命题与证明
自我小测
1．如图13–1–7所示，下面证明正确的是(
)
A．因为AB∥CD，所以∠1=∠3
B．因为∠2=∠4，所以AB∥CD
C．因为AE∥CF，所以∠2=∠4
D．因为∠1=∠4，所以AE∥CD
2．(山东日照中考)如图13–1–8所示，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为(
)
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
图13–1–7
图13–1–8
图13–1–9
3．如图13–1–9所示．
①∵∠1=∠2(已知)，∴
∥
(
)．
②∵∠3=∠4(已知)，∴
∥
(
)．
③∵
+
=180°，∴AB∥CD．
4．请你写出下列命题的逆命题．并判断真假性，若是假命题，请举出一个反例．
(1)如果a能被4整除，那么a一定是偶数；
(2)若|a|=|b|，则a=b．
5．如图13–1–10所示，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB．求证：∠ADE=∠EFC．
图13–1–10
参考答案
1．B
解析：本题必须找到平行线与角之间的关系，∠2与∠4是由直线AC截直线AB和CD得到的同位角，根据同位角相等，两直线平行可知B正确．
2．B
解析：设AB与EC交于点F，∵AB∥CD，∴∠EFB=∠C．∵∠C=125°，∴∠EFB=125°．又∵∠EFB=∠A+∠E，∠A=45°，∴∠E=125°－45°=80°．
3．①AD
BC
内错角相等，两直线平行
②AB
CD
内错角相等，两直线平行
③∠ABC
∠BCD(或∠BAD
∠ADC)
4．解：(1)如果a是偶数，那么a能被4整除．假命题．反例：如a=2是偶数，但2不能被4整除．(2)若a=b，则=．真命题．
5．证明：∵DE∥BC(已知)，
∴∠ADE=∠B(两直线平行．同位角相等)．
又∵EF∥AB(已知)，
∴∠EFC=∠B(两直线平行，同位角相等)．
∴∠ADE=∠EFC(等量代换)．全等图形
自我小测
1．如图13–2–15所示，已知△ABC≌△BAD，点A，C的对应点分别为B，D，如果AB=5
cm，BC=7
cm，AC=10
cm，那么BD等于(
)
A．10
cm
B．7
cm
C．5
cm
D．不确定
2．已知△ABC≌△A′B′C′，且AB=4，∠C′=30°，则A′B′=
，∠C=
．
图13–2–15
图13–2–16
图13–2–17
3．如图13–2–16所示，沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，若AD=7cm，DM=5
cm，∠DAM=30°，则AN=
cm，NM=
cm，∠NAM=
．
4．如图13–2–17所示，已知△ABC≌△ADE，∠DFB=90°，∠B=25°，∠CAF=15°，求∠E和∠DGB的度数．
5．指出图13–2–18中的全等图形．
图13–2–18
参考答案
1．A
解析：∵△ABC≌△BAD，∴BD=AC．∵AC=10
cm，∴BD=10
cm．
2．4
30°
解析：∵△ABC≌△A′B′C′，∴A′B′=AB=4，∠C=∠C′=30°．
3．7
5
30°
解析：由折叠知：△ADM≌△ANM，∴AN=AD=7cm，MN=MD=5
cm，∠NAM=∠DAM=30°．
4．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB=∠E，∠B=∠D．在Rt△ACF中，∠CAF=15°，∠AFC=90°，∴∠ACB=90°+∠CAF=105°，∴∠E=∠ACB=105°．在Rt△DGF中，∠D+∠DOF=90°，∴∠DGB=90°－∠D=90°－∠B=90°－25°=65°．
5．解：(1)和(10)，(2)和(12)，(3)和(13)，(6)和(9)．全等图形
一、填空题
1.如图，BC平分∠ABD，AB=DB，P为BC上一点，要证∠CAP=∠CDP，应先证________≌___________；得__________=____________，___________=___________；继而有△PAC≌________，理由是___________.
2.如图，△ABD≌△ACE，AE=3cm，AC=5cm，则CD=___________cm.
3.若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、__________或__________与另一个三角形完全重合。
4．如图，在△ABC和△DEF，若AB=DE，BE=CF,要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件（只要写出一个就可以）是_________.
5.已知：如图，AB//CD，点O为AC的中点，则图中相等的线段（除OA=OC外）有___________.
6.已知：如图AB//CD，AD//BC，点E，F分别为BD上两点，要使△BCF≌△DAE，还需添加一个条件（只需一个条件）是__________.
7.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠DAE，D为BE上一点，且∠ADE+∠AEC=180°，则AD=_______.
8.在△ABC与△MNP中，①AB=MN，②BC=NP，③AC=MP，④∠A=∠M，⑤∠B=∠N，⑥∠C=∠P，从这六个条件中任选三个条件，能判定△ABC与△MNP全等的方法共有__________种.
9.铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距26km，C，D为两村庄（视为两点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B(如图)，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建设一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站________km处.
二、选择题：
10.已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=56°，则高BD于BC的夹角为（
）
A、28°
B、34°
C、68° D、62°
11．在ΔABC中，AB=3,AC=4,延长BC至D，使CD=BC,连接AD，则AD的取值范围是（
）
A.1
B.2C.2.5D.5 12．如图，在ΔABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB与点E，且AB=6，则ΔDEB的周长为(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
13．点P为ΔABC的外角平分线上一点（与C点不重合），则PA+PB与AC+BC的大小关系为（
）
A.
PA+PB>AC+BC
B.
PA+PB=AC+BC
C.
PA+PBD.
无法比较大小
14．已知如图，D是ΔABC边AB上一点，DF交AC与点E，DE=EF，FC//AB，若BD=2，CF=5，则AB=(
)
A.1
B.3
C.5
D.7
15．如图，ΔABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与ΔABC全等，则这样的三角形最多可以画出（
）
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
16．如图，在ΔABC中，AB=AC,高BD,CE交与点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形(
)
A.7对
B.6对
C.5对
D.4对
17．如图，在ΔABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB与点E，若ΔDEB的周长为10cm，则斜边AB的长为(
)
A.8cm
B.10cm
C.12cm
D.20cm
18．如图，ΔABC与ΔBDE均为等边三角形，AB）
A.AE=CD
B.AE>CD
C.AED.无法确定
19．已知∠P=80°,过不在∠P上一点Q作QM，QN分别垂直与∠P的两边，垂足为M，N则∠Q的度数等于(
)
A.10°
B.80°
C.100°
D.80°或100°
三、解答题
20．已知如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE为BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，在直线CD上截取CD=AE.
求证：
（1）BD⊥BC；
（2）若AC=12cm，求BD的长。
21．探究题：“有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等”这一命题是否成立？若成立，请证之；若不成立，请试举一反例，并将命题作适当改正，使之成为一真命题。
22．能够互相重合的多边形叫做全等形，即如果两个多边形对应角相等，那么两个多边形一定全等。但判定两个三角形全等只需三组对应量相等即可，如SAS，SSS等，但如果要判定两个四边形全等仅有四组对应量相等是不够的，必须具备至少五组对应量相等。
（1）请写出两个四边形全等的一种判定方法（五组量对应相等）____________。
（2）如图，简要证明你的判定方法是正确的。
（3）举例说明仅有四边相等的两个四边形不一定全等（画出图形并简要证明）。
参考答案
1．ΔABC
ΔDBC
AC
DC
∠ACP
∠DCP
ΔPDC
SAS
2．2
3．翻转
旋转
4．AC=DF
5．BO=DO，AB=DC
6．BF=DE
7．AE
8．10
9．km
10．A
11．D
12．B
13．A
14．D
15．B
16．A
17．B
18．A
19．D
20．（1）由∠DCB+∠AEC=90°,∠AEC+∠EAC=90°,得∠EAC=∠DCB，在
ΔDBC和ΔECA中,
可知ΔDBC≌ΔECA.有∠ACE=∠DBC=90°，故BD⊥BC.
（2）AC=BC，E是BC的中点，
故，
又ΔDBC≌ΔECA，EC=DB.
由AC=12cm，故EC=6cm，DB=6cm.
21．这个命题是假命题，举一反例即可。
22．（1）∠D=∠D′，AD=A′D′，DC=D′C′，BC=B′C′，AB=A′B′.
（2）连AC
在ΔADC和ΔA′D′C′中，
,
可得ΔADC≌ΔA′D′C′，
故AC=A′C′,
易证：ΔACB≌ΔA′C′B′,
从而获得四边形ABCD和四边形A′B′C′D′对应角，对应边均相等。
即四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′。
（3）举一凸四边形和一凹四边形。命题与证明
专题
命题、逆命题、证明
1.
下列说法中，正确的是（
）
A.每一个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.假命题没有逆命题
2.
写出下列命题的逆命题，并判断真假.
（1）如果，那么；
（2）如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角；
（3）三角形的一条中线平分三角形的面积；
（4）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除.
3.
写出下列定理的逆命题，并判断真假，是假命题的举例说明.
（1）互为邻补角的两个角的和为180°；
（2）对顶角相等；
（3）平行于同一条直线的两条直线平行.
4.
证明：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直.
参考答案
1.A
解析：假命题的逆命题不一定是假命题，定理不一定有逆定理，假命题也有逆命题.B、C、D都错.
2.
解：（1）逆命题是：如果，那么.是假命题.
（2）逆命题是：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的另外一个角是钝角.是假命题.
（3）逆命题是：将三角形的面积分成相等的两部分的线是三角形的一条中线.是假命题.
（4）逆命题是：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.是假命题.
3.解：（1）逆命题是：如果两个角的和为180°，那么它们互为邻补角.是假命题，例如：∠1+∠2=
180°，但∠1和∠2不一定是邻补角.
（2）逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角.是假命题，例如：如图，∠AOC=∠BOC,但
∠AOC和∠BOC不是对顶角.
（3）逆命题是：如果两条直线平行,那么这两条直线平行于同一条直线.是假命题，例如：如图，
∥，但是⊥，⊥.
4.解：如图，已知AB∥CD，直线EF交AB，CD分别于点G，H，∠BGH与∠DHG是一组同旁内角，PG平分∠BGH，PH平分∠DHG，求证：PG⊥PH.
证明：∵AB∥CD，∴∠BGH+∠DHG=180°.∵PG平分∠BGH，PH平分∠DHG，∴∠PGH=
∠BGH，∠PHG=∠DHG，
∴∠PGH+∠PHG=（∠BGH+∠DHG）=90°，∴∠GPH=90°，即PG⊥PH.全等三角形的判定
专题一
与全等三角形有关的规律探究
1.
如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上一点，连结BD，CD；如图2，已知AB=AC，D，E为∠BAC的角平分线上面两点，连结BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D，E，F为∠BAC的角平分线上面三点，连结BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是________.
2.
如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC交CD，AC分别于G，E，GF∥AC交AB于F，猜想：EF与AB有怎样的位置关系，请说明理由．
3.
如图①，AB=CD，AD=BC．O为AC中点，过O点的直线分别与AD，BC相交于点M，N.
（1）那么∠1与∠2有什么关系？AM，CN有什么关系？请说明理由．
（2）若将过O点的直线旋转至图②③的情况时，其他条件不变，那么（1）中的关系还成立吗？请说明理由．
专题二
全等三角形与图形变换
4.两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）．
5.如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
6.在△ABC中，∠BAC是锐角，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且DB=DC,AE=BE.
（1）求证：AH=2BD；
（2）若将∠BAC改为钝角，其他条件不变，上述的结论还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
专题三
利用三角形全等解决实际问题
7.
如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点），相距25
km，C，D为铁路同旁的两个村庄（视为两点），DA⊥AB于A点，CB⊥AB于B点，DA=15
km，CB=10
km，现在要在铁路AB上建一个土特产产品收购站E，使C，D两村庄到E站的距离相等，求E站应建在离A站多远处，并说明理由.
参考答案
1.
解析：全等三角形依次有1对，3对，6对，…，第n个图形有对.
2.解：
EF⊥AB.理由：∵BE平分∠ABC，∴∠CBG=∠FBG.∵GF∥AC，∴∠A=∠GFB.∵∠A+∠ACD=∠BCG+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCG=∠GFB.又∵BG=BG，∴△FBG≌△CBG，∴BF=BC.∵EB=EB，∠CBE=∠FBE，∴△FBE≌△CBE，∴∠EFB=∠ECB=90°，∴EF⊥AB.
3.解：（1）∠1=∠2， AM=CN.理由：∵AB=CD，AD=BC，AC=CA,∴△ABC≌△CDA，∴∠DAC=∠BCA.
又∵AO=CO，∠CON=∠AOM，∴△AOM≌△CON. ∴∠1=∠2，AM=CN.
（2）成立，同理可证△AOM≌△CON .
4.解：△BAE≌△CAD，证明：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE
=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.又∵AB=AC，AE=AD，∴△BAE≌△CAD.
5.解：BE=EC，BE⊥EC．
证明：∵AC=2AB，
AD=CD，∴AB=AD=CD．∵∠EAD=∠EDA=45°，∴∠EAB=∠EDC=135°.∵EA=ED，
∴△EAB≌△EDC(SAS)，∴∠AEB=∠DEC，EB=EC，∴∠BEC=∠AED=90°，∴BE=EC，BE⊥EC．
6.解：（1）证明：如图（1），∵
AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEH=∠BEC
=90°,
∴∠EAH+∠C=∠EBC+∠C=90°，∴∠EAH
=∠EBC.又∵AE=BE，∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC，DB=DC,
∴AH=2BD.
（2）如图（2），上述结论成立.同理可证△AEH≌△BEC.
7.解：E站应建在离A站10
km处.理由如下：
在线段AB上截取AE=BC=10
km，又因为AB=25
km，所以BE=AB-AE=25-10=15(km)，所以AD=BE=15
km．在△ADE和△BEC中，所以△ADE≌△BEC（SAS）.所以DE=EC.第十三章检测卷
时间：120分钟 满分：120分
班级：________ 姓名：__________ 得分：__________
一、选择题(第1～10小题，每小题3分，第11～16小题，每小题2分，共42分)
1．如图，△ABC≌△ECD，AB和EC是对应边，C和D是对应点，则下列结论中错误的是( )
A．AB＝CE
B．∠A＝∠E
C．AC＝DE
D．∠B＝∠D
第1题图 第3题图
2．下列命题中，假命题是( )
A．同旁内角互补，两直线平行
B．如果a＝b，则a2＝b2
C．对应角相等的两个三角形全等
D．两边及夹角对应相等的两个三角形全等
3．(唐山市高邑县月考)如图，△ABC与△DEF是全等三角形，则图中相等的线段的组数是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
4．(秦皇岛卢龙县期中)下列关于全等三角形的说法不正确的是( )
A．全等三角形的大小相等
B．两个等边三角形一定是全等三角形
C．全等三角形的形状相同
D．全等三角形的对应边相等
5．如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是( )
A．AD＝AE
B．∠AEB＝∠ADC
C．BE＝CD
D．AB＝AC
6．(保定市涞水县期末)如图，给出下列四组条件：
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
第6题图 第7题图
7．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段为( )
A．PO
B．PQ
C．MO
D．MQ
8．(石家庄市栾城县期中)已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的中线AD＝m，作法合理的顺序依次为( )
①延长CD到B，使BD＝CD；②连接AB；③作△ADC，使DC＝a，AC＝b，AD＝m.
A．③①②
B．①②③
C．②③①
D．③②①
9．(孟津县期末)已知△ABC≌△DEF，若∠A＝50°，∠C＝30°，则∠E的度数为( )
A．30°
B．50°
C．60°
D．100°
10．(沧州市沧县月考)如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )
A．甲和乙
B．乙和丙
C．只有乙
D．只有丙
11．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1＋∠2等于( )
A．90°
B．150°
C．180°
D．210°
第11题图 第12题图
12．如图，OD＝OC，BD＝AC，∠O＝70°，∠C＝30°，则∠BED等于( )
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
13．(唐山迁安市期中)如图，在正方形ABCD中，BC＝5，点E、F分别在AD，AB上，连接CE，CF.若AF＝3，∠AFC＝∠D＋∠DCE，则△CDE的面积为( )
A．15
B．10
C．7.5
D．5
第13题图 第14题图
14．(宜昌中考)如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
15．如图，平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD的度数为( )
A．110°
B．125°
C．130°
D．155°
第15题图 第16题图
16．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，DE＝6，则AB的长为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
二、填空题(每小题3分，共12分)
17．如图，已知AC＝AD，要证明△ABC≌△ABD，还需添加的一个条件是______________(只添一个条件即可)．
18．命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题是__________________________________，其逆命题为________命题(填“真”或“假”)．
19．如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE＝ED；②AE⊥DE；③BC＝AB＋CD；④AB∥DC.其中成立的是____________(填上序号即可)．
第19题图 第20题图
20．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是________．
三、解答题(共66分)
21．(10分)如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，E为AC、BD的交点．
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)若BE＝5cm，求CE的长．
22．(10分)如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.
(1)从图中任找两组全等三角形；
(2)从(1)中任选一组进行证明．
23．(10分)如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE＝CG；②在BC上取BD＝CF；③量出DE的长为a米，FG的长为b米．如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？
24．(11分)在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B、F、C、E在同一直线上)，并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．
题设：__________；结论：__________(均填写序号)．
25．(11分)如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD.
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
26．(14分)问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________；
探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？并说明理由．
参考答案与解析
1．D 2.C 3.B 4.B 5.B 6.C 7.B 8.A
9．D 10.B 11.C 12.B 13.D 14.C
15．C 解析：在△ACD和△BCE中，∵AC＝BC，CD＝CE，AD＝BE，∴△ACD≌△BCE(SSS)，∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD，∴∠BCA＝∠ECD.∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，∴∠BCA＋∠ECD＝100°，∴∠BCA＝∠ECD＝50°.∵∠ACE＝55°，∴∠ACD＝105°，∴∠A＋∠D＝75°，∴∠B＋∠D＝75°.∵∠BCD＝155°，∴∠BPD＝360°－75°－155°＝130°.故选C.
16．C 解析：∵∠2＝∠3，∴∠2＋∠DCA＝∠3＋∠DCA，∠DCE＝∠BCA.∵∠1＝∠2，∠AFD＝∠BFC，∴∠CDE＝∠ABC.在△ABC和△EDC中，∵∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，AC＝CE，∴△ABC≌△EDC，∴AB＝DE＝6.故选C.
17．BC＝BD或∠CAB＝∠DAB
18．两个锐角互余的三角形是直角三角形 真
19．①②③④ 20.50
21．(1)证明：在△ABC与△DCB中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SAS)；(4分)
(2)解：∵△ABC≌△DCB，∴∠A＝∠D.在△ABE与△DCE中，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，AB＝DC，∴△ABE≌△DCE(AAS)，∴CE＝BE＝5
cm.(10分)
22．解：(1)△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA；(4分)
(2)证明△ABE≌△CDF.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，∴AE＝CF.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)．(10分)
23．解：这种做法合理．(4分)理由如下：∵BE＝CG，BD＝CF，a＝b，∴△GFC≌△EDB(SSS)，(8分)∴∠B＝∠C.(10分)
24．解：答案不唯一，如：题设：①③④；结论：②.(4分)证明如下：在△ABC和△DEF中，∵AB＝DE，∠B＝∠E，∠1＝∠2，∴△ABC≌△DEF(AAS)，(8分)∴BC＝EF，∴BC－FC＝EF－FC，即BF＝EC.(11分)
25．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋CAD，即∠BAD＝∠CAE.(3分)又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)；(5分)
(2)解：BD⊥CE.(7分)证明如下：由(1)知△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠E.(9分)∵∠DAE＝90°，∴∠E＋∠ADE＝90°，∴∠ADB＋∠ADE＝90°，即∠BDE＝90°.∴BD⊥CE.(11分)
26．解：问题背景：EF＝BE＋DF；(3分)
探索延伸：EF＝BE＋DF仍然成立．(6分)
理由如下：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，(8分)∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，∵
∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.(10分)∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.在△AEF和△AGF中，∵∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF＝GF.(12分)∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.(14分)专题
三角形的尺规作图
1.
下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角
B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角
D．已知三边
2.
△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_______个.
3．作一个直角三角形，使其一个锐角为∠α，这个锐角与直角所夹的边为2a，如图13–4–22所示．
4．已知线段a、b(如图13–4–23所示)，用尺规作△ABC，使AC=a，AB=b，BC=2b－a．
图13–4–22
图13–4–23
参考答案
1.C
解析：A、B、D三个选项分别符合全等三角形的判定方法SAS，ASA，SSS，故能作出唯一三角形；
C、只有涉及的两个三角形同为锐角三角形或者钝角三角形或者直角三角形时，才成立．故选C．
2.
4
解析：如图，分别是：以D为圆心，AB为半径画圆；以E为圆心，AC为半径画圆，两圆相交于两点（DE上下各一个），分别与D，E连结后，可得到两个三角形．以D为圆心，AC为半径画圆；以E为圆心，AB为半径画圆，两圆相交于两点（DE上下各一个），分别与D，E连结后，可得到两个三角形．因此最多能画出4个.
3．作法：(1)作∠MBN=∠α；(2)在BN上截取BC=2a；
(3)过点C作AC⊥BC交BM于点A，则△ABC即为所求．如图D–13–2所示．
图D–13–2
图D–13–3
4．作法：(1)作线段BC=2b－a；(2)以点B为圆心，b为半径画弧，以点C为圆心，a为半径画弧，两弧交于点A；(3)连接AB、AC，则△ABC即为所求．如图D–13–3所示．全等三角形的判定
自我小测
1．如图13–3–24所示，若OA=OB，OC=OD，那么：①△OAD≌△OBC，②△ACE≌△BDE，③连接OE，则OE平分∠AOB，以上结论中(
)
A．只有一个正确
B．只有一个不正确
C．都正确
D．都不正确
2．如图13–3–25所示，已知AB=AC，D，E分别为AB，AC的中点，G，H分别为AD，AE的中点，则图中全等的三角形共有(
)
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
3．如图13–3–26所示，在△ABC中，AB=AC，P为△ABC内一点，且PB=PC，连接AP并延长，交BC于点D．证明：AD⊥BC．
图13–3–24
图13–3–25
图13–3–26
图13–3–27
4．如图13–3–27所示，已知E为AD的中点，BE平分∠ABC，且AB+CD=BC．
证明：CE平分∠BCD．
5．(江苏苏州中考)如图13–3–28所示，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．
(1)证明：△ACD≌△BCE；
(2)若∠D=50°，求∠B的度数．
图13–3–28
参考答案
1．C
解析：在△OAD和△OBC中，
∴△OAD≌△OBC(SAS)，
∴∠A=∠B．
∵OA=OB，OC=OD，∴AC=BD．
在△ACE和△BDE中，
∴△ACE≌△BDE(AAS)，∴
AE=BE．
在△AOE和△BOE中，
∴△AOE≌△BOE(SSS)，
∴∠AOE=∠BOE，即OE平分∠AOB，
∴①②③都正确．
2．C
解析：△AGE≌△AHD，△ABE≌△ACD，△BEG≌△CDH，△DOG≌△EOH，△BFD≌△CFE，共5对．
3．证明：在△ABP和△ACP中，
∴△ABP≌△ACP(SSS)，
∴∠BAP=∠CAP．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴∠ADB=∠ADC．
又∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC．
4．证明：如图D–13–1所示，在BC上截取BF=BA，连接EF，在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE(SAS)，∴AE=FE．
图D–13–1
又∵AE=DE，∴FE=DE．
∴AB+CD=BC，∴CD=BC－AB=BC－FB=CF．
在△EFC和△EDC中，
∴△EFC≌△EDC(SSS)，
∴∠3=∠4，即CE平分∠BCD．
5．(1)证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC=BC．
又∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE．
(2)解：∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠2=∠3=60°．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠E=∠D=50°，
∴∠B=180°－∠E－∠3=70°．命题与证明
一、判断题
1、判断下列语句是不是命题
（1）延长线段AB
（
）
（2）两条直线相交，只有一交点
（
）
（3）画线段AB的中点
（
）
（4）若|x|=2，则x=2
（
）
（5）角平分线是一条射线
（
）
二、选择题
2.下列语句不是命题的是
（
）
A、两点之间，线段最短
B、不平行的两条直线有一个交点
C、x与y的和等于0吗？
D、对顶角不相等。
3.下列命题中真命题是
（
）
A、两个锐角之和为钝角
B、两个锐角之和为锐角
C、钝角大于它的补角
D、锐角小于它的余角
4.命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。其中假命题有
（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
三、解答题
5、分别指出下列各命题的题设和结论。
（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
（2）同旁内角互补，两直线平行。
6、分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。
（1）两点确定一条直线；
等角的补角相等；
（3）内错角相等。
7、如图,已知直线a、b被直线c所截,在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据:
(1)∵a∥b,∴∠1=∠3(_________________);
(2)∵∠1=∠3,∴a∥b(_________________);
(3)∵a∥b,∴∠1=∠2(__________________);
(4)
∵a∥b,∴∠1+∠4=180
(_____________________)
(5)∵∠1=∠2,∴a∥b(__________________);
(6)∵∠1+∠4=180 ,∴a∥b(_______________).
8、已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴
=
=90°（
）
∵∠1=∠2（已知）
∴
=
（等式性质）
∴BE∥CF（
）
9、已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角。
求证：∠ACD=∠B。
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（
）
∴∠BCD是∠ACD的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（
）
10、已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：AD∥BE。
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠4=∠
（
）
∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠
（
）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（
）
即∠
=∠
∴∠3=∠
（
）
∴AD∥BE（
）
C
A
B
D
E
F
1
2
B
D
A
C
A
D
B
C
E
F
1
2
3
4全等三角形的判定
一.理解运用
1．如图,已知AC和BD相交于O,且BO＝DO,AO＝CO,下列判断正确的是（ ）
A．只能证明△AOB≌△COD
B．只能证明△AOD≌△COB
C．只能证明△AOB≌△COB
D．能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB
2．已知△ABC的六个元素,下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（
）
A．甲和乙
Ｂ．乙和丙
Ｃ．只有乙
Ｄ．只有丙
3．如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（ ）
A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
4．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 （ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
第3题 第4题 第7题
5．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是 （ ）
A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和它所对的锐角对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
6．△ABC中,AB＝AC,BD、CE是AC、AB边上的高,则BE与CD的大小关系为（ ）
A．BE＞CD B．BE＝CD C．BE＜CD D．不确定
7．如图,是一个三角形测平架,已知AB＝AC,在BC的中点D挂一个重锤,自然下垂．调整架身,使点A恰好在重锤线上,AD和BC的关系为＿＿＿＿＿．
8．正方形ABCD中,AC、BD交于O,∠EOF＝90o,已知AE＝3,CF＝4,则EF的长为＿＿＿.
9．“三月三,放风筝”,如图1—24—4是小明制作的风筝,他根据DE＝DF,EH＝FH,不用度量,就知道∠DEH＝∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是＿＿＿＿＿（用字母表示）．
10．已知如图,AE＝AC,AB＝AD,∠EAB＝∠CAD,试说明:∠B＝∠D
11.
已知：如图，AB=DC
,AD=BC
,
O是BD中点
,过O的直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．
求证：OE=OF
二.拓展提高
12．如图,线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,说明∠A=∠C.
13.
已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．
第9题
第8题命题与证明
一、选择题
1.下列语句不是命题的是（
）
A、两点之间，线段最短
B、不平行的两条直线有一个交点
C、x与y的和等于0吗
D、对顶角不相等
2.下列命题中真命题是（
）
A、两个锐角之和为钝角
B、两个锐角之和为锐角
C、钝角大于它的补角
D、锐角小于它的余角
3.命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。其中假命题有（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
4.分别指出下列各命题的题设和结论。
（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c
（2）同旁内角互补，两直线平行。
5、分别把下列命题写成
“如果……，那么……”的形式。
（1）两点确定一条直线；
（2）等角的补角相等；
（3）内错角相等。
6、如图，已知直线a、b被直线c所截，在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据：
(1)∵a∥b，∴∠1=∠3(_________________)；
(2)∵∠1=∠3，∴a∥b(______________)；
(3)∵a∥b，∴∠1=∠2(_______________)；
(4)
∵a∥b，∴∠1+∠4=180
(_____________________)
(5)∵∠1=∠2，∴a∥b(__________________)；
(6)∵∠1+∠4=180 ，∴a∥b(_____________)
7、已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴
=
=90°（
）
∵∠1=∠2（已知）
∴
=
（等式性质）
∴BE∥CF（
）
8、已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角。
求证：∠ACD=∠B
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（
）
∴∠BCD是∠ACD的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（
）
9、已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：AD∥BE
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠4=∠
（
）
∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠
（
）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（
）
即∠
=∠
∴∠3=∠
（
）
∴AD∥BE（
）全等图形
1.
你能沿虚线把下面图形划分成两个全等图形吗？请找出三种方法．
答案：
2.
你能把如图所示的一个三条边都相等的三角形分成两个全等的图形吗？能分成三个、四个、六个全等的图形吗？怎么分？
答案：
3.
你能把一个正方形分成八个全等的三角形吗？怎么分，请画出来．
答案：方法多种，答案不惟一．
4.
你能把圆分成3个、4个、5个全等的图形吗？
答案：只需将圆心角(360)3等分、4等分、5等分即可，如图所示
5.
在一个正方形的花园里，要怎样修建小路才能使这些小路正好把花园分成4个全等的三角形？如果要分成8个全等的三角形呢？
答案：
6.
你能把正方形分成2个、4个、8个全等的图形吗？
答案：分法可分别如下所示：
7.
在的方格纸上，沿着格线，把正方形划分为四个全等的图形，你可以得到几种不同的图形？
答案：每一种图形只能由4个小方格组成，考虑到的限制，只能得到5种，如图所示：
8.
找出下列图中的全等图形．
答案：根据全等形的定义得全等形有天鹅、荷花．
9.
你能把一个长方形分成两个全等的图形吗？怎么分？能分成三个全等的图形吗？若要分成四个、六个、八个、九个全等的图形，怎么分？
答案：能，如图所示
10.
图展示了沿网格可以将一个每边有4格的正方形分割成两个相同的部分．找出五种其他分割的方法．同样，你能将图和图中的每一个图形分割成相同的两部分吗？
答案：
11.
你能把下边的矩形分成两个全等的三角形吗？能分成四个全等的三角形吗？
答案：(1)分成两个全等的三角形；
(2)分成四个全等的三角形．
12.
请你说出实际生活中见到的全等图形的例子．
答案：答案不惟一，略．
13.
如图，正方形中有十二棵树，请你把这个正方形划分为四小块，要求每块的形状、大小都相同，并且每块中恰好有三棵树．
]
答案：
14..
走在马路上或是公园的小路上，你有没有发现地上铺的地砖有的虽然非常简单，却能拼出美丽的图案来？构成图案的每一块地砖都是全等的吗？你能否自己设计一种地砖，让每一块地砖都是全等的，而且能拼出美丽的图案？
答案：答案不惟一，略．
15.
将如图所示的小平行四边形的边三等分，分点为，过作的平行线，交于点，得多边形，请用四个这样的小多边形，拼成一个形状相同的大多边形．
答案：
16.
仔细观察下图这幅由“箭头”组成的“风车”图案，你能说出它的绘制过程吗？请你动手做一做，更多的“箭头”会拼出怎样的图案？
答案：从一个菱形出发制作箭头，再拼成“风车”图案．
（1）
（2）
（2）
（1）
120
90
72
8个
EMBED
Equation.DSMT4
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
a
b
c
c
a
b三角形的尺规作图
1．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是
( )
A．作一个角等于已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段
D．作角的平分线
2．如图2－6－5，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是
( )
图2－6－5
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
3．已知两角和其中一角的对边作三角形时，可由三角形内角和定理求出第三个角，再依据________作三角形．
4．已知∠A和线段AB，要求作一个唯一的△ABC，还需给出一个条件是________________．
5．已知：△ABC(如图2－6－6所示)．
求作：△A′B′C′，使△A′B′C′≌ABC.
图2－6－6
6．如图2－6－7，已知线段a，b，且a>b.求作△ABC，使∠C＝90°，AB＝a，AC＝b.
图2－6－7
7．数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：
作法：如图2－6－8(1)，①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE.
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．
小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：步骤：如图2－6－8(2)，
①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON.
②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P.
③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
根据以上情境，解决下列问题：
①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是________．
②小聪的作法正确吗？请说明理由．(提示：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等)
③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．(要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明)
图2－6－8
答案解析
1．C 【解析】
根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C.
2．D 【解析】
根据题意，所作出的是∠BCN＝∠AOB，
根据作一个角等于已知角的作法，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选D.
3．ASA
4．本题答案不唯一，如：已知AC或∠B等
5．解：
如图所示．
第5题答图
(1)作线段B′C′＝BC；
(2)分别以点B′，C′为圆心，BA，CA的长为半径画弧，两弧交于点A′；
(3)连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′就是所求作的三角形．
6．解：
如图所示，(1)作∠NCM＝90°；
第6题答图
(2)在射线CM上截取CA＝b;
(3)以A为圆心，a为半径画弧交CN于B；
(4)连接AB，则△ABC即为所求作的直角三角形．
7．解：①SSS
②小聪的作法正确．
理由：因为PM⊥OM，PN⊥ON，
所以∠OMP＝∠ONP＝90°，
在Rt△OMP和Rt△OMP和Rt△ONP中
因为OP＝OP，OM＝ON，
所以Rt△OMP≌△Rt△ONP.
所以∠MOP＝∠NOP.
所以OP平分∠AOB.
③如图所示．
第7题答图
步骤：①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG＝OH.
②连接GH，利用刻度尺作出GH的中点Q.
③作射线OQ，则OQ为∠AOB的平分线．全等图形
专题一
全等图形在日常生活中的应用
1.如图有一块正方形的土地，要在上面修筑两条笔直的道路，将这片土地分成形状相同、面积相等的四部分，请设计三种不同的修筑方案（在给出的三个正方形上分别画图，并简述画图步骤）.
2.如图有一块正方形的地，其中有A、B、C、D四眼机井，把这块地分成形状、大小完全相同的四块，且每块中都有一眼井，应如何分？
专题二
全等三角形性质的应用
3.
在△ABC中，∠A=∠B，若△DEF≌△ABC，且△DEF中有一角是100°，则这个角在△ABC中的对应角是（
）
A.
∠A
B.∠B
C.∠C
D.
∠A或∠B
4.
如图所示，在△ABC中，AB=11
cm，BC=8
cm，AC=6
cm，沿着过点B的直线折叠，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为_______cm.
5.
如图，△ABE和△ACD是由△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠BAC=140°，则∠α=_______.
6.如图，△ABC≌△DEF，且B、C、F、E在同一直线上，判断AC与DF的位置关系，并证明.
参考答案
1.解：如图所示，（1）连结正方形的两条对角线，其对角线把此正方形分成四个全等的三角形；（2）连结两组对边的中点，把正方形分成四个全等的小正方形；（3）过正方形的中心作任意两条互相垂直的直线，则可把此正方形分成四个全等的部分.
2.解：如图所示分法.
3.C
解析：∵∠A=∠B，故在△ABC中，∠A和∠B不可能为100°.
4.9解析：由折叠知△BED≌△BCD，∴BE=BC=8
cm，DE=DC，AE=AB-BE=3（cm），△AED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm）.
5.80°解析：由折叠知△BAC≌△BAE≌△DAC，∴∠ABC=∠ABE，∠ACB=∠ACD.∵∠ABC+∠ACB=
180°-∠BAC=40°，∴∠EBC+∠DCB=80°，∴∠α=∠EBC+∠DCB=80°.
6.解：AC∥DF，证明：∵
△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴180°-∠ACB=180°-∠DFE，即∠ACF=∠DFC，∴AC∥DF.