第十二章 分 式
12.1 分式
第1课时 分式及其基本性质
学习目标：
1.理解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式.
2.知道分式有意义、无意义和方式值为0的条件.
3.能够运用分式的基本性质对分式进行变形.
学习重点：会求分式有意义时，字母的取值范围.
学习难点：求分式值为零时，字母的取值.
知识链接
1. 用代数式填空：
（1）一项工程，甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工作量是______________，三天完成的工作量是_______，如果乙施工队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工作量是________，b（b
（2）已知甲乙两地之间的路程为m km.如果A车的速度为n km/h，B车比A车每小时多行20km，那么从甲地到乙地，A车所用的时间是_____h，B车车所用的时间是_____h.
2.下列数或算式：2÷1，3÷0，
3.（1）将下列分数化简为最简分数：
（2）分数的性质：分数的分子和分母同乘（或除以）一个________0的数，其值______.
二、新知预习
1.“知识链接”1中，我们可以得到一些代数式：________________________.
( 1 ) 将这些代数式分类，可分成怎样的两类，并完成下表：
名称
代数式
不同点
共同点
分数
？
根据以上对比，上表中“？”所代表的名称是_________.你能归纳出它的概念吗？
【自主归纳】 一般地，我们把形如的代数式叫做分式，其中A，B都是______，且B含有______, 其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.21世纪教育网版权所有
2.分式可以看成两个整式相除的商：
除数不能为_______→分数的分母不能为_____→分式的分母不能为______
【自主归纳】分式有意义的条件是___________.
类比分数的性质，猜想：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的
值______.
三、自学自测
1.在代数式－3x、、、、、中是整式的有 ， 是分式的有________________.21教育网
2 填空：
（1）当x 时，分式有意义；当x 时，分式无意义.
（2）当m=____时的值为0；若的值为0，则m=_______.
3.判断下列分式是否相等，并说明理由.
（1） ；（2）.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
合作探究
探究点1：分式的概念
例1：在式子、、、、＋、9x＋,中，分式的个数有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
疑惑思考：①π是字母吗？②化简后的结果为1，能完全等同于1吗？它成立的条件是什么？
【归纳总结】分母中含有字母的式子就是分式，注意①π不是字母，是常数；②判断分式要看化简之前的式子.
【针对训练】
1.下列式子:①；②；③；④；⑤.其中是分式的是_______.
探究点2：分式有（无）意义及分式值为0的条件
例2：分式有意义，则x应满足的条件是 ( )
A.x≠1 B．x≠2 C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对
【归纳总结】分式有意义的条件是分母不等于零.
例3：若使分式的值为零，则x的值为 ( )
A．－1 B．1或－1 C．1 D．1和－1
【归纳总结】分式的值为零求字母的值：先根据分子为0，得出字母的值，然后一定要注意若分子中的整式是二次式或含有绝对值，解出的值一般有两个，要注意舍去使分母为0的值.
【针对训练】
1.使分式无意义的x的值是( )
A.x＝0 B．x≠0 C．x＝ D．x≠
2. 若的值为0，则x=_______.
3.当x取何值时，下列分式有意义？
（1） （2） （3）
【师生合作】探究点3：分式的基本性质
问题1： 如何用字母表示分数的基本性质？
一般地，对于任意一个分数，有(c≠0)，其中a,b,c表示数.
问题2：仿照分数的基本性质，你能说出分式的基本性质吗？
[做一做]分式
分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值_____.
即：，，其中A,B,M表示整式且M是不等于0的整式.
例4：下列式子从左到右的变形一定正确的是 ( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
【归纳总结】分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
【针对训练】
1.不改变分式的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果为( )
A. B. C. D.
2.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
=_______； (2)=______；(3)=________.
3.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)；(2).
二、课堂小结
分式
内容
概念
一般地，我们把形如______的代数式叫做分式，其中A，B都是______，且B含有______.A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
有意义、值为0的条件
分式有意义的条件是__________;值为0的条件是_____________.
基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于________的整式，分式的值________．即＝，＝(C≠0)，其中A、B、C是整式．注意：B≠0是隐含条件.
符号法则
分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值________．即＝－＝－＝.
下列代数式中，属于分式的有 （ ）
A .- B. C. D.
2.当a＝－1时,分式的值( )
A.没有意义 B.等于零 C.等于1 D.等于－1
3.下列分式中一定有意义的是( )
A. B. C. D.
4.下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. B.
C. D.
5.使分式有意义的x的取值范围是_____________.
6..填空
（1）； （2）；
（3）； （4）．
7.（能力拓展）已知y=，x取哪些值时：
（1）分式无意义；（2）y的值是零；（3）y的值是负数.
当堂检测参考答案：
C 2.A 3.A 4.A 5. x≠-3
⑴，⑵x，⑶4n，⑷x-y；
7.（1）由题意得：2-3x=0 ，∴x=.
（2）由题意得： ∴x=1；
（3）由题意得：＜0，∴或 ∴x＞1或x＜.
第2课时 分式的约分
学习目标：
1.理解约分和最简分式的意义，并会进行约分.
2.理解分式求值的意义，学会根据已知条件求分式值.
学习重点：分式的约分. 学习难点：分式求值.
自主学习
知识链接
（1）把下列分数化为最简分数：
（2）分数约分的办法：先将分数的分子和分母__________,再约去分子分母上相同因数，
把分数化为最简分数.
结合分式的基本性质，判断正误：
①
因式分解:
①x2+xy=____________;②4m2-n2=_____________;③a2+8a+16=___________________.
4. 分式的基本性质是__________________________________________.21世纪教育网版权所有
5. 在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立：
二.新知预习
类比分数的约分，完成下列流程图：
= =____________.www.21-cn-jy.com
= =____________.2·1·c·n·j·y
2.根据分式的性质，试着将化简：
【概念归纳】1.像这样，把分式中的分子和分母的__________约去，叫做分式的约分.
2.分子和分母没有______的分式叫做最简分式.
三、自学自测
化简下列各分式：
（1）-___________=_________;（2）=________________=__________.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _
合作探究
要点探究
探究点1：分式的约分
【例1】约分：(1)； (2).
【思考】通过上面的约分，你能说出分式约分的关键步骤是__________________.
【归纳总结】1.约分的步骤：(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约 去分子、分母的公因式．21cnjy.com
【针对训练】
1.化简分式的结果是 （ ）
A. B. C. D.
约分：
探究点2：最简分式
【议一议】下面是小亮和小妮两位同学在进行一道分式的化简时，结果出现了分歧，谁的结果正确？
小亮： 小妮：
正确的是_______；
错误的原因是_____________________________.
【结论】在进行分式的约分时，一定要把结果化到最简.
【例2】下列分式是最简分式的是( )
A. B. C. D.
【归纳总结】最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．分子、分母中含多项式的分式，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．21·cn·jy·com
【针对训练】
下列分式:、、、、中,是最简分式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
探究点3：分式的化简求值
【做一做】当p=12，q=-8时，求分式的值.
（1）说说你的思路.
（2）以下两位同学的解法和你想法一样吗？谁的解法更简便？
小亮的解法如下：
解：把p=12，q=-8代入所求分式中，得原式==
小妮的解法如下：
解：= 将分子和分母分解因式确定分子和分母的公因式
= 约去公因式，得到最简分式
当p=12，q=-8时，原式==.
【方法归纳】分式的求值问题与整式一样，要先化简，再求值.
【针对训练】
化简求值：
二、课堂小结
内容
分式的约分
概念
约去分式的分子和分母的________，叫做分式的约分．即＝(C为公因式)．
步骤
(1)确定分子与分母的公因式．当分子、分母中有多项式时，应先__________，再确定公因式；
(2)将分子、分母表示成某个因式与公因式乘积的形式；
(3)约去公因式；
(4)化为最简分式或整式.
最简分式
分子与分母没有________的分式叫做最简分式．
当堂检测
化简的结果是 （ ）
A. B. C. D.4y21教育网
下列约分正确的是 （ ）
3.下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
4.化简的结果是_______________.
5.化简下列分式:
(1); (2); (3); (4).
6.求下列各分式的值.
(1),其中x＝5,y＝－10； (2),其中a＝－2,b＝－3.
(拓展提升)先化简，再求值：
（1），其中x2=4. （2）当时，求的值.
当堂检测参考答案：
1.C 2.C 3.C 4.
5.(1)；
(2)；
(3)；
(4).
6.(1),当x＝5,y＝－10时,原式.
(2),当a＝－2,b＝－3时,原式.
7.（1）当x2=4时，原式==-.
（2）==-，当时，原式=.
12.2 分式的乘除
第1课时 分式的乘法
学习目标：
1.理通过类比分数的乘法法则，探索分式的乘法法则并运用.
2.理通过类比整式的乘方法则，探索分式的乘方法则.
学习重点：分式的乘法法则.
学习难点：分式的乘法运算..
知识链接
×＝_______;×＝_______;
××=_______;×××=_______.
2一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器的水占容积的时,求水的高为________ .21世纪教育网版权所有
二、新知预习
3.我们已经熟悉分数的乘法运算，那么怎样进行分式的乘法运算呢？
类比分数的乘法运算，可知
分式的乘法法则：分式与分式相乘，用_________作为积的分子，_________作为积的分母.
NOTE:分式的运算结果要化为最简分式或整式.
4.类比： (ab)n=an bn ，那么
分式的乘方法则：分式的乘方就是分子、分母分别_________.
三、自学自测
1.计算等于( )
A. B. C. D.xy221教育网
2计算下列各分式：
；
(2).
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：分式的乘法
问题1：(1)·；(2)·.
【归纳总结】分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．21cnjy.com
【针对训练】
下列各式的计算结果中，是分式的是 （ ）
①； ②； ③； ④.
A. ① B.①④ C. ②④ D.①③
问题2：先化简，再求值：·，其中x＝，y＝.
【归纳总结】根据分式乘法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．
【针对训练】
先化简，再求值：，其中x＝．
问题3：计算：（1）；（2）.
【归纳总结】根整式与分式相乘，可以将整式的分母看成是1，在根据分式的乘法法则进行计算.
【针对训练】
计算：（1）；（2）.
探究点2：分式的乘方
问题：下列运算结果不正确的是( )
A．()2＝()2＝
B．[－()2]3＝－()6＝－
C．[]3＝()3＝
D．(－)n＝
【归纳总结】分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．
【针对训练】
计算：(－)2·(－)3·(－)4；
二、课堂小结
内容
分式的乘法
法则
分式乘分式，用分子的________作为积的分子，分母的________作为积的分母．
解题策略
如果分式的分子、分母是多项式，一般要先将其因式分解，再运算.
分式的乘方
法则
一般地，当n是正整数时，＝________．即分式乘方要把分子、分母分别________.
解题策略
分式乘方时，确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为________，奇次幂为________.
计算:（1）_______________；（2）=_______________.
若分式的值与分式的值互为倒数，则x=______.
3.计算.
(1) ;
(2) ;
4.已知|a-4|+（b-9）2=0，计算·的值.
当堂检测参考答案：
1.（1） （2）－a
2.6
3.(1)原式=-. (2)原式=8x2+10x-3.
4.∵|a-4|+，∴a-4=0，b-9=0，∴a=4，b=9，∴原式=·===.
12.2 分式的乘除
第2课时 分式的除法
学习目标：
1.理通过类比分数的除法法则，探索分式的除法法则并运用.
2.能够熟练的进行分式的乘除法混合运算.
学习重点：分式的除法法则.
学习难点：分式的乘除法运算..
知识链接
÷＝____×____＝____，÷＝____×____＝____.
大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的___________倍.21cnjy.com
二、新知预习
3.我们已经熟悉分数的除法运算，那么怎样进行分式的除法运算呢？
类比分数的除法运算，可知
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子与分母_________后，与被除式相乘.
由此可知，分式的除法运算时转化为分式的乘法运算进行的.
三、自学自测
1.计算的结果为( )
A. B.x2y C.－x2y D.－xy2·1·c·n·j·y
2．计算：
(1) ；
.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：分式的除法
问题1：(1)－3xy÷；(2)(xy－x2)÷.
【归纳总结】先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分．www-2-1-cnjy-com
【针对训练】
计算： .
问题2：先化简，再求值：÷，其中x＝π＋1.
【归纳总结】将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．
【针对训练】
先化简,然后请你选择一个合适的x的值代入求值:.
问题3：若式子÷有意义，则x的取值范围是( )
x≠－2，x≠－4 B．x≠－2
C．x≠－2，x≠－3，x≠－4 D．x≠－2，x≠－3
【归纳总结】在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0.21世纪教育网版权所有
【针对训练】
若代数式有意义,则x的取值范围是__________．
问题4：老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？21教育网
【归纳总结】此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可．
【针对训练】
通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V＝πR3(其中R为球的半径)，求：www.21-cn-jy.com
西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
探究点2：分式的乘除混合运算
问题1：计算：·÷.
【归纳总结】分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．【来源：21·世纪·教育·网】
【针对训练】
计算等于( )
A.a2 B. C. D.其他结果
问题2：计算：÷()2·.
【归纳总结】进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．21·世纪*教育网
【针对训练】
计算：.
问题3：化简求值：()3÷()2·[]2，其中x＝－，y＝.
【归纳总结】先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式，是解决此类问题的常用方法．
【针对训练】
化简求值：，其中x=-2.
二、课堂小结
内容
分式的除法
法则
分式除以分式，把除式中的分子、分母____________后，与被除式________．
解题策略
(1)当除式(或被除式)是整式时，可以看做分母是1的式子，然后按分式乘除法法则计算；
(2)如果分式的分子、分母是多项式，一般要先将其因式分解，再运算.
乘除混合运算
先将除法统一成乘法，再按从左至右的顺序计算，若有括号要先算括号里面的.
乘方、乘除
混合运算
先乘方、再乘除，含有多项式时，通常应先分解因式，能约分的要先约分，再计算.
分式化简求值的
方法
(1)先把所给式子化简成最简分式或整式的形式，再将字母的值代入化简后的式子；
(2)若题目中给出自主取数值代入求值时，要注意所选取的数值一定要使原分式有意义，即所取数值要使所给式子的分母及除数________0.
1.已知，则M等于 （ ）
A. B. C. D.
2.下列计算结果正确的有 （ ）
①；②8a2b2=-6a3；③；④a÷b·=a ；
⑤.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.计算：（1）；（2）.
4..先化简再求值:,其中a满足a2－a＝0.
小明和小华在计算机课上进行打字比赛，小明n小时打了a个字，小华只用了小明打字时间的，结果比小明还多打了，小华的工作效率是小明工作效率的几倍？21·cn·jy·com
当堂检测参考答案：
A
C
(1)原式==;
(2)原式=.
4.原式,
由a2－a＝0得原式＝0－2＝－2.
5..
答：小华的工作效率是小华工作效率的2倍.
12.3 分式的加减
第1课时 分式的加减运算
学习目标：
1.通过类比同分母分数的加减法则，探索同分母分式的加减法则.
2.能准确确定几个异分母分式的最简公分母，并会运用通分进行转化成同分母分式的加减运算.（难点）
学习重点：分式的加减运算法则.
学习难点：分式的加减运算.
知识链接
1.
将下列分式通分：（1）；（2）.
答：___________________________________________________________________.
二、新知预习
3.类比同分母分数的加减法运算法则，完成下面同分母分式的加减运算：
类比同分母分数的加减法运算，可知
同分母分式的加减法法则：同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）.
NOTE：分式加减运算的结果要化为最简分式.
类比异分母分数的加减，异分母分式的加减应当怎样进行？
计算：
像这样，把几个异分母分式分别化为与它们______的同分母分式，叫做分式的通分，这个______的分母叫做几个分式的公分母.www.21-cn-jy.com
类比异分母分数的加减法运算，可知
异分母分式加减法法则：异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再相加（减）.
三、自学自测
1.计算的结果是( )
A. B. C. D.
2.分式、、的最简公分母是( )
A.(a2－b2)(a+b)(b－a) B.(a2－b2)(a+b)2·1·c·n·j·y
C.(a2－b2)(b－a) D.a2－b2
3..化简的结果是 （ ）
A. B. C. D.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：同分母分式的加减
问题： 计算：(1)－；(2)＋.
【归纳总结】(1)当分子是多项式，把分子相减时，千万不要忘记加括号；(2)分式加减运算的结果，必须要化成最简分式或整式；(3)当两个分式的分母互为相反数时可变形为同分母的分式．
【针对训练】
下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
探究点2：通分
问题：通分：
(1)，，；(2)，，.
【归纳总结】通分的一般步骤：(1)确定分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．21世纪教育网版权所有
【针对训练】
通分：（1）；（2）.
探究点3：异同分母分式的加减
问题1： 计算：
(1)－x－1；(2)－.
【归纳总结】在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．21教育网
【针对训练】
分式a-b+的值为 （ ）
A. B.a+b C. D.以上都不对
问题2：先化简，再求值：－，其中x＝2015.
【归纳总结】先通分并利用同分母分式的减法法则计算，后约分化简，最后代入求值．
【针对训练】
请你先对进行化简,再选取一个使原式有意义,而你又喜爱的数代入求值.
问题3： 某商店有一个不准确的天平(其臂长不等)和一个10克的砝码．一位顾客想购买20克化学药品，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘，待平衡后交给顾客．然后又将砝码放在右盘上，放置药品于左盘，待平衡后交给顾客．请判断在这次买卖中，是商店吃亏还是顾客吃亏，并说明理由．21·cn·jy·com
【归纳总结】此题属于分式的加减与实际问题的综合，熟练掌握分式加减运算法则是解本题的关键．
【针对训练】
在下图的电路中，已测定CAD支路的电阻是R1，又知CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R与R1、R2满足关系式＝＋，试用含有R1的式子表示总电阻R.
二、课堂小结
内容
解题策略
同分母分式的加减
分母________，把________相加减．即：±＝_______.
(1)一个分式与一个整式相加减时，可以把整式看做是分母为1的分式，整式前面是负号时，要加括号，进行通分；
(2)结果一定要化成最简分式或整式.
通分
把几个异分母分式分别化为与它们______的同分母分式，叫做分式的通分，这个______的分母叫做几个分式的公分母.
异分母分式的加减
先________，变为同分母的分式，再________．即：±＝____±____＝________.
1.已知,则M＝___________.
2.通分：（1）；（2）.
3.计算.
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
4.甲、乙二人一个月里两次同时到一家粮油商店买大米,两次大米的价格有变化,但他们两人购买的方式不一样,其中甲每次总是购买相同重量的大米,乙每次只能拿出相同数量的钱来买米,而不管能买多少,问这两种买米方式哪一种更合算？请说明理由.【来源：21·世纪·教育·网】
当堂检测参考答案：
1.x2
2.（1）；
（2）.
3.(1)原式=. (2)原式=x-y (3)原式= . (4)原式=.
4.设两次大米的单价分别为x元/千克、y元/千克(x＞0,y＞0,x≠y),则甲平均每千克花了元,乙平均每千克花了元.而,所以乙的购买方式合算.21cnjy.com
12.3 分式的加减
第2课时 分式的混合运算
学习目标：
1.复习并巩固分式的运算法则.
2.能熟练地进行分式的混合运算.（难点）
学习重点：分式的运算法则.
学习难点：分式的混合运算.
知识链接
1.
分数的混合运算法则是什么？
答：___________________________________________________________________.
二、新知预习
3.类比分数的混合运算法则，完成下面运算：
有括号要先算括号内的
（异分母的分式的加减转化为同分母分式的加减）
先算乘除，后算加减
（将分式的除法转化为分式的乘法）
（异分母的分式的加减转化为同分母分式的加减）
在进行分式的加、减、乘、除混合运算时，一般按照运算顺序进行：先算_______，再算_______；如果有括号，先算____________.21cnjy.com
三、自学自测
1.计算：
2..先化简，再求值：，其中x=4.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：分式的混合运算
问题： 计算：
(1)(－)·；(2)(x＋)÷(2＋－)．
【归纳总结】分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【针对训练】
计算：
(1) ; (2) ;
探究点2：分式的化简求值
问题1： 先化简代数式÷(1－)，再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
【归纳总结】把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.21教育网
【针对训练】
先化简代数式，再从-3问题2：已知a＋＝5，求的值．
【归纳总结】利用x和互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．21世纪教育网版权所有
【针对训练】
已知，求的值.
问题3： 甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克(a、b为正整数且a≠b)．
甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？
(2)谁的购买方式更合算？请说明理由．
【针对训练】
甲乙两位采购员同去一家饲料公司分别采购两次饲料，两次购买的价格有变化，两位采购员的购货方式也有所不同.其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，设两次购买饲料的价格分别为m元/kg，n元/kg（m，n是正数，且m≠n），那么甲乙所购买饲料的平均价格是多少？哪一个比较低？
二、课堂小结
内容
解题策略
分式的混合运算
先________，再________，然后________，有括号的先算括号里面的．最后结果中分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成____________或整式.
分式的混合运算，在运算过程中要注意观察，可灵活运用交换律、结合律、分配律可使运算过程变得更简便.
1.化简的结果是( )
A．1 B． C． D．－1
2.计算：
(1) ; (2) .
已知，求的值．
4.有这样一道题:“先化简,再求值:,其中x＝－3.5.”小玲做题时把“x＝－3.5”错抄成了“x＝3.5”,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事？
当堂检测参考答案：
B
2.(1)原式=x. (2)原式=.
3.
4..
因为x＝3.5或x＝－3.5时,x2的值均为12.25,原式的计算结果都为16.25.
所以把“x＝－3.5”错抄成“x＝3.5”,计算结果也是正确的.
12.4 分式方程
学习目标：
1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.（重点）
2.理解分式方程无解及出现增根的原因，掌握分式方程验根的方法.（难点）
学习重点：解分式方程.
学习难点：分式方程无解和增根的情况.
知识链接
1. 下列方程哪些是一元一次方程?
一元一次方程的特征是什么？
答：___________________________________________________________________.
二、新知预习
3.完成下面解题过程：
小红家到学校的路程为18km.小红从家去学校总是先乘坐公共汽车，下车后再步行1km，才能到学校，路途所用时间是1h，已知公共汽车是速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.
上述问题中有哪些等量关系？
答：①_____________________+_______________________=小红上学路上的时间；
②公共汽车的速度=_______________________________.
如果设小红步行的速度为x km/h，那么公共汽车的速度为_____ km/h,根据等量关系①，可以得到方程：_______________________________.21世纪教育网版权所有
如果设小红步行的时间为x h，那么她乘坐公共汽车的时间为______h，根据等量关系②，可以得到方程：_______________________________.21·cn·jy·com
在（2）（3）中得到的方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？
答：___________________________________________________________________.
像这样，分母中含有________的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.www.21-cn-jy.com
试着解下列分式方程：
；
解：方程两边同乘___________，得 去分母（乘最简公分母）
___________________.
解这个整式方程，得____________. 解整式方程
经检验，__________________________. 验根（原分式方程是否有意义）
.
解：方程两边同乘___________，得 去分母（乘最简公分母）
___________________.
解这个整式方程，得_________. 解整式方程
经检验，__________________________. 验根（原分式方程是否有意义）
像这样，解得的根使得分母的值为0，分式方程______，我们把这样的根叫做分式方程的增根.
NOTE：分式方程可能无解.解分式方程一定要注意验根.
自学自测
1.下列各式中，分式方程是 （ ）A. B. C. D.
2.解分式方程＝3时，去分母后变形为 （ ）
A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3(1－x) ． D．2－(x＋2)＝3(x－1)
3.若分式的值为零，则x的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．－2
4.如果关于x的方程＝无解，那么m的值为( )
A．－2 B．5 C．2 D．－3
5.解方程：(1)－1＝；(2)－＝1.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：分式方程的相关概念
问题： 下列关于x的方程中，是分式方程的是( )
A.＝ B.＝ C.＋1＝ D.＝1－
【归纳总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．21cnjy.com
【针对训练】
下列各式中，分式方程是 （ ）
A． B． C． D．
探究点2：分式方程的解法
问题1： 解方程：
(1)＝；(2)＝－3.
【归纳总结】解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．
【针对训练】
解方程：
(1)；(2).
问题2：关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．
【归纳总结】求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.2·1·c·n·j·y
【针对训练】
当m为何值时，关于x的方程＝－的解是正数．
探究点3：分式方程的增根
问题1：若方程＝＋有增根，则增根可能为( )
A．0 B．2 C．0或2 D．1
【归纳总结】增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．【来源：21·世纪·教育·网】
【针对训练】
若关于x的方程＝2有增根，则增根是_____．
问题2：如果关于x的分式方程＝1－有增根，则m的值为( )
A．－3 B．－2 C．－1 D．3
【归纳总结】增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．21·世纪*教育网
【针对训练】
当m为何值时，方程＋3＝会产生增根．
问题3：若关于x的分式方程＋＝无解，求m的值．
【归纳总结】分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．21教育网
【针对训练】
若关于x的方程无解，求a的值.
二、课堂小结
内容
易错提醒
分式方程的相关概念
分母中含有________的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.
(1)用分式方程中的最简公分母同乘方程两边，注意不要漏乘没有分母的项，另外得出解后，要注意检验；
(2)分式方程无解的两种情况：①将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是类似“0x＝1”的形式，即整式方程无解；②整式方程求得的根使得原分式方程的最简公分母等于0.
分式方程的解法
(1)去分母：在方程的两边都乘以___________，化成整式方程；
(2)解这个整式方程：去括号、移项、合并同类项；
(3)检验：把解得的根代入______________，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解(使最简公分母为零的根是原方程的增根).
分式方程的增根
解得的根使得分母的值为0，分式方程______，我们把这样的根叫做分式方程的增根.
下列各式中是关于x的分式方程的是_____________________.
①;②;③;④,⑤;
⑥;⑦;⑧;⑨;
⑩
2.解分式方程＝1时，去分母后可得到 ( )
A．x(2＋x)－2(3＋x)＝1 B．x(2＋x)－2＝2＋x
C．x(2＋x)－2(3＋x)＝(2＋x)(3＋x) D．x－2(3＋x)＝3＋x
3．分式方程＝0的根是 ( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
4．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ( )
A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
5.若关于x的方程－＝不会产生增根，则m为( )
A．m≠0 B．m≠ C．m≠0且m≠－ D．m≠且m≠－
6.解方程：
(1);(2).
7.关于x的方程，当k为何值时，会产生增根？
当堂检测参考答案：
②③④⑥⑧⑨
C
D
D
D
(1)x＝3;(2)x＝－.
x＝－1时k＝3 .
12.5 分式方程的应用
学习目标：
1.会列分式方程解决实际问题，学会建立数学模型.
2.掌握列分式方程解决实际问题的一般方法.(重点）.（难点）
学习重点：列分式方程解决实际问题的一般方法.
学习难点：列分式方程解决实际问题.
知识链接
列方程解应用题的一般步骤是什么？
答：___________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
甲乙两班学生参加植树活动，已知甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植树80棵所以的天数与乙班植树70棵所用的天数相同，若设甲班每天植树x棵，根据题意可得方程_______________.
二、新知预习
3.完成下面解题过程：
小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？【来源：21cnj*y.co*m】
请找出上述问题中的等量关系；
答：_________________________________________________________________________.
试列出方程，并求方程的解；
解：设小红每分钟录入x字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得
_________________________.
解这个方程得_____________________.
经检验，__________________________.
答：_____________________________________________________________.
根据3中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为：
第一步，审清题意；
第二步，根据题意设未知数；
第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；
第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________；最后作答．
自学自测
1.九年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( )www.21-cn-jy.com
A.－＝ B.－＝20
C.－＝ D.＝－
2.阅读下面对话：
??? 小红妈：“售货员，请帮我买些梨.”
??? 售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货.我建议您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高.”【版权所有：21教育】
??? 小红妈：“好，你们很讲信用，这次我和上次一样，也花30元钱.”
??? 对照前后两次购物的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价钱是梨的1.5倍，所买的苹果的总质量比梨轻2.5 kg.21·世纪*教育网
试根据上面的对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价.
3.某人骑自行车比步行每小时多走8 km，如果他步行12 km所用的时间与骑车行36 km所用的时间相等，求他步行40 km用多少小时？21*cnjy*com
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：分式方程的应用
问题1： 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为( )
A.－＝3 B.－＝3 C.－＝3 D.－＝3
【归纳总结】解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．
【针对训练】
有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9 000 kg和15 000 kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg，若设第一块试验田每公顷的产量为x kg，根据题意，可得方程( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
问题2： 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
【归纳总结】解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
【针对训练】
某市正在进行“打造宜居靓城、建设幸福之都”活动.在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算，获得如下信息：
信息一：乙队单独完成这项工程需要60天；
信息二：若先由甲、乙两队合做16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可完成；
信息三：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？
（2）若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合做完成该工程省钱？21*cnjy*com
问题3： 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
【归纳总结】解决问题的关键是分析题意，找到关键描述语和合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程＝速度×时间．21世纪教育网版权所有
【针对训练】
已知A，B两地相距36千米，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲距B地还有16千米，相遇后，继续前进，甲到B地比乙到A地早1.8小时，求甲、乙两人速度．
问题4：佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．21cnjy.com
【归纳总结】本题具有一定的综合性，应该把问题分解成购买水果和卖水果两部分分别考虑.
【针对训练】
某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．2-1-c-n-j-y
(1)篮球与足球的单价各是多少元？
(2)该校打算用1000元购进篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买的购买方案有哪几种？21教育名师原创作品
二、课堂小结
内容
解题策略
分式方程的应用
审清题意；
设出________；
找出__________；
列出分式方程；
解这个分式方程；
________，看方程的解是否满足方程和符合题意；
(7)写出实际问题的答案.
常见实际问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程/时间；工作量问题：工作效率＝工作量/工作时间等.
1．甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米／小时，依题意列方程正确的是 ( )21教育网
A． B． C． D．
2．某工厂生产，种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个，设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为 ( )21·cn·jy·com
A． B． C． D．
3．为改善环境，张村拟在荒山上种植960棵树，由于共青团的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程_______．【来源：21·世纪·教育·网】
4．小明计划用360元从大型系列科普丛书《什么是什么》（每本价格相同）中选购部分图书．“六·一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书8折销售，这样，小明比原计划多买了6本，求每本书的原价，设每本书的原价为x元，可列方程为_______．【出处：21教育名师】
5．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产_______台机器．
6．在创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵？
7.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
8.某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由．www-2-1-cnjy-com
当堂检测参考答案：
1．C 2．A 3． 4． 5．200 6．20棵
7.设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得：＝.解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的根，当x＝100时，x＋60＝160.2·1·c·n·j·y
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
8.(1)设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要2x天．
根据题意，得＋16(＋)＝1，
解得x＝30.
经检验，x＝30是原方程的根．
则2x＝2×30＝60.
答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．
(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天．
则有y(＋)＝1，解得y＝20.
需要施工费用：20×(0.67＋0.33)＝20(万元)．
因为20＞19，
所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元.
