三角形中的边角关系、命题与证明
13.1 三角形中的边角关系
三角形中边的关系
【学习目标】
1、结合三角形的实例，探索、掌握三角形三条边之间的关系.会用符号表示三角形，会按边的关系对三角形进行分类.理解三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题.
2、结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系.
3、通过观察、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力.
【学习重点】三角形的三边之间的不等关系.
【学习难点】应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形.
【自习】
阅读教材相关内容，完成以下练习。
1、三角形的定义：由 的三条线段 所组成的图形叫做三角形。21教育网
2、三角形的有关概念：
①边： 。
②角： 。
③顶点： 。
3、三角形的表示方法：
以A、B、C为顶点的三角形记作 ，读作 。
4、三角形的分类：
①按三个内角的大小分类：
②按边进行分类。
等腰三角形是 条边相等的三角形；等边三角形是 条边相等的三角形。那么等边三角形是否属于等腰三角形呢？ 。21cnjy.com
2.右图中有几个三角形？分别用符号表示这些三角形。
3.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3， 4， 8 （2）5， 6， 11 （3）5， 6，10
【自疑】
【自探】
【活动一】观察右图，完成以下问题.
1、图中由A点至B点，有 条路线。哪条路线最近？根据是： 。
这样，三角形的三边之间存在着这样的不等关系： 。
于是有：（得出的结论） 。
2.练习：下列长度的三条线段能否组成三角形？
①3，4，11 （ ） ② 2，5，6 （ ） ③ 3，5，8 （ ）
【活动二】
小明同学有两根长度为40cm、90cm的木条，他想钉一个三角形的木框，那他第三根应该如何选择？下列的几根木条有适合的吗？21世纪教育网版权所有
（40cm，50cm，60cm，90cm，130 cm）
【活动三】一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；
②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.
【自结】
【自测】
1、图中有 个三角形。以E为顶点
的三角形有 。以BC为
边的三角形有 。
2、一个三角形中至少有 个锐角，至多有 个锐角.
3、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A、3,4,8 B、5,6,11 C、2,4,5 D、12，8，22
4、等腰三角形一条边等于5，一条边等于6，求它的周长。
13.1 三角形中的边角关系
2.三角形中角的关系
学习目标：
⒈经历实验活动的过程，掌握三角形的内角和定理，初步掌握添加辅助线的方法.
⒉能应用三角形内角和定理.
学习重点：三角形内角和定理以及定理的应用.
学习难点：三角形内角和定理的推理过程
教学过程：
一、操作探究
1.实验：用折纸的方法探究三角形内角和的证明思路：同学们动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，你有哪些方法？你发现了什么？21世纪教育网版权所有
⒉证明：试以你所发现的方法谈谈是如何说明三角形的内角和等于180°的？
如图⑴ 已知：△ABC, 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：延长BC到D,过点C作CE∥BC .
∵CE∥BC (已知)
∴∠2＝ （ ）
∠1＝ （ ）
又∵∠1＋∠2＋ ＝180°（ ）
∴∠A＋∠B＋ ＝180°（ ）
⒊三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°
二、三角形内角和定理的应用:
⒈利用三角形内角和定理来直接计算角度.
⑴△ABC中，若①若∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C＝ ；
②若∠A＝30°，∠B∶∠C＝3∶2，则∠B＝ ；
⑵在直角三角形中，两锐角之差为20°，则这两个锐角的度数分别为 .
⑶在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A＝ ，∠B＝ ，∠C＝ .
⑷如图⑵，在△ABC中∠C＝90°CD⊥AB，∠B＝50°.则∠DCA＝ .
⑸△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°,AD平分∠BAC，则∠DAC＝ .
2.如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB.21教育网
三、课堂练习
课本练习
四、课堂小结：
五、当堂清
⑴下列说法正确的是 （ ）
A、三角形的内角中最多只有一个锐角 B、三角形的内角中最多只有两个锐内角
C、三角形的内角中最多有一个直角 D、三角形的内角都大于60°
⑵△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则△ABC是 （ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
⑶下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 （ ）
A、∠A＋∠B＝∠C B、∠A＋∠B＝90°C、∠A－∠B＝∠C D、∠A＝2∠B＝5∠C
⑷已知△ABC中，∠A＝2﹙∠B＋∠C﹚，则∠A的度数为 （ ）
A、100° B、 120° C、140° D、160°
⑸如图⑷，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，
若∠BOC＝132°，求∠A的度数。
参考答案：1.C 2.B 3. D 4. B 5. 解：∵∠BOC＝132°，
∴∠OBC＋∠OCB＝180－∠BOC＝48°
又∵∠OBC＝1／2∠ABC，∠OCB＝1／2∠ACB（角平分线的定义）
∴∠ABC＋∠ACB＝96°
∴∠Ａ＝180°－96°＝84°.
六、学习反思
13.1 三角形中的边角关系
三角形中几条重要线段
一.自学 自学方法
一．1、自学课文：画出各三角形的高（用三角尺和直尺作垂线）
2、自学课文：画出各三角形的中线（用刻度尺）
3、自学课文：作出各三角形的角的平分线
4、手工活动：用纸片做三个三角形，用折线的方法作出三角形的高，三角形的中线，三角形角的平分线。（每种线用一个三角形）比较一下，有什么收获：21世纪教育网版权所有
三角形的三条高、中线、角平分线，它们都是线段，且相交于一点。
注意：角的平分线是一条射线， 三角形的角平分线是线段。
二．如图，在ΔABC中，AE是中线，
AD是角平分线，AF是高， 完成推理：
∵ AD是△ABC的角平分线（ ）
∴ ∠ = ∠ = 1/2∠ ( )
∵ AE是△ABC的中线（ ） ∵ AF是△ABC的高( )
∴ BE= （ ） ∴∠ = ∠ = 90021教育网
BC=2 =2 （ ） ( )
二.用学
1、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形21cnjy.com
下列说法正确的是（ ）
①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线，角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线，高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线。
A. ③④ B. ③ C. ②③ D. ①④
3、已知AB=5，AC=3，AD是中线，则三角形ABD与三角形ADC的周长相差多少？
三.测学
1.三角形的三条高在（ ）
A.三角形的内部 B. 三角形的外部
C.三角形的边上 D.三角形的内部，外部或边上
2、如左图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A=400 ，则∠O=
3、如右图， AD是△ABC的中线，则S△ABD S△ACD
13.2 命题与证明
第1课时 命题
一、【学习目标】
通过具体实例，了解定义、命题、真命题、假命题的意义。
结合具体实例，会区分命题的条件和结论。
二、【学习重难点】
重点：结合具体实例，会区分命题的条件（题设）和结论．
难点：当命题的条件和结论不十分明显时，能区分命题的条件（题设）和结论．
三、【自主学习】
1、你能说出下列名称的定义吗？
（1）平行线；
（2）绝对值；
（3）方程的解．
2、比较下列句子在表述形式上哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？
（1）鸟是动物；
（2）若a2＝4，求a的值；
（3）若a2＝b2，则a＝b；
（4）a、b两条直线平行吗？
（5）画一个角等于已知角；
（6）0.33是无理数；
两直线平行，同位角相等．
四、【合作探究】
1、提问：
“鸟是动物．”与“鸟是动物吗？”这两句话一样吗？如果不一样，有什么不同？
总结．
（1）命题的概念；
（2）命题的特征．
3、下列命题的条件是什么？结论又是什么？各个命题作出的判断正确吗？
（1）如果a、b两数的积为0，那么a、b两数都为0；
（2）如果两个角互为补角，那么这两个角和为180°；
（3）两直线平行，同旁内角互补；
（4）两直线相交，只有一个交点；
（5）有公共端点的两个角是对顶角．
概括真命题、假命题的定义．
五、【达标巩固】
1、判断下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）相等的角是对顶角；
（2）内错角相等；
（3）大于90度的角是平角；
（4）如果a＞b，b＞c，那么a＞c．
2、下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，那么它的条件是什么？结论又是什么？是真命题？还是假命题？21世纪教育网版权所有
画一个角等于已知角；
a、b两条直线平行吗？
直角三角形两锐角互余．
过一点画已知直线的垂线．
若a＝b，则a2＝b2．
13.2 命题与证明
第2课时 证明
学习目标：
能判断命题的真假，通过举反例判定一个命题是假命题，学会从反面思考问题的方法
2.了解真命题的证明过程和格式
学习重点：真命题的证明格式和过程
一、自主预习，认真准备
回顾课本75-76页内容，完成下列各题：
1.下列语句不属于定义的是（ ）
A 有一个角是直角的三角形，叫直角三角形． B两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.C 有六条边相等，六个角相等的多边形叫正六边形． D 两个全等三角形的对应边相等
2.指出下列各命题的条件和结论：
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角。条件： 结论： 。
（2）如果a>b,b>c,那么a=c. 条件是： 结论是：
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。条件： 结论：
（4）菱形的四条边都相等。条件： 结论： ：
（5）全等三角形的面积相等。条件： 结论：
3.命题的分类有： 命题与 命题。“相等的角是对顶角”是 命题。
4.公理是指 。
定理是指 。
证明是指 。
二、自主探究，合作交流
活动一：
如何证实一个命题是真命题呢？阅读教材78页内容。
用我们这套教材提供的如下公理作为判断依据：（要求理解、记忆课本168页公理。）
归纳：一般情况下：真命题是条件正确，结论也 。假命题是条件正确，结论 。
活动二:证明“对顶角相等”
已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O,
∠AOC与∠BOD是对顶角。
求证：∠AOC=∠BOD
三、当堂训练，检测固学
1. 指出下列命题的题设、结论：
（1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
解：（1）题设：____________________ 结论：________________________
（2）题设： 结论：
2. 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：
(1)平行于同一直线的两条直线平行.
如果： ，那么 ；
(2)同角的余角相等.
如果： ，那么 ；
(3)绝对值相等的两个数一定相等.
如果： ，那么 ；
4.下列命题中，是真命题的打“√”，不是真命题的打“×”：
A、锐角大于它的余角 （ ） B、锐角大于它的补角 （ ）
C、钝角大于它的补角 （ ） D、锐角与钝角之和等于平角（ ）
E、两个直角三角形一定相似。（ ） F、相似三角形的对应边相等。（ ）
G、两角相等的两个三角形一定相似。（ ） H、两个等边三角形一定相似（ ）
I、若x四、学教后记
13.2 命题与证明
第3课时 三角形内角和定理的证明及推论1，2
学习目标：
（1） 知识与技能 ：
? 掌握“三角形内角和定理”的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题。
（2） 过程与方法 ：
? 通过学生猜想动手实验，互相交流，师生合作等活动探索三角形内角和为180度，发展学生的推理能力和语言表达能力。对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。逐渐由实验过渡到论证。21世纪教育网版权所有
通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。
（3）情感态度与价值观：
?? ?通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习数学的兴趣。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。21·cn·jy·com
自主预习课本p80—p81内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流（课前完成）
回顾课本p80—p81思考下列问题：
三角形的内角和是多少度？你是怎样知道的？
那么如何证明此命题是真命题呢？你能用学过的知识说一说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴进行交流。21cnjy.com
回忆证明一个命题的步骤
①画图
②分析命题的题设和结论，写出已知求证，把文字语言转化为几何语言。
③分析、探究证明方法。
4、要证三角形三个内角和是180°，观察图形，三个角间没什么关系，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？ 21教育网
①平角，②两平行线间的同旁内角。
5、要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？www.21-cn-jy.com
①?如图1，延长BC得到一平角∠BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画∠1=∠A。???????????????????????? 2·1·c·n·j·y
②?? 如图1，延长BC，过C作CE∥AB
③?????? 如图2，过A作DE∥AB????????????????????
④?????? 如图3，在BC边上任取一点P，作PR∥AB，PQ∥AC。
巩固练习
四、学习小结：（回顾一下这一节所学的，看看你学会了吗？）
五、达标检测：
1.、
2、
布置作业
13.2 命题与证明
第4课时 三角形的外角
学习目标
1、三角形的外角的概念和三角形的内角和定理的两个推论。
2、.经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力，理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用。21教育网
3、通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路，从而使他们灵活应用所学知识。21·cn·jy·com
学习重点：三角形内角和定理的推论。
学习难点：三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用。
一：自主预习课本P82-P83例5，完成课后练习题后，与小组同学交流
（课前完成）
二、回顾课本思考下列问题：
1、复习旧知
上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？
2、尝试发现、探索新知
那什么叫三角形的外角呢？
三角形的一边与（ ）组成的角，叫做三角形的外角。
3、动手操作，合作探究，发现新知：
教师活动：∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？
引导学生通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理：
三角形的外角的性质
三角形的一个外角等于（ ）。
三角形的一个外角大于任何一个（ ）。
在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）。21世纪教育网版权所有
因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用。
注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：“和它不相邻”的意义。
4、练习
已知：如图，
求∠C的度数。
5、例题分析，拓展思维
例1：已知，如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证：
AD∥BC
2、证明：三角形的三个外角和360°.
三、巩固练习：
四边形的四个外角和是（ ），并说明理由。
1、已知：如图，五角星形的顶角分别是，，，，
求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180
议一议：
有的 同学想连结CD，把五个角“凑”到内，他的想法可行吗？
小组讨论，尝试证明
2、如图：已知，在⊿ABC中， 1是它的一个外角，E为边 AC上的一点，延长BC到点D，连接DE,证明： 1﹥ 2 点拨：看到要证两个角的不等关系，会让我们想到三角形内角和定理的推论2，但此题中的∠1和∠2却不是一个三角形的内角和外角，所以我们应找到一个间接量来牵线搭桥，那么可以找谁呢？ 21cnjy.com
四、学习小结：（回顾一下这一节所学的，看看你学会了吗？）
五、达标检测
1、课本P83
2、三角形的三个外角中最多有_______个锐角。
3、如图：求 A＋ B＋ C＋ D＋ E＋ F？
4、△ ABC中，BE为∠ABC的平分线，CE为∠ACD的平分线，两线交于E点。你能找出∠E与∠A有什么关系吗？www.21-cn-jy.com
六、布置作业
