2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.6对数与对数函数（答案）
考纲剖析
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；21世纪教育网版权所有
2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象；21cnjy.com
3．体会对数函数是一类重要的函数模型；
4．了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数
知识回顾
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．www.21-cn-jy.com
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1)
①＝N；②logaaN＝N；③logbN＝；
④＝logab；⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④loga＝logaM.2·1·c·n·j·y
3．对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＜0
(5)当x＞1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
真题精析
一、选择题
1．（2015北京）如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
【解析】如图，函数的图象可知，的解集是
．
2．（2015天津）已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记
，，则 的大小关系为
A． B．
C． D．
【解析】因为函数为偶函数，所以，即，
所以，
， ，所以，故选C．
3.（2014山东）已知函数（为常数，其中）的图象如图，则下列结论成立的是
A． B．
C． D．
【解析】由图象可知，当时，，得．
4．（2014安徽）设，，，则
A． B． C． D．
【解析】∵，，，所以．
5．（2014天津）函数的单调递增区间是
A． B． C． D．
【解析】，解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为．
6.（2013陕西）设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是
A． B．
C． D．
【解析】,,≠1. 考察对数2个公式:
对选项A：，显然与第二个公式不符，所以为假．对选项B：，显然与第二个公式一致，所以为真．对选项C：，显然与第一个公式不符，所以为假．对选项D：，同样与第一个公式不符，所以为假．所以选B．
7．（2013天津）已知函数是定义在R上的偶函数， 且在区间单调递增． 若实数a满足， 则a的取值范围是21教育网
A． B． C． D．
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且，
所以，
即，因为函数在区间单调递增，所以，
即，所以，解得，即a的取值范围是，选C．
二、填空题
8．(2016年浙江) 已知，若，，则= ，= .
【解析】设，因为，
因此
9．（2015浙江）若，则_________．
【解析】∵，∴，∴．
10．（2014天津）函数的单调递减区间是________．
【解析】，
知单调递减区间是．
11.（2014重庆）函数的最小值为_________．
【解析】
．当且仅当，即时等号成立．
12．（2013四川）的值是____________。
【解析】．
全国卷真题汇编
1．(2016全国I) 若，，则
A． B．
C． D．
【解析】选项A，考虑幂函数，因为，所以为增函数，又，所以，A错．对于选项B，，又是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C．21·cn·jy·com
2．(2016全国III) 已知，，，则
A． B． C． D．
【解析】因为，，，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，所以，故选A．
3..(2013全国Ⅱ)设，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】因为，，又，所以最大。
又，所以，即，所以，选D.
4．（2013新课标）设，则
A． B． C． D．
【解析】，
由下图可知D正确．
解法二 ，，
，由，可得答案D正确．
5．（2015新课标Ⅱ）设函数，则
A．3 B．6 C．9 D．12
【解析】由于，，
所以．
7.(2015全国Ⅰ)已知函数 ，且，则
A． B． C． D．
【解析】∵，∴当时，，则，
此等式显然不成立，当时，，解得，
∴=，故选A．
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.6对数与对数函数
考纲剖析
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；21世纪教育网版权所有
2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象；21教育网
3．体会对数函数是一类重要的函数模型；
4．了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数
知识回顾
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．www-2-1-cnjy-com
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1)
①＝ ；②logaaN＝ ；③logbN＝ ；
④＝ ；⑤logab＝ ，推广logab·logbc·logcd＝ .
(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)
①loga(M·N)＝ ；②loga＝ ；
③logaMn＝ n∈R)；④loga＝ .
3．对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
(1)定义域：( )
(2)值域：（ ）
(3)过点 ，即x＝ 时，y＝0
(4)当x＞1时，
当0＜x＜1时，
(5)当x＞1时，
当0＜x＜1时，
(6)在(0，＋∞)上是 函数
(7)在(0，＋∞)上是 函数
精讲方法
一、对数式的化简与求值
对数的化简与求值的基本思路
利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；
利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；
约分、合并同类项，尽量求出具体值。
对数运算的一般思路:
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用
对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
二、比较大小
（1）比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。
①a>1,f(x)>0.g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0;
②0
0,g(x)>0,则logaf(x)>logag(x) 0（2）比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较。
①若a>b>1，如图1.
当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x);
当0 logbf(x).
②若1>a>b>0,如图2。
当f(x)>1时，logbf(x)> logaf(x);
当1>f(x)>0时，logaf(x)> logbf(x).
③若a>1>b>0。
当f(x)>1时，则logaf(x)> logbf(x);
当0（3）比较大小常用的方法
①作差（商）法；②利用函数的单调性；③特殊值法（特别是1和0为中间值）
三、对数函数图象与性质
（1）对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题。其单调性取决于底数与“1”的大小关系。www.21-cn-jy.com
（2）利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”。即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决。2·1·c·n·j·y
（3）与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤
①确定定义域；
②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x)
③分别确定这两个函数的单调区间；
④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x))为增函数，若一增一减，则y=f(g(x))为减函数，即“同增异减”。【来源：21·世纪·教育·网】
规律概述
比较大小
（1）画对数函数图象的几个关键点
共有三个关键点：
（2）解决与对数函数有关的问题时需注意两点
①务必先研究函数的定义域；
②注意对数底数的取值范围。
（3）比较对数式的大小
①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；
②当底数不同，真数相同时，可转化为同底（利用换底公式）或利用函数的图象，数形结合解决；
③当不同底，不同真数时，则可利用中间量进行比较。
对数函数图象与性质
利用复合函数（只限由两个函数复合而成的）判断函数单调性的方法
找出已知函数是由哪两个函数复合而成的；
当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域；
分别求出两函数的单调区间；
按照“同增异减”确定函数的单调区间；
研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行。
对数函数的综合应用
（1）求f(a)+f(-a)的值，常常联想到函数的奇偶性，因此，解此类问题一般先判断奇偶性，再求值.21cnjy.com
（2）求形如f(2 012),f(2 011)的值往往与函数的周期性有关，求此类函数值一般先研究函数的周期性?21·世纪*教育网
（3）已知函数的最值或求函数的最值，往往探究函数的单调性
解决对数函数综合问题的方法
无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质
(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1,+∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
(4)在处理与对数函数有关的问题时，应注意底数的取值范围对解决问题的影响，以及真数为正的限制条件.
真题精析
一、选择题
1．（2015北京）如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
2．（2015天津）已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记
，，则 的大小关系为
A． B．
C． D．
3.（2014山东）已知函数（为常数，其中）的图象如图，则下列结论成立的是
A． B．
C． D．
4．（2014安徽）设，，，则
A． B． C． D．
5．（2014天津）函数的单调递增区间是
A． B． C． D．
6.（2013陕西）设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是
A． B．
C． D．
7．（2013天津）已知函数是定义在R上的偶函数， 且在区间单调递增． 若实数a满足， 则a的取值范围是21·cn·jy·com
A． B． C． D．
二、填空题
8．(2016年浙江) 已知，若，，则= ，= .
9．（2015浙江）若，则_________．
10．（2014天津）函数的单调递减区间是________．
11.（2014重庆）函数的最小值为_________．
12．（2013四川）的值是____________。
全国卷真题汇编
1．(2016全国I) 若，，则
A． B．
C． D．
．
2．(2016全国III) 已知，，，则
A． B． C． D．
3..(2013全国Ⅱ)设，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．（2013新课标）设，则
A． B． C． D．
5．（2015新课标Ⅱ）设函数，则
A．3 B．6 C．9 D．12
6..(2015全国Ⅰ)已知函数 ，且，则
A． B． C． D．
