分式
专题一 与分式有关的规律探究题
1.一组按规律排列的式子：…(ab≠0)，其中第7个式子是______，第n个式子是______（n是正整数）.21教育网
2.已知a≠0，，，，…，，则 (用含a的代数式表示)．
3.给定下面一列分式：（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.
专题二 分式的求值
4. 已知a+b=3，a-b=5，求的值.
已知，则的值为_______.
6．已知y=，x取哪些值时：
（1）y的值是正数；
y的值是负数；
（3）y的值是零；
（4）分式无意义．
参考答案
1. 解析：观察已知式子可以发现，“－”号是间隔的，即奇数项为负，偶数项为正，再观察分式的分子上字母都是b，其指数分别是2=3×1－1，,5 =3×2－1，8=3×3－1，11=3×4－1，…，3n－1；各个分式的分母上字母都是a，而其指数与项数相同，分别是1，2，3，4，…，n，由此可求解.21世纪教育网版权所有
2. 解析：根据题意可得，，，，…，2a与交替出现，奇数项为2a，偶数项为，所以.21cnjy.com
3.解：（1）任意一个分式除以前面一个分式，都等于；（2）第7个分式是.
4.解：解得 .
当a=4,b=-1时，原式=.
5.解：.
6. 解：（1）由题意得：＞0，∴或∴x1；
（2）由题意得：＜0，∴或 ∴x＞1或x＜；
（3）由题意得： ∴x=1；
（4）由题意得：2-3x=0 ，∴x=.
分式
自我小测
基础自测
1.下列式子:①；②；③；④；⑤ .其中是分式的是( )
A.①③④ B.①②⑤ C.③⑤ D.①④
2.当a＝－1时,分式的值 ( )
A.没有意义 B.等于零 C.等于1 D.等于－1
3.下列分式中一定有意义的是( )
A. B. C. D.
4.下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. B.
C. D.
5.使分式有意义的x的取值范围是_____________.
6.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)；
(2).
能力提升
7.观察下面一列有规律的数:,….根据规律可知第n个数是__________(n为正整数).
8.不改变分式的值,使它的分子、分母的最高次项的系数都是正数,则_____________.
9.若分式不论x取何实数时总有意义,求m的取值范围.
创新应用
10.指出下列解题过程是否存在错误,若存在,请加以改正并求出正确的答案.
题目:当x为何值时,分式有意义？
参考答案
1答案:D
2答案:A
3答案:A
4答案:A
5答案:x≠－3
6解:(1)因为有意义,所以x+4≠0,把左边分式的分子、分母同时除以(x+4),得到右边；
(2)因为,所以2x－3≠0,把左边分式的分子、分母同时乘以(2x－3),得到右边.
7答案:
8答案:
9解:x2－2x+m＝(x－1)2+(m－1),根据题意可知(x－1)2+(m－1)≠0,由于(x－1)2≥0,
所以m－1＞0,即m＞1.
10解:,
由x－2≠0,得x≠2.
所以当x≠2时,
分式有意义.
解:在分式的分子、分母同除以(x+1)可能为零的代数式时,扩大了x的取值范围.
正解:由(x+1)(x－2)≠0,得x+1≠0,且x－2≠0,所以x≠－1且x≠2.
当x≠－1且x≠2时,分式有意义.
分式
自我小测
基础自测
1.下列分式:、、、、中,不能再约分的分式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如果把分式中的x和y都扩大3倍,那么分式的值( )
A.扩大3倍 B.不变 C.缩小3倍 D.缩小6倍
3.写出一个分母至少含有两项,且能够约分的分式:_______________.
4.化简的结果是_______________.
5.当x、y满足关系式___________时,分式的值为.
6.化简下列分式:
(1);(2);
(3);(4).
7.求下列各分式的值.
(1),其中x＝5,yss＝－10;
(2),其中a＝－2,b＝－3.
能力提升
8.已知,求的值.
9.不改变分式的值,先把分式的分子、分母各项的系数化为整数,把分子、分母的最高次项系数化为正整数,再进行约分.21世纪教育网版权所有
10.已知分式的值为正整数,求a的值.
创新应用
11.学校用一笔钱买奖品,若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品,则可以买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品,则可以买50份奖品,你能算出这笔钱全部用来买钢笔或笔记本各自能买多少吗？21教育网
参考答案
1答案:A
2答案:B
3答案:(答案不唯一)
4答案:
5答案:x＋y≠0
6解:(1)；
(2)；
(3)；
(4).
7解:(1),当x＝5,y＝－10时,原式.
(2),当a＝－2,b＝－3时,原式.
8解:
9解:原式
.
10解:分两种情况讨论:
(1)若a＝－3,则a2－9＝0,分式无意义.
(2)若a≠－3,则
,
即3－a是6的正约数时,符合题设条件.
则3－a＝1或2或3或6,
所以a＝2,a＝1,a＝0,a＝－3(舍去).
综上所述:a的值为0或1或2.
11解:设钢笔每支x元,笔记本每本y元,则有60(x＋2y)＝50(x＋3y),即x＝3y.
所以这笔钱全部用来买钢笔,可买
(支)；
这笔钱全部用来买笔记本,可买
(本).
分式
一、选择题
1.在代数式，，，，x+中，是分式的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列分式中，当x=1时，有意义的是 （ ）
①;②;③;④.
A.①③ B.①②③ C.②③ D.②④
3.若代数式的值为零，则x的值为 （ ）
A.2或-1 B.-1 C.±1 D.2
4.若，则k的值为 （ ）
A.3x2y2(2x-1) B.xy(2x-1) C.xy2(2x-1) D.xy2(2x-1)
5.化简分式的结果是 （ ）
A. B. C. D.
6．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍
7．已知有理式：、、、、x2、＋4，其中分式有 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米，下坡时的速度为每小时v2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ）．21世纪教育网版权所有
A．千米 B．千米 C．千米 D．无法确定
9．当为任意实数时，下列分式中一定有意义的是( )
A． B． C． D．
二、填空题
10..若分式有意义，则x与y的关系是 .
11.当x= 时，分式没有意义.
12.当x= 时，分式的值为零.
13.化简分式的结果为 .
14..填空.
15．填空
（1）； （2）；
（3）； （4）．
16．=成立的条件是 ．
17．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号．
①= ； ②= ；
③ = ；④= ．
18．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．
① = ； ② = ；
③ = ； ④ = ．
三计算与解答：
18.化简下列各分式.
（1）； （2）.
19.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的最高次项的系数为正数.
（1）； （2）； （3）.
20．先化简，后求值：，其中x=5．
21．若－=3 ，求的值．
22．已知x2＋3x－1=0，求x－和x2＋的值．
参考答案
1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.B 7B 8C 9 C 10.x≠y 11.-6 12.- 13. 14.m-mn 21教育网
15．⑴，⑵x，⑶4n，⑷x-y；
16．且；
17．①，②，③，④；
18．①，②，③，④；
11.(1) (2).
19.(1)-. (2)-. (3).
20．5；
21．；
22．－3,11；
分式及其运算
【2015年题组】
1．（2015常州）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：要使分式有意义，须有，即，故选D．
考点：分式有意义的条件．
2．（2015济南）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
考点：分式的加减法．
3．（2015百色）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：原式====．故选C．
考点：分式的加减法．
4．（2015山西省）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：原式====，故选A．
考点：分式的加减法．
5．（2015泰安）化简：的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：原式====．故选B．
考点：分式的混合运算．
6．（2015莱芜）甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（ ）21cnjy.com
A．甲乙同时到达B地 B．甲先到达B地
C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与速度v有关
【答案】B．
考点：1．列代数式（分式）；2．行程问题．
7．（2015内江）已知实数a，b满足：，，则|= ．
【答案】1．
【解析】
试题分析：∵，，∴，，∴，∵，，两式相减可得，，，∴，即，∴==1．故答案为：1．21·世纪*教育网
考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂；3．条件求值；4．综合题；5．压轴题．
8．（2015黄冈）计算的结果是________．
【答案】．
【解析】
试题分析：原式===．故答案为：．
考点：分式的混合运算．
9．（2015安徽省）已知实数a、b、c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：①若c≠0，则；②若a＝3，则b＋c＝9；③若a＝b＝c，则abc＝0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8．21世纪教育网版权所有
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）．
【答案】①③④．
考点：1．分式的混合运算；2．解一元一次方程．
10．（2015梅州）若，对任意自然数n都成立，则 ， ；计算： ．
【答案】；；．
【解析】
试题分析：===，可得，即：，解得：a=，b=；
m===，故答案为：；；．
考点：1．分式的加减法；2．综合题．
11．（2015河北省）若，则的值为 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：∵，∴原式==，故答案为：．
考点：分式的化简求值．
12．（2015绥化）若代数式的值等于0，则x=_________．
【答案】2．
【解析】
试题分析：由分式的值为零的条件得，2x﹣6≠0，由，得x=2或x=3，由2x﹣6≠0，得x≠3，∴x=2，故答案为：2．【来源：21·世纪·教育·网】
考点：分式的值为零的条件．
13．（2015崇左）化简：．
【答案】．
考点：分式的混合运算．
14．（2015桂林）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
试题分析：分解因式后，利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
试题解析：原式==，当时，原式===．
考点：分式的化简求值．
15．（2015南京）计算：．
【答案】．
【解析】
试题分析：首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可．
试题解析：原式==
==．
考点：分式的混合运算．
16．（2015苏州）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
考点：分式的化简求值．
17．（2015盐城）先化简，再求值：，其中a=4．
【答案】，4．
【解析】
试题分析：根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
试题解析：原式===；
当a=4时，原式==4．
考点：分式的化简求值．
18．（2015成都）化简：．
【答案】．
【解析】
试题分析：括号内先通分，同时把除法转化为乘法，再用分式乘法法则计算机即可．
试题解析：原式=．
考点：分式的加减法．
19．（2015资阳）先化简，再求值：，其中x满足．
【答案】，．
考点：1．分式的混合运算；2．分式的化简求值．
20．（2015达州）化简，并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．
【答案】，1．
【解析】
试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a的值代入计算即可求出值．21教育网
试题解析：原式==
===，∵a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，∴1＜a＜5，即a=2，3，4，当a=2或a=3时，原式没有意义，则a=4时，原式=1．21·cn·jy·com
考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．
21．（2015广元）先化简：，然后解答下列问题：
（1）当时，求原代数式的值；
（2）原代数式的值能等于吗？为什么？
【答案】（1）2；（2）不能．
考点：分式的化简求值．
22．（2015凉山州）先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【答案】；当x=2时，原式=0，当x=－2时，原式=8．
【解析】
试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时根据除法法则变形，约分得到最简结果，将x=0代入计算即可求出值．www.21-cn-jy.com
试题解析：原式===
=，∵满足的整数有±2，±1，0，而x=±1，0时，原式无意义，∴x=±2，当x=2时，原式=，当x=－2时，原式=．2·1·c·n·j·y
考点：分式的化简求值．
23．（2015广州）已知A=．
（1）化简A；
（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．
【答案】（1）；（2）1．
考点：1．分式的化简求值；2．一元一次不等式组的整数解．
分式及其运算
【2014年题组】
1．（2014年无锡中考） 分式可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D．
考点：分式的基本性质．
2.（2014年杭州中考）若，则w=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵，
∴w=．故选D．
考点：分式的化简．
3.（2014年温州中考）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A．
【解析】
试题分析：根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须．故选A．
考点：分式有意义的条件．
4.（2014年牡丹江中考）若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ）
A．﹣5 B． ﹣ C． D． 5
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴．故选A．
考点：比例的性质．
5.（2014年凉山中考）分式的值为零，则x的值为（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 任意实数
【答案】A．
考点：分式的值为零的条件．
6.（2014年常德中考）计算：
【答案】．
【解析】
试题分析：原式===.
考点：分式的加减法．
7.（2014年河池中考）计算： ．
【答案】1．
【解析】
试题分析：根据分式加减法运算法则直接计算：．
考点：分式加减法．
8.（2014年镇江中考）化简：．
【答案】．
考点：分式的混合运算．
9.（2014年苏州中考）先化简，再求值：，其中．
【答案】．
【解析】
试题分析：先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简. 然后代x的值，进行二次根式化简．
试题解析：原式=．
当时，原式=．
考点：1.分式的化简求值；2. 二次根式化简．
10.（2014年抚顺中考）先化简，再求值：（1-）÷，其中x=（+1）0+（）-1?tan60°．21世纪教育网版权所有
【答案】2+2．
【解析】
试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、负指数幂法则以及特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．21教育网
试题解析：原式=，∵x=（+1）0+（）-1?tan60°=1+2，∴当1+2时，原式=2+2．21cnjy.com
考点：1.分式的化简求值；2.零指数幂；3.负整数指数幂；4.特殊角的三角函数值．
分式及其运算
1．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）要使有意义，则x应满足（ ）
A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3
【答案】D．
【解析】
试题分析：由题意得，，解不等式①得，x≤3，解不等式②的，x＞，所以，＜x≤3．故选D．
考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．
2．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）计算（-）-1=（ ）
A．- B． C．-2 D．2
【答案】C．
【解析】
试题解析：．故选C．
考点：负整数指数幂．
3．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）分式的值为0，则（ ）
A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=021世纪教育网版权所有
【答案】B．
考点：分式的值为零的条件．
4．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）化简的结果是（ ）
A．-1 B．1 C．1+x D．1-x
【答案】A．
【解析】
试题分析：原式=．故选A．
考点：分式的加减法．
5．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）计算a3?（）2的结果是（ ）
A．a B．a5 C．a6 D．a821教育网
【答案】A．
【解析】
试题分析：原式=a3?=a，故选A．
考点：分式的乘除法．
6．（2015届河北省中考模拟二）已知a=，b=，则（）÷的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B．
考点：分式的化简求值．
7．（2015届北京市平谷区中考二模）分式有意义的条件是 ．
【答案】a≠2．
【解析】
试题分析：根据分式有意义的条件可知分母a-2≠0，所以a≠2．
考点：分式有意义的条件．
8．（2015届山东省聊城市中考模拟）若与（x+1）0都有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x＞-1且x≠1．
【解析】
试题分析：根据题意得：
解得：x＞-1且x≠1．故答案为：x＞-1且x≠1．
考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件；3．零指数幂．
9．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）若分式的值为零，则x的值为 ．
【答案】x=-1．
【解析】
试题分析：根据题意，得|x|-1=0，且x-1≠0，解得x=-1．故答案为：x=-1．
考点：分式的值为零的条件．
10．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）在函数y=中，自变量x的取值范围是 ．www.21-cn-jy.com
【答案】x≠1．
【解析】
试题分析：根据题意得1-x≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．
考点：1．函数自变量的取值范围；2．分式有意义的条件．
11．（2015届北京市门头沟区中考二模）已知，求的值．
【答案】1-．
考点：分式的化简求值．
12．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）计算题
（1）先化简，再求值：，其中a=sin45°，b=cos30°；
（2）若关于x的方程无解，求a的值．
【答案】（1） ；（2） a=1．
【解析】
试题分析：（1）原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；21cnjy.com
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x的值，代入计算即可求出a的值．
试题解析：（1）原式=-（a-b）?=，当a=sin45°=，b=cos30°=时，原式=；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）去分母得：x2-ax-3x+3=x2-x，解得：x=，由分式方程无解，得到x（x-1）=0，即x=0或x=1，若x=0，a无解；若x=1，解得：a=1．2·1·c·n·j·y
考点：1．分式的化简求值；2．分式方程的解；3．特殊角的三角函数值．
13．（2015届安徽省安庆市中考二模）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．
【答案】，1﹣．
考点：分式的化简求值．
14．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式的符号．21·cn·jy·com
【答案】负号．
【解析】
试题分析：做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分化简为；再分别求出一元一次不等式组中两个不等式的解，从而得到一元一次不等式组的解集，依此分别确定x+1＜0，x+2＞0，从而求解．
试题解析：原式==；
不等式组，解不等式①，得x＜-1．解不等式②，得x＞-2，∴不等式组的解集是-2＜x＜-1，∴当-2＜x＜-1时，x+1＜0，x+2＞0，∴＜0，即该代数式的符号为负号．
考点：1．分式的化简求值；2．解一元一次不等式组．
15．（2015届山东省日照市中考模拟）先化简，再求值：，其中，
【答案】-4．
考点：分式的化简求值．
16．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）先化简再求值，已知a2+2a﹣7=0．
【答案】，．
考点：分式的化简求值．
分式方程
专题一 根据分式方程的根确定字母的值或取值范围
1.关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 .
2.若关于x的方程无解，求a的值.
专题二 特殊分式方程的特殊解法
3.解方程：.
4. 阅读下列材料：关于x的方程的解是（表示未知数x的两个实数解，下同）；
（1）的解是（即：的解是）；
的解是；
的解是.
请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；21世纪教育网版权所有
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关于x的方程：.21教育网
参考答案
1. m＞2且m≠3 解析：去分母，原方程可化简为，因为方程的解为正数，所以，得m＞2；又，所以x≠1，即m－2≠1，得m≠3.综上，m＞2且m≠3.
2.解：把分式方程转化为整式方程，得x（x-a）-3(x-1)=x(x-1)，整理得(a+2)x=3，分情况讨论：（1）当a+2=0时，方程(a+2)x=3无解，即当a=-2时，原分式方程无解；（2）当a+2≠0时，方程(a+2)x=3有解，解这个分式方程，得.21cnjy.com
①若=0，则是增根，此时不存在这样的a值.
②若=1，则是增根，此时a=1.综上所述，当a=-2或a=1时，原分式方程无解.
3.解析：可用裂项法，由于方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子，根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分，将分子化1.
解：原方程可化为，
即 .
移项得，
通分得，
所以，
解得 x=5.
经检验x=5是原方程的解.
4.解：（1）.
验证：当x1=c时，左边==右边；当x2=时，左边==右边.所以都是原方程的解；
（2）因为，所以，所以，或，所以或.
分式方程
自我小测
基础自测
1若分式的值为零，则x的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．－2
2如果关于x的方程＝无解，那么m的值为( )
A．－2 B．5 C．2 D．－3
3若关于x的方程－＝不会产生增根，则m为( )
A．m≠0 B．m≠ C．m≠0且m≠－ D．m≠且m≠－
4数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so.研究15,12,10这三个数的倒数发现：－＝－.我们称15,12,10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x,5,3(x＞5)，则x的值是__________．21世纪教育网版权所有
5已知方程＋2＝有增根，则k＝______.
6(1)解关于x的方程＝产生增根，则常数m的值为__________；
(2)当m＝__________时，关于x的分式方程＝－1无解．
7(1)解方程：－1＝；
(2)解分式方程－＝1.
能力提升
8m为何值时关于x的方程＋＝会产生增根．
9当m为何值时，方程＋3＝会产生增根．
10在式子＝中，R≠R1，求出表示R2的式子．
11解方程＝＋.
创新应用
12当m为何值时，关于x的方程＝－的解是正数．
参考答案
1解析：分式为零的条件是分子等于零而分母不等于零；由x－1＝0，得x＝1.当x＝1时，x＋2≠0.所以，当x＝1时，分式的值为零．21教育网
答案：B
2答案：D
3解析：去分母得1－(x－1)m＝(x＋1)(1－2m)，而x≠1时，m≠；x≠－1时，m≠－.
答案：D
4解析：根据题意，调和数的前两项的倒数差等于后两项的倒数差．
因此，调和数x、5、3也满足这一规律，
所以－＝－，解这个分式方程得x＝15.
答案：15
5解析：先将分式方程转化为整式方程，分式方程若有增根，则增根为x＝±2，代入求出k的值．在解分式方程的有关增根问题时，一定要按照题目中所介绍的三个步骤进行．
原分式方程的可能增根是由4－x2＝0，解得x＝±2，
分式方程两边同时乘以(4－x2)得整式方程：1＋2(4－x2)＝－k(x＋2)，
当x＝2时，代入整式方程，得k＝－，
当x＝－2时，代入整数方程，得1＝0，这是一个矛盾等式，
所以x＝－2不可能是分式方程的增根．
综上知：k＝－.
答案：－
6解析：(1)先把分式方程化为整式方程，再把增根(即使分式方程的最简公分母为0的未知数的值)代入这个整式方程，即可求得m的值．即x－3＝m，当x＝1(原方程的增根)时，m＝－2.(2)分式方程＝－1的增根是x＝3，把分式方程化为整式方程2x＋m＝－x＋3，即3x＝3－m，把x＝3代入得，m＝－6，也就是当m＝－6时，关于x的分式方程＝－1无解．
答案：(1)－2 (2)－6
7解：(1)方程两边同乘以x2－4，得
(x－2)2－(x2－4)＝3.
解这个整式方程，得－4x＝－5，x＝.
检验：x＝时，x2－4≠0.
所以x＝是原方程的解．
(2)方程两边同乘(2x－3)(2x＋3)，得
2x(2x＋3)－(2x－3)＝(2x－3)(2x＋3)．
化简，得4x＝－12，解得x＝－3.
检验：x＝－3时，(2x－3)(2x＋3)≠0，
所以x＝－3是原分式方程的解．
8解：方程两边同时乘以x2－4，得2x＋4＋mx＝3x－6，
因为方程若产生增根，则x＝±2，
所以当x＝2时，2×2＋4＋2m＝6－6，m＝－4；
当x＝－2时，2×(－2)＋4－2m＝3×(－2)－6，m＝6.
所以当m＝－4或6时，原方程会产生增根．
9解：解关于m的方程＋3＝，得m＝－2x＋5.
若原方程有增根，则增根只能是x＝2，
所以m＝－2×2＋5＝1，即当m＝1时方程＋3＝会产生增根．
10解：去分母，得R1R2＝(R1＋R2)R，
解这个整式方程，R1R2＝R1R＋RR2，
R1R2－RR2＝RR1，
所以(R1－R)R2＝RR1.
因为R≠R1，所以R2＝.
11解：去分母得5x－7＝2(x－2)＋3(x－1)，
化简整理得0x＝0，
∴x为一切有理数．
当x＝1，x＝2时，最简公分母(x－1)(x－2)＝0，
∴原方程的解为x≠1，x≠2的有理数．
12分析：“方程的解是正数”是指分式方程有解且为正数，所以分式方程化为整式方程后的解使最简公分母不能为零．解这类问题的方法是，先求出方程的根，再根据题意列出不等式，解不等式，将解集中使最简公分母为零的值去掉，即可求得．21cnjy.com
解：将方程两边都乘以(x2－x－2)，得m＝x(x－2)－(x－1)(x＋1)．
解这个方程，得x＝，
因为原方程有增根时只能是x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，＝－1，解得m＝3；
当x＝2时，＝2，解得m＝－3.
所以当m≠±3时，x＝才是原方程的根．
因为x＞0，所以＞0，即1－m＞0.
所以m＜1.
综上，即当m＜1，且m≠－3时，原方程有正根．
分式方程
1．下列各式中，分式方程是 （ ）
A． B． C． D．
2．解分式方程＝3时，去分母后变形为 （ ）
A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－ (x＋2)＝3(1－x) ． D．2－(x＋2)＝3(x－1)
3．若代数式的值为零，则x＝_______．
4．分式方程＝3的解是_______．
5．已知x＝3是方程＝1的一个根，则k的值为_______．
6．解方程：
(1) (2)
7．下面是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是 ( )
A．2＋x＝x－1 B．2－x＝1 C．2＋x＝1－x D．2－x＝x－1
8．分式方程的解是 （ ）
A．x＝－2 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
9．关于x的分式方程＝1，下列说法正确的是 （ ）
A．方程的解是x＝m＋5 B．m>－5时，方程的解是正数
C．m<－5时，方程的解为负数 D．无法确定
10．方程的解为______．
11．已知三个数x、y、z满足，则的值为______．
12．解方程：
(1) (2)
(3) (4)
13．当x为何值时，分式的值比分式的值大3？
14．解方程：
参考答案
1．C 2．D 3．3 4．x＝3 5．－3 6．(1)解得x＝3 (2)解得x＝
7．D 8．D 9．C 10．x＝2 11．－4
12．(1)解得x＝－5 (2)解得x＝1．(3)解得x＝1 (4)解得x＝－1
13．x＝1
14．无解
分式方程
1.解分式方程＝1时，去分母后可得到 ( )
A．x(2＋x)－2(3＋x)＝1 B．x(2＋x)－2＝2＋x
C．x(2＋x)－2(3＋x)＝(2＋x)(3＋x) D．x－2(3＋x)＝3＋x
2．分式方程＝0的根是 ( )
A．x＝1 B．x＝－1 C． x＝2 D．x＝－2
3．分式方程的解为x＝_______．
4．若关于x的方程＝2有增根，则增根是______．
5．若分式方程2＋有增根，则k＝_______．
6．解方程：
(1) (2)(2013．泰州)
7．分式方程的解是 ( )
A．x＝0 B．x＝－1 C．x＝±1 D．无解
8．对于分式方程，有以下说法：①最简公分母为(x－3)2；②转化为整式方程x＝2＋3，解得x＝5；③原方程的解为x＝3；④原方程无解．其中，正确说法的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ( )
A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
10．请你给x选择一个合适的值，使方程成立，你选择的x＝____．
11．若关于x的方程的解是x＝1，则m＝_______．
12．解方程：
(1) (2)
(3) (4)
13．关于x的方程，当k为何值时，会产生增根？
14．已知，求的值．
参考答案
1．C 2．D 3．2 4．x＝2 5．1 6．(1)解得x＝3 (2)解得x＝－
7．D 8．A 9．D 10．3 11．2
12．(1)解得x＝ (2)解得x＝ (3)x＝ (4)原方程无解
13．x＝－1时k＝3
14．原式＝－
分式方程及其应用
一、选择题
1．分式方程＝l的解为 ( )
A．x＝2 B．x＝l C．x＝-l D．x＝-2
2．方程的根的情况，说法正确的是（ ）
A．0是它的增根 B．－1是它的增根
C．原分式方程无解 D．1是它的根
3．某煤厂原计划天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）21cnjy.com
A． B．
C． D．
4．若分式方程有增根，则增根是( )
A．x=1 B．x=1或x=0 C．x=0 D．不确定
二、填空题
5．解分式方程的基本思想是把分式方程化为 ，最后要注意 ．
6．分式方程去分母时，两边都乘以 ．
7．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
8．如果与互为相反数，则x＝ ．
9．方程的解是 ．
10．当x= 时，分式的值与的值相等．
11．若分式方程的解为x=3，则a的值为 ．
12．如果方程有增根， 那么增根是 ．
13．若分式的值为１，则x＝ ．
14．当x= 时，的值相等．
15．若，则= .
16．当a＝ 时，方程＝2的解为4．
17．若小李做m个零件需用1小时，则他做1个零件需 小时，做30个零件需 小时．21世纪教育网版权所有
18．一项工作，若甲单独完成需x小时，则甲每小时完成工作的 .若甲、乙合作 需8小时完成，则乙每小时完成工作的 .21·cn·jy·com
19．把a千克盐溶于b千克水中，那么m千克这种盐水中含盐 千克．
20．当m＝ 时，关于x的方程有增根．
三、计算与解答题：
21．解下列分式方程．
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
22．某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台，由于改进了操作技术，每天生产的 台数比原计划多50％，结果提前两天完成任务．求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台．
23．一列火车从车站开出，预计行程为450千米，当它出发3小时后，因特殊情况而多停一站，因此耽误30分钟，后来把速度提高了20％，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度。
参考答案
1．A［提示：由＝1得x＝2．经检验知x＝2是原方程的解．故选A．］
2.C 3D 4A
5．-7 6．整式方程，检验；7．；8．D；9．0；10．x=20；11．－1；12．5；13．x=2；14．3；
15．-3 16． 17 18 19. 20．3
21．(1) x=2．(2) x=3．(3) x＝-2． (4)无解．
22．解：设改进技术前每天生产x台，根据题意，得，解得x＝10，经检验知x＝10是原方程的解，则1.5x＝15．所以改进操作技术后每天生产通讯设备15台．
23．解：设这列火车原来的速度为x千米／时，根据题意，得＝3++．解得x＝75．经检验知x＝75是原方程的解．所以，这列火车原来的速度为75千米／时．21教育网
专题 分式方程的应用
一、直接设未知数
1.阅读下面对话：
??? 小红妈：“售货员，请帮我买些梨.”
??? 售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货.我建议您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高.”21教育网
??? 小红妈：“好，你们很讲信用，这次我和上次一样，也花30元钱.”
??? 对照前后两次购物的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价钱是梨的1.5倍，所买的苹果的总质量比梨轻2.5 kg.21cnjy.com
试根据上面的对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价.
2.某市正在进行“打造宜居靓城、建设幸福之都”活动.在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算，获得如下信息：2·1·c·n·j·y
信息一：乙队单独完成这项工程需要60天；
信息二：若先由甲、乙两队合做16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可完成；
信息三：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？
（2）若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合做完成该工程省钱？【来源：21·世纪·教育·网】
二、间接设未知数
3.某人骑自行车比步行每小时多走8 km，如果他步行12 km所用的时间与骑车行36 km所用的时间相等，求他步行40 km用多少小时？21·cn·jy·com
4.小明家装修新房，若甲、乙两个装修公司合做需8天完成，需工钱8000元；若甲公司单独做6天后，剩下的由乙公司来做，还需12天完成，共需工钱7500元.若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，选甲公司还是选乙公司？请你说明理由.www.21-cn-jy.com
参考答案
1.解：设梨的单价是x元/千克，则苹果的单价是1.5x元/千克.根据题意，得
，解得x=4，经检验x=4是原方程的解.
答：梨和苹果的单价分别为每千克4元、每千克6元.
2.解：（1）设甲队单独完成这项工程需x天，根据题意，得
，
解这个方程，得x=40，
经检验，x=40是原方程的解，
∴甲队单独完成这项工程需40天；
（2）设甲、乙合做完成需y天，则有.
解得：y=24，
甲单独完成需付工程款为40×3.5=140（万元），
乙单独完成超过计划天数不符题意，
甲、乙合做完成需付工程款为24×（3.5+2）=132（万元）.
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合做完成最省钱．
3.解：设步行每小时行x km，骑车每小时行（x+8）km，根据题意，得
，解得x=4，经检验x=4是方程的解.
40÷4=10（小时）．答：他步行40 km用10小时.
4.解：设乙公司单独完成需x天，根据题意得，
解得x=24.经检验x=24是原方程的解.所以.故甲公司单独完成需要12天；乙公司单独完成需要24天.21世纪教育网版权所有
设甲公司单独做一天需要工钱y元，乙公司单独做一天需要工钱z元，根据题意，得解得所以甲公司单独完成需要：750×12=9000（元）；乙公司单独完成需要250×24=6000（元）.因为9000>6000，所以从节约开支角度考虑，应该选乙公司.
答：若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，选乙公司.
分式方程的应用
自我小测
基础自测
1汽车以每小时20公里的速度从A到B，又以每小时60公里的速度从B沿原路线返回A，则来回的平均速度是( )2·1·c·n·j·y
A．40公里/小时 B．30公里/小时
C．45公里/小时 D．35公里/小时
2有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9 000 kg和15 000 kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg，若设第一块试验田每公顷的产量为x kg，根据题意，可得方程( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.－＝ B.－＝20
C.－＝ D.＝－
4A，B两地相距48公里，某人实际行走速度比原计划快，故从A到B提前2小时到达，求实际行走速度．解：设原计划每小时行走x公里，则实际每小时行走________公里，依题意可列方程：________.21·世纪*教育网
5已知甲做125个，乙做95个同样零件所用时间相同，且甲每小时比乙多做6个，若设甲每小时做x个，根据题意，可得方程是______；若设乙每小时做y个，则得出的方程是________．
6太华商场买进一批运动衣用了10 000元，每件按100元卖出，假如全部卖出这批运动衣，所得的款与买进这批运动衣所用的款的差就是利润，那么这次买卖中，商场所得利润刚好是买进200件运动衣所用的款，试问这批运动衣有多少件？(只列方程)www-2-1-cnjy-com
7相邻的两个偶数的比是24∶25，求夹在这两个偶数之间的奇数．
能力提升
8我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军，速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度．
9已知A，B两地相距36千米，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲距B地还有16千米，相遇后，继续前进，甲到B地比乙到A地早1.8小时，求甲、乙两人速度．
10某文化用品商店用2 000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6 300元．
(1)求第一批购进书包的单价是多少元？
(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
创新应用
11(2009重庆濠江中考)通惠新城开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由．21世纪教育网版权所有
参考答案
1答案：B
2答案：C
3答案：A
4答案：(x＋x) ＝＋2
5答案：＝ ＝
6分析：本题主要等量关系是：所得利润＝200件运动衣的进价，并不是所有的分式方程都能化为一元一次方程．21cnjy.com
解：设买进的这批运动衣有x件．由题意得
100x－10 000＝×200
7分析：此题考查偶数的定义及比例的应用．先根据题意确定这两个偶数，再求夹在这两个偶数之间的奇数．
解：设相邻的两个偶数分别为2x和2x＋2，由题意列方程，得
＝，
解得x＝24.
经检验x＝24是原方程的根，并且符合题意．
所以2x＝48,2x＋2＝50.
所以夹在48和50之间的奇数为49.
8解：设敌人的速度为x，则我部队的速度为1.5x，
根据题意得－＝.
解得x＝5，
经检验x＝5是原方程的根．
1．5x＝1.5×5＝7.5，
答：我部队的速度为7.5千米/时．
9分析：1.掌握列分式方程解决实际问题的一般步骤，抓住题中的等量关系列出方程．
2．在列方程的过程中体会题中的数量关系，在解题过程中体会考虑问题时应注意考虑问题的全面性．(1)解决此类问题通过画线段图能帮助对题意的理解；21·cn·jy·com
(2)相遇时，甲距B地还有16千米，说明甲此时走了(36－16)千米，即20千米，乙走了16千米，从出发到相遇，两人所用时间相等；www.21-cn-jy.com
(3)设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为16÷＝x千米/时；
(4)走完全程甲用了小时，乙用了＝小时．
解：设甲的速度为x千米/时，
则乙的速度为16÷＝x千米/时，
根据题意，得＋1.8＝.
解这个方程，得x＝5.
经检验，x＝5是原方程的根，x＝×5＝4，符合题意．
答：甲的速度为5千米/时，则乙的速度为4千米/时．
10分析：(1)相等关系是“第二批数量是第一批数量的3倍”，数量关系如下表：
总价
单价
数量
第一批
2 000
x
第二批
6 300
(2)求出这两批书包的数量，乘以售价120元，再减去购进书包所用的(2 000＋6 300)元，所得结果就是全部售出后的盈利．21教育网
解：(1)设第一批购进书包的单价是x元，
根据题意得·3＝，解得x＝80(元)．
经检验：x＝80是原方程的解．
(2)×(1＋3)×120－(2 000＋6 300)＝3 700(元)．
答：(1)第一批购进书包的单价是80元．
(2)全部售出后，商店共盈利3 700元．
11解：(1)设甲队单独完成这项工程需要x天，
则乙队单独完成这项工程需要2x天．
根据题意，得＋16(＋)＝1，
解得x＝30.
经检验，x＝30是原方程的根．
则2x＝2×30＝60.
答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．
(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天．
则有y(＋)＝1，解得y＝20.
需要施工费用：20×(0.67＋0.33)＝20(万元)．
因为20＞19，
所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元．
分式方程的应用
1．甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米／小时，依题意列方程正确的是 ( )21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
2．某工厂生产，种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个，设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为 ( )21教育网
A． B． C． D．
3．为改善环境，张村拟在荒山上种植960棵树，由于共青团的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程_______．21cnjy.com
4．小明计划用360元从大型系列科普丛书《什么是什么》（每本价格相同）中选购部分图书．“六·一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书8折销售，这样，小明比原计划多买了6本，求每本书的原价，设每本书的原价为x元，可列方程为_______．21·cn·jy·com
5．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产_______台机器．2-1-c-n-j-y
6．在咸宁创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵？2·1·c·n·j·y
7．甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是 ( )
A． B． C． D．
8．小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米／时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米／时，则下面列出的方程中正确的是 ( )www.21-cn-jy.com
A． B．
C． D．
9．某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中，设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为 ( )21·世纪*教育网
A． B．
C． D．
10．小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x千米／时，根据题意列方程为_______．
11．2012年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调台数；条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为_______元．www-2-1-cnjy-com
12．某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？21*cnjy*com
13．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)篮球与足球的单价各是多少元？
(2)该校打算用1000元购进篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买的购买方案有哪几种？【来源：21cnj*y.co*m】
参考答案
1．C 2．A 3． 4． 5．200 6．20棵
7．B 8．A 9．B 10． 11．2200 12．10米．
13．(1)篮球和足球的单价分别为100元、60元；(2)有3种购买方案：方案(1)购买篮球7个，足球5个；方案(2)购买篮球4个，足球10个；方案(3)购买篮球1个，足球15个．
分式的乘除
专题一 分式乘除法的混合运算
1. 计算：.
2.计算：.
3. 计算：.
专题二 分式乘除法的实际应用
4.小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的（如下图）．正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1﹕2．她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完．在小玲所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是_____.
参考答案
1.解：原式=.
2.解：原式==.
3.解：原式=.
4. 1﹕2 解析：设竖式纸盒有x个，横式纸盒有y个，那么正方形纸板一共有（x+2y）个，长方形纸板一共有（4x+3y）个，根据题意可得：（x+2y）：（4x+3y）=1：2，所以，
解得x﹕y=1﹕2 . 答：竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是 1﹕2．
分式的乘除
自我小测
基础自测
1.计算的结果为( )
A. B.x2y C.－x2y D.－xy21世纪教育网版权所有
2.计算等于( )
A. B. C. D.xy2
3.计算等于( )
A.a2 B. C. D.其他结果
4.计算:_______________.
5.化简的结果是___________.
6.计算的结果为_______________.
7.计算:(1)；(2).
8.先化简,然后请你选择一个合适的x的值代入求值:.
9.先化简再求值:,其中a满足a2－a＝0.
能力提升
10.已知m米布料能做n件上衣,2m米布料能做3n条裤子,则一件上衣用料是一条裤子用料的多少倍?
创新应用
11.A玉米试验田是边长为a米的正方形减去边长为1米的正方形蓄水池后余下部分；B玉米试验田是边长为(a－1)米的正方形,两块试验田的玉米都收获了500千克.21教育网
(1)哪种玉米田的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
参考答案
1答案:C
2答案:C
3解析:先将算式中的除式的分子、分母颠倒位置或理解成除以一个数等于乘以这个数的倒数,统一成乘法,再计算结果,即21cnjy.com
.
答案:B
4解析：.
答案:
5答案:－x－1
6解析:.
答案:－a
7解:(1)
(2).
8解:,
当x＝1时,原式.
9解:原式,
由a2－a＝0得原式＝0－2＝－2.
10解:由题意得.
答:一件上衣用料是一条裤子用料的倍.
11解:(1)A玉米试验田面积是(a2－1)米2,单位面积产量是千克／米2；
B玉米试验田面积是(a－1)2米2,单位面积产量是千克／米2,
因为a2－1－(a－1)2＝2(a－1),a－1＞0,
所以0＜(a－1)2＜a2－1.
所以.
所以B玉米的单位面积产量高.
(2).
所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍.
分式的乘除
一、选择题
1．下列变形错误的是( )
A． B．
C． D．
2．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.下列各式成立的是 （ ）
A. B. C. D.
5.下列计算结果正确的有 （ ）
①；②8a2b2=-6a3；③；④a÷b·=a
⑤.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.下列各式的计算结果中，是分式的是 （ ）
①；②③④.
A. ① B.①④ C. ②④ D.①③
7.化简的结果是 （ ）
A. B. C. D.
8.已知，则M等于 （ ）
A. B. C. D.
9.化简的结果是 （ ）
A.-x-1 B.-x+1 C.- D.
二、填空题
10．计算：（1）＝________；（2）= ．
11．若代数式有意义,则x的取值范围是__________．
12．计算= ．
13．若，则= ．
三、计算与解答
14.计算.
(1) ;
(2) ;
(3)(4x2-y2)÷.
15.化简下列各式.
(1)
(2).
16.先化简，再求值：，其中a= -
17.已知|a-4|+，计算·的值.
18．计算：
(1) (2)
（3） （4）
19．先化简，再求值．
(1)，其中x＝．
（2），其中x=－2．
（3），其中．
（4）若，化简．
20.求下列各式的值.
(1)已知xa=2，求xb=6，x≠0，求x3a-2b的值；
(2)若= -2，求的值.
参考答案
1．D；2．D；3．C 4.C 5.C 6.A 7.D 8.A 9.A
10．⑴，⑵；11．且且；12．；13．；；
14.(1)-. (2)8x2+10x-3. (3)2x+y.
15.(1)x+2. (2) .
16.解：原式=·=，当a= -时，原式==9.
17.解：∵|a-4|+，∴a-4=0，b-9=0，∴a=4，b=9，∴原式=·===. 21世纪教育网版权所有
18．⑴，⑵，⑶，⑷；
19．⑴－１，⑵，⑶．四．１．
20.(1). (2).
分式的加减
专题一 寻找规律，进行特殊的分式加减运算
1.化简：.
2.先观察下列等式，然后用你发现的规律解答问题．
第1个等式：a1==×（1﹣）；
第2个等式：a2==×（﹣）；
第3个等式：a3==×（﹣）；
第4个等式：a4==×（﹣）；
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100+an的值．
专题二 整体代换思想
3.已知，求的值.
参考答案
1.解：原式=
===
==.
2.解：（1）
（2） ×
（3）a1+a2+a3+a4+…+an
=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×
=（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+）
=（1﹣）=×=．
3.解：因为，即，所以.故
=.
分式的加减
自我小测
基础自测
1.分式、、的最简公分母是( )
A.(a2－b2)(a+b)(b－a) B.(a2－b2)(a+b)
C.(a2－b2)(b－a) D.a2－b2www.21-cn-jy.com
2.计算的结果是( )
A. B. C. D.
3.计算的结果为( )
A. B. C. D.
4.甲从A地到B地要走m小时,乙从B地到A地要走n小时,若甲、乙二人同时从A、B两地出发,相遇需( )21教育网
A.m+n小时 B.小时
C.小时 D.小时
5.计算的结果是____________.
6.已知,则M＝___________.
7.请你先对进行化简,再选取一个使原式有意义,而你又喜爱的数代入求值.
能力提升
8.有这样一道题:“先化简,再求值:,其中x＝－3.5.”小玲做题时把“x＝－3.5”错抄成了“x＝3.5”,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事？
9.请你阅读下列计算过程,再回答所提出的问题:
A
B
＝x－3－3(x+1) C
＝－2x－6. D
(1)上述计算过程中,从哪一步开始出现错误:_______________________；
(2)从B到C是否正确？______.若不正确,错误的原因是_______________；
(3)请你正确解答.
10.已知:,Q＝(x+y)2－2y(x+y),小敏、小聪两人在x＝2,y＝－1的条件下分别计算了P和Q的值,小敏说P的值比Q大,小聪说Q的值比P大.请你判断谁的结论正确,并说明理由.
创新应用
11.甲、乙二人一个月里两次同时到一家粮油商店买大米,两次大米的价格有变化,但他们两人购买的方式不一样,其中甲每次总是购买相同重量的大米,乙每次只能拿出相同数量的钱来买米,而不管能买多少,问这两种买米方式哪一种更合算？请说明理由.21世纪教育网版权所有
参考答案
1答案:D
2答案:B
3答案:A
4解析:由题意可知,甲每小时行全程的,乙每小时行全程的,则两人相遇所需的时间为小时，即小时.21cnjy.com
答案:D
5答案:
6答案:x2
7解:
＝x－1＋x＝2x－1.
令x＝2,原式＝2×2－1＝3.等等.
8解:.
因为x＝3.5或x＝－3.5时,x2的值均为12.25,原式的计算结果都为16.25.
所以把“x＝－3.5”错抄成“x＝3.5”,计算结果也是正确的.
9解:(1)A(2)不正确 把两个分式的分母丢掉了
(3)原式.
10解:因为,
所以当x＝2,y＝－1时,P＝2－1＝1.
又因为Q＝(x+y)2－2y(x+y)＝x2－y2,
所以当x＝2,y＝－1时,Q＝22－(－1)2＝4－1＝3.
因为P＜Q,所以小聪的结论正确.
11解:设两次大米的单价分别为x元/千克、y元/千克(x＞0,y＞0,x≠y),则甲平均每千克花了元,乙平均每千克花了元.而,所以乙的购买方式合算.21·cn·jy·com
分式的加减
一、选择题：
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.分式a-b+的值为 （ ）
A. B.a+b C. D.以上都不对
3.化简的结果是 （ ）
A. B. C. D.
4．化简的结果是( )
A．1 B． C． D．－1
二、填空题
5.当x 时，分式有意义.
6. .
7.(0.5)2015÷= .若6m÷a=3m，则a= .
8.设，则= .
9．分式的最简公分母是_________．
10．计算：= ．
11．计算 的结果是____________．
12．一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要__________小时．21世纪教育网版权所有
三、计算与解答题
13.计算.
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
14.计算.
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
15.先化简，再求值：，其中x=4.
16.请你先将分式化简，再选取一个你喜欢且使原式有意义的数代入并求值.
17. 某商店有一个不准确的天平(其臂长不等)和一个10克的砝码．一位顾客想购买20克化学药品，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘，待平衡后交给顾客．然后又将砝码放在右盘上，放置药品于左盘，待平衡后交给顾客．请判断在这次买卖中，是商店吃亏还是顾客吃亏，并说明理由．
18．计算：（1） （2）
19． 已知，求的值．
20.已知x+=z+=1，求y+的值．
参考答案
1.D 2.C[提示：原式=]
3.B 4 B
5.≠2 6.1 7. 2m8.3
9．15bc2；10．；11．；12．；
13.(1). (2)x-y (3) . (4).
14.(1). (2) (3)x. (4).
15.解：=x-3.当x=4时，原式=4-3=1.
16.解：.当a=2时，代入原式= -1+2×2=3.（答案不唯一）
17.解：设天平的左臂长为a，右臂长为b(a≠b)，第一次交给顾客的药品为x克，第二次交给顾客的药品为y克，则有a·10=bx，ay=b·10.所以x=，y=而x+y-20=，且a＞0，b＞0，a≠b，所以＞0，即x+y-20＞0，所以x+y＞20，故商店吃亏.21教育网
18．⑴2，⑵；
19．；
20．1．
第十二章检测卷
时间：120分钟 满分：120分
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、选择题(第1～10小题，每小题3分，第11～16小题，每小题2分，共42分)
1．(常州中考)要使分式有意义，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2 C．x≠－2 D．x≠2
2．下列各式：，，，＋m，其中分式共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(唐山丰涧县区期末)若分式的值为0，则x的值为( )
A．－1 B．0 C．2 D．－1或2
4．分式：①，②，③，④中，最简分式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．分式与下列分式相等的是( )
A. B. C. D.
6．(沧州南皮县期中)对分式，，通分时，最简公分母是( )
A．6x2y3 B．15x2y2z C．24xyz D．30xy2z
7．(河北中考)化简：－ 的值为( )
A．0 B．1 C．x D.
8．(唐山乐亭县期中)解分式方程＋＝3时，去分母后变形为( )
A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3(1－x) D．2－(x＋2)＝3(x－1)
9．已知x＝5是分式方程－＝0的根，则( )
A．a＝－5 B．a＝5 C．a＝－9 D．a＝9
10．(张家口东城县期中)计算a÷·的结果是( )
A．a B．a2 C. D.
11．若分式比分式的值大2，则x的值是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
12．关于x的分式方程＝1的解为正数，则字母a的取值范围为( )
A．a≥－1 B．a>－1 C．a≤－1 D．a<－1
13．若分式方程＋＝有增根，那么k的值为( )
A．4或－6 B．－4或－6 C．－4或6 D．4或6
14．小明骑自行车沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以akm/h的速度走全程时间的一半，又以bkm/h的速度行走另一半时间(a≠b)，则谁走完全程所用的时间较少？( )21教育网
A．小明 B．小刚
C．时间相同 D．无法确定
15．(乌鲁木齐中考)九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为xkm/h，则所列方程正确的是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.＝－ B.＝－20
C.＝＋ D.＝＋20
16．已知实数a，b，c均不为零，且满足a＋b＋c＝0，则＋＋的值( )
A．为正 B．为负
C．为0 D．与a，b，c的取值有关
二、填空题(每小题3分，共12分)
17．(崇左模拟)若分式的值是0，则x的值为________．
18．方程＝的解是________．
19．(河北中考)若x＋y＝1，且x≠0，则(x＋)÷的值为________．
20．(唐山市乐亭县期中)在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a☆b＝＋，根据这个规则x☆(x＋1)＝的解为________．21·世纪*教育网
三、解答题(共66分)
21．(每小题5分，共10分)计算：
(1)·；
(2)＋.
22．(每小题5分，共10分)解下列方程：
(1)＝；
(2)(滨湖区一模)－＝1.
23．(每小题5分，共10分)先化简，再求值：
(1)÷，其中a＝－；
(2)(广州中考)－，其中x满足不等式组且x为整数．
24．(11分)(唐山玉田县一模)老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：21世纪教育网版权所有
÷＝
(1)求所捂部分化简后的结果；
(2)原代数式的值能等于－1吗？为什么？
25．(11分)(张店区一模)某建筑集团完成一路段的高架桥铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话：21cnjy.com
通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设的米数．
26．(14分)李明到离家2.1千米的学校参加联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即步行(匀速)回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即骑自行车(匀速)返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．www-2-1-cnjy-com
(1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？
参考答案与解析
1．D 2.B 3.A 4.B 5.B
6．D 7.C 8.D 9.D 10.D
11．A 12.B 13.C 14.B 15.C
16．C 解析：∵a＋b＋c＝0，∴b＋c＝－a，c＋a＝－b，a＋b＝－c，∴＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝－×＝－×＝0.故选C.
17．3 18.x＝2 19.1 20.x＝1
21．解：(1)原式＝·＝；(5分)
(2)原式＝＋＝＝＝.(10分)
22．解：(1)方程两边同乘3(x－1)，解得3＝2.(3分)故原方程无解；(5分)
(2)方程两边同乘(x－2)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－2)＝(x－2)(x＋2)，解得x＝－6.(8分)经检验，x＝－6是原分式方程的解．(10分)21·cn·jy·com
23．解：(1)÷(1－)＝÷＝·＝.(2分)∵a＝－，∴原式＝2；(5分)
(2)－＝－＝－＝；(7分)解不等式组得1≤x<3.∵x为整数，∴x＝1或x＝2.(9分)当x＝1时，原分式无意义；当x＝2时，原式＝＝＝1.(10分)2-1-c-n-j-y
24．解：(1)设所捂部分为A，则A＝·＋＝＋＝＝；(5分)
(2)若原代数式的值为－1，则＝－1，(7分)即x＋1＝－x＋1，解得x＝0.当x＝0时，除式＝0，(9分)故原代数式的值不等于－1.(11分)www.21-cn-jy.com
25．解：设原来每天铺设x米，(2分)根据题意得＋＝9，(4分)解得x＝300.(8分)经检验，x＝300是分式方程的解并且符合实际意义．(10分)2·1·c·n·j·y
答：该建筑集团原来每天铺设300米．(11分)
26．解：(1)设步行速度为x米/分，则骑自行车的速度为3x米/分．(2分)依题意得＝＋20，(4分)解得x＝70，(6分)经检验，x＝70是原分式方程的解且符合实际意义．
答：李明步行的速度为70米/分；(9分)
(2)＋＋1＝41<42，(12分)∴李明能在联欢会开始前赶到学校．(14分)
