课件43张PPT。知识网络构建考纲考情点击[课标导航]1．本讲的内容一是数学归纳法，二是用数学归纳法证明不等式．主要题型是用数学归纳法证明与正整数n有关的等式，不等式，整除问题，几何命题，数列中的归纳猜想并证明，以及用贝努利不等式证明一些简单问题．
2．本讲的重点是数学归纳法的概念和证明等式和不等式问题，难点是与数列结合的证明题，题型属于中档题，与数列有关的证明属于难度题．[命题探究]热点考点例析开始学习数学归纳法时，常常会遇到两个困难，一是数学归纳法的实质不容易理解，二是归纳步骤的证明有时感到难以入手．本部分将对几种常见的错误及归纳步骤证明的基本方法进行讨论，进一步理解数学归纳法的原理，弄清它的实质，明确如何正确使用数学归纳法．数学归纳法的使用两步缺一不可
(1)缺第二步不可
如果一个命题对于开始的一些正整数都成立，那么由P(k)成立导出P(k＋1)成立是必然的．因此第二步归纳步骤是流于形式，证与不证似乎一样．显然这是不正确的，产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用，如果没有递推性，那么一个命题可能对于开始的许多正整数都成立，但是一般的并不成立。(2)缺第一步也不可
数学归纳法的第二步归纳步骤中有递推作用，而且k又可以任意取值，这样就够了，有没有第一步无关紧要．这种认识也是错误的，它忽视了第一步的奠基作用，因此如果没有P(1)成立，归纳假设P(k)成立就没有了依据，因此递推性也就成了无源之水． 不要奠基步骤，我们来证明(n＋1)2＋(n＋2)2一定是偶数(n∈N＋)．
解析： 假设n＝k时命题成立，
即(k＋1)2＋(k＋2)2是偶数．
当n＝k＋1时，
[(k＋1)＋1]2＋[(k＋1)＋2]2
＝(k＋2)2＋(k＋1)2＋4(k＋1)＋4
＝(k＋1)2＋(k＋2)2＋4(k＋2)．由假设(k＋1)2＋(k＋2)2是偶数，
又4(k＋2)也是偶数，
所以上式是偶数，这就是说n＝k＋1时命题也成立．
由此，对于任意的正整数n，(n＋1)2＋(n＋2)2一定是偶数．
[技巧归纳] 这个结论显然是错误的，原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤，实际上，n＝1时，(1＋1)2＋(1＋2)2＝4＋9＝13不是偶数，这说明使用数学归纳法时缺第一步不可．在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)”是问题的条件，而命题P(k＋1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．
1．分析综合法
用数学归纳假设证明关于自然数n的不等式，从“P(k)”到“P(k＋1)”，常常可用分析综合法．数学归纳法证题的常用技巧[方法技巧] 在第二步的证明中，利用了分析法．[思维导引] 利用数学归纳法证明不等式关键是利用放缩、凑假设、凑结论．但要注意从n＝k变化到n＝k＋1时增了多少项，少了多少项，一般用f(k＋1)－f(k)来研究增加或减少的项的多少．3．递推法
用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用an与an＋1的关系，实现从“n＝k”到“n＝k＋1”的过渡．[方法技巧] 利用数学归纳法证明几何问题，关键是找出由n＝k到n＝k＋1时的增量．5．凑成法
用数学归纳法证明关于正整数的命题(尤其是整除)时，从“k”过渡到“k＋1”常常用凑成法．由假设可知3(62k＋3k＋2＋3k)是11的倍数，
而33·62k也是11的倍数，
即n＝k＋1时，原命题成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N＋原命题成立．
[方法技巧] 利用数学归纳法证明等式或整除问题，关键是利用“加”、“减”项，“拆”、“并”项等恒等变形的方法，去“凑”假设、“凑”结论．1．特殊与一般思想
人们对一类新事物的认识往往是从这类事物中的个体开始的．通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程．这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的思想，就是数学研究中的特殊与一般思想．本章的许多问题都是从特殊开始，通过归纳总结得出结论，然后再用数学归纳法证明．数学归纳法中的数学思想 将全体正整数排成一个三角形数阵，如右图所示．按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
[思维导引] 观察数阵知，从上到下是自然数列1,2,3…，n，…，第n行的第一个数是前n－1行正整数的个数加1.[方法技巧] 此类问题解决的方法是通过观察、比较、分析、总结，运用归纳、类比推理获得结论，最后证明结论正确，简言之“归纳、猜想、数学归纳法”．2．分类讨论的思想方法
所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．本章中利用数学归纳法证明某些条件不等式问题时，常进行分类讨论．因为a1＞1，a2＜1所以(a1－1)(a2－1)＜0，即a1＋a2－a1a2＞1成立．
由①＋③得②.
所以当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n，如果n(n为正整数)个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an＝1，那么它们的和a1＋a2＋…＋an≥n.
[方法技巧] 为了能够利用归纳假设，把乘积看作一个数处理，这就是数学中的整体思想，希望大家重视．阶段质量评估谢谢观看！课件39张PPT。第 四 讲 数学归纳法证明不等式一 数学归纳法1.了解数学归纳法的原理．
2.了解数学归纳法的使用范围．
3.会用数学归纳法证明一些简单问题.
1.数学归纳法的原理．(重点)
2.数学归纳法的应用．(难点) 目标定位预习学案2ab 比较法 分析法 综合法 1．数学归纳法的概念
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
(1)证明当_________时命题成立；
(2)假设当_________________________时命题成立，证明___________时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．n＝n0n＝k(k∈N＋，且k≥n0)n＝k＋12．数学归纳法的基本过程3．设凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
解释： 由凸多边形性质知多加了一条边内角和比原来多了π.
答案： π课堂学案用数学归纳法证等式 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
[思路点拨] 由假设以x2k＋2为主进行拼凑，即减去x2y2k加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n＝k的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除．证整除问题[解题过程] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，
∴能被x＋y整除．
(2)假设n＝k(k≥1)时，x2k－y2k能被x＋y整除，
那么当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k＝
x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立．2．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在自然数m，使得对任意n∈N＋都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
[思路点拨] 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及“添项”与“减项”等变形技巧．解析： f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1 224，猜想能整除f(n)的最大整数是36.
下面用数学归纳法证明f(n)能被36整除．
(1)当n＝1时，f(1)＝36能被36整除；
(2)假设当n＝k(k≥1)时，f(k)能被36整除，则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9
＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，
而3k－1－1是偶数．
∴18(3k－1－1)能被36整除，
∴f(k＋1)能被36整除．
由(1)(2)得f(n)能被36整除．
由于f(1)＝36，故整除f(n)的最大整数是36.用数学归纳法证明几何问题3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．
[思路点拨] 利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．解析： n的最小值应该为2，
当n＝2时，有4条射线，
当n＝3时，如图有3条线段6条射线，
共9条线段或射线．当n＝4时，不妨取出一条直线l1，则剩余3条直线l2，l3，l4相互分割成9条线段或射线．而l1与l2，l3，l4有3个交点，这3个交点将l1分割为2条线段，2条射线．而l2，l3，l4上又各多出1个交点，因此l2，l3，l4又被这一交点多分割出一条线段或射线，
∴多出4＋3＝7条．
∴n＝4时，有16条．
由此推测，n条直线相互分割成n2条射线或线段，
设φ(n)＝n2(n≥2，且n∈N＋)．证明如下：
(1)当n＝2时，显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，
结论成立，φ(k)＝k2，
则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，lk，lk＋1共k＋1条直线，满足题设条件．不妨取出直线l1.余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成φ(k)＝k2条射线或线段．直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，lk＋1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．
故φ(k＋1)＝φ(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
∴当n＝k＋1时，结论正确．
由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2，且n∈N＋都成立．1．数学归纳法的概念
先证明当n取第一值n0(例如可取n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法适用范围
数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．数学归纳法在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k＋1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k＋1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”、“综合法”、“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k＋1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．用数学归纳法证明不等式课后练习谢谢观看！课件44张PPT。二 用数学归纳法证明不等式1.会用数学归纳法证明简单的不等式．
2.会用数学归纳法证明贝努利不等式．
3.了解贝努利不等式的应用条件.
1.应用数学归纳法证明不等式．(重点)
2.贝努利不等式的应用．(难点) 目标定位预习学案不成立 1．数学归纳法的步骤
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值____时命题成立；
(2)(归纳递推)假设________(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝_______时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2．对任何实数x≥－1和任何正整数n，有_____________，称为贝努利不等式．n0n＝kk＋1(1＋x)n≥1＋nx1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)第一步应验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
解析： 由题意知n≥3，∴应验证n＝3.故选C.
答案： C2．对于正整数n，下列说法不正确的是( )
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n<1－0.1n D．0.1n≥1－0.9n
解析： 由贝努利不等式
∵(1＋x)n≥1＋nx，(n∈N＋，x≥－1)，
∴当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，
故A正确．
当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥0－0.1n，B正确，C不正确．
答案： C课堂学案数学归纳法证明不等式数学归纳法在数列中的应用[思路点拨] 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．探索型问题1．用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤
①证明：当n取和第一个值n0结论成立；
②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．
由①②可知，对于命题从n0开始的所有正整数n都成立．数学归纳法证明不等式2．用数学归纳法证明不等式的重点
用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点之所在)，即假设f(k)>g(k)成立，证明f(k＋1)>g(k＋1)成立．对这个条件不等式的证明，除了灵活运用作差比较法、作商比较法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外，放缩法作为证明不等式的特有技巧，在用数学归纳法证明不等式时经常使用．贝努利不等式这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．观察、归纳、猜想、证明的方法课后练习谢谢观看！
