二次根式
专题一 二次根式非负性的综合应用
1.已知实数满足，则_______.
2.若，求的值.
已知，求与的值.
专题二 利用二次根式的性质将代数式化简
4. 把化成最简二次根式正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
5.已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A.2 B.-8 C. D.
6.化简：.
7.已知，化简：.
参考答案
1.3 解析：∵，，∴，∴，∴.
2.解：∵，∴，∴，∴.
∴=.
3.解：∵，∴，∴.
.∵，∴，∴，∴.∴，.
4.D 解析：由题意知，原式=.
5.A 解析：由数轴可知，∴，.∴原式==2.
6.解：∵，∴，∴，∴原式==+
=.
7.解：，∴，∴，，∴原式===
=.
二次根式
一、选择题
1．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．=±3 B．|﹣3|=﹣3 C．﹣=﹣3 D．﹣32=9
3．如果|x|=，则x等于（ ）
A．± B． C．﹣ D．±2.236
4．下列各数中，与﹣2互为相反数的是（ ）
A． B． C．﹣ D．
5．已知，那么的值为（ ）
A、 －1 B、 1 C、2 D、3
6．（2015秋?深圳期末）如图，已知数轴上的点A、B、O、C、D、E分别表示数﹣3、﹣2、0、1、2、3，则表示数﹣1+的点P应落在线段（ ）21教育网
A．AB上 B．OC上 C．CD上 D．DE上
二、填空题
7．在数轴上离原点的距离是的点表示的数是 ．
8．（2015秋?甘谷县期末）已知二次根式，，，，，其中是最简二次根式的是 ．21cnjy.com
9．若实数x，y满足=0，则代数式yx的值是 ．
10．当x 时,式子有意义．
11．已知+=y+4，则yx的平方根为 ．
12．当时，．
三、解答题
13．已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简：－│a+b│++│b+c│+．
如果错误！未找到引用源。，求的值．
（10分）已知a，b，c满足，
求，b，c的值；
（2）试问以，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．21世纪教育网版权所有
参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．A
4．A． 5．A 6．C
三、填空题
7．± 8．、．
9．2 10．x≥－1. 11．±4 12．4
三、解答题
-a+4b+2c．
15．（1）a=8，c=17，b=15．
（2）构成三角形，周长40，面积 60．
二次根式的乘除运算
专题一 二次根式的分母有理化
1. 阅读下列运算过程：
，.
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么化简的结果是（ ） A．2 B．6 C． D．21世纪教育网版权所有
2.化简：，甲、乙两位同学的解法如下：
甲：=-；
乙：.
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙的解法都正确 B．甲正确，乙不正确
C．甲、乙的解法都不正确 D．乙正确、甲不正确
3.观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
==-1，
==-，
同理可得：=-，… .从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++…+）（）的值．
专题二 二次根式乘除中的规律与方法
4. 计算：（1）=______；（2）=______；
（3）=______；（4）=______；
根据以上规律，请写出用（为正整数）表示上述规律的式子：___________.
5. 已知，（），试比较的大小.
6. 观察下列各式及其验证过程:
，验证：．
按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用(为自然数，且)表示的等式，并证明它成立.
参考答案
1.C 解析：.
2.A
3.解：规律：（是正整数，且）.
原式=…
==.
4.（1）1 （2）1 （3）1 （4）1
5.解：，.
∵，∴，∴.
6.解：（1）猜想： ，
验证：.
（2）用含的代数式表示上述规律为： (为自然数，且)，
验证：.
二次根式的乘除运算
一、选择题
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A、 B、 C、 D、
2．下面计算正确的是（ ）
A．3+=3 B．÷=2 C．·= D．
3．（2014?上海）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．3
4．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．计算的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．能使等式成立的x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
二、填空题
7．（2015秋?太原期中）将化成最简二次根式为 ．
8．计算：＝ ．
9．计算 的结果为_____．
10．最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
11．计算：（﹣2）2003?（+2）2004= ．
12．一列有规律的数：，2，，，，…，则第6个数是 ，第n个数是 （n为正整数）．21世纪教育网版权所有
三、解答题
13．已知x=3+，y=3﹣，求x2y+xy2的值．
化简求值：，其中．
15．观察下列一组等式的化简．然后解答后面的 问题：
；
；
…
（1）在计算结果中找出规律= （n表示大于0的自然数）
（2）通过上述化简过程，可知 （填“＞”、“＜”或“=”）；
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：
参考答案
一、选择题
1．A 2．B 3．B
4．C． 5．B 6．C
二、填空题
7．4． 8． 9．1
10．6 11．． 12．2；
三、解答题
13．30
．
（1）；（2）＞；（3）2015．
二次根式的运算
课堂学习检测
一、填空题
1．把下列各式化成最简二次根式：
(1)______；(2)______；(3)______；(4)____；
(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．
2．在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式，如： 与
(1)与____； (2)与______；
(3)与______； (4)与______； (5)与______．
二、选择题
3．成立的条件是( )．
A．x＜1且x≠0 B．x＞0且x≠1 C．0＜x≤1 D．0＜x＜1
4．下列计算不正确的是( )．
A． B．
C． D．
5．把化成最简二次根式为( )．
A． B． C． D．
三、计算题
6．(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
综合、运用、诊断
一、填空题
7．化简二次根式：(1)________(2)______ _(3)_________
8．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：
(1)____ ___(2)_________(3)__________(4)__________
9．已知则______；_________．(结果精确到0．001)
二、选择题
10．已知，，则a与b的关系为( )．
A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1
11．下列各式中，最简二次根式是( )．
A． B． C． D．
三、解答题
12．计算：(1) (2) (3)
13．当时，求和xy2＋x2y的值．
拓广、探究、思考
14．观察规律：……并求值．
(1)_______；(2)_______；(3)_______．
15．试探究与a之间的关系．
二次根式的加减运算
专题 二次根式的加减运算规律与技巧
1.计算：．
2.已知，，求的值.
3.观察下列各算式：
①；
②；
③；
④，…
（1）根据以上规律计算：
（注意计算技巧哦！）；
（2）请你猜想的结果（用含n的式子表示）.
4. 如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；….21世纪教育网版权所有
求的值．
参考答案
1.解：原式=2-+=.
2.解：由已知得，，原式==.
3.解：（1）原式=；
（2）原式=.
4.解：原式=+…+ =
+…+=+1+1+…+1=+99=99.
二次根式的加减运算
一、选择题
1．计算﹣，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．3
2．下列计算正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
3．（2015秋?开江县期末）计算的结果是（ ）
A．6 B．6 C．4 D．2
4．计算：的值是（ ）
A．0 B． C． D．或
5．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和-1，则点C所对应的实数是（ ）21世纪教育网版权所有
A．1+ B．2+ C．2-1 D．2+121教育网
二、填空题
7．的相反数是 ，绝对值是 ．
8．在数轴上，表示－的点到原点的距离为_______．
9．计算：= ．
10．如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为________．21cnjy.com
11．化简|-2|+的结果是________．
12．已知，，则x2y＋xy2＝________．
13．定义新运算“△”：（x△y）＝|x－y|，其中x，y为实数，则．
三、解答题
14．化简
（1）（﹣2）×﹣6
（+）（﹣）+2．
15．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a﹣b|．
16．已知：，，，请你
从中选出你喜欢的两个字母，并求出它们的和.
参考答案
一、选择题
1．A 2．B 3．D
4．D 5．A 6．D．
二、填空题
7．﹣；﹣． 8．
9．-2． 10．2－1
11．4-2a 12． 13．4
三、解答题
（1）﹣6；（2）4﹣1．
15．2a﹣3b+3．
（或,.
二次根式的加减运算
一、选择题
1、在，，，中能与进行加减合并的根式有_________．
2、下列根式中与其他三个不同类的是（ ）
A． B． C． D．
3、下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与2 D．18与
4、下列根式合并过程正确的是（ ）
A．2--=2 B．a+b=a+b
C．5+=a+ D．-=
5、若5+=6，则y值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
二、计算：
（1）
（2）
三、计算：
（1）
（2）
四．计算：
（1）2+3
（2）5+-7
++-+
（4）+6a-3a2
二次根式的混合运算
1、计算：
（1）
（2）
（a>0,b>0）
2、计算：
（2）
（4） (＋2)×
（6）
(－5)· ，
（8）(－＋1)×2
(9)(2－3)2011( 2＋3)2012
（10）(＋3－)
（11）
3、母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为8cm2,另一个为18cm2，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？21世纪教育网版权所有
4.先化简再求值。
，其中a=3，b=4
5.已知求代数式的值
6.设的整数部分为x，小数部分为y，求的值。
二次根式的混合运算
专题一 二次根式与乘法公式
1.计算：=______.
2.计算：．
3.已知，，求的值.
专题二 二次根式与新定义运算
4.对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下：，
如：，那么_____.
5.用“”定义一种新运算：对任意实数，都有，
如：，求的值.
专题三 二次根式与其他知识的综合应用
6.已知长方形的长为cm，宽为cm，则长方形的面积为______cm2.
7.已知，求的值.
8.先化简，再求值：，其中，.
参考答案
1. 解析：原式==
=.
2.解：原式==8=8.
3.解：∵，，∴，，.
∴原式=.
4.1 解析：∵，∴，
∴=．
5.解：∵，，∴，
∴.
6.2 解析：=(cm2).
7. 解：，，∴原式=
.
8. 解：原式==．
当，时，
原式===．
二次根式综合
1．（2015贵港）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
考点：二次根式的乘除法．
2．（2015徐州）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥1 C．x＞1 D．x≥0
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵有意义，∴x﹣1≥0，即x≥1．故选B．
考点：二次根式有意义的条件．
3．（2015扬州）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：A．符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D．，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选A．
考点：最简二次根式．
4．（2015凉山州）下列根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
考点：同类二次根式．
5．（2015宜昌）下列式子没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：A．没有意义，故A符合题意；
B．有意义，故B不符合题意；
C．有意义，故C不符合题意；
D．有意义，故D不符合题意；
故选A．
考点：二次根式有意义的条件．
6．（2015潜江）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
考点：1．二次根式的乘除法；2．二次根式的加减法．
7．（2015滨州）如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：由题意得，2x+6≥0，解得，x≥﹣3，故选C．
考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．二次根式有意义的条件．
8．（2015钦州）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）21教育网
A． B．2 C． D．20
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵3＞2，∴3※2=，∵8＜12，∴8※12==，∴（3※2）×（8※12）=（）×=2．故选B．21·cn·jy·com
考点：1．二次根式的混合运算；2．新定义．
9．（2015孝感）已知，则代数式的值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：把代入代数式得：===．故选C．
考点：二次根式的化简求值．
10．（2015荆门）当时，代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
考点：二次根式的性质与化简．
11．（2015随州）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵代数式有意义，∴，解得且．故选D．
考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．
12．（2015淄博）已知x=，y=，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
【答案】B．
【解析】
试题分析：原式=====4．故选B．
考点：二次根式的化简求值．
13．（2015朝阳）估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）
A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9
【答案】B．
【解析】
试题分析：原式==，∵6＜＜7，∴的运算结果在6和7两个连续自然数之间，故选B．
考点：1．估算无理数的大小；2．二次根式的乘除法．
14．（2015南京）计算的结果是 ．
【答案】5．
考点：二次根式的乘除法．
15．（2015泰州）计算：等于 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：原式==．故答案为：．
考点：二次根式的加减法．
16．（2015日照）若，则x的取值范围是 ．
【答案】x≤3．
【解析】
试题分析：∵，∴3﹣x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3．
考点：二次根式的性质与化简．
17．（2015攀枝花）若，则= ．
【答案】9．
【解析】
试题分析：有意义，必须，，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴==9．故答案为：9．21世纪教育网版权所有
考点：二次根式有意义的条件．
18．（2015毕节）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则= ．
【答案】．
考点：1．实数与数轴；2．二次根式的性质与化简．
19．（2015葫芦岛）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x≥0且x≠1．
【解析】
试题分析：∵有意义，∴x≥0，x﹣1≠0，∴实数x的取值范围是：x≥0且x≠1．故答案为：x≥0且x≠1．21cnjy.com
考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．
20．（2015陕西省）计算：．
【答案】．
【解析】
试题分析：根据二次根式的乘法法则、绝对值的意义、负整数整数幂的意义化简后合并即可．
试题解析：原式===．
考点：1．二次根式的混合运算；2．负整数指数幂．
21．（2015大连）计算：．
【答案】．
考点：1．二次根式的混合运算；2．零指数幂．
22．（2015山西省）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【答案】1，1．
【解析】
试题分析：分别把1、2代入式子化简即可．
试题解析：第1个数，当n=1时，原式===1．
第 2个数，当n=2时，原式====1．
考点：1．二次根式的应用；2．阅读型；3．规律型；4．综合题．
二次根式综合
【2014年题组】
1．（2014年四川甘孜中考）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B． ﹣5≤x＜5 C． x≥5 D． x≥﹣5
【答案】D．
【解析】
试题分析：由题意得，x+5≥0，解得x≥﹣5．故选D．
考点：二次根式有意义的条件．
2.（2014年潍坊中考）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A.x≥一1 B．x≥一1且x≠3 C．x>-l D．x>-1且x≠3
【答案】D．
考点：1.二次根式有意义的条件；2.分式有意义的条件．
3.（2014年镇江中考） 若x、y满足，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵，∴ ∴．
故选B．
考点：1.二次根式被开方数和偶次幂的非负性质；2.求代数式的值．
4.（2014年甘肃白银中考）下列计算错误的是（ ）
A. ?= B. += C. ÷=2 D. =2
【答案】B．
【解析】
试题分析：A、，计算正确；B、，不能合并，原题计算错误；C、，计算正确；D、，计算正确．
故选B．
考点：二次根式的混合运算．
5.（2014年山东省聊城市中考）下列计算正确的是（ ）
A．2×3=6 B. += C. 5﹣2=3 D . ÷=
【答案】D．
【解析】
试题分析：A、，故A错误；B、不是同类二次根式，不能相加，故B错误；C、不是同类二次根式，不能相减，故C错误；D、，故D正确；故选D．
考点：二次根式的加减法、乘除法．
6.（2014年湖南常德中考）下列各式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
考点：同类二次根式．
7.（2014年凉山中考）已知，则x12+x22= ．
【答案】10．
【解析】
试题分析：∵，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=．
考点：二次根式的混合运算．
8.（2014年哈尔滨中考）计算：= ．
【答案】．
【解析】
试题分析：=2﹣=．
考点：二次根式的加减法．
9.（2014年湖南衡阳中考）化简： ．
【答案】2．
考点：二次根式的乘除法．
10.（2014年辽宁大连中考）（1-）++（）-1．
【答案】3．
【解析】
试题分析：分别进行二次根式的乘法运算，二次根式的化简，负整数指数幂的运算，然后合并即可求出答案．
试题解析：原式=-3+2+3=3．
考点：1.二次根式的混合运算；2.负整数指数幂．
二次根式综合
1．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）要使有意义，则x应满足（ ）
A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3
【答案】D．
考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．
2．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知0＜a＜b，x=，y=，则x，y的大小关系是（ ）21cnjy.com
A．x＞y B．x=y C．x＜y D．与a、b的取值有关
【答案】C．
【解析】
试题分析：x-y=，∵0＜a＜b，∴＜4b，∴＜0，∴x-y＜0．故选C．
考点：二次根式的化简．
3．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如果＝2?x，那么x取值范）围是（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞22·1·c·n·j·y
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵＝2?x，∴x-2≤0，解得：x≤2．故选A．
考点：二次根式的性质与化简．
4．（2015届山东省聊城市中考模拟）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+3a2=6a2 B．
C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：A．2a2+3a2=5a2，故本选项错误；
B．无法计算，故本选项错误；
C．，故本选项错误；
D．，正确．故选D．
考点：1．二次根式的加减法；2．合并同类项；3．分式的基本性质；4．二次根式的乘除法．
5．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如果＝2?x，那么x取值范）围是（
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞221教育网
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵＝2?x，∴x-2≤0，解得：x≤2．故选A．
考点：二次根式的性质与化简．
6．（2015届北京市门头沟区中考二模）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥1．
考点：1．函数自变量的取值范围；2．二次根式有意义的条件．
7．（2015届山东省日照市中考一模）若=3-x，则x的取值范围是 ．
【答案】x≤3．
【解析】
试题分析：∵=3-x，∴3-x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．
考点：二次根式的性质与化简．
8．（2015届山东省聊城市中考模拟）若与（x+1）0都有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x＞-1且x≠1．
【解析】
试题分析：根据题意得：
解得：x＞-1且x≠1．故答案为：x＞-1且x≠1．
考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件；3．零指数幂．
9．（2015届河北省沙河市二十冶第三中学九年级上学期第二次模拟数学）若∣b-1∣+=0，且一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ．21世纪教育网版权所有
【答案】k≤4且k≠0．
考点：1．根的判别式；2．绝对值；3．二次根式的性质．
10．（2015届云南省剑川县九年级上学期第三次统一模拟考试数学试卷）已知、是实数，并且，则的值是_______www.21-cn-jy.com
【答案】1．
【解析】
试题分析：先将式子变形，然后根据二次根式和偶次幂的性质求出x和y的值，再代入到所求式子中即可
因为,即,所以,解得,所以
考点：1．二次根式的性质；2．偶次幂的性质；3．完全平方公式．
11．（2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）若3，m, 5为三角形三边，则＝ ．21·cn·jy·com
【答案】2m－10．
【解析】
试题分析：因为3，m, 5为三角形三边，所以5-3＜m＜5+3，即2＜m＜8，所以=m-2-（8-m）=m-2-8+m=2m－10．【来源：21·世纪·教育·网】
考点：1．三角形的三边关系；2．二次根式的性质．
12．（2015届四川省雅安中学九年级一诊数学试卷）观察下列各式： ， ，请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来 ．
【答案】（）．
【解析】
试题分析：∵；；∴（）．
故答案为：（）．
考点：规律型．
13．（2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）（1）计算：
【答案】3．
考点：1．负整数次方；2．特殊教的三角函数值；3．二次根式；4．绝对值．
14．（2015届云南省剑川县九年级上学期第三次统一模拟考试数学试卷）计算：
【答案】1．
【解析】
试题分析：根据二次根式的性质及运算法则进行计算
试题解析：原式=．
考点：二次根式的混合运算．
15．（2015届北京市门头沟区中考二模）计算：．
【答案】4．
【解析】
试题分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
试题解析：解：原式==4．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂和负整数指数幂；3．特殊角的三角函数值和二次根式的化简．
16．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）计算：（2-）×
【答案】．
考点：二次根式的混合运算．
