一次函数
12.1 函数
第1课时 变量与函数
学习目标：
1．联系自己的学习、生活实际，通过具体情境领悟函数的概念，了解常量、变量，知道自变量与函数，能写出简单的函数表达式。21教育网
2．探究变量的发现和函数概念的形成，提高学生分析、解决问题的能力。
学习重点：函数概念的形成过程。
学习难点：正确理解函数的概念。
☆ 自主学习 ☆
一、导读：预习课本，完成以下题目：
问题1：①这个问题中有哪几个量？
②观察表中数据，热气球在升空的过程中平均每分上升多少米？
③你能用关系式表示高度h与时间t的关系吗？
④想一想：热气球在升空过程中哪些量发生变化？哪些量没有发生变化？
总结：① 是变量； 是常量．
② 是自变量；21cnjy.com
是因变量．21·cn·jy·com
③一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在它 的每一个值，y都有 与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
④ 是函数值．【来源：21·世纪·教育·网】
☆ 合作探究 ☆
1．汽车行驶的路程S、行驶时间t和行驶速度v之间有下列关系：S=vt.
(1)如果汽车以60km/h的速度行驶，那么在S=vt中，变量是 ，常量是
（2）如果汽车行驶的时间t规定为1小时，那么在S=vt中，变量是 ，
常量是 ；
(3)如果甲乙两地的路程S为200km，汽车从甲地开往乙地，那么在S=vt中，
变量是 ，常量是 .
2．小明去文具店买某种笔，已知该笔2元/支，小明买了该种笔n支，应付钱为m元．
(1) 请写出m、n满足的关系；
(2) 填写下表：
练习本n（本）
1
2
5
8
…
付钱m（元）
…
(3) 在计算上述买了不同支数的笔应付的钱的过程. 哪些量在改变，哪些量不变？
☆ 归纳反思 ☆
通过本节课的学习，我有以下收获：
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___________________________________________________________www.21-cn-jy.com
☆ 达标检测 ☆
1．指出下列关系式中的变量与常量：
（1）球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式：S=4πR2；
（2）在一定温度范围内，一种金属棒长度l(cm)与温度t(0C)之间有关系式：
l=0.002t+200.
2．某校有宿舍x间，学校规定每间宿舍可住6名学生，宿舍恰好住满，请你写出住校生总数y（人）与宿舍间数x之间的关系，指出本题中的变量、常量、自变量和函数．2·1·c·n·j·y
3．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低”，并且出示了下面的表格：
距离地面高度/千米
0
1
2
3
4
5
温度/℃
20
14
8
2
－4
－10
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t如何变化？
（3）你知道距离地面5千米高空的温度是多少吗？
12.1 函数
第2课时 函数的表示方法
【学习目标】
1、总结函数三种表示方法．
2、了解三种表示方法的优缺点．
3、会根据具体情况选择适当方法．
4、利用数形结合思想，据具体情况选用适当方法解决问题的能力．
【重点难点】
1、认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点．
2、能按具体情况选用适当方法．
【自主学习】
1、函数的三种表示方法是什么？
2、你认为函数的三种表示方法各有什么优缺点。根据自己的看法填表。
表示方法
全面性
准确性
直观性
形象性
列表法
×
∨
∨
×
解析式法
∨
∨
×
×
图象法
×
×
∨
∨
从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
【合作探究】
一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．
t/时
0
1
2
3
4
5
…
y/米
10
10．05
10．10
10．15
10．20
10．25
…
１．由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．21cnjy.com
２．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？
【能力检测】
１．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数．
２．用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数．
3、 甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象．
【拓展延伸】
1．下表中的数据反映的函数解析式是___________.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2．我国北方人的标准体重y(kg)与其身高x(cm)有函数关系，根据解析式，把函数关系用列表法表示出来.21世纪教育网版权所有
3、右图是函数的图象.而函数的自变量取值范围是所有实数，其图象是关于y轴对称的，请你在右图中利用轴对称画出的图象.21教育网
小组评价： 教师评价：
【课后反思】
12.2 一次函数
第1课时 正比例函数的图象和性质
一、学习目标：
知识与技能 1、理解正比例函数的概念，能在用描点法画正比例函数图象过程中发现正比例函数图象性质
2、能用正比例函数图象的性质简便地画出正比例函数图象
3、能够利用正比例函数解决简单的数学问题
过程与方法 学生通过探究实际问题中函数关系归纳得出正比例函数的概念，再通过动手操作画图象观察概括出正比例函数图象的性质。学生在探究合作中交流，体验知识的形成过程。
情感态度与价值观 通过教师的主导作用，提高学生的合作学习效率，让学生体会合作学习的好处。
二、学习过程：
（一）、正比例函数的概念
1.按下列要求写出解析式
（1）一本笔记本的单价为2元，现购买x本与付费y元的关系式为_________________；
（2）若正方形的周长为P，边长为a，那么边长a与周长p之间的关系式为_____________；
（3）一辆汽车的速度为60 km / h ，则行使路程s与行使时间t之间的关系式为___________；
（4）圆的半径为r，则圆的周长c与半径r之间的关系式为____________。
2.观察“思考”中所得的四个函数；
（1）观察这些函数关系式，这些函数都是常数与自变量 的形式，
（2）一般地，形如 （ ）函数，叫做正比例函数，其中叫做 。2·1·c·n·j·y
思考：为什么强调K是常数，K≠0 ？自变量的指数有何特征？
练习（一）：
1、下列函数中，那些是正比例函数？______________
（1） （2） （3） （4） （5）y= （6） y=x
2.已知一个正比例函数的比例系数是－5,则它的解析式为____________
3.关于x的函数是正比例函数，则m__________
4.若y=5x是正比例函数，则m=___________.
5. 若是正比例函数，则＝ .
（二）正比例函数图象的画法与性质
1.还记得描点法画函数图象的一般步骤吗？
①______________,②___________________③____________________21·cn·jy·com
2.用描点法画出下列函数的图象
（1）y=2x
解：列表得：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x
…
…
观察所画图象，填写你发现的规律：
函数的图象是经过原点的 __________，
函数的图象经过第_______象限，从左到右_______，即y随x的增大而________；
函数（)的图象经过第_______象限，从左到右_______，即y随x的增大而________；21世纪教育网版权所有
（2）、 y=-2x
解：列表得：
…
…
y=-2x
…
…
观察所画图象，填写你发现的规律：
函数的图象是经过原点的 __________.
函数的图象经过第_______象限，从左到右呈_______趋势，即y随x的增大而________；21教育网
函数（)的图象经过第_______象限，从左到右呈_______趋势，即y随x的增大而________；21cnjy.com
正比例函数的性质
正比例函数（k≠0)是一条经过 .
当k > 0时，直线经过 象限，从左到右呈 趋势，即随的增大而
当k〈0时，直线经过 象限，从左到右呈 趋势，即随的减小 而
练习（二）：
1.已知正比例函数，若随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A.k<0 B.k>0 C. D.
2.已知正比例函数的图象过第二、四象限，则（ ）
A、y随x的增大而增大 B、y随x的增大而减小
C、当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减少；
D、不论x如何变化，y不变。
3.当时，函数的图象在第（ ）象限。
A、一、三 B、二、四 C、二 D、三
5.函数的图象在第_______象限，经过点（0，____）与点（1，____），y随x的增大而_________
（三）两点法画正比例函数的图象
1.因为 点确定一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点即可，通常是（ ， ）和（ ， ） www.21-cn-jy.com
2.试一试：用最简单的方法画出下列函数的图象
（1）、 y=-3x （2） y=x【来源：21·世纪·教育·网】
达标测评
y=, y=, y=3x+9, y=2x中，正比例函数是____________.
2.若x、y是变量，且函数y=（k+1）xk2是正比例函数，则k=_________
3.若函数是关于的正比例函数，则
4.函数的图象经过点P（-1，3）则k的值为（ ）
A、3 B、—3 C、 D、
5.正比例函数y=kx（k为常数，k<0）的图象依次经过第________象限，函数值随自变量的增大而_________．21·世纪*教育网
6.函数y=kx(k≠0)的图象过P（-3，3），则k=____，图象过_____象限。
7.设函数是正比例函数，且图象过一、三象限，则m的值为 。
8. 在函数y=2x的自变量中任意取两个点x,x,若x＜x,则对应的函数值y与y的大小关系是y___y.www-2-1-cnjy-com
9．已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x的值
10.已知点A(-2，3),B(5，m)在正比例函数的图象上，求m的值。
12.2 一次函数
第2课时 一次函数的图象和性质
一、学习目标：
1、知道一次函数的图象是一条直线，理解正比例函数图象和一次函数图象的关系。
2、理解一次函数中k，b对函数图象的影响，掌握一次函数的性质。
3、培养大胆猜测，乐于质疑的良好品质，体会合作探究的乐趣。
二、重点难点：
重点：一次函数的图象和性质
难点：对一次函数中的数与形的联系的理解
三、学习过程：
1、复习、回顾：
（1）、什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？
（2）、正比例函数的图象是什么形状？
（3）、正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）中，k的正负对函数图像有什么影响？
2、合作、探究：
1、在同一直角坐标系内做出y=-2x、y=2x+3、y=2x-3的图像，比一比这三个函数的图象有什么异同并回答下面的问题：21教育网
x
y=-2x
y=-2x+3
y=-2x-3
(1)这三个函数的图象形状都是＿＿＿，并且倾斜程度＿＿＿；
(2)函数y=－2x图象经过原点，一次函数y=－2x+3 的图象与y轴交于点＿＿＿＿，即它可以看作由直线y=－2x向＿＿平移＿＿单位长度而得到；21cnjy.com
一次函数y=－2x－3的图象与y轴交于点＿＿＿＿，即它可以看作由直线y=－2x向＿＿平移＿＿单位长度而得到；21·cn·jy·com
归纳：
(1) 所有一次函数y=kx+b的图象都是________
(2)直线 y=kx+b与直线y=kx__________
(3)直线 y=kx+b可以看作由直线y=kx___________而得到
2、在同一坐标系中用两点法画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象
x
y=x+1
y=-x+1
y=2x+1
y=-2x+1
观察上面四个一次函数的图象，类比正比例函数y=kx中k的正负对图象的影响,表述一次函数的性质．
3、练习检测
（1）、有下列函数：①y=2x+1, ②y=-3x+4,③y=0.5x,④y=x-6;
其中过原点的直线是________；
函数y随x的增大而增大的是__________；
函数y随x的增大而减小的是___________；
图象在第一、二、三象限的是________ 。
（2）、已知一次函数y = mx-(m-2), 若它的图象经过原点，则m= ;若它的图象经过一、二、四象限，则m .21世纪教育网版权所有
（3）、对于函数y=mx-3,y随x增大而减小，则该直线经过 象限 。
（4）、一次函数y=kx+b中，kb>0,且y随x的增大而减小，画出它的大致图象。
12.2 一次函数
第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
【学习目标】：本节课主要探究一次函数的解析式，介绍待定系数法求一次函数解析式的方法．体会二元一次方程组的实际应用．在经历探索求一次函数解析式的过程中感悟数学中的数与形的结合21·世纪*教育网
【学习重点】：待定系数法求一次函数解析式．
【学习难点】：解决抽象的函数问题．
【学习过程】： 范例点击，获取新知
【例1】已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
方法总结：1：象这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.www-2-1-cnjy-com
2：待定系数法的一般步骤为：
【来源：21·世纪·教育·网】
练习：求下图中直线的函数表达式
（1）解： （2）解：
【例2】若直线y=kx+b平行直线y=-3x+2，且在y轴上的的交点坐标为(0,-5)，求该直线的函数关系式？21教育网
练习：直线y=kx+b与直线y=0.5x平行,且与直线y=3x+2交于点(0,2),求该直线的函数关系式？
【例3】已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点P（-2，1），且一次函数图象与y轴交于点Q（0，3）。求出这两个函数的解析式。2-1-c-n-j-y
练习：正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为（3，4），且OB=10．21*cnjy*com
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△OAB的面积．
课堂总结：
【方法流程】
课时作业
1．一次函数的图象经过点A（-2，-1），且与直线y=2x-3平行，则此函数的解析式为（ ）
A．y=x+1 B．y=2x+3 C．y=2x-1 D．y=-2x-521世纪教育网版权所有
2．已知一次函数y=kx+b，当x=1时，y=2，且它的图象与y轴交点的纵坐标是3，则此函数的解析式为（ ）21cnjy.com
A．0≤x≤3 B．-3≤x≤0 C．-3≤x≤3 D．不能确定
3、已知一次函数的图象与y=-3x平行，且与y=x+5的图象交于y轴的同一个点，则此函数的解析式是（ ）．www.21-cn-jy.com
A．y=3x+5 B．y=-3x-5 C．y=-3x+5 D．y=3x-5
4．已知一次函数的图象经过点A（1，4）、B（4，2），则这个一次函数的解析式为___________．
5．如图1，该直线是某个一次函数的图象，则此函数的解析式为__
6．已知y-2与x成正比例，且x=2时，y=4，则y与x的函数关系式是_________；当y=3时，x=__________．21·cn·jy·com
7．若一次函数y=bx+2的图象经过点A（-1，1），则b=__________．
8．如图2，线段AB的解析式为____________． 【来源：21cnj*y.co*m】
9．已知直线m与直线y=2x+1的交点的横坐标为2，与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1，求直线m的函数关系式．【出处：21教育名师】
10．已知一次函数的图象经过点A（-3，2）、B（1，6）
①求此函数的解析式，并画出图象．
②求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积．
【选做题】 一次函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，-3a）与点（a，6），求这个函数的解析式.2·1·c·n·j·y
12.2 一次函数
第4课时 一次函数的应用——分段函数
一、预习热身：
1、如图的折线表示一辆自行车离家的距离与时间的关系，骑车者8：00离开家，15：00回家，根据图象回答：21世纪教育网版权所有
⑴离家最远的距离是 千米，对应的时间是 .
⑵何时开始第一次休息？ ， 休息多长时间？
⑶第一次休息时，离家多远？
⑷在11：00－12：00他骑车的路程是多少千米？
⑸在8：00－10：30和11：00－12：00的平均速度各是多少？
⑹他在何时至何时停止前进并休息午餐？
⑺在停止前进后返回，骑了多少千米？
⑻返回时的平均速度是多少？
⑼11：30和13：30分别离家多远？
⑽何时距家20千米？
2、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象.21教育网
⑴根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
⑵求小明出发两个半小时离家多远？
⑶求小明出发多长时间距家12千米？
定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在
k1x+b1 x≤a1
y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。
K3x+b3 a2≤x≤a3
二、根据分段函数作图象
3x-5 （1≤x≤3）
例1：试作y= 4 （3＜x≤5） 的图象
14-2x （x＞5）
例2：某城市出租车收费标准如下，3千米以内（含3千米）收8元，超过3千米的部分每千米收费1.4元。求出应收车费Y（元）与出租车行驶路程X千米之间的函数关系式。
注意：在作分段函数图象时,一般先求出每一段图象的端点坐标，然后在坐标系中描出点,分段连线即可,对于具有特殊意义的图象,还需根据其意义的具体要求确定图象。21cnjy.com
练习：
3X-5 0≤X≤3
1：试作y= 4 3＜X≤5 的图象
14-2X X＞5
2：作Y=|X-3|+|X+1|+|X+3|的图象
12.2 一次函数
第5课时 一次函数的应用——方案决策
学习目标 ：
1、运用一次函数知识解决选择方案问题．
2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．
3、让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．
教学重点、难点：
1.建立函数模型。２．灵活运用数学模型解决实际问题。
教学过程：
知识准备：
有甲乙两种客车，甲种客车每车能装30人，乙种客车每车能装40人，现在有400人要乘车。
1、你有哪些租车方案？
2、只租8辆车，能否一次把客人都运送走？
探索新知：怎样租车
某学校计划在总费用2300元的限额内，利用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师。现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表：21cnjy.com
?
甲种客车
乙种客车
载客量（单位：人/辆）
45
30
租金? （单位：元/辆）
400
280
（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案。
分析：1、租车条件：
（1）
（2）
根据（1）可知，汽车总数不能小于＿＿＿＿；根据（2）可知，汽车总数不能大于＿＿＿＿。综合起来可知汽车总数为＿＿＿＿＿。21世纪教育网版权所有
设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是 x 的函数，即
2、讨论：根据问题中的条件，确定自变量x 的取值范围。
3、在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中的哪种方案？试说明理由。21教育网
巩固练习
根据市场调查分析，为保证市场供应，某蔬菜基地准备安排40个劳力，用10公顷地种植黄瓜、西红柿和青菜，且青菜至少种植2公顷，种植这三种蔬菜所需劳动力产下表：
蔬菜品种
黄瓜
西红柿
青菜
每公顷所需劳力（个）
5
4?
3?
每公顷预计产值（千元）
22．5
18
12
?
?
问怎样安排种植面积和分配劳动力，使预计的总产值最高？
12.2 一次函数
第6课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
【学习目标】
1．通过具体实例，初步体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系．
2．了解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式在解决问题过程中的作用和联系．
【重、难点】
重点：运用一元一次方程、一元一次不等式解决一次函数问题．
难点：运用一次函数的图像解一元一次不等式．
【新知预习】
1. 已知一次函数y=2x-3，
（1）当x取什么值时，一次函数y=2x-3的值是0；
(2) 当x取什么值时，一次函数y=2x-3的值是正数；
（3）当x取什么值时，一次函数y=2x-3的值是负数?
【导学过程】
活动
问题1：一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为xkg,弹簧的长度为ycm（1）写出y与x之间的函数表达式；21教育网
（2）画出函数图像；
（3）求出这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量；
（4）请用一元一次不等式求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量?
问题2：已知一次函数y=2x+4的图像．
根据一次函数y=2x+4的图像，求出2x+4=0的解；
根据一次函数y=2x+4的图像，求出2x+4＞0的解集；
根据一次函数y=2x+4的图像，求出2x+4＜0的解集？
问题3：一辆汽车行驶35km后，驶入高速公路，并以105km/h的速度匀速行驶了xh．
请根据上述情境，提出一个用一次函数来解决的问题，并解答；
请根据上述情境，提出一个用一元一次方程来解决的问题，并解答；
请根据上述情境，提出一个用一元一次不等式来解决的问题，并解答？
二、例题
1．已知函数y＝x＋3，先画出函数的图像，再根据图像回答下列问题：
（1）当x 取哪些值时，函数值y等于0、大于0、小于0？
（2）在函数图象中，y值等于0的点在什么位置；
（3）y值大于0的点对应的横坐标在什么范围；
（4）y值小于0的点对应的横坐标在什么范围？
2.已知y1=-x+1,y2=4x-2,当x取何值时，（1）y1=y2；(2)y1＞y2；(3)y1＜y2?21世纪教育网版权所有
【反馈练习】
1.已知函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像，观察图像并回答问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0；
（2）x取何值时，－2x＋8＜0；
（3）当-4≤x≤8,求y1的范围；
（4）当-4≤y2≤8,求x的范围?
12.3 一次函数与二元一次方程
【学习目标】
1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系；
2.会利用函数图象解二元一次方程组；
3.通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性。
【课前预习】
知识回顾：
1.已知2x－y=1，用含x的代数式表示y，则y= 。
2.方程 2x－y=1的解有 个。
3.是方程2x－y=1的一个解吗？
4.（1，1）是否是直线y=2x－1上的一个点？
想一想：综合以上几个问题，你能得到哪些启示？通过上述问题的讨论，你认为一次函数与二元一次方程有何关系？21世纪教育网版权所有
学习任务：阅读课本,观察与思考完成下列问题：
1.3x-2y=5对应的一次函数（以x为自变量）是 。
2.直线y=－x-上任取一点（x，y）则（x，y）一定是方程3x-2y=5的解吗？为什么？
3.在同一直角坐标系中画出直线y=-2x+1与y=x-的图象，并思考：
（1）它们有交点吗？
（2）交点的坐标与方程组的解有何关系？
（3）当自变量x取何值时，函数y=-2x+1与y=x-的值相等？这时的函数值是多少？
【课中探究】
一、通过预习，完成下列小题。
1.求直线 y=3x+9 与直线 y=2x-7 的交点坐标 .你有哪些方法？
2.已知直线 y=2x 十与直线 y=x-2 的交点横坐标2, 求的值和交点纵坐标 .
3.以方程的解为坐标的所有点都在一次函数_____的图象上。
4.方程组 的解是________,由此可知,一次函数与的图象必有一个交点,且交点坐标是________。21教育网
典型例题
谈一谈:本节课你学得了哪些知识与方法？
