2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.5指数与指数函数
考纲剖析
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．21世纪教育网版权所有
4．体会指数函数是一类重要的函数模型.
知识回顾
一、根式
(1)根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果 ，那么x叫做a的n次方根
n＞1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个 ，负数的n次方根是一个 。
零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有 ，它们互为 。
±
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
①＝n为偶数．
②()n＝a.
二、有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①零指数幂： ．
②负整数指数幂： ；
③正分数指数幂： ；
④负分数指数幂： ；
⑤0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ (a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ (a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝ (a＞0，b＞0，r∈Q)．
三、指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
（ )
性质
过定点( )
当x＞0时， ；x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时， ；x＜0时，y＞1
在(－∞，＋∞)上是 。
在(－∞，＋∞)上是 。
精讲方法
一、幂的运算的一般规律及要求
(1)分数指数幂与根式根据可以相互转化.
(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将 写成等必须认真考查a的取值才能决定,如而无意义.
(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.21·cn·jy·com
(4)指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.www.21-cn-jy.com
二、指数幂的化简与求值的原则及结果要求
（1）化简原则
①化根式为分数指数幂；
②化负指数幂为正指数幂；
③化小数为分数；
④注意运算的先后顺序.
注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算
（2）结果要求
①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；
②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；
③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。
三、指数函数的图象及应用
图象的变换
函 数
y=f(x)
y=f(x+a)
a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位.
y=f(x)+a
a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位.
y=f(-x)
y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x)
y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y=-f(-x)
y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称
y=f(|x|)
y=|f(x)|
与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
（2）从图象看性质
函数的图象直观地反映了函数的基本性质
①图象在x轴上的身影可得出函数的定义域；
②图象在y轴上的身影可得出函数的值域；
③从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；
④由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；
⑤由两个图象交战的横坐标可得方程的解。
（3）应用指数函数图象研究指数型函数的性质：
对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.21教育网
（4）利用图象解指数型方程、不等式：
一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型
函数图象数形结合求解.
四、指数函数的性质及应用
（1）与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法
①函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同；
②先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y=af(x)的值域；
（2）与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤
①求复合函数的定义域；
②弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；
③分层逐一求解函数的单调性；
④求出复合函数的单调区间（注意“同增异减”）。
利用指数函数的性质可求解的问题及方法
(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.
(2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解这些问题的方法一致,只需根据条件灵活选择即可.2·1·c·n·j·y
规律概述
1.指数幂的运算
进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：【来源：21·世纪·教育·网】
对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；
应用平方差、完全平方公式及apa－p＝1(a≠0)简化运算．
2.指数函数的图象及其应用
（1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．21·世纪*教育网
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．
3.指数函数的性质及其应用
(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小．
(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.
4.小结
1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．
3．画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
4．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝x，y＝x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．www-2-1-cnjy-com
真题精析
1．（2013浙江）已知为正实数，则
A． B．
C． D．
2.（2014浙江）在同意直角坐标系中，函数的图像可能是
3．（2014安徽）设，，，则
A． B． C． D．
4．（2015山东）设函数，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
5.（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是21cnjy.com
（参考数据：≈0．48）
A． B．? C． D．
6．（2017北京）已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
7．（2012新课标）当0<≤时，，则a的取值范围是
A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2)
8．（2012天津）已知，，，则的大小关系为
A．c
9．（2015江苏）不等式的解集为________．
10．（2012山东）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿＿.2-1-c-n-j-y
全国卷真题汇编
1.（2016全国卷Ⅲ，理6）已知，，，则
（A） （B） （C） （D）
2.（2017全国卷Ⅰ，理11）设为正数，且，则
A．??B．?? C．???? D．
3.（2015全国卷Ⅰ，文12）设函数的图像与的图像关于直线对称，且
，则
A． B． C． D．
4．（2014新课标）设函数则使得成立的的取值范围是____．
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.5指数与指数函数（答案）
知识回顾
一、根式
(1)根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根
n＞1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数
零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数
±
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
①＝n为偶数．
②()n＝a.
二、有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①零指数幂：a0＝1(a≠0)．
②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)；
③正分数指数幂：＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)；
④负分数指数幂：＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
三、指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
考点例题精析
考点一 指数幂的运算
【变式训练1】
A.6a B.-a C.-9a D.9a2
答案 C
考点二 指数函数的图象及其应用
【变式训练2】 已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有( )．21·cn·jy·com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 设2 011a＝2 012b＝t，如图所示，由函数图象，可得
(1)若t＞1，则有a＞b＞0；'(2)若t＝1，则有a＝b＝0；(3)若0＜t＜1，则有a＜b＜0.2·1·c·n·j·y
故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．
答案 B
考点三 指数函数的性质及其应用
【
【变式训练3】 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
解 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－.解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．【来源：21·世纪·教育·网】
又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，解不等式可得.www-2-1-cnjy-com
易错辨析2——忽略讨论及验证致误
【自主体验】
当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是( )．
A．(1，) B.
C.∪(1，) D．(0,1)∪(1，)
解析 x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，
若a>1，y＝ax是一个增函数，则有a2<2，可得a<，故有1若0，故有答案 C
真题汇编
1.（2016全国卷Ⅲ，理6）已知，，，则
（A） （B） （C） （D）
【解析】因为，，，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，所以，故选A．
2.（2017全国卷Ⅰ，理11）设为正数，且，则
A．??B．?? C．???? D．
【解析】设，因为为正数，所以，
则，，，
所以，则，排除A、B；只需比较与，
，则，选D．
3.（2015全国卷Ⅰ，文12）设函数的图像与的图像关于直线对称，且
，则
A． B． C． D．
【解析】设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知知（）在函数的图像上，∴，
解得，即，
∴，解得，故选C．
知识巩固练习
1．(2014·惠州质检)设f(x)＝|3x－1|，c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系式中一定成立的是( )．21世纪教育网版权所有
A．3c＞3b B．3b＞3a
C．3c＋3a＞2 D．3c＋3a＜2
解析 作f(x)＝|3x－1|的图象如图所示，由图可知，要使c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)成立，则有c＜0且a＞0，21·世纪*教育网
∴3c＜1＜3a，∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1，
又f(c)＞f(a)，∴1－3c＞3a－1，
即3a＋3c＜2，故选D.
答案 D
2．(2014·杭州质检)已知函数f(x)＝是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( )．
A. B.
C. D.
解析 ∵函数f(x)＝是定义域上的递减函数，∴即
解得答案 B
3．(2014·济南一模)若a＝30.6，b＝log30.2，c＝0.63，则( )．
A．a＞c＞b B．a＞b＞c
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
解析 30.6＞1，log30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a＞c＞b，选A.
答案 A
4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )．
A. B．10 C．20 D．100
解析 ∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m＝.
答案 A
5．函数y＝ax－b(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为( )．
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．无法确定
解析 函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在负半轴上．而当x＝0时，y＝a0－b＝1－b，由题意得解得所以ab∈(0,1)．21cnjy.com
答案 C
6．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
解析 由f(1－a)＝f(a－1)，1－a和a－1互为相反数，得e2(1－a)＝ea－(a－1)(1－a＞0)，解得a＝，或e2(a－1)＝ea－(1－a)(a－1＞0)，此方程无解，故a＝.
答案
7．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝，
令t＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于t在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝h(x)．由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.21教育网
