课件31张PPT。知识网络构建考纲考情点击[课标导航]1．从内容上本章为选修部分新增内容，也是选考内容，柯西不等式的几种形式及其意义，通常以低档题出现，用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况通常以中档题出现．
2．考查学生的逻辑思维能力和抽象思维能力．[命题探究]热点考点例析利用柯西不等式证明不等式利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．利用柯西不等式求最值 求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．[方法技巧] 利用柯西不等式求某些函数或式子的最值，关键是将函数式化为柯西不等式的形式，并注意取等号的条件．1．用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．
2．注意等号成立的条件．排序不等式的应用[方法技巧] 此题后半部分应用了不等式的性质来证明． 设0≤a1≤a2≤…≤an,0≤b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的一组排列．
求证：a1b1·a2b2·…·anbn≥a1c1·a2c2·…·ancn≥a1bn·a2bn－1·…·anb1.
证明： ∵0＜a1≤a2≤…≤an，∴lna1≤lna2≤…≤lnan.
又∵0≤b1≤b2≤…≤bn，
故由排序不等式可知b1lna1＋b2lna2＋…＋bnlnan
≥c1lna1＋c2lna2＋…＋cnlnan
≥bnlna1＋bn－1lna2＋…＋b1lnan.数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题，利用柯西不等式、排序不等式解决有关的实际问题，关键是从实际情境中构造两类不等式的模型．柯西不等式、排序不等式的实际应用 等腰直角三角形AOB的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P的位置．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，对自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想”．本章常见的化归与转化的问题是，通过换元或恒等变形把命题的表达形式化为柯西不等式或排序不等式的形式．化归与转化思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果 得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．本章中利用排序原理解决问题时，为了确定构造的数组有序常进行分类讨论．分类讨论思想 设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
证明： (1)当x＞1时，1＜x＜x2＜…＜xn.
由排序原理，得
1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn， ①
又x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列，
由排序原理，得
1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，阶段质量评估谢谢观看！课件34张PPT。第 三 讲 柯西不等式
与排序不等式一 二维形式的柯西不等式1.认识二维形式的柯西不等式．
2.理解二维形式的柯西不等式的几何意义．
3.会利用二维形式的柯西不等式进行简单证明.
1.二维柯西不等式的应用．(重点)
2.常与不等式的性质结合命题．(难点)
3.牢记二维柯西不等式的结构特点、注意其变形．(易混点) 目标定位预习学案1.如右图，已知在正方形ABCD中，有四个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边的长为a，b，则正方形ABCD的面积为S1＝_______，4个直角三角形面积的和为S2＝______，则S1____S2(填“≥”“≤”或“＝”)．据此，我们就可得到一个不等式______________(用a，b的式子表示)，并且当a___b时，直角三角形变为_______________时，S1＝S2.a2＋b22ab≥a2＋b2≥2ab＝等腰直角三角形二维形式的柯西不等式(ac＋bd)2 ad＝bc |α|·|β| β＝0 存在实数k， 使α＝kβ P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线，且P1，P2在原点两旁 1．二维形式的柯西不等式可用________表示．( )
A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R)
C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)
D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)
答案： C课堂学案二维柯西不等式代数形式的应用柯西不等式向量形式的应用2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1.求证：(ax＋by)2≤ax2＋by2.
[思路点拨] 解答本题可采用向量形式的柯西不等式．二维柯西不等式的综合应用简单柯西不等式
(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． ①
与中学数学中的代数、几何、三角等各方面都有联系，熟悉这些联系能更本质地把握不等式，并能更自觉地应用它．
(1)全量不小于部分．由恒等式
(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2. ②
即得(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.简单柯西不等式的认识柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则
|α||β|≥|α·β|.
当α及β为非零向量时，上式中等号成立?向量α和β共线?存在实数λ≠0，使得α＝λβ.柯西不等式的向量表示课后练习谢谢观看！课件38张PPT。二 一般形式的柯西不等式1.认识一般形式的柯西不等式的几种表现形式．
2.理解一般形式的柯西不等式的几何意义．
3.会用一般形式的柯西不等式进行简单的数学应用.
1.一般形式的柯西不等式的应用．(重点)
2.常与不等式的性质、最值问题等综合考查．
3.等式中“＝”号成立的条件．(易错点) 目标定位预习学案1．二维形式的柯西不等式的代数形式
若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥_________，当且仅当_____________时，等号成立．
2．二维形式的柯西不等式的向量形式
设α，β是两个向量，则|α·β|≤_________，当且仅当____________或_________________________时，等号成立．(ac＋bd)2ad＝bc|α||β|β是零向量存在实数k，使α＝kβ(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 b1＝b2＝b3＝0或存在一个 数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3 (a1b1＋a2b2＋a3b3 ＋…＋anbn)2 bi＝0(i＝1,2,3，…，n)或存在一 个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n) |α·β| α，β共线 课堂学案利用柯西不等式证明有关的不等式利用柯西不等式求最值2．已知x＋4y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值．
[思路点拨] 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．利用柯西不等式处理综合问题柯西不等式的几何背景从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模的积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，只需简记为“方和积大于积和方”．等号成立条件比较特殊，要牢记．此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数．柯西不等式的形式的特点柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，但我们在使用柯西不等式解决问题时，往往不能直接应用，需要先对式子的形式进行变化，拼凑出与柯西不等式相似的结构，继而达到使用柯西不等式的目的．在应用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而且要善于构造，技巧如下：柯西不等式的应用①巧拆常数；
②重新安排某些项的次序；
③结构的改变从而达到使用柯西不等式；
④添项．柯西不等式有两个很好的变式课后练习谢谢观看！课件37张PPT。三 排序不等式1.了解排序不等式的数学思想和背景．
2.了解排序不等式的结构与基本原理．
3.理解排序不等式的简单应用.
1.排序不等式的应用．(重点)
2.排序不等式与不等式有关知识的综合应用．(难点) 目标定位预习学案a设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和____________________为顺序和，称_____________________为乱序和，称相反顺序相乘所得积的和_____________________________为反序和．a1b1＋a2b2＋…＋anbna1c1＋a2c2＋…＋ancna1bn＋a2bn－1＋…＋anb12．排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…an，b1≤b2≤…bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则________________________ ≤_____________________≤________________________，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为__________≤_________≤顺序和．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1c1＋a2c2＋…＋ancna1b1＋a2b2＋…＋anbn反序和乱序和1．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值和最小值分别是( )
A．132,6 B．304,212
C．22,6 D．21,36
答案： B3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．
解析： 由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.
答案： 32 28课堂学案字母的大小顺序已确定的不等式的证明需对字母顺序作出假设的不等式的证明 设x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
[思路点拨] 题中只给出了x>0，但对于x≥1，x<1没有明确，因而需要进行分类讨论．对所证不等式中的字母大小顺序需要加以讨论用排序原理证明柯西不等式定理(排序原理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有：
a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，
等号成立当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序不等式的另一证明证明： (1)设Ck＝c1＋c2＋…＋ck，
Bk＝b1＋b2＋…＋bk，
因为b1≤b2≤…≤bk，且{c1，c2，…，ck}是由{b1，b2，…，bn}中的k个元素构成的子集，则
Ck≥Bk，k＝1,2，…，n，
Cn＝Bn.
因为ak－1－ak≤0，?k＝2,3，…，n，
所以a1c1＋a2c2＋…＋ancn＝a1C1＋a2(C2－C1)＋…＋an(Cn－Cn－1)
＝C1(a1－a2)＋C2(a2－a3)＋…＋Cn－1(an－1－an)＋anCn
≤B1(a1－a2)＋B2(a2－a3)＋…＋Bn－1(an－1－an)＋anBn
＝a1B1＋a2(B2－B1)＋…＋an(Bn－Bn－1)
＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn.
即乱序和≤顺序和．(2)由于b1≤b2≤…≤bn，所以－b1≥－b2≥…≥－bn.
设－c1，－c2，…，－cn为－b1，－b2，…，－bn的一个排列，由(1)的证明得
a1(－bn)＋a2(－bn－1)＋…＋an(－b1)≥a1(－c1)＋a2(－c2)＋…＋an(－cn)．
于是有
a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn.即 反序和≤乱序和．由(1)及(2)得
反序和≤乱序和≤顺序和．
(3)等号成立当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn，成立的证明和教科书上的证法相同．课后练习谢谢观看！
