2018年高考一轮精讲精练(2013-2017)：
2.4 幂函数与二次函数
最新考纲
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况．
3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．
4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知识回顾
一、幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0]减，[0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)减，(0，＋∞)减
定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
二、幂函数定义的应用
1、相关链接
（1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量;③幂系数为1.21cnjy.com
（2）若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征.
（3）几个具体函数的定义
①正比例函数 ；
②反比例函数 ；
③一次函数 ；
④二次函数 ；
⑤幂函数 （）
三、幂函数的图象与性质
（一）幂函数的图象及应用
幂函数的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从三方面考查：
（1）的正负：>0时，图象过原点和（1，1），在第一象限的图象上升；<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；2-1-c-n-j-y
（2）曲线在第一象限的凹凸性：>1时，曲线下凸；0<<1时，曲线上凸；<0时，曲线下凸；
（3）=（其中，且互质）。
①当为偶数时，为偶函数，其图象关于轴对称；
②当都为奇数时，为奇函数，其图象关于原点对称；
③当为偶数，为奇数时，为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限。
(4)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内；
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
注：幂函数的图象无论取何实数，其必经过第一象限，且一定不经过第四象限。
（二）幂函数的性质与应用
<一>比较幂值大小的类型及方法
(1)当幂的底数相同，指数不相同时，可以利用指数函数的单调性比较；
(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；
(3)当幂的底数与指数都不同时，一种方法是作商，比较商值与1的大小关系，确定两个幂值的大小关系；另一种方法是找中介值，即找中间量，通过比较两个幂值与中间量的大小，确定两幂值的大小关系；【版权所有：21教育】
(4)比较多个幂值的大小，一般也采用中间量法，即先判断每个幂值与0、1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再比较大小，最后确定各数间的大小关系.
<二>幂函数y=xα的性质
(1)定义域、值域及奇偶性,要视α的具体值而定.
(2)当α＞0时，幂函数在(0，+∞)上是增函数，当α＜0时，幂函数在(0，+∞)上是减函数.
四、幂函数中的三类讨论题
所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略． 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．
五、二次函数
(1)二次函数的定义
形如f(x)＝ 的函数叫做二次函数．
(2)二次函数的三种常见解析式
①一般式： ；
②顶点式： ， 为顶点坐标；
③两根式： 其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．
(3)二次函数的图象和性质
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
图象
a>0
a<0
定义域
R
R
值域
y∈
y∈
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
b＝0?y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
递增
区间
递减
区间
最值
当x＝－时，y有最小值ymin＝
当x＝－时，y有最大值ymax＝
六、求二次函数的解析式
求二次函数解析式的方法及思路
求二次函数的解析式,一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【来源：21·世纪·教育·网】
七、二次函数图象与性质的应用
<一>求二次函数最值的类型及解法
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；www.21-cn-jy.com
(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．
<二>二次函数单调性问题的解法
结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解.
注：配方法是解决二次函数最值问题的常用方法,但要注意自变量范围与对称轴之间的关系.
八、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题
二次函数问题的解题思路
(1)解决一元二次方程根的分布问题的方法，常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.
(2)解决一元二次不等式的有关问题的策略，一般需借助于二次函数的图象、性质求解.
特别：幂函数中的三类讨论题
类型一：求参数的取值范围
〖例1〗已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式．
分析：函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式．
∵是偶函数，∴应为偶数．
又∵，即，整理，得，∴，∴．
又∵，∴或1．
当m=0时，为奇数（舍去）；当时，为偶数．
故m的值为1，．
评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．21·世纪*教育网
类型二：求解存在性问题
例2 已知函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【出处：21教育名师】
分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．21*cnjy*com
解：∵，则．
假设存在实数，使得满足题设条件，
设，则
若，易知，，要使在上是减函数，则应有恒成立．
∵，，∴．而，
∴.．
从而要使恒成立，则有，即．
若，易知，要使在上是增函数，则应有恒成立．
∵，，
∴，而，∴．
要使恒成立，则必有，即．
综上可知，存在实数，使得在上是减函数，且在上是增函数．
注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．
类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况
例3 讨论函数在时随着x的增大其函数值的变化情况．
分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．
解：（1）当，即或时，为常函数；
（2）当时，或，此时函数为常函数；
（3）即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；
（4）当即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；
（5）当即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；
（6）当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小．
评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．2·1·c·n·j·y
幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然．它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体．下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用．【来源：21cnj*y.co*m】
考点例题精析
考点一 幂函数的图象与性质的应用
【例1】 〖例1〗已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．定义试求函数h(x)的最大值以及单调区间.
【方法诠释】本题是求函数h(x)的最大值以及单调区间，只需作出其图象,数形结合求解即可，但由于在条件中已知函数h(x)在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求最大值及函数的单调区间，同时要注意函数端点值．
解析：设幂函数为f(x)=xα，因为点在f(x)的图象上，所以所以α=2，即f(x)=x2；又设g(x)=xβ，点()在g(x)的图象上，所以(－2)β=，所以β=－2，
即g(x)=x－2.在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示：
则有：
根据图象可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是(－∞，－1)和(0，1)，单调递减区间是(－1，0)和(1，+∞).
注：解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质去确认与应用，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解.
规律方法
(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
【变式训练1】 比较下列各组数的大小：
⑴，，1；
⑵，，.
考点二 二次函数的图象与性质
【例2】已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．定义试求函数h(x)的最大值以及单调区间.
【方法诠释】本题是求函数h(x)的最大值以及单调区间，只需作出其图象,数形结合求解即可，但由于在条件中已知函数h(x)在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求最大值及函数的单调区间，同时要注意函数端点值．
解析：设幂函数为f(x)=xα，因为点在f(x)的图象上，所以所以α=2，即f(x)=x2；又设g(x)=xβ，点()在g(x)的图象上，所以(－2)β=，所以β=－2，
即g(x)=x－2.在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示：
则有：
根据图象可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是(－∞，－1)和(0，1)，单调递减区间是(－1，0)和(1，+∞).
注：解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质去确认与应用，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解.
规律方法
解决二次函数的图象问题有以下两种方法：
(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；
(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．
【变式训练2】如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ( )．
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
考点三 二次函数的综合运用
【例3】 设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0,求实数a的取值范围.
【方法诠释】解答本题可以有两条途径：(1)分a＞0,a＜0,a=0三种情况,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min＞0,从而求出a的取值范围；
(2)将参数a分离得然后求的最大值即可.
解析：方法一：当a＞0时,
由f(x)＞0,x∈(1,4)得：
或或
或或
∴a≥1或或?,即
当a＜0时,
解得a∈?;
当a=0时,f(x)=-2x+2,
f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.
综上可得,
实数a的取值范围是
方法二：由f(x)＞0,即ax2-2x+2＞0,x∈(1,4),得
在(1,4)上恒成立.
令
所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立,只要即可.
注：1.一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，但要注意讨论.21世纪教育网版权所有
2.关于不等式的恒成立问题,能用分离参数法，尽量用.因为该法可以避开频繁地对参数的讨论.
规律方法
二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
【变式训练3】 (2014·江西九校联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(c＞0且为常数)的导函数的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式(用含c的式子表示)；
(2)令g(x)＝，求y＝g(x)在[1,2]上的最大值．
小结
1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．21*cnjy*com
3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．
答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题
【典例】 (12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．
[规范解答] 函数f(x)＝－2＋的图象的对称轴为x＝，应分＜－1，－1≤≤1，＞1，即a＜－2，－2≤a≤2和a＞2三种情形讨论． (2分)
(1)当a＜－2时，由图(1)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝－1－a； (5分)21教育网
(2)当－2≤a≤2时，由图(2)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f＝； (8分)
(3)当a＞2时，由图(3)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1. (11分)
综上可知，f(x)max＝ (12分)
[反思感悟]
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．
(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论f(x)max＝
答题模板
第一步：配方，求对称轴．
第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论．
第三步：求最值．
第四步：下结论．
【自主体验】
已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．
知识巩固练习
1．幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是( )．
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
2．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 ( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )．
A．f(－2)＜f(0)＜f(2) B．f(0)＜f(－2)＜f(2)
C．f(2)＜f(0)＜f(－2) D．f(0)＜f(2)＜f(－2)
4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )．21·cn·jy·com
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 ( )．
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
6．若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( )．
A．5－a＜5a＜0.5a B．5a＜0.5a＜5－a
C．0.5a＜5－a＜5a D．5a＜5－a＜0.5a
7．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )．
8．设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6,2]，则m＋n的取值所组成的集合为( )．www-2-1-cnjy-com
A．[0,3] B．[0,4]
C．[－1,3] D．[1,4]
9.若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．
10．已知函数y＝－x2＋4ax在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
11．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．21教育名师原创作品
12.已知函数f(x)的二项式系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为(1，3)．
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
13．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)＞－2x的解集为{x|1＜x＜3}，方程f(x)＋6a＝0有两相等实根，求f(x)的解析式．
14．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．
2018年高考一轮精讲精练(2013-2017)：
2.4 幂函数与二次函数（答案）
知识回顾
一、幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
二、幂函数定义的应用
（1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量;③幂系数为1.【版权所有：21教育】
（2）若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征.
（3）几个具体函数的定义
①正比例函数；
②反比例函数；
③一次函数；
④二次函数；
⑤幂函数（）
五、二次函数
(1)二次函数的定义
形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．
(2)二次函数的三种常见解析式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；
③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．
考点例题精析
考点一 幂函数的图象与性质的应用
【变式训练1】 比较下列各组数的大小：
⑴，，1；
⑵，，.
解⑴ 把1看作，幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴＜＜.
即＜1＜.
⑵因为＝，
＝＝，
＝＝，
幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，且＜＜1.21.
∴＜＜(－1.1).
考点二 二次函数的图象与性质
【变式训练2】如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ( )．
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
解析 因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．
答案 B
考点三 二次函数的综合运用
【变式训练3】 (2014·江西九校联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(c＞0且为常数)的导函数的图象如图所示．21世纪教育网版权所有
(1)求函数f(x)的解析式(用含c的式子表示)；
(2)令g(x)＝，求y＝g(x)在[1,2]上的最大值．
解 (1)∵f′(x)＝2ax＋b，由图可知，f′(x)＝2x＋1，
∴得
故所求函数的解析式为f(x)＝x2＋x＋c.
(2)g(x)＝＝＝x＋＋1，
则g′(x)＝1－＝＝.
①若＜1，即0＜c＜1时，g′(x)＞0，
∴g(x)在[1,2]上是增函数，故g(x)max＝g(2)＝＋3.
②若1≤ ≤2，即1≤c≤4，当1≤x＜时，g′(x)＜0，当＜x≤2时，g′(x)＞0，
∵g(1)＝c＋2，g(2)＝＋3，
∴当1≤c≤2时，g(1)≤g(2)，g(x)max＝g(2)＝＋3；
当2＜c≤4时，g(1)＞g(2)，g(x)max＝g(1)＝c＋2.
③若＞2，即c＞4时，g′(x)＜0，
∴g(x)在[1,2]上是减函数，故g(x)max＝g(1)＝c＋2.
综上所述，当0＜c≤2时，g(x)max＝＋3；当c＞2时，
g(x)max＝c＋2.
答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题
【自主体验】
已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．
解 f(x)＝－42－4a，对称轴为x＝，顶点为.
①当≥1，即a≥2时，f(x)在区间[0,1]上递增．
∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，
∴a＝±1＜2(舍去)．
②当0＜＜1，即0＜a＜2时，
ymax＝f＝－4a，令－4a＝－5，∴a＝∈(0,2)．
③当≤0，即a≤0时，f(x)在区间[0,1]上递减，
此时f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.
令－4a－a2＝－5，即a2＋4a－5＝0，
∴a＝－5或a＝1(舍去)．综上所述，a＝或a＝－5.
知识巩固练习
1．幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是( )．
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
解析 设幂函数y＝xα，则2α＝，解得α＝－2，所以y＝x－2，故函数y＝x－2的单调递增区间是(－∞，0)．www.21-cn-jy.com
答案 C
2．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 ( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析 f(a)＋f(1)＝0?f(a)＋2＝0?或解得a＝
－3.
答案 A
3．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )．
A．f(－2)＜f(0)＜f(2) B．f(0)＜f(－2)＜f(2)
C．f(2)＜f(0)＜f(－2) D．f(0)＜f(2)＜f(－2)
解析 函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(－x)．可知函数f(x)图象的对称轴为x＝，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大．
答案 D
4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )．21cnjy.com
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析 当x≥0时，f(x)＝x2＋2x为增函数，由于f(x)是奇函数，故f(x)在R上为增函数．由f(2－a2)＞f(a)得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.故实数a的取值范围是(－2,1)．
答案 C
5．若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( )．
A．5－a＜5a＜0.5a B．5a＜0.5a＜5－a
C．0.5a＜5－a＜5a D．5a＜5－a＜0.5a
解析 5－a＝a，因为a＜0时，函数y＝xa单调递减，且＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.21·cn·jy·com
答案 B
6．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 ( )．
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
解析 f(a)＝g(b)?ea－1＝－b2＋4b－3?ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－2>0，解得2－
7．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )．
解析 由A，C，D知，f(0)＝c＜0.
∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－＞0，
知A，C错误，D符合要求．
由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．
答案 D
8．设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6,2]，则m＋n的取值所组成的集合为( )．2·1·c·n·j·y
A．[0,3] B．[0,4]
C．[－1,3] D．[1,4]
解析 由题意得，函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1，故当x＝1时，函数取得最大值2.
因为函数的值域是[－6,2]，
令－2x2＋4x＝－6，可得x＝－1或x＝3，
所以－1≤m≤1,1≤n≤3，
所以0≤m＋n≤4.
答案 B
9.若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．
解析 由已知得?
答案 a>0，ac＝4
10．已知函数y＝－x2＋4ax在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析 根据题意，得对称轴x＝2a≤1，所以a≤.
答案
11．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．
作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当0答案 (0,1)
12.已知函数f(x)的二项式系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为(1，3)．
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
解析
(1)∵f(x)+2x＞0的解集为(1，3),∴f(x)+2=a(x-1)(x-3)且a<0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a ①www-2-1-cnjy-com
由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0 ②
因为方程②有两个相等的根，∴△=[-(2+4a)]2-4a·9a=0．即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-.2-1-c-n-j-y
由于a＜0，舍去a=1．将a=-代入①得f(x)的解析式为f(x)=- x2-x-.
(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a＜0，可得f(x)的最大值为-.由， 解得a＜-2-或-2+＜a<0．21*cnjy*com
13．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)＞－2x的解集为{x|1＜x＜3}，方程f(x)＋6a＝0有两相等实根，求f(x)的解析式．【出处：21教育名师】
解 设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3) (a＜0)，
则f(x)＝ax2－4ax＋3a－2x，
f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a，
Δ＝[－(4a＋2)]2－36a2＝0，即(5a＋1)(a－1)＝0，
解得a＝－或a＝1(舍去)．
因此f(x)的解析式为f(x)＝－x2－x－.
14．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．
解 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．【来源：21cnj*y.co*m】
当－2当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.
综上，g(a)＝
