课件42张PPT。第 二 章推理与证明2．1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理 自主学习 新知突破1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．
2．了解合情推理在数学发现中的作用．[问题1] 我们熟知的《三国演义》第46回草船借箭中诸葛亮先生的推理过程是怎样的呢？
[提示1] 诸葛亮“先生”的推理过程是
[问题2] 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的吗？
[提示2] 是．所有的爬行动物都是用肺呼吸的．
[问题3] 观察下图由平面内的圆，我们联想到空间里的球，让它们来类比．你能找到它们有哪些类似的特征？
[提示3] 鲁班类比草叶的边缘发明了锯，平面中的圆与空间中的球有类似的特征．归纳推理 部分对象全部对象个别事实一般结论部分到整体个别到一般1．归纳推理的特点与应用
(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围．
(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证明和实践检验．即结论不一定可靠．
(3)归纳立足于观察、实验或经验的基础上，是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题． 类比推理 类似已知特征特殊到特殊
2．类比推理的特点及适用前提
(1)类比推理的特点
①类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题，作出新发现．
②类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能．
(2)类比推理的适用前提
①运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性．
②运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．1．合情推理的含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过______、_______、______、______，再进行_______、______，然后提出_______的推理，我们把它们统称为合情推理．
2．合情推理的过程合情推理 观察分析比较联想归纳类比猜想1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适的是( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
解析： 由类比推理的定义和特点判断，易知选C.
答案： C
2．下列关于归纳推理的说法错误的是( )
A．归纳推理是一种从一般到一般的推理过程
B．归纳推理是一种从特殊到一般的推理过程
C．归纳推理得出的结论不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认知功能
解析： 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论不一定正确，但能为探寻结论(一般性)提供明确的方向，故B、C、D正确，而A错误．故选A.
答案： A4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
解析： (1)a1＝1，
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1.
(2)可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)．合作探究 课堂互动 数列中的归纳推理 [思路点拨] 归纳推理的步骤
在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，归纳推理的一般步骤：
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质．
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)． 图形中的归纳推理 在一次珠宝展览会上，某商家展出了一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图①所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图②所示的正六边形，第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图③和④所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有__________颗珠宝，第n件首饰上应有________颗珠宝． 方法一：5件首饰的珠宝颗数依次为1,6＝2×3,15＝3×5,28＝4×7,45＝5×9，归纳猜想第6件首饰上的珠宝数为6×11＝66(颗)，第n件首饰上的珠宝颗数为n(2n－1)＝2n2－n(颗)．
方法二：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，则第6件首饰上的珠宝颗数为1＋5＋9＋13＋17＋21＝66，即每件首饰上的珠宝数是以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，故第n件首饰的珠宝颗数为1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝2n2－n.
答案： 66 2n2－n 图形中归纳推理的特点及思路
1．此类题目的特点：
由一组平面或空间图形，归纳猜想其数量的变化规律，这类题颇有智力趣题的味道，解答时常用归纳推理的方法解决，分析时要注意规律的寻找．
2．解决这类问题从哪入手：
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样变化．2．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36, 45,55，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则三角形数的一般表达式f(n)＝( )答案： D类比推理 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
[思路点拨] 这是一个由平面图形到空间图形的类比，于是联想到：边长→面积，平面角→二面角，边的射影→面的射影等． 类比推理的步骤
运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系．在应用类比推理时，其一般步骤为：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．
(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．
(3)检验这个猜想．
3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，它们的体积比为多少？你能验证这个结论吗？◎如图①，在三棱锥S－ABC中，平面SAB，平面SAC，平面SBC与底面ABC所成角分别为α1，α2，α3，三条侧棱SC，SB，SA与底面ABC所成的角为β1，β2，β3，三侧面△SAB，△SAC，△SBC的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想．高效测评 知能提升 谢谢观看！课件38张PPT。2.1.2 演绎推理 自主学习 新知突破1．理解演绎推理的意义．
2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用三段论进行一些简单推理．
3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．人们在喜马拉雅山区考察时，发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石，还发现了鱼龙的化石．地质学家们推断说，鱼类、贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋．地质学家是怎么得出这个结论的呢？
[提示] 喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋推理过程：
大前提：鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里．
小前提： 在喜马拉雅山上发现它们的化石．
结论：喜马拉雅山曾经是海洋．1．演绎推理的含义及特点演绎推理 某个特殊情况下一般到特殊2.三段论已知的一般原理所研究的特殊情况对演绎推理及三段论的理解
(1)①演绎的前提是一般性的原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中；
②演绎推理是一种收敛性的思考方法，少创造性，但具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．
(2)对于“三段论”应注意：
应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
解析： A、D为归纳推理，C为类比推理，B为演绎推理．
答案： B
2．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个推理的小前提为( )
A．EF∥BC
B．三角形的中位线平行于第三边
C．三角形的中位线等于第三边的一半
D．线段EF为△ABC的中位线
解析： 大前提是：三角形的中位线平行于第三边，小前提是：线段EF为△ABC的中位线．
答案： D
3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理的错误是________．
解析： 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”．显然这是个错误的推理，究其原因，是大前提错误，尽管推理形式是正确的，但是结论是错误的．
答案： 大前提4．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处：
(1)求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.
(2)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”
(3)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”
解析： (1)错误．在证明过程中，把论题中的四边形改为了矩形．
(2)不正确．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．
(3)不正确．推理形式错误．因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理．合作探究 课堂互动 把演绎推理写成三段论的形式 将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.
(3)菱形的对角线互相平分．
(4)通过公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列． (1)一切奇数都不能被2整除． (大前提)
75不能被2整除． (小前提)
75是奇数． (结论)
(2)三角形的内角和为180°. (大前提)
Rt△ABC是三角形． (小前提)
Rt△ABC的内角和为180°. (结论)
(3)平行四边形的对角线互相平分． (大前提)
菱形是平行四边形． (小前提)
菱形的对角线互相平分． (结论)
(4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列． (大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)． (小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
(结论) 运用三段论时的注意事项
用三段论写演绎推理的过程，关键是明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎推理的过程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二者结合起来才能得到完整的三段论．一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
1．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．
(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角．
解析： (1)每个菱形的对角线相互垂直， (大前提)
正方形是菱形， (小前提)
所以，正方形的对角线相互垂直． (结论)
(2)两个角是对顶角则两角相等， (大前提)
∠1和∠2不相等， (小前提)
所以，∠1和∠2不是对顶角． (结论)三段论推理的错因 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误 解析： 直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．
答案： A 认清三段论的形式
解本题的关键是掌握好三段论推理的形式，然后仔细审查究竟是大前提错误、小前提错误还是推理形式错误，因为这三者中的任何一方错误都会导致整个三段论推理的结论错误． 2．(1)有下面一个演绎推理：“所有4的倍数都是2的倍数，某偶数是4的倍数，所以它是2的倍数”．关于这个推理，下面说法正确的一项是( )
A．推理是正确的
B．推理是错误的，因为大前提错误
C．推理是错误的，因为小前提错误
D．推理是错误的，因为结论错误
(2)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
答案： (1)A (2)C
演绎推理在几何中的应用 如图，已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证EF∥平面BCD.
[思路点拨] 三段论在几何问题中的应用
(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．
(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
特别提醒：在利用三段论证明问题时，大前提可以省略，但其他的不能省略．3．如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：ED＝AF.证明： 同位角相等，两条直线平行，(大前提)
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥EA.(结论)
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE是平行四边形．(结论)
平行四边形的对边相等，(大前提)
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，(小前提)
所以ED＝AF.(结论)高效测评 知能提升 谢谢观看！课件42张PPT。2．2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法 自主学习 新知突破1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2．了解综合法、分析法的思考过程、特点．
3．会综合运用综合法、分析法解决数学问题．1．阅读下列例题：
例：若实数a，b满足a＋b＝4，证明2a＋2b≥8.
[问题1] 本题利用什么公式证明的？
[提示1] 基本不等式．
[问题2] 本题的证明顺序是什么？
[提示2] 从已知到结论．
[问题1] 本题证明从哪里开始？
[提示1] 从结论开始．
[问题2] 证题思路是什么？
[提示2] 寻求上一步成立的充分条件．1．综合法的定义
利用___________和某些数学_________、________、_________等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的__________成立，这种证明方法叫做综合法．综合法已知条件定义定理公理推理论证结论(P表示__________、已有的_________、__________、__________等，Q表示________________)已知条件定义定理公理所要证明的结论
1．综合法证明问题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的语言．
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．分析法的定义
从要证明的_________，逐步寻求使它成立的_________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法 结论出发充分条件2．应用分析法证明问题的模式
用分析法证明命题“若P，则Q”时的模式如下：
为了证明命题Q为真，
只需证明命题P1为真，从而有…
只需证明命题P2为真，从而有…
…
只需证明命题P为真，而已知P为真，故Q必为真．1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
解析： ②?①，∴②是①的充分条件．
答案： A
2．下面叙述正确的是( )
A．综合法、分析法是直接证明的方法
B．综合法是直接证法，分析法是间接证法
C．综合法、分析法所用语气都是肯定的
D．综合法、分析法所用语气都是假定的
解析： 直接证明包括综合法和分析法．
答案： A
答案： a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
4．已知a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
证明： ∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2
≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋bbd2
＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边，
∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．合作探究 课堂互动 综合法的应用 1.综合法是数学证明中最常用的一种方法，本题巧妙地应用了“1”的代换及基本不等式．
2．综合法证明不等式常用“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形．
3．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： 分析法的应用 [思路点拨] 本题含有绝对值符号，可用分析法证明． 用分析法证明不等式时应注意的问题：
(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“?”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．分析法与综合法的综合应用 [思路点拨] 解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数的性质转化成证明整式不等式． 1.“分析综合法”解决数学问题：
“分析综合法”又叫混合型分析法，是同时从已知条件与结论出发，寻找其之间的联系而沟通思路的方法．在解题过程中，分析法和综合法是统一的，不能把分析法和综合法孤立起来使用，分析和综合相辅相成，有时先分析后综合，有时先综合后分析．分析综合法的方法结构如图所示： 2．“分析综合法”证明的步骤：
在解决问题时，我们经常把综合法和分析法综合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论Q.若由Q可以推出P成立，就可证明结论成立，其证明模式可用如下框图表示：
(其中Q1代表结论，P1代表要证的条件)．
特别提醒：在平时的证明问题中，一般不是单纯地使用某一种证明方法，更多的是综合使用几种方法．3．已知a，b，c∈R且不全相等，
求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
证明： 证法一：(分析法)
要证a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ca)，
只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)＞0，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0，
因为a，b，c∈R，
所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.
又因为a，b，c不全相等，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＞0.
所以原不等式a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca成立．
证法二：(综合法)
因为a，b，c∈R，
所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.
又因为a，b，c不全相等，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0.
所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，
所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，
所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
【错因】 没有按照分析法的过程来证明
以论证“若A，则B”为例，分析法的书写格式为：欲证命题B成立，只需证命题B1成立，只需证命题B2成立，…，只需证A成立．由已知，A成立，故B必成立．高效测评 知能提升 谢谢观看！课件37张PPT。2.2.2 反证法 自主学习 新知突破1．了解反证法是间接证明的一种方法．
2．理解反证法的思维过程，并会用反证法证明简单的数学问题．1．[问题] A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒谎．则C必定是在撒谎，为什么？
[提示] 假设C没有撒谎，则C真．那么A假且B假；由A假，知B真．这与B假矛盾．那么假设C没有撒谎不成立；则C必定是在撒谎．
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．
[问题1] 你能利用综合法和分析法证明该问题吗？
[提示1] 不能．
[问题2] a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？
[提示2] 都是奇数．假设原命题__________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法．定义 不成立假设错误原命题成立反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与________矛盾，或与_______、公理、定理、事实矛盾等．反证法常见的矛盾类型 已知条件假设定义反证法的实质及注意事项
(1)反证法的实质
反证法不直接证明命题，而是从原命题的反面入手，合乎逻辑地推出一个矛盾结果，由于两个相互矛盾的判断必有一真一假，由此肯定命题“若p则q”为真．
(2)注意事项
①用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的过程毫无意义．
②反证法的“归谬”要合理．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
解析： 由反证法定义可知①②③正确．
答案： C2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析： “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b 都不能被5整除”．
答案： B3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析： 由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.
答案： ③①②合作探究 课堂互动 用反证法证明否(肯)定式命题 平面上有四个点，假设无三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[思路点拨] 1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．
(3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 用反证法证明唯一性问题 已知a与b是异面直线．求证：过a且平行于b的平面只有一个．
[思路点拨] 这是一个唯一性问题，直接证明较困难，宜用反证法． 如图，假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过点A的直线c，d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立． 用反证法证明唯一性命题的适用类型
(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了．
(2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用．
特别提醒：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个问题，即存在性问题和唯一性问题．2．已知：一点A和平面α.
求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
证明： 根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．
(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，
a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．所以AB⊥BC，AC⊥BC.
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直．用反证法证明“至多”“至少”存在性问题 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
[思路点拨] 结论中有词语“至少”，宜采用反证法，注意“至少有一个”的否定形式为“一个也没有”．
所以AB⊥BC，AC⊥BC.
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直． 1.当命题出现“至多”“至少”等形式时，适合用反证法．
2．常见的“结论词”与“反设词”
◎用反证法证明命题“a，b为整数，若a·b不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为________．
【错解】 a，b不都是偶数
【错因】 应用反证法时，假设错误
a，b不都是偶数包括的情况有：
①a是偶数，b是奇数；②a是奇数，b是偶数；③a是奇数，b是奇数．
注意否定的结论是不是结论的对立面，“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数”．
【正解】 a，b不都是奇数高效测评 知能提升 谢谢观看！课件40张PPT。2．3 数学归纳法自主学习 新知突破1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．下图为多米诺骨牌：
如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？
[提示] (1)处理第一个问题；(相当于推倒第一块骨牌)
(2)验证前一问题与后一问题有递推关系．(相当于前牌推倒后牌)一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
1．(归纳奠基)证明当n取___________ (n0∈N*)时命题成立；
2．(归纳递推)假设 ___________________时命题成立，证明当__________时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．第一个值n0n＝k(k≥n0，k∈N*)n＝k＋1上述证明方法叫做数学归纳法
可以用框图表示为：数学归纳法的应用及注意事项
(1)数学归纳法的应用范围是证明与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题，探求数列的通项及前n项和等．
(2)应用数学归纳法应注意：
①数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明．
②验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；
③在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
答案： C答案： D
3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为__________ .
解析： 当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.
答案： 1×4＋2×7…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)24．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
证明： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，
即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)．
则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1)
＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由①②知，对一切n∈N*，命题成立．合作探究 课堂互动 用数学归纳法证明等式或不等式 [思路点拨] 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项． 用数学归纳法证明几何问题 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析．在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧． 归纳—猜想—证明 “观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解法
(1)观察：由已知条件写出前几项；
(2)归纳：找出前几项的规律，找到项与项数的关系；
(3)猜想：猜想出通项公式；
(4)证明：用数学归纳法证明猜想的形式，因为猜想不一定正确，所以要通过数学归纳法给出证明． 3．数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N*)，
(1)求a1，a2，a3的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
解析： (1)由2Sn＝a＋n得
当n＝1时，2a1＝a＋1，∴a1＝1.
当n＝2时，2S2＝a＋2，∴a2＝2.
当n＝3时，2S3＝a＋3，∴a3＝3.
猜想：数列{an}的通项公式为an＝n.【错因】 没有利用归纳假设进行证明．第(2)步，不可以直接利用等比数列的求和公式求出当n＝k＋1时式子的和，在证明n＝k＋1时，一定要利用“归纳假设”．高效测评 知能提升 谢谢观看！课件53张PPT。知能整合提升
一、合情推理和演绎推理
1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．
2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．
二、直接证明和间接证明
1．直接证明包括综合法和分析法
(1)综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A?B1?B2 ?…?Bn?B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”．
(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)，用分析法证明命题的逻辑关系是：B?B1?B2?…Bn?A，它的常见书面表达是“要证…只需…”或“?”．2．间接证明主要是反证法
反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．
反证法主要适用于以下两种情形：
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．热点考点例析【点拨】 对合情推理的认识：
合情推理包括归纳推理和类比推理．归纳推理是由部分特殊的对象特征得到一般性的结论的推理方法．它在数学研究或数学学习中具有十分重要的意义，通过归纳推理可以发现新知识，探索新结论，探索解题思路，预测答案等．
类比推理是从特殊到特殊的一种推理方法，它以比较为基础，类比法有助于启迪思维，触类旁通，拓宽知识面，发现命题等，著名哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证思路时，类比法往往能指明前进的方向．”合情推理的应用
特别提醒：(1)归纳推理是由部分到整体、个体到一般的推理，其结论正确与否，有待于严格证明．
(2)进行类比推理时，要合理确定类比对象，不能乱比，要对两类对象的共同特点进行对比． 解析： 把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n－1；等式右边都是完全平方数，
所以n＋(n＋1)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}＝(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
答案： D
【点拨】 数学中考查演绎推理的试题的比例比较大，即有选择、填空，也有解答、证明，立体几何是考查演绎推理的最好素材．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理，是一种由一般到特殊的推理．数学中的证明主要是通过演绎推理进行的，演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：大前提、小前提和结论．在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，则结论必定是正确的．演绎推理的应用 [思维点击]
∵a>1，且x1∴ax1又∵x1>－1，x2>－1，
∴(x1＋1)(x2＋1)>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． 结论2．在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．
(3)由全等三角形的定义可知：全等三角形的对应角相等，这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等， 大前提
△ABC和△CDA全等， 小前提
则它们的对应角相等． 结论
用符号表示，就是△ABC≌△CDA?∠1＝∠2
且∠3＝∠4且∠B＝∠D.
(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 大前提
直线AB，DC被直线AC所截，内错角∠1＝∠2，
小前提(已证)
则AB∥DC. 结论
同理有：BC∥AD.
(5)如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形， 大前提
四边形ABCD中，两组对边分别平行， 小前提
则四边形ABCD是平行四边形． 结论
用符号表示为：AB∥DC且AD∥BC?四边形ABCD为平行四边形．【点拨】 (1)综合法和分析法是直接证明中两种最基本的证明方法．但这两种方法证明思路完全相反．综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”．
(2)一般情况下是用分析法寻找解题思路，然后用综合法证明问题，它们相互转换、相互渗透、要充分利用这一辩证关系．在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．综合法与分析法 [思维点击] 条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明．3．设a，b 是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.
证明： 要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，即需证
(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立，即需证a2－ab＋b2＞ab成立．只需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．
而由已知条件可知，a≠b，∴a－b≠0，
∴(a－b)2＞0显然成立．
即a3＋b3＞a2b＋ab2.【点拨】 对反证法的认识
(1)反证法是一种间接证明的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题，它反映了“正难则反”的思想．
(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提——原结论的否定，更易于开拓思路．因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中有着广泛的应用．反证法
特别提醒：适宜用反证法证明的命题有：
①结论本身是以否定形式出现的命题．
②关于唯一性，存在性的命题．
③结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题．
④结论的反面比原结论更具体，更容易研究的命题． 已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.
求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
[思维点击] 利用反证法，作出否定结论的假设，寻找矛盾． 【点拨】 数学归纳法是一种直接证明的方法，主要用来证明与正整数n有关的命题．证明时先证n取第一个值n0时命题成立；然后假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立即可．用数学归纳法证明时，要注意几个方面：数学归纳法
(1)n的范围以及递推的起点；
(2)观察首末两项的次数(或其他)，确定n＝k时命题的形式f(k)；
(3)从f(k＋1)和f(k)的差异，寻找由k到k＋1递推中，左边要加(乘)上的式子；
(4)在归纳递推中一定要运用归纳假设；
(5)注意“归纳——猜想——证明”的思维模式的应用．答案： D解析： 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
答案： A
2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )
①y＝cos x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos x(x∈R)是周期函数．
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
解析： 按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.
答案： B
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
解析： “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．
答案： B答案： C
7．已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证：a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
证明： ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又a，b，c互不相等，
∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
8．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，证明：a，b，c都大于零．
证明： 假设a＜0，则－a＞0.
∵abc＞0，∴bc＜0，
又由a＋b＋c＞0，得b＋c＞－a＞0
∴ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，与题设矛盾，
若a＝0，则与abc＞0矛盾，∴必有a＞0，
同理可证：b＞0，c＞0.阶段质量评估谢谢观看！