课件40张PPT。第 一 章导数及其应用1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念 自主学习 新知突破1．了解实际问题中平均变化率的意义．
2．理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念．
3．理解并掌握导数的概念．
4．掌握求函数在一点处的导数的方法．现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：
[问题1] “气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？(形与数两方面)
[提示1] 曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度．
[问题2] 由点B上升到点C，必须考察yC－yB的大小，但仅仅注意yC－yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？函数的变化率 [x1，x2] x0 1．关于函数的平均变化率，应注意以下几点
(1)函数f(x)在x1处有定义．
(2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．函数y＝f(x)在x＝x0处的_______变化率称为函数y＝f(x)在__________处的导数，记作__________或 __________，导数的概念 瞬时x＝x0f′(x0)y′|x＝x02．对函数在某点处导数的认识
(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量．
(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
(3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
解析： Δy＝f(2.1)－f(2)＝0.41.
答案： B2．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
答案： B3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2.其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度为________．
答案： 5米/秒合作探究 课堂互动 求函数的平均变化率 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
[思路点拨] 先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式计算．求物体的瞬时速度 已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；
(3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率． 1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率的变化情况估计出瞬时变化率．求函数f(x)在某点处的导数 已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数． 3．已知函数y＝2x2＋4x.
(1)求函数在x＝3处的导数；
(2)若函数在x0处的导数是12，求x0的值．答案： C高效测评 知能提升 谢谢观看！课件43张PPT。1.1.3 导数的几何意义 自主学习 新知突破1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
2．弄清函数在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)的区别与联系．会求导函数．
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．[问题1] 如图，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？
[提示1] l1不是曲线C的切线，l2是曲线C的切线．[问题2] 设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于A时，割线AB如何变化呢？割线AB的斜率kAB与在点A处的切线AD的斜率k之间有什么关系？[提示2] 当点B沿曲线趋近于A时，割线AB趋近于确定的位置，且kAB无限趋近于切线AD的斜率k.导数的几何意义 切线 斜率k 1．导数几何意义的理解
如图，设曲线C上一点导函数2．函数在某点处的导数与导函数的区别
(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数；
(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或重合，故选B.
答案： B2．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为( )
A．(0，－2) B．(1,0)
C．(0,0) D．(1,1)
答案： B3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
解析： 点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，
∴f(5)＝－5＋8＝3.
且f′(5)＝－1，
∴f(5)＋f′(5)＝2.
答案： 2合作探究 课堂互动 求曲线的切线方程[思路点拨] 求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤：
特别提醒：在求切线方程的题目中，注意题干给出的点不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定作为切点应用． 1．求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．
当Δx无限趋近于0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2无限趋近于3x2＋2.即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.
故点P处的切线斜率为k＝5.
所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)．
即5x－y－3＝0.求切点坐标 已知曲线y＝x2＋6的切线分别符合下列条件，求切点．
(1)平行于直线y＝4x－3；
(2)垂直于直线2x－y＋5＝0. 设切点坐标为(x0，y0)． 求切点坐标可以按以下步骤进行：
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 2．在曲线y＝x2上过哪一点的切线．
(1)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(2)与x轴成135°的倾斜角．导数几何意义的实际应用 “菊花”烟火是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．
[思路点拨] 烟花在t＝2 s时的瞬时速度就是h′(2)，即曲线h(t)在点t＝2处的切线的斜率；而烟花升空后的运动状况，可以应用切线斜率的变化予以解释． 导数的几何意义是曲线的切线的斜率．反之，在曲线上取确定的点，作曲线的切线，则可以根据切线斜率的符号及绝对值的大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度． ◎试求过点P(3,5)且与y＝x2相切的直线方程．【错因】 求曲线上的点P处的切线与求过点P的切线有区别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点P未必是切点，应注意概念不同，其求法也有所不同．高效测评 知能提升 谢谢观看！课件33张PPT。1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)自主学习 新知突破1．掌握几个常用函数的导数，并能进行简单的应用．
2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．[问题1] 函数y＝f(x)＝x的导数是什么？[问题2] 函数y＝x的导数y′＝1的意义是什么？
[提示2] y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处的切线的斜率都为1，如图．若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动．几个常用函数的导数 0
1
2x基本初等函数的导数公式 0
αxα－1
cos x
－sin x
axln a(a>0)
ex
2．对基本初等函数的导数公式的理解
不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只要求能够利用它们求简单函数的导数，在学习中，适量的练习对于熟悉公式是必要的，但应避免形式化的运算练习．解析： 因常数的导数等于0，故选C.
答案： C
2．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标( )
A．(0,0) B．(0,1)
C．(1,0) D．以上都不是
解析： (x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k＝0，即3x2＝0得x＝0，
∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.
答案： A
3．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________.
解析： f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1.
答案： 1
4．求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝π＋1；(3)y＝log2x；
(4)y＝2e3；(5)y＝2cos x.合作探究 课堂互动 求函数的导数 求下列函数的导数：
[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． (1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3. 求简单函数的导函数有两种基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 答案： B求某一点处的导数 [思路点拨] 先求导函数，再由导数值求P点横坐标． 1.在某点处的导数与导函数是不同的，在某点处的导数是指在该点处的导数值．
2．求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解． 导数几何意义的应用 已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
[思路点拨] 解决切线问题的关键是求切点的坐标，要注意区分是曲线在某点处的切线还是过某点的切线． 1.求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．
2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：
一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值． 3．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ垂直的曲线y＝x2的切线方程．◎求下列函数的导数．
(1)y＝(－x)8；
(2)y＝(ax)5(a为不等于0的常数)．
【错解】 (1)y′＝8(－x)7＝－8x7.
(2)y′＝5(ax)4＝5a4x4.
【错因】 两小题的解法都是错用了公式(xn)′＝nxn－1，本公式成立的条件是底数是自变量x本身，而不是关于自变量x的代数式，因此本题直接套用幂函数的求导公式是错误的．
【正解】 (1)∵y＝(－x)8＝x8，
∴y′＝(x8)′＝8x7.
(2)∵y＝(ax)5＝a5x5，
∴y′＝(a5x5)′＝a5(x5)′＝5a5x4.高效测评 知能提升 谢谢观看！课件48张PPT。1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)自主学习 新知突破1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．
2．能利用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[问题2] 试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．[问题3] F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？
[提示3] F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．设两个函数分别为f(x)和g(x)导数的运算法则 f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)1．应用导数的运算法则应注意的问题
(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．
(2)对于和差的导数运算法则，此法则可推广到任意有限个可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)± f′2(x) ±…±f′n(x)．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__________.即y对x的导数等于____________ ____________________．复合函数的导数yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积2．复合函数求导应注意的问题
(1)简单复合函数均是由基本初等函数复合而成的，对于常用的基本函数要熟悉．
(2)求复合函数的导数，关键要分清函数的复合关系，特别要注意中间变量．
(3)要注意复合函数的求导法则与四则运算求导法则的综合运用．1．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为( )
A．1－sin 1 B．1＋sin 1
C．sin 1－1 D．－sin 1
答案： A
2．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
解析： y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.
答案： B
3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
解析： f(x)＝4x2＋4ax＋a2，
∵f′(x)＝8x＋4a，
∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
答案： 1
(3)方法一：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，
∴y′＝(4xex＋4x－xex－x)′＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x(ex)′]－x′＝ex4xln 4＋4xex＋4xln 4－ex－xex－1＝ex(4xln 4＋4x－1－x)＋4xln 4－1.
方法二：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′＝(4xln 4－1)·(ex＋1)＋(4x－x)ex＝ex(4xln 4＋4x－1－x)＋4xln 4－1.合作探究 课堂互动 导数运算法则的应用 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，如综合了和、差、积、商几种运算的函数，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
解析： (1)y′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′
＝2x·ex＋x2·ex
＝(2x＋x2)·ex.
(2)令u＝2x，y＝cos u，
则yx′＝yu′·ux′＝(cos u)′·(2x)′
＝－2sin 2x.复合函数的导数 写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．
(2)引入中间变量u＝φ(x)＝2 008x＋8，
则函数y＝cos(2 008x＋8)是由函数f(u)＝cos u与u＝φ(x)＝2 008x＋8复合而成的，查导数公式表可得
f′(u)＝－sin u，φ′(x)＝2 008.
根据复合函数求导法则可得
[cos(2 008x＋8)]′＝f′(u)φ′(x)＝(－sin u)·2 008
＝－2 008sin u＝－2 008sin( 2 008x＋8)．
(3)引入中间变量u＝φ(x)＝1－3x，
则函数y＝21－3x是由函数f(u)＝2u与u＝φ(x)＝1－3x复合而成的，
查导数公式表得f′(u)＝2uln 2，φ′(x)＝－3，
根据复合函数求导法则可得
(21－3x)′＝f′(u)φ′(x)＝2uln 2·(－3)＝－3×2uln 2
＝－3×21－3xln 2. 复合函数求导的注意事项
(1)求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量．
(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，如y＝cos 2x可由y＝cos u和u＝2x复合而成，第一步为y对u求导，第二步为u对x求导．
(3)复合函数求导后，要把中间变量换成自变量的函数．
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟练后中间步骤可省略．
特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导数．求曲线的切线方程 已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
[思路点拨] 利用导数的几何意义解决切线问题的关键是判断已知点是否是切点．若已知点是切点，则该点处的切线斜率就是该点处的导数；如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．
解析： 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，
所以a＋b＋c＝1.
y′＝2ax＋b，曲线过点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.高效测评 知能提升 谢谢观看！课件44张PPT。1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数 自主学习 新知突破1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．已知函数f(x)＝sin x，其导函数f′(x)＝cos x，[问题3] 试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．
[提示3] 当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：导数与函数的单调性 递增递减1．确定函数f(x)的__________．
2．求导数f′(x)．
3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是__________；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是__________．
4．结合定义域写出单调区间．利用导数求函数单调区间的基本步骤 定义域增函数减函数利用导数求函数的单调区间注意的问题
(1)在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． 1．函数y＝x3－3x的单调减区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析： y′＝3x2－3，
由y′＝3x2－3<0得－1
∴函数y＝x3－3x的单调减区间是(－1,1)．
答案： C答案： C
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．
解析： f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2.
答案： (2，＋∞)
4．证明函数f(x)＝x＋sin x在R上是增函数．
证明： f′(x)＝1＋cos x，
∵－1≤cos x≤1，∴0≤1＋cos x≤2，
当且仅当cos x＝－1，即x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f′(x)＝0.
∴f(x)＝x＋sin x在R上是增函数．合作探究 课堂互动 导数与单调性的关系 如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
[思路点拨] 由函数y＝f(x)的图象可得到函数的单调情况，进而确定导数的正负，再“按图索骥”．
解析： 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A满足．
答案： A 1.利用导数符号判断单调性的方法：
利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．
2．通过图象研究函数单调性的方法：
(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
特别提醒：函数的正负与导数的正负没有关系．1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )
解析： 由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区间，故排除B，故选D.
答案： D求函数的单调区间 求下列函数的单调区间： (1)函数的定义域为R.
y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0，
解得x＜0或x＞2.
所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)．
令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.
所以函数的单调递减区间为(0,2)． 利用导数求函数的单调区间：
(1)求定义域；
(2)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；
(3)把不等式的解集与定义域求交集得单调区间．
特别提醒：(1)单调区间不能“并”，即不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．
(2)导数法求得的单调区间一般用开区间表示． 2．(1)求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间；
(2)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值，并讨论f(x)的单调区间．求含参数的函数的单调区间 [思路点拨] 函数解析式中含有参数时，讨论其单调性(或求其单调区间)问题，往往要转化为解含参数的不等式问题，这时应对所含参数进行适当的分类讨论，做到不重不漏，最后要将各种情况分别进行表述． 讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准． 已知函数单调性求参数范围 若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的取值范围． 1.一般地，已知函数的单调性，如何求参数的取值范围？
2．注意事项：
一般地，最后要检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0.若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解．4．已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a＞0，若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．◎已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，求f(x)的单调区间．
【错因】 错解的原因是忽视了函数的定义域．本题中含有对数函数，首先应确定函数的定义域，再求导数f′(x)，进而判断单调区间．高效测评 知能提升 谢谢观看！课件49张PPT。1.3.2 函数的极值与导数 自主学习 新知突破1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．
2．掌握函数极值的判定及求法．
3．掌握函数在某一点取得极值的条件．
4．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．已知y＝f(x)的图象(如图)．
[问题1] 当x＝a时，函数值f(a)有何特点？
[提示1] 在x＝a的附近，f(a)最小， f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．
[问题2] 试分析在x＝a的附近导数的符号．
[提示2] 在x＝a附近的左侧，曲线的切线斜率小于零，即f′(x)<0，而在x＝a附近的右侧，曲线的切线斜率大于零，即f′(x)>0.
[问题3] f′(a)值是什么？
[提示3] f′(a)＝0.若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝_______；而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．极小值点与极小值 0f′(x)<0f′(x)>0若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其它点的函数值都大，f′(b)＝______；而且在点x＝b附近的左侧__________ ，右侧__________，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点与极大值 0f′(x)>0f′(x)<01．对函数极值概念的理解
(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．
(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．
(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值，没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求函数y＝f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时
(1)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么，f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么，f(x0)是极小值．函数极值的求法 f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>02．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．
(2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点．
(3)导数为0是极值点：y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值点．1．下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：
①－3是函数y＝f(x)的极值点；
②－1是函数y＝f(x)的最小值点；
③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；
④y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增．
则正确命题的序号是( )
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
解析： 由导函数图象知函数f(x)在(－∞，－3)上单调递减，(－3，＋∞)上单调递增，f′(－3)＝0，f′(0)>0，x＝－3是函数f(x)的极值点，①④正确．
答案： B
2．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是( )
A．极大值点x＝－1 B．极大值点x＝0
C．极小值点x＝0 D．极小值点x＝1
解析： y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C.
答案： C3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
解析： 由f′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表如下：
∴当x＝2时，f(x)取得极小值．
答案： x＝2合作探究 课堂互动 求函数的极值 求下列函数的极值：
[思路点拨] 先确定函数定义域，然后正确求导，再解方程f′(x)＝0，列表分析，求出函数的极值． (1)函数的定义域为R.
f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22. 1.求可导函数f(x)极值的步骤：
(1)求函数的导数f′(x)；
(2)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；
(3)列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内；
(4)判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．
2．注意事项：
(1)不要忽略函数的定义域；
(2)要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．1．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝x2e－x.
解析： (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，
且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
当x＝2时，函数f(x)有极小值，
且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－x)′＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.已知函数极值求参数 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．
根据x＝±1列表分析f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点.
由上表可以看出，
当x＝－1时，函数有极大值，且f(－1)＝1；
当x＝1时，函数有极小值，且f(1)＝－1. 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值．求这个极小值及a，b，c的值．
解析： f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
据题意，－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，
由根与系数的关系得极值的综合应用 已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？[思路点拨]
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根. 12分 1.如何利用导数画函数的大致图象？
求出函数的极值点和极值，结合函数的单调性及x→∞时，f(x)值的变化趋势，可画出函数的大致图象．
2．如何利用导数判断方程根的个数？
用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数． 3．将本例中(2)改为：
①f(x)＝0恰有三个实数根；②若只有一个实数根．
求实数a的取值范围．
②若f(x)＝0恰有一个实数根，如图(2)则有：
a－2>0，解得a>2，或a＋2<0，解得a<－2.
故①－2②a>2，或a<－2时，f(x)＝0只有一个实数根．◎已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．【错因】 根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧函数的单调性，故求错．
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数．
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，
因此a＝2，b＝9.高效测评 知能提升 谢谢观看！课件45张PPT。1.3.3 函数的最大(小)值与导数 自主学习 新知突破1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件．
3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．1．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
[问题1] 试说明y＝f(x)的极值．
[提示1] f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
[问题2] 你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？
[提示2] 函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．2．函数y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如图所示)．
[问题] 两函数的最值分别是什么？
[提示] y＝g(x)的最大值为极大值，最小值为g(a)，y＝h(x)的最大值为h(a)，最小值为h(b)．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有__________与__________．函数的最大(小)值 最大值最小值
1．函数最值的理解
(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的__________；
2．将函数y＝f(x)的__________与_______处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是__________，最小的一个就是__________．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤： 极值各极值端点最大值最小值
2．求函数最值需注意的问题
(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．
①求出导数为零的点．
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得．
(3)若连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点时，这个点的函数值必然是最值．例如在(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．
1．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值、最小值分别是( )
A．f(1)与f(－1) B．f(1)与f(2)
C．f(－1)与f(2) D．f(2)与f(－1)
解析： f′(x)＝4－4x3，f′(x)>0，
即4－4x3>0?x<1，f′(x)<0?x>1，
∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得极大值，
且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，
∴f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，故选B.
答案： B
2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
解析： f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
答案： A合作探究 课堂互动 求函数的最值 求下列函数的最值．
[思路点拨] 要求区间[a，b]上函数的最值，只需求出函数在(a，b)内的极值，最后与端点处函数值比较大小即可． (1)f(x)＝2x3－12x， 导数法求函数最值要注意的问题：
(1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点，同时还要找出导数不存在的点．
(2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值．
特别提醒：比较极值与端点函数值的大小时，可以作差、作商或分类讨论． 1．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
解析： (1)f′(x)＝－4x3＋4x，
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0得
x＝－1，或x＝0，或x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；
x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.已知函数的最值求参数 解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a的符号的影响，因此，需要进行分类讨论．本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，布列相应的方程，从而得出参数的值． 2．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值．
解析： 依题意，显然a≠0.
因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，
所以令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)若a＞0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表知，当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，故f(－1)＞f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.与最值有关的恒成立问题 已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
[思路点拨] 有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．
一般地，λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；
λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min. 3．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋c，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．
解析： f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9.
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：
而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，
当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.
∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c的取值范围．◎求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－5,6]的最大值和最小值．
【错解】 f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝3x2－6x－9＝0，解得x＝－1或x＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
从上表可知，函数f(x)的最大值为10，最小值为－22.【错因】 错解的原因在于忽视闭区间端点的函数值．将f(x)的各极值与函数端点值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．如果仅仅是求最值，还可将上面的办法简化，只需将所有可能为极值点的函数值与端点函数值进行比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值．函数f(x)在闭区间上一定存在最大值与最小值，且一定不要忽略端点的函数值．
【正解】 由f(x)的定义域为闭区间[－5,6]，而f(－5)＝－150，f(6)＝59，与函数的极值比较，可知函数f(x)的最大值为59，最小值为－150.高效测评 知能提升 谢谢观看！课件45张PPT。1．4 生活中的优化问题举例 自主学习 新知突破1．通过实例体会导数在解决实际问题中的应用．
2．能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
3．提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识．下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则对消费者而言，选择哪一种更合算呢？[提示] 对消费者而言，选择规格为2 L的饮料更为合算．利用导数解决有关函数的最大值、最小值的实际问题，体现在以下几个方面：
(1)与几何有关的最值问题(求几何图形或几何体的面积与体积的最值)；
(2)与物理学有关的最值问题；
(3)与利润及其成本有关的最值问题．导数在实际生活中的应用 解决优化问题的基本思路 解决优化问题的一般步骤：
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找出问题的主要关系．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待求最值的对象表示为该变量的函数．
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．此处主要是利用导数求函数最值．
(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．
答案： C解析： 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
答案： D3．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为________dm时最省材料．
答案： 4合作探究 课堂互动 面积容积最大最小问题 用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解决面积或体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 1．用长为18 m的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？费用最省(成本最低)问题
令h′(x)＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
当x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数．
∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.
∵h(x)在(0,120]上只有一个极值，
∴它是最小值．
答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 1.用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．
2．利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 利润最大问题 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出利润L的最大值Q(a)． 1.利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
2．用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：
(1)建立函数关系式y＝f(x)；(2)求导函数y′；(3)令y′＝0，求出相应的x0；(4)指出x＝x0处是最值点的理由；(5)对题目所问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值．3．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解析： (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，
则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]． (2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
故当x＝12时，f(x)取得极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，
所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润最大．◎甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数b(b>0)；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？高效测评 知能提升 谢谢观看！课件48张PPT。1．5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程 自主学习 新知突破1．理解连续函数的概念，了解定积分的实际背景及“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．
2．会用分割、近似代替、求和、取极限的方法求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．观察图①和图②，其中阴影部分的面积可用梯形的面积公式来求，而图③中阴影部分有一边是曲线段．
[问题] 如何求图③中阴影部分的面积呢？
[提示] 若把区间[a，b]分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，近似地求出这些小曲边梯形的面积，分割的曲边梯形数目越多，所求得的面积越精确． 如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条__________的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．连续函数连续不断1．曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
2．求曲边梯形面积的方法与步骤：
(1)分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些____________ (如图②)；
(2)近似代替：对每个小曲边梯形“__________”，即用________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的__________ (如图②)；曲边梯形的面积 小曲边梯形以直代曲矩形近似值(3)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值__________；
(4)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，所有小曲边梯形的面积之和趋向一个_______，即为曲边梯形的面积．求和定值如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么它在时间t所在的区间[a，b]内的路程(或位移)也可以运用(1)________；(2)__________；(3)_________；(4)__________的方法求得．求变速直线运动的路程分割近似代替求和取极限2．汽车行驶的路程与曲边梯形的面积之间的关系
求汽车行驶的路程实际上也是求时间－速度坐标系中的曲边梯形的面积，所以求汽车行驶的路程与求曲边梯形的面积方法一样．1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
解析： 作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．
答案： C
解析： 对于v＝at＋b，当a＝0时为匀速直线运动，当a≠0时为匀变速直线运动，其中a>0时为匀加速直线运动，a<0时为匀减速直线运动，对于v＝at2＋bt＋c(a≠0)及v＝v(t)是t的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动，故B是错误的．
答案： B3．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为________．4．利用分割、近似代替、求和、取极限的办法求函数y＝1＋x，x＝1，x＝2的图象与x轴围成梯形的面积并用梯形的面积公式加以验证．合作探究 课堂互动 求曲边梯形的面积 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积． 求曲边梯形面积的四个步骤：
第一步：分割．在区间[a，b]中任意插入n－1个分点，将它等分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1,2…，n)，区间[xi－1，xi]的长度Δxi＝xi－xi－1，
第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．
第三步：求和．
第四步：取极限．
特别提醒：最后所得曲边梯形的面积不是近似值，而是真实值．1．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的平面图形的面积．求变速运动物体的路程 求自由落体的下落距离：
已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．[思路点拨]
2．汽车行驶的速度为v＝t2，求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.【错解】 (1)分割
将区间[0,1]等分为5个小区间：[0,0.2]，[0.2,0.4]，[0.4,0.6]，[0.6,0.8]，[0.8,1]
每个小区间的长度为0.2，过四个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成5个小曲边梯形，它们的面积分别记为ΔS1，ΔS2，…，ΔS5.【错因】 错解的原因是没有理解极限的思想．高效测评 知能提升 谢谢观看！课件44张PPT。1.5.3 定积分的概念 自主学习 新知突破1．了解定积分的概念，理解定积分的几何意义．
2．掌握定积分的基本性质．[问题1] 直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝1＋x围成的图形的面积是多少？[问题3] 两个数值相同是巧合吗？
[提示3] 不是．
[问题4] 说明了什么问题？定积分的概念定积分
其中a与b分别叫做__________和__________，区间[a，b]叫做__________，函数f(x)叫做_________，x叫做_________，f(x)dx叫做__________．积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式定积分的几何意义 f(x)≥0直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0曲线y＝f(x)定积分的性质 答案： B答案： B4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：合作探究 课堂互动 利用定义求定积分 [思路点拨] 将区间[1,2]等分为n个小区间，利用函数在每个小区间上的左端点值求出Sn，其极限即为所求．定积分的几何意义 利用定积分的几何意义，求： 定积分的几何意义的应用：
定积分的几何意义是曲边梯形的面积，其应用可以是用图形面积表示定积分，或者利用几何意义求定积分．画出被积函数的图象，准确确定积分区间，正确利用几何知识求面积．对于不规则的图形，可以进行分割．
特别提醒：由于积分区间的影响，被积函数的图象往往不是完整的曲线． 定积分性质的应用 [思路点拨] 解答本题应关注以下两点：如图，利用定积分的几何意义得 定积分的性质在做题时经常应用，不但可以把未知的问题转化为已知的问题，而且在运算方面更为简便．另外，若函数f(x)的奇偶性已经明确我们还有下面的结论，若f(x)在[－a，a]上连续，则： 答案： (1)D【错因】 在应用定积分的几何意义求定积分时，错解中没有考虑在x轴下方的面积取负号，x轴上方的面积取正号，导致错误．高效测评 知能提升 谢谢观看！课件38张PPT。1．6 微积分基本定理 自主学习 新知突破1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，
[问题1] f(x)和F(x)有何关系？
[提示1] F′(x)＝f(x)．[问题3] 求F(2)－F(0)的值．
[提示3] F(2)－F(0)＝4＋2＝6.
[问题4] 你得出什么结论？微积分基本定理 f(x) F(b)－F(a)连续 F(b)－F(a)定积分和曲边梯形面积的关系 S上 －S下 S上－S下0合作探究 课堂互动 求简单函数的定积分 求下列定积分：
[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． 求简单的定积分关键注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限． 求复杂函数的定积分[思路点拨] 所求两个定积分的原函数都无法一眼看出，可以先把被积函数化简后，应用定积分的性质转化为易求原函数的定积分再求解． 求复杂函数定积分的方法：
(1)掌握基本初等函数的导数及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数．当原函数不易求解时，可以先把原函数变形．
(2)合理应用定积分的性质，把复杂函数的定积分转化为简单函数的定积分再求．
(3)准确确定积分区间，分清积分的上下限． 定积分的应用 [思路点拨] 定积分的应用体现了定积分与函数的内在联系，可以通过定积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用． 高效测评 知能提升 谢谢观看！课件45张PPT。1．7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用自主学习 新知突破1．理解定积分的几何意义．
2．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的平面图形的面积．[问题1] 不用计算，根据图形，你能比较下列定积分的大小吗？[提示1] 能．(1)> (2)< (3)<[提示2] 能．画出函数f(x)的图象如图．用定积分求平面图形的面积 1．画草图，求出曲线的__________．
2．将曲边形面积转化为____________面积．
3．根据图形特点选择适当的__________．
4．确定__________和__________．
5．计算定积分，求出面积．解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 交点坐标曲边梯形的积分变量被积函数积分区间答案： C4．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．合作探究 课堂互动 不分割图形面积的求解 1.用定积分求“曲边图形”面积的步骤：
(1)先画出草图，确定所求面积是哪部分；
(2)解方程组得到交点的坐标，确定被积函数以及积分的上、下限；
(3)把所求的面积用定积分表示；
(4)根据微积分基本定理求出面积．
2．注意事项：
(1)准确地画图，并合理分割图形；
(2)被积函数与积分上、下限要对应；
(3)当面积在x轴的下方时，面积是定积分的相反数．1．计算由曲线y2＝x，y＝x3围成的封闭图形的面积．
解析： 首先画出草图，如图．所求面积为图中阴影部分的面积．分割图形面积的求解 求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积．
[思路点拨] 可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解． 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限． 2．计算由曲线y＝x2＋2与直线y＝3x，x＝0，x＝2所围图形的面积．定积分的综合应用 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决． 3．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．◎计算由曲线y＝x2＋2x(x≥－1)与直线x＝－1，x＝1及x轴所围图形的面积．【错因】 本题错解的原因是没有正确理解定积分的几何意义，因为曲线y＝x2＋2x(x≥－1)与直线x＝－1及x轴所围图形在x轴的下方，面积取负号，因此错解所求的是面积的代数和，而非面积的和．高效测评 知能提升 谢谢观看！课件30张PPT。1.7.2 定积分在物理中的应用自主学习 新知突破1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用．
2．会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，
[问题] 你能求出电视塔的高度吗？做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝_______.变速直线运动的路程 变力作功利用定积分求变速直线运动的路程与求变力所做功的区别
利用定积分求变速直线运动的路程，其积分变量是时间，被积函数是速度对时间的函数；
利用定积分求变力所做的功，其积分变量是位移，被积函数是力对位移的函数．2．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C． D．e－1
答案： B3．如果用1 N的力能拉长弹簧1 cm，那么为了将弹簧拉长6 cm需作功________J.
答案： 0.184．一动点P从原点出发，沿x轴运动，其速度v(t)＝2－t(速度的正方向与x轴的正方向一致)，求t＝3时，动点P离开原点的路程．合作探究 课堂互动 求变速直线运动的路程、位移 有一动点P沿x轴运动，在时间t的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：
(1)P从原点出发，当t＝3时，离开原点的路程；
(2)当t＝5时，P点的位置；
(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程；
(4)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
[思路点拨] 首先要确定的是所要求的是路程还是位移，然后用相应的方法求解． 用定积分求变速直线运动的路程：
(1)把物理问题转化为数学问题是关键：积分变量是时间，被积函数是速度对时间的函数，积分区间是运动的起止时间点．
(2)路程是位移的绝对值之和，在求路程时，要注意先判断速度在时间段内是否恒正，否则，要分段求解．
特别提醒：忽视速度的正负判断，是导致此类问题出错的主要原因． 1．A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(24－1.2t) m/s，在B站恰好停车．试求：
(1)A，C间的距离；
(2)B，D间的距离；
(3)电车从A站到B站所需的时间．变力作功
[思路点拨] 物体由A到B，再由B到C，再由C到D运动，物体运动的方向与力F的方向一致吗？若不一致，那在其运动方向上的力如何表示？
解析： 在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos 30°.在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos 45°.2．设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．◎有一动点P，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2.求t＝0到t＝5时，点P经过的路程．
【错因】 t＝0到t＝5时，点P经过的路程与点P的位置不同．当t>4时，点P向x轴负方向运动．高效测评 知能提升 谢谢观看！课件56张PPT。知能整合提升[说明] (1)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数，而函数y＝f(x)在一个区间上的导数指的是这个函数在这个区间上每点处的导数构成的一个函数，它实际上是“导函数”的简称；
(2)函数y＝f(x)和它的导数y′＝f′(x)具有相同的定义域，并且y′＝f′(x)在定义域上点x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x0处的导数值，这样求函数在点x0处的导数值就可以先求出这个函数的导数，再求这个导数在点x0处的函数值；
(3)并不是所有的函数在其定义域上每一点处都有导数，如函数y＝|x|在点0处就没有导数，但这个函数在定义域的其他点处都有导数．2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
利用导数的几何意义求切线方程的关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)． ①
又y1＝f(x1)， ②
由①②求出x1，y1的值，
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
3．复合函数的求导法则
设复合函数μ＝g(x)在点x处可导，y＝f(μ)在点μ处可导，则复合函数f[g(x)]在点x处可导，且f′(x)＝f′(μ)·g′(x)，即yx′＝yμ′·μx′.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量．
[说明] 求导数时，先化简再求导是导数计算的基本原则．一般情况下，有四类函数求导数在解题时较容易出错，需要特别注意，即分式函数、对数函数、三角函数和复合函数．
三、导数的应用
1．导数与函数的单调性
(1)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
[说明] f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，
∴f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．
(2)利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：
①求导数f′(x)；
②解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
③确定并指出函数的单调增区间、减区间．
特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．2．导数与函数的极值和最值
函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性，而不是函数在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值．
(1)应用导数求函数极值的一般步骤：
①确定函数f(x)的定义域；
②解方程f′(x)＝0的根；
③检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
[说明] 可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．(2)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将①求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
四、定积分
1．求定积分
求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数．为避免出错在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证．
2．利用定积分求平面图形的面积
将求平面图形的面积转化为定积分运算时，必须确定的是被积函数，积分变量，积分上、下限．一般步骤为：
①画图；
②确定要素(找到所属基本型，确定被积函数的积分上、下限)；
③转化求值．
要注意当所围成的图形在x轴下方时积分值为负，因此，需对其定积分取绝对值．热点考点例析【点拨】 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)，相应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．导数的几何意义 [思维点击] 切线与坐标轴围成的三角形为直角三角形，要求其面积关键是求两条直角边的长，为此只要求两条坐标轴与切线交点的坐标，从而应先求出切线的方程．【点拨】 在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．应用导数求函数的单调区间[思维点击] 先求定义域，然后求导．
(1)中利用f′(x)＞0及f′(x)＜0求单调区间．
(2)中利用x∈[1,2]时f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．2．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．【点拨】 导数的应用：
导数是研究函数非常有用的工具，可以和许多考点相联系：
(1)求函数的最大值与最小值；求函数的极大值与极小值；已知最值与极值，求参数的值．
(2)解决恒成立问题．
(3)数形结合，研究函数的图象交点情况(方程根的个数问题)．导数的综合应用 函数f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．
(1)求a和b的值；
当x∈[1，＋∞)时，h′(x)≥0，
所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
故当x∈[1，＋∞)时，h(x)≥h(1)＝0.
所以对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有h(x)≥0.
又x2≥0，因此f(x)－g(x)≥0.
故对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有f(x)≥g(x)．3．设函数f(x)＝ax＋2，g(x)＝a2x2－ln x＋2，其中a∈R，x>0，是否存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析： 令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax＋ln x－a2x2(x>0)，
假设存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立，
即当x>0时，h(x)的最大值小于等于0.
下面求h(x)的最大值．【点拨】 定积分是解决求平面图形的面积，特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功等问题的方便而且强有力的工具．定积分及其应用 求由曲线y＝x2，y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积．答案： C2．已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )解析： 由f′(x)的图象知函数f(x)的切线斜率先增大后减小，故选D.
答案： D2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析： 由导数定义求得y′＝2x，
∵抛物线y＝x2的切线与直线2x－y＋4＝0平行，
∴y′＝2x＝2?x＝1，即切点为(1,1)，
∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0，故选D.
答案： D
4．若函数f(x)满足xf′(x)>0，则下列关于f(x)的判断中正确的一项是( )
A．f(x)可能是奇函数
B．f(x)可能是偶函数
C．若－1D．若－1解析： 由xf′(x)>0知，当x>0时，f′(x)>0，
当x<0时，f′(x)<0.
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增．
若f(x)为奇函数，则在(－∞，0)与(0，＋∞)单调性一致，
故排除A.又x1，x2不同在一个单调区间内且f(x)的解析式没有给出，故无法比较f(x1)与f(x2)的大小，排除C、D.故选B.
答案： B
5．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为________．
6．函数f(x)＝x3＋ax在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则a＝________.
解析： f(x)＝x3＋ax，f′(x)＝3x2＋a.
∵f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
∴f′(1)＝3＋a＝0.∴a＝－3.
答案： －3
7．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
8．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
解析： (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，
单调递增区间是(ln 2，＋∞)；
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为
f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)的最小值为
g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，
都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.章末质量评估谢谢观看！