (1)两人之间相互握手，与顺序无关，故是组合问题；
(2)分成的两个学习小组没有顺序，是组合问题；
(3)取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题；
(4)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． [规律方法] 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．1．判断下列问题是组合问题还是排列问题．并用组合数或排列数表示出来．
(1)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？
(2)10支球队以单循环制进行比赛，共需要进行多少场比赛？
(3)10支球队主客场制进行比赛，共需要进行多少场比赛？
(4)有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，不同的选法种数是多少？写出问题的组合 (1)已知a，b，c，d这4个元素，写出每次取出2个元素的所有组合；
(2)已知A，B，C，D，E这5个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．
[思路点拨] 先将元素按一定顺序写出，然后按照顺序用图示的方法逐步写出各个组合即可． [规律方法] 1.此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如方法一)或“树形图法”(如方法二)，直观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路．防止重复或遗漏．2．从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？有关组合数的计算答案： (1)66 (2)466谢谢观看！课件48张PPT。第2课时 组合的综合应用自主学习 新知突破1．掌握组合的有关性质．
2．能解决有关组合的简单实际问题．
3．能解决无限制条件的组合问题．有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有多少种？排列与组合的共同点都是“从n个不同元素中，任取m个元素”，如果交换两个元素的位置对结果产生影响，就是___________；反之，如果交换两个元素的位置对结果没有影响，就是___________．简而言之，__________与顺序有关， __________与顺序无关．排列与组合的联系和区别排列问题组合问题排列问题组合问题解决该问题的一般思路是先选后排，先____________后____________，解题时应灵活运用_______________原理和__________________原理．分类时，注意各类中是否分步，分步时注意各步中是否分类．解排列组合综合题的思路组合排列分类加法计数分步乘法计数1．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有( )
A．120种 B．5种
C．240种 D．180种2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种3．安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种(用数字作答)．
4．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有1名女生当选；
(2)两名队长当选；
(3)至少有1名队长当选．合作探究 课堂互动有限制条件的组合问题 “抗震救灾，众志成城”．在我国四川“5·12”地震发生后，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴抗震救灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
[思路点拨] 分清“至少”、“至多”的含义，合理的分类或分步进行求解．
[规律方法] 1.含“至多”、“至少”问题的解法
解组合问题时，常遇到至多、至少问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量，当限制条件较多时要恰当分类，逐一求解．
2．“都是”、“都不是”与某元素的“含”、“不含”是同类型的，首先需将给定的总元素分类，才能判断所选取的元素分别来源于哪一类元素中．1．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选．组合中的分组问题 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
[思路点拨] (1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组”问题，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．
[规律方法] “分组”与“分配”问题的解法
(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益，要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的．
(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．2．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？
(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．几何中的组合问题 (1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？
(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？
[思路点拨] 四面体可看作不共面四点的一个组合，四棱锥是共面四点与平面外一点的组合．
(1)可用间接法，(2)可用直接法．
[规律方法] 1.几何组合应用题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多是以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情景新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．
2．这类题的解答方法与组合应用题的方法基本一样，也就是把图形中的隐含条件视为有限制条件的组合应用题．计算时可用直接法，也可用间接法．要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．3．平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．
(1)经过这9个点，可确定多少条直线？
(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？
(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？组合、排列的综合问题 现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内：
(1)共有几种放法？
(2)恰有1个空盒，有几种放法？
(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？ [思路点拨] 此题关键是(2)，恰有1个空盒相当于一定有2个小球放在同一个盒子中，因此，先从4个不同的小球中取出2个放在一起(作为一个整体)，是组合问题．又因为4个盒子中只有1个是空的，所以另外3个盒子中分别放入2个，1个，1个小球，是排列问题．
[规律方法] 1.解排列组合的综合问题，首先要认真审题，把握问题的实质，分清是排列还是组合问题，再注意结合分类与分步两个原理，要按元素的性质确立分类的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序．
2．解排列组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．4．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？◎1.有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排，则不同的排法有________种．答案： 562．数学研究学习小组共有13名学生，其中男生8人，女生5人，从这13人里选出3个人准备做报告．在选出的3个人中，至少要有1名女生，一共有多少种选法？ [提示] 错因是上述解法中有重复计数．不妨设g1，g2，…，g5表示5名女生，b1，b2，…，b8表示8名男生．
(1)先选1名女生是g1，然后任选的2人是g2，b1；
(2)先选1名女生是g2，然后任选的2人是g1，b1.显然这是与(1)相同的选法．
对元素有“至少”或“至多”限制的组合应用题用直接法和间接法都可以，直接法根据条件分类列举，有时会分类过多；间接法用“没有限定条件”的总数减去“不符合条件”的种数，以免造成重复．谢谢观看！课件37张PPT。1.3 二项式定理
1．3.1 二项式定理自主学习 新知突破1．能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．
3．能解决与二项式定理有关的简单问题．[问题1] 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．
[提示1] (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. [问题2] 你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？二项式定理及相关的概念
又因为0≤r≤100，r∈N，所以r＝0,6，…，96，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，
由96＝0＋(n－1)×6得n＝17，
故系数为有理数的共有17项.合作探究 课堂互动二项式定理的展开式
[规律方法] 熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问题的关键，方法二相对方法一来说显得更加简单，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二项式定理的逆用
[思路点拨] (1)共有n＋1项，(－2)按升幂排列符合二项式定理形式．
(2)共有n＋1项，x＋1的指数最高次为n，依次递减至0，且每项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差． [规律方法] 本题是二项式定理的逆用，需要熟悉二项展开式的每个单项式的结构，若对公式还不很熟悉，可先把x＋1换元为a，再分析结构形式，则变得简单些． 求二项展开式的特定项 [思路点拨]
[规律方法] 求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数． [提示] 上面解答将“二项展开式中的第三项的二项式系数”当作了“第三项的系数”，解答显然是错误的．谢谢观看！课件44张PPT。1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质自主学习 新知突破1．了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题．
2．了解二项式系数的性质并能简单应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活应用．(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
(a＋b)11 1
(a＋b)21 2 1
(a＋b)31 3 3 1
(a＋b)41 4 6 4 1
(a＋b)51 5 10 10 5 1
(a＋b)61 6 15 20 15 6 1
[问题1] 你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
[提示1] 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．
[问题2] 计算每一行的系数和，你又看出什么规律？
[提示2] 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.杨辉三角的特点相等和二项式系数的性质相等 2n 1．在(a＋b)10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )
A．第8项 B．第7项
C．第9项 D．第10项2．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析： 只有x5的系数最大，x5是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n＝10.
答案： C
3．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．
解析： 依题可得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，
则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.
答案： －256合作探究 课堂互动与“杨辉三角”有关的问题 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19.
[思路点拨] 解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，利用组合的性质求和．
[规律方法] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．1．(1)如图所示，满足①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)的第2个数是________；(2)如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．二项展开式系数和问题 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. [思路点拨] 2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6.二项式系数的性质 [思路点拨] [规律方法] 1.求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
【正解】 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则：A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…
由已知可知：B－A＝38.
令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，谢谢观看！课件47张PPT。第 一 章 计数原理章 末 高 效 整 合知能整合提升1．两个计数原理的区别与联系
2.排列与组合概念及公式
(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
即排列和顺序有关，组合与顺序无关．
3．排列与组合的应用
(1)认真分析题目的条件和结论，明确“完成一件事”的具体含义，及完成这件事需要“分类”还是“分步”，还要搞清楚问题的解决与“顺序”有无关系，以确定是排列问题还是组合问题，解题时，可以借助示意图，表格等．(2)常用解题策略如下：
①包含特殊元素或特殊位置的问题，采用优先法，即先考虑特殊元素或特殊位置，特殊位置对应“排”与“不排”问题，特殊元素对应“在”与“不在”问题．
②某些元素要求“相邻”的问题，采用捆绑法，即将要求“相邻”的元素捆绑为一个元素，注意内部元素是否有序．
③某些元素要求“不相邻”的问题，采用插空法，即将要求“不相邻”的元素插入其他无限制条件的元素之间的空位或两端．
④直接计数困难的问题，采用间接法，即从方法总数中减去不符合条件的方法数．
⑤排列和组合的综合题，采用“先组后排”，即先选出元素，再排序．
[说明] ①二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关，而后者还与a，b的取值有关．
②运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r，再求所需的项(或项的系数)．
[说明] 与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解．热点考点例析两个计数原理的应用点拨： 基本原理提供了“完成某件事情”是“分类”进行，还是“分步”进行．在分类或分步中，针对具体问题考虑是与“顺序”有关，还是无关，来确定排列与组合． 有3封信，4个信简．
(1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？
(2)把3封信都寄出，且每个信简中最多一封信，有多少种寄信方法？
[思维点击] 本题关键是要搞清楚以“谁”为主研究问题．解决这类问题，切忌死记公式，应清楚哪类元素必须应该用完，就以它为主进行分析，再用分步计数原理求解．1．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成( )
A．7队 B．8队
C．15队 D．63队
解析： 由分步乘法计数原理，知共可组成7×9＝63队．
答案： D2.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A．400种 B．460种
C．480种 D．496种
解析： 从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480种，故选C.
答案： C点拨： 解决排列组合应用题的处理方法与策略
①特殊元素优先安排的策略；
②合理分类和准确分步的策略；
③排列、组合混合问题先选后排的策略；
④正难则反、等价转化的策略；
⑤相邻问题捆绑处理的策略；
⑥不相邻问题插空处理的策略；排列组合应用题的处理方法与策略
⑦定序问题除法处理的策略；
⑧分排问题直排处理的策略；
⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；
⑩构造模型的策略．
特别提醒： 分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏． 用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2,3相邻的偶数有________个．(用数字作答)
[思维点击] “个位”是特殊位置或“偶数数字”是特殊元素，应优先考虑．3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A．36种 B．30种
C．12种 D．6种4．从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？点拨： 1.区分“项的系数”与“二项式系数”．项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
2．切实理解“常数项”、“有理项(字母指数为整数)”、“系数最大的项”等概念．二项式定理
3．求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第几项．
4．赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
5．在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.
[思维点击] 本题各项系数的变化，除注意负号外，还要注意i的运算性质，各项系数的绝对值为二项式系数．5．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．51．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
A．22种 B．350种
C．32种 D．20种
解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22种．
答案： A2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．
答案： C
3．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252
C．261 D．279
解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.
答案： B4．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )
A．360 B．288
C．216 D．967．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？解析： (1)分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类计数原理可得，共有6＋7＋8＝21种不同的选法．
(2)每种选法分三步：第一步从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分步计数原理，共有6×7×8＝336种不同的选法．
(3)分三类，每类又分两步．第一类从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146种不同选法．8．设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值．
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；
(2)a6.谢谢观看！
