13.3
全等三角形的判定
第4课时
具有特殊位置关系的三角形的全等
学习目标：
1.复习并回顾全等三角形的判定方法.（重点）
2.根据平移或旋转证明两个三角形全等并掌握其规律.（难点）
学习重点：全等三角形的判定方法.
学习难点：平移或旋转与三角形全等的综合.
知识链接
观察下面几组图形，其中△ABC≌△A'B'C'，请写出它们的对应角和对应边.
答：_______________________________________________________________.
参照1中两个三角形的位置关系，请尝试画出几个与△ABC全等的三角形.
二、新知预习
3.如图，每组图形中的两个三角形都是全等三角形.
观察每组中的两个三角形，请你说出其中一个三角形经过怎样的变换（平移或旋转）后，能够与另一个三角形的重合.
请你分别再画出几组具有类似位置关系两个全等三角.
实际上，在我们遇到的两个全等三角形中，有些图形具有特殊的位置关系，即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转（有时是两种变换）得到的.发现两个三角形间的这种特殊关系，能够帮助我们找到命题证明的途径，较快解决问题.
自学自测
如图所示，E为BC的中点.
当AB=DE，∠B=∠DEC时，可用___________证明△ABE≌△DEC；
当AB=DE，AE=DC时，可用___________证明△ABE≌△DEC；
2.如图，AB与CD相交于点O，且AC∥BD，AC+BD，那么________≌_______，理由是_________________________________.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：具有特殊位置关系的三角形的全等
问题1：已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB于点F.求证：△BDF≌△DCE.
【归纳总结】本题运用了转化的思想，将题目中相等的线段转化为两三角形中一对相等的边，即可证明全等.
【针对训练】
已知：如图，AC=EF，AB∥CD，AB=CD.求证：BE∥DF.
问题2：已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F.求证：DE=FE.
【归纳总结】本题运用了转化的思想，观察可知，将△ECF绕着点E逆时针旋转180°，它可与△EAD重合，即可证明全等得到等量关系.
【针对训练】
已知：如图，D是△ABC的边BC的中点，过C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE，垂足分别为F，E，求证：BE=CF.
二、课堂小结
基本图形
平移全等形
旋转全等形
翻折全等形
已知，如图，AB∥CD，BF∥DE且AE=2，AC=10，则EF=_______.
2.已知：如图，BE=CF，AB∥ED，AC∥DF.求证：△ABC≌△DEF.
3.已知：如图，AB=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE.求证：∠1=∠2.
当堂检测参考答案：
1.6
2.∵AB∥ED，AC∥DF（已知），
∴∠B=∠DEF，∠F=∠ACB（两直线平行，同位角相等）.
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC（等式的性质），即BC=EF.
在△ABC和△DEF中
∠B=∠DEF（已推出），
BC=EF（已推出）
∠F=∠ACB（已推出），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
3.∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB.
在△ACE和△DCB中，
AC=DC（已知），
∠ACE=∠DCB（已证），
EC=BC（已知），
∴△ACE≌△DCB（SAS）.∴∠1=∠2
自主学习
合作探究
当堂检测13.1
命题与证明
学习目标：
1.理解逆命题和逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题，并会识别互逆命题.（重点）
2.了解证明的含义，通过具体例子掌握证明的步骤和书写的格式.（难点）
3.理能够判定一个命题的真假，并能进行说明，能够判定一个命题是否存在逆命题.
学习重点：判断命题的真假.
学习难点：掌握证明的步骤和书写的格式及反证法.
知识链接
判断下列说法的正误：
对顶角相等.（
）
同位角相等，两直线平行.（
）
若a2=b2，则a=b.（
）
若x=3，则x2-3x=0
二、新知预习
2.对于平行线，我们知道：
这两个命题中，其中一个命题的条件和结论，与另一个命题的条件和结论有怎样的关系？
答：_______________________________________________________________________.
请再举例说明两个具有这种关系的命题.
答：_______________________________________________________________________.
像这样，一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题.在两个互逆命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.
根据已经学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明.请将下面的证明过程补充完整.
证明：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图，直线a，b，c，a∥c，b∥c.
求证：a∥b.
证明：如图，作直线d，分别于直线a，b，c相交.
∵a∥c（已知），
∴_____=_____（两直线平行，同位角相等）.
∵b∥c（已知），
∴_____=_____（两直线平行，同位角相等）.
∴_____=_____（等量代换）.
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
即平行于同一条直线的两条直线平行.
像这样用文字叙述的命题的证明，应当按照下列步骤进行：
第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言.
第二步，根据图形写出已知、求证.
第三步，根据基本事实、已有定理进行证明.
要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可.
自学自测
1.
下列说法中，正确的是（
）
A.每一个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.假命题没有逆命题
2．请你写出下列命题的逆命题．并判断真假性，若是假命题，请举出一个反例．
(1)如果a能被4整除，那么a一定是偶数；
(2)若|a|=|b|，则a=b．
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：真命题与假命题
问题：命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。其中假命题有（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
【归纳总结】识别命题真假的关键是在条件成立的前提下，看结论是否正确，可以举“特例”验证.
【针对训练】
下列命题中真命题是（
）
A、两个锐角之和为钝角
B、两个锐角之和为锐角
C、钝角大于它的补角
D、锐角小于它的余角
探究点2：互逆命题
问题：下列命题中，逆命题正确的是（
）
对顶角相等
B.若a=b，则
C.末尾是0的整数能被5整除
D.直角三角形的两个锐角互余
【针对训练】
下列说法正确的个数是（
）
①每个命题都有逆命题；②互逆命题的真假性一致；③每个定理都有逆定理.
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
探究点3：证明与举反例
问题：判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题请举一个反例加以说明．
(1)两个角的和是180°，则这两个角是邻补角；
(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
(3)如果x>y，那么x2>y2.
【归纳总结】特例成立还不能证明其为真命题，要由特殊形式转化为一般形式，再用推理的方法证明结论正确；若特例不成立，则原命题一定是假命题．
【针对训练】
写出下列定理的逆命题，并判断真假，是假命题的举例说明.
（1）互为邻补角的两个角的和为180°；
（2）对顶角相等；
（3）平行于同一条直线的两条直线平行.
问题2：已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴
=
=90°（
）
∵∠1=∠2（已知）∴
=
（等式性质）
∴BE∥CF（
）
【归纳总结】从结论逆推进行分析得出条件，反过来的过程就是证明结论的过程．
【针对训练】
求证：直角三角形的两个锐角互余．
二、课堂小结
内容
互逆命题
一个命题的条件和结论分别为另一个命题的_____和_____的两个命题，称为互逆命题.在两个互逆命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的_________.
证明
第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号（图形）语言.第二步，根据图形写出已知、求证.第三步，根据基本事实、已有定理进行证明.
举反例
特例成立还不能证明其为真命题，要由特殊形式转化为一般形式，再用推理的方法证明结论正确；若特例不成立，则原命题一定是假命题．
如图所示，下面证明正确的是(
)
A．因为AB∥CD，所以∠1=∠3
B．因为∠2=∠4，所以AB∥CD
C．因为AE∥CF，所以∠2=∠4
D．因为∠1=∠4，所以AE∥CD
2.如图所示，完成下列证明过程.
①∵∠1=∠2(已知)，∴
∥
(
)．
②∵∠3=∠4(已知)，∴
∥
(
)．
③∵
+
=180°，∴AB∥CD．
3.请你写出下列命题的逆命题．并判断真假性，若是假命题，请举出一个反例．
(1)如果a能被4整除，那么a一定是偶数；
(2)若|a|=|b|，则a=b．
4.如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB．求证：∠ADE=∠EFC．
当堂检测参考答案：
B
2.①AD
BC
内错角相等，两直线平行
②AB
CD
内错角相等，两直线平行
③∠ABC
∠BCD(或∠BAD
∠ADC)
(1)如果a是偶数，那么a能被4整除．假命题．反例：如a=2是偶数，但2不能被4整除．(2)若a=b，则=．真命题．
4.∵DE∥BC(已知)，
∴∠ADE=∠B(两直线平行．同位角相等)．
又∵EF∥AB(已知)，
∴∠EFC=∠B(两直线平行，同位角相等)．
∴∠ADE=∠EFC(等量代换)．
自主学习
合作探究
C
A
B
D
E
F
1
2
当堂检测13.3
全等三角形的判定
第3课时
运用“角边角”（ASA）及“角角边”（AAS）判定三角形全等
学习目标：
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．
2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等．
学习重点：三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”.
学习难点：用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等.
知识链接
1.如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗
如果可以,带哪块去合适
你能说明其中理由吗
答：__________________________________________________________________________.
二、新知预习
2.如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'，BC=B'C'，∠C=∠C'.把△ABC和△A'B'C'叠放在一起，它们能够完全重合吗？提出你的猜想，并试着说明理由.
验证如下：将△ABC叠放在△A'B'C'上，使边BC落在边____上，顶点A与顶点____在边B'C'同侧，由____=____，可得边BC与边B'C'完全重合，因为∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠B的另一边BA落在边B'A'上，∠C的另一边落在边C'A'上，所以____与____完全重合，____与____完全重合，由于“____”，所以点____与点____重合.
所以，△ABC____△A'B'C'.
于是我们得到关于三角形全等的另一个基本事实：
基本事实三
如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这个两个三角形全等.
全等三角形和判定定理
如果两个三角形的两边及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角对应全等.
自学自测
1.有△ABC和△DEF，下列各组条件中，若能判定这两个三角形全等，在后面的括号内打“√”，若不能，则在后面的括号内打“×”．
(1)AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E.( )
(2)AB＝DE，BC＝EF，CA＝FD.( )
(3)∠A＝∠D，∠B＝∠E，CA＝FD.( )
(4)AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EF.( )
(5)∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F.( )
2.已知：如图，AD=BE，∠A=∠FDE，BC∥EF.
求证：△ABC≌△DEF.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
____________________________________________________________
_________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：用“ASA”判定三角形全等
问题：
如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.
【归纳总结】在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．
【针对训练】
如图，点A，C，B，D，在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD.
求证：AE=FC.
探究点2：用“AAS”判定三角形全等
问题：
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.
【归纳总结】在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．
【针对训练】
已知：如图，点A，B，D，E，在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F.求证：AC=DF.
二、课堂小结
内容
联系
“角边角”
两角和它们的_______对应相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“________”
两个三角形，如果具备两个角和一边对应相等，就可判定其全等，但其中“对应”必不可少，也就是说假如一个三角形中相等的边是两角的夹边，而另一个三角形中相等的边是其中一等角的对边，则这两个三角形不一定全等
在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)
“角角边”
两个角和其中一个角的________对应相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“________”
在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)
易错提醒
三个角分别相等的两个三角形________全等(填“一定”或“不一定”)
1.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件___________，才能使△ABC≌△DEF
（写出一个即可）.
2.
如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
3.已知：如图，
AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,
求证：AB=AD.
4.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.
当堂检测参考答案：
1.∠B=∠E或∠A=∠D或
AC=DF
2.不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.
3.证明：
∵
AB⊥BC，AD⊥DC，
∴
∠
B=∠D=90
°.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2
（已知），
∠
B=∠D（已证），
AC=AC
（公共边），
∴
△ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
(1)∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∵
∴△BDA≌△AEC(AAS)；
∵△BDA≌△AEC，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
自主学习
合作探究
当堂检测13.2
全等图形
学习目标：
1理解全等图形的概念，会找全等图形的对应边和对应角.（重点）
2.根据掌握全等三角形的概念及两个三角形全等的表示方法.
3.理掌握全等三角形的性质，并会运用其性质解决有关角度、线段的计算问题.(难点）
学习重点：全等三角形的性质.
学习难点：找全等三角形的对应边、对应角.
知识链接
1.在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形．
二、新知预习
2.如图，观察给出的几组图形.
每组图形中，两个图形的形状和大小各有怎样的关系？
答：_________________________________________________________________________.
（2）先在半透明纸上画出同样大小的图形，再将每组中的一个图形叠放到另一个图形上，观察它们是否能够完全重合.
形状与大小都完全相同的两个图形就是
．（要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．）
即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．
推得出全等三角形的概念：
对应顶点：
、对应角：
、
对应边：
。
“全等”符号：
读作“全等于”.
自学自测
写出下列每组全等图形中的对应边和对应角.
如图，△AMB≌△AMC，请写出图中的相等线段.
四、我的疑惑
_________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：认识全等图形及全等三角形
问题1：
2013年第十二届全运会在辽宁举行，下图中的图形是全运会的会徽，其中是全等形的是( )
A．(1)(2)
B．(2)(3)
C．(1)(3)
D．(1)(4)
【归纳总结】判断两个图形是不是全等形，可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合起来观察，看其是否能完全重合，有时还可以借助网格背景来观察比较．
【针对训练】
指出图中的全等图形．
问题2：
如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．
【归纳总结】找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．
【针对训练】
已知△ABC≌△A′B′C′，且AB=4，∠C′=30°，则A′B′=
，∠C=
．
探究点2：全等三角形的性质
问题：
如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
【归纳总结】本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长，解决问题的关键是准确识别图形．
【针对训练】
1.
在△ABC中，∠A=∠B，若△DEF≌△ABC，且△DEF中有一角是100°，则这个角在△ABC中的对应角是（
）
A.
∠A
B.∠B
C.∠C
D.
∠A或∠B
2.
如图所示，在△ABC中，AB=11
cm，BC=8
cm，AC=6
cm，沿着过点B的直线折叠，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为_______cm.
二、课堂小结
内容
解题策略
全等图形及全等三角形
能够__________的两个图形叫做全等形．能够____________的两个三角形叫做全等三角形.对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．
记两个三角形全等时，对应顶点的字母应写在对应的位置上；找对应元素时，注意有公共边(角)的，公共边(角)通常是对应边(角)；对顶角一般是对应角.
全等三角形的性质
全等三角形的对应边________；全等三角形的对应角________.
如图所示，已知△ABC≌△BAD，点A，C的对应点分别为B，D，如果AB=5
cm，BC=7
cm，AC=10
cm，那么BD等于(
)
A．10
cm
B．7
cm
C．5
cm
D．不确定
2.如图所示，沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，若AD=7cm，DM=5
cm，∠DAM=30°，则AN=
cm，NM=
cm，∠NAM=
．
3.如图，△ABE和△ACD是由△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠BAC=140°，则∠α=_______.
4.如图，△ABC≌△DEF，且B、C、F、E在同一直线上，判断AC与DF的位置关系，并证明.
5.如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB的度数．
当堂检测参考答案：
A
7
5
30°
3.80°
解析：由折叠知△BAC≌△BAE≌△DAC，∴∠ABC=∠ABE，
∠ACB=∠ACD.∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=40°，
∴∠EBC+∠DCB=80°，∴∠α=∠EBC+∠DCB=80°.
解：AC∥DF，
证明如下：∵
△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴180°-∠ACB=180°-∠DFE.
即∠ACF=∠DFC，∴AC∥DF.
5.∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠CAB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度数是100°.
自主学习
合作探究
当堂检测13.4
三角形的尺规作图
学习目标：
1.了解尺规作图的概念，会用尺规作图法作线段和角.
2.熟悉尺规作图的步骤并能熟练运用作图语言.
3.以三角形全等的判定方法为基础，利用尺规作三角形.(重点）
学习重点：尺规作图的步骤.
学习难点：利用尺规作三角形.
知识链接
如图，已知线段a，b.
求作：线段c，使线段c的长度为线段a，b长度的和.
如图，已知∠1.
求作：∠2，使∠2=2∠1.
二、新知预习
3.只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图方法被称为尺规作图.
由三角形全等判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件（_____，_____，_____，_____），都只能作出唯一的三角形.
如图，已知线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.
分析：由作一条线段等于已知线段，能够作出边AB，即A，B两点确定，而BC=a，AC=b，故以点A为圆心，b为半径画弧长，以点B为圆心，a为半径画弧，两弧的交点就是点C.
作法：
第一步：作线段AB等于c；
第二步：以点A为圆心，以b为半径画弧长；
第三步：一点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于点C；
第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求.
自学自测
如图，已知线段a，b.
求作：△ABC，使得CB=a，AC=AB=b.
如图，已知线段a，b，∠1.
求作：△ABC，使得∠BAC=∠1.AB=a，AC=b.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
要点探究
探究点：用尺规作三角形
问题1：如图，已知线段a，b（a>b），∠α.
求作：△ABC，使得∠A=∠α，AB=a，BC=b.
【归纳总结】判定作出符合要求的三角形，关键是根据条件确定三角形的三个顶点的位置.解题时候要根据实际情况判断是否存在多个符合题设条件的△ABC.
【针对训练】
已知：线段a、b和∠α，如图所示.
求作：△ABC，使AB=3a，AC=b，∠A=∠α.
问题2：已知：线段a，b，c，如图所示.
求作：△ABC，使得AB=a，AC=b且BC边上的中线AD=c.
【归纳总结】判定作在作较复杂的三角形时，先画草图，从中找出一个较容易作出的三角形，然后以它为基础作所求作的三角形就比较方便了.
【针对训练】
已知：如图所示，已知线段a，b和m.
求作：△ABC，使得BC=a，AC=b，AC上的中线BM=m.
二、课堂小结
类型
三角形的尺规作图
①已知三边作三角形
②已知两边及其夹角作三角形
③已知两角及其夹边作三角形
④已知两角和其中一角的对边作三角形
下列条件能作一个唯一三角形的是_________（填序号）.
①∠A=65°，∠B=45°，∠C=90°；
②∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°；
③AB=4cm，BC=3cm，AC=5cm；
④AB=2cm，BC=5cm，AC=3cm；
如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作三角形，使所作出的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出（
）
A.2个
B.4个
C.6个
D.1个
已知线段b，∠β，如图所示.
求作：△ABC，使得BC=b，∠B=∠C=∠β.
当堂检测参考答案：
③
B
作法：（1）作线段BC=b；
以B为顶点，射线BC为一边，作∠MBC=∠β，
以C为顶点，射线CB为一边，在BC同侧作∠NCB=∠β；
射线BM，CN交于点A，则△ABC就是所求作的△ABC.
自主学习
合作探究
当堂检测13.3
全等三角形的判定
第2课时
运用“边角边”（SAS）判定三角形全等
学习目标：
1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”.（重点）
2.会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．（难点）
3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．
学习重点：三角形全等的判定方法“SAS”.
学习难点：“SAS”判定方法证明两个三角形全等.
知识链接
若△AOC≌△BOD，则有
对应边:AC=_______，AO=_______，CO=_______，
对应角有:
∠A=_______，∠C=______，
∠AOC=_______.
2.填空：
已知：AC=AD,BC=BD,
求证：AB是∠DAC的平分线.
证明:在△ABC和△ABD中，
AC=AD
(
)，
BC=BD
(
)，
_____=______（
）
∴△ABC≌△ABD(
).
∴∠1=∠2
（
）.
∴AB是∠DAC的平分线（角平分线定义）.
二、新知预习
3.探究：两条边和一个角分别对应相等的两个三角形是不是全等的呢？
（1）画一个三角形，使它的两条边长分别是3cm，.5cm，并且使长为1.5cm的这条边所对的角是30°.
（2）从（1）的操作过程中我们可以发现：两个三角形的两条边和其中一边的对应角相等时，这两个三角形_________.
（3）画一个三角形，使得它的两条边长分别是3cm，5cm，并且使两边夹角为30°.
（4）从（1）的操作过程中我们可以发现：两个三角形的两边和它们的夹角对应相等那么这两个三角形_________.
于是我们可以得到关于三角形全等的另一个基本事实：
基本事实二
如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角________.
自学自测
1.如图，AB=CB
，∠
ABD=
∠
CBD，那么
△
ABD
和△
CBD
全等吗？
2.如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：用“SAS”判定三角形全等
问题1：
下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
【归纳总结】全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．
【针对训练】
下列条件中，可以保证△ABC≌△A'B'C'的是（
）
AB=A'B'，AC=A'C'，∠C=∠C'
AB=A'B'，AC=A'C'，∠B=∠B'
AB=A'B'，BC=B'C'，∠A=∠A'
AB=A'B'，BC=B'C'，∠B=∠B'
问题2：
如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.
【归纳总结】判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【针对训练】
已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.
求证：BC=ED.
问题3：
已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数．
【归纳总结】全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．
【针对训练】
已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.
求证：BD=CE.
二、课堂小结
内容
“边角边”
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写为“边角边”或“________”)．
在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．
易错提醒
“SAS”中的角必须是两条边的夹角，而不是其中一边的对角，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形________全等(填“一定”或“不一定”)．如图所示的两个三角形的两组边及一条边的对角相等，很明显这两个三角形不全等.
1.下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理由．
2.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立.
在△AEC和△ADB中，
_______=________（已知）
∠A=∠A（公共角），
_______=________，
∴△AEC≌△ADB
(
).
3.已知:如图,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，
求证:∠A=∠D.
4.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.
求证：△AFD≌△CEB.
5.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.
当堂检测参考答案：
1.甲与丙全等，SAS.
2.AB
AC
AD
AE
SAS
3.证明:∵
∠1＝∠2(已知)
∴∠1+∠DBC＝
∠2+
∠DBC(等式的性质)，
即∠ABC＝∠DBE.
在△ABC和△DBE中,
AB＝DB(已知)，
∠ABC＝∠DBE(已证)，
CB＝EB(已知)，
∴△ABC≌△DBE(SAS).
∴
∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
4.证明：∵AD//BC，
∴
∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE.
在△AFD和△CEB中，
AD=CB(已知），
∠A=∠C(已知），
AF=CE(已知），
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
自主学习
合作探究
当堂检测13.3
全等三角形的判定
第1课时
运用“边边边”（SSS）判定三角形全等
学习目标：
1.探索三角形全等条件.（重点）
2.掌握“边边边”（SSS）判定三角形全等的方法并能够应用.（难点）
3.理解三角形的稳定性.
学习重点：探索三角形全等条件.
学习难点：掌握“边边边”（SSS）判定三角形全等的方法.
知识链接
1.
什么叫全等三角形？
答：_______________________________________________________________.
2.已知△ABC
≌△DEF，找出其中相等的边与角.
答：____________________________________________________________________.
二、新知预习
3.准备一些长都是13cm的细铁丝.
（1）和同学一起，每人用一根铁丝，折成一个边长分别是3cm，4cm，6cm的三角形.把你作出的三角形和同学作出的三角形进行比较，它们能重合吗？
和同学一起，每人用一根铁丝，余下1cm，用其余部分折成边长分别是是3cm，4cm，5cm的三角形.再和同学作出的三角形进行比较，它们能重合吗？
（3）每人用一根铁丝，任取一组能够构成三角形的三边长的数据，和同桌分别按这些数据折三角形，折成的两个三角形能重合吗？
基本事实一
如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等.
4.准备几根木条，应图钉把这三根木条钉成一个三角形框架，拉动它，观察它的外形是否发生变化.如果用四根木条钉成一个四边形的框架，在拉动它时，它的外形是否发生变化？
答：_______________________________________________________________.
自学自测
已知：如图，AB=CB,AD=CD.求证：△ABD≌△CBD.
工人师傅在安装木质门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉两个斜拉的木条，请说明这样做的道理.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：用“SSS”判定三角形全等
问题1：如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.
【归纳总结】判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【针对训练】
如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.求证：△ACD≌△CBE.
问题2：如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：AD⊥BC.
【归纳总结】将垂直关系转化为证两角相等，利用全等三角形证明两角相等是全等三角形的间接应用．
【针对训练】
雨伞的截面图如图所示，伞背AB=AC,支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BEO与∠CFO有何关系？说明理由
探究点2：三角形的稳定性
问题：
要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？
【归纳总结】将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．
【针对训练】
王师傅用4根木条钉成一四边形木架，如图，要使得这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数为（
）
A.0根
B.1根
C.2根
D.3根
二、课堂小结
内容
“边边边”
三边分别相等的两个三角形________(可以简写为“边边边”或“________”)．
在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
在所给的两个三角形中，如果有两边对应相等，而又没有角对应相等时，往往通过寻找或构造另一组边也相等，从而利用“SSS”证明全等.
三角形的稳定性
三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.
1.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使
△ABF≌△ECD
，还需要条件___________________.
2.工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是(
)
A.两点之间线段最短
B.三角形两边之和大于第三边
C.长方形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性
3.如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？请完成下列解题步骤.
解：
△ABC≌△DCB.
理由如下：
在△ABC和△DCB，
AB
=
DC，
AC
=
DB，
_________=_________，
∴△ABC
≌
________（
________
）.
3.已知：如图
，AC=FE，AD=FB,BC=DE.
求证：(1)△ABC≌△FDE;
(2)
∠C=
∠E.
当堂检测参考答案：
BF=CD或
BD=FC
2.D
3.BC
CB
△DCB
SSS
4.证明：(1)∵
AD=FB，
∴AB=FD（等式性质）.
在△ABC和△FDE
中，
AC=FE（已知），
BC=DE（已知），
AB=FD（已证），
∴△ABC≌△FDE（SSS）；
（2）∵
△ABC≌△FDE（已证）.
∴
∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）.
(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD＝CD，GD＝ED.
∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG∴∠CDG＝∠ADE＝90°.
在△ADE和△CDG中，
∵
∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG；
设AE与DG相交于M，AE与CG相交于N，
在△GMN和△DME中，由(1)得∠CGD＝∠AED，
又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，
∴∠CGD＋∠GME＝90°，
∴∠GNM＝90°，
∴AE⊥CG.
自主学习
合作探究
当堂检测
