15.1 二次根式
第1课时 二次根式的相关概念及应用
学习目标：
1.理解二次根式的概念，能够识别二次根式.
2.根据理解二次根式及二次根式中被开方数的非负性.（难点）
学习重点：二次根式的概念.
学习难点：二次根式及二次根式中被开方数的非负性.
知识链接
1. 若一个正数的平方等于，即，则为 的 ,这个正数为 的 .21教育网
2.9的平方根是 ；9的算术平方根是 .
新知预习
3.（1）2,18，，的算术平方根是怎样表示的？
答：______________________________________________________________________.
非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
答：__________________________________________________________________________.
由（1）（2）中得到是式子有怎样的特点？
答：我们已遇到的 ，这样的式子是二次根式.
二次根式满足①一定要 带 , ②在二次根式中，被开方数 .
4.（1）填空（）2=_______；（）2=______；
同理可得：（）2= ，（）2= ，（）2=______，（）2=0，
所以 （）2＝ （其中a≥0）
（2）_____ ；=_____ ； =_____ ； =_____ ；
____； =_____ ； =_____ ； =_____ ；
总结规律，得出：= .
自学自测
下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、、（x≥0，y≥0）．21世纪教育网版权所有
.2.化简（1） （2） （3） （4）
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：二次根式的相关概念
问题1：下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)(x≥0，y≥0)；(6)；
(7).
【归纳总结】在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题＝2，是二次根式，但2不是二次根式.21·cn·jy·com
【针对训练】
下列式子一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
问题2：当x是多少时，+在实数范围内有意义？
【归纳总结】使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．21cnjy.com
【针对训练】
已知y＝－＋5，则＝________．
探究点2：的应用
问题1：计算：(1)()2；(2)(2)2；(3)(－3)2.
【归纳总结】利用()2(a≥0)计算时，幂的运算法则仍然适用．
【针对训练】
探究点3：的应用
问题1：化简下列二次根式．
(1)；(2)(a≥0，b≥0)；(3).
【归纳总结】(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)．
【针对训练】
计算的值是___________.
问题2：如图所示为a，b在数轴上的位置，化简2－＋.
【归纳总结】利用化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．www.21-cn-jy.com
【针对训练】
已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A.2 B.-8 C. D.
二、课堂小结
内容
二次根式的概念
形如(a≥0)的式子叫二次根式，根号下的数叫____________．“”称为二次根号，根指数为______，可省略.
二次根式有意义的条件
被开方数(式)为________，即有意义等价于a≥0
二次根式的基本性质
(1)一个非负数的算术平方根的平方等于它________，即：()2＝a(a≥0)；
(2)一个数的平方的算术平方根等于它的________．即：＝|a|＝
解题策略
要判别一个式子是不是二次根式(不要将式子化简)一定要具备两个特征：(1)含根号且根指数为2；(2)被开方数为非负数.
1.下列各式中：①，②，③，④，⑤，⑥，一定是二次根式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.已知，那么的值为（ ）
A. －1 B. 1 C.2 D.3
3.为要使二次根式 有意义，x应取 （ ）
A.x>1 B.x<1 C.x=1 D.x=-1
4.等式成立的条件是（ ）
A.a≥2或a≤-2 B.a≥2 C.a≥-2 D.-2≤a<2
5.计算：
6.已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简：.
当堂检测参考答案：
C
A
D
B
5.
由题意得a所以=-a+a+b+c-a+b+b+c+b=-a+4b+2c.
15.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
学习目标：
1.理解复习巩固二次根式的相关概念及其非负性.
2.理解并掌握二次根式的性质.（难点）
3.灵活运用二次根式的性质进行计算.(重点）
学习重点：二次根式的性质的运用.
学习难点：二次根式的性质.
知识链接
1.若，则a,b应满足的条件是 。
2.若，则a,b应满足的条件是 。
新知预习
（1）与是否相等？与呢？
猜想：当a≥0，b≥0时，和的关系是______.
验证：∵当a≥0，b≥0时，=________，=__________=__________.
∴______.
与是否相等？与呢？
猜想：当a≥0，b>0时，和的关系是________.
验证：∵当a≥0，b>0时，=________，=__________=__________.
∴______.
于是我们得到二次根式的性质：
①积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根，即______________；
②商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即______________.
（1）化简：①；②；③；④.
解：①=________；②=________；
③=________；④=________.
化简前，被开方数是怎样的数？
答：_______________________________________________________________________.
化简后，被开方数是怎样的数？它们还含有能开方开得尽的因数吗？
答：_______________________________________________________________________.
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
①被开方数的因式是______，因式是_______；
②被开方数不能含有_______的因式或因式.
自学自测
1.计算的结果是（ ）
A． B． C． D．3
2.化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A、 B、 C、 D、
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：积的算术平方根
问题1：化简：
(1)； (2)；
(3)(a≥0，b≥0)．
【归纳总结】利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．
【针对训练】
计算：(1) (2)
问题2：若＝a成立，则a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a＞0 C．a≥1 D．0≤a≤1
【归纳总结】利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围时，根据积的算术平方根的性质得出的每一个因式(包括被开方数)都是非负数，再列不等式(组)求解．21世纪教育网版权所有
【针对训练】
等式的成立的条件是（ ）
A. a≥ 2 或a≤-2 B. a≥ 2 C. a≥ -2 D. -2≤a<2 21教育网
探究点2：商的算术平方根
问题1：若＝，则a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a≤2C．0≤a＜2 D．a≥0
【归纳总结】运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．21cnjy.com
【针对训练】
成立的条件是( )．
A．x＜1且x≠0 B．x＞0且x≠1 C．0＜x≤1 D．0＜x＜1
问题2：化简：
；(2)(a＞0，b＞0，c＞0)．
【归纳总结】按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．
【针对训练】
化简：
（2）
探究点3：最简二次根式
问题1：下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
【归纳总结】最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．21·cn·jy·com
【针对训练】
下列各式中，最简二次根式是( )．
A． B． C． D．
问题2：把下列各式化成最简二次根式．
(1)；(2)；(3)；(4).
【归纳总结】把二次根式化成最简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到根号外，与此同时，分子中能开方的也要移到根号外．www.21-cn-jy.com
【针对训练】
把下列各式化成最简二次根式：
(1)______；(2)______；(3)______；(4)______；
(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．
二、课堂小结
内容
积的算术平方根
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的________．
商的算术平方根
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
最简二次根式
具有特征：(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)；(2)被开方数不含分母，计算结果必须是________二次根式.
解题策略
化成最简二次根式的一般方法：①若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再化简；②若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数，再化简；③被开方数是多项式的要进行因式分解；
2.化简时先将被开方数化为一个数(式)的平方与另一个因数(式)的乘积；再将根号内开得尽方的因数(式)移到根号外．注：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数.
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
2.化简下列各式：
3.把下列各式化简成最简二次根式：
当堂检测参考答案：
1.D
2.
15.2 二次根式的乘除运算
学习目标：
1.掌握二次根式的乘除法法则，会进行简单计算.(重点）
2.运用二次根式的乘除法解决有关实际问题.（难点）
学习重点：二次根式的乘除法法则.
学习难点：运用二次根式的乘除法解决实际问题.
知识链接
1.化简二次根式：(1)________；(2)______ __；(3)_________.
2.计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：
(1)____ ；(2)_________；(3)__________；(4)__________.
新知预习
3.（1）二次根式的乘法法则：= （a≥0，b≥0）.
即两个二次根式相乘，将它们的 相乘，根指数 .
二次根式的除法法则：= （a≥0，b>0）.
即两个二次根式相除，把被开方数 ，根指数 .
计算下列各式：
①；②；③.
解：①= ；②= ；③= .
NOTE：二次根式运算的结果，应化为最简二次根式.
在解题过中，将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子叫做分母有理化.
自学自测
计算下列各式：
；（2）（3）；（4）.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：二次根式的乘法
问题1：式子·＝成立的条件是( )
A．x≤2 B．x≥－1 C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2
【归纳总结】运用二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数这一条件．21cnjy.com
【针对训练】
式子成立的条件是( )
A．x≥2 B．x≥6 C．2≤x≤6 D．x为任意实数
问题2：计算：
(1)×；(2)9×(－)；
(3)·2·(－)；(4)2a·(－)·(a≥0，b≥0)．
【归纳总结】二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．
【针对训练】
计算：
（1）；（2）.
探究点2：二次根式的除法
问题1：计算：
； (2)； (3)；(4)÷(－)(a＞0，b>0)．
【归纳总结】①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号．②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式．③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法．④最后结果要化为最简二次根式．21·cn·jy·com
【针对训练】
计算：
（1）；（2）.
问题2：计算：
(1)3×÷(－5)；(2)÷×12.
【归纳总结】二次根式的乘除混合运算，与有理数的乘除混合运算一样，按从左到右的顺序进行，也可以先统一为乘法运算，再进行运算．21教育网
【针对训练】
计算：
（1）；（2）.
二、课堂小结
内容
二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数______．
二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数________．
分母有理化
概念：化去分母中根号的变形.
方法：利用分式的基本性质，分子与分母同乘以分母的有理化因式，化去分母的根号，结果化为最简分式．分母的有理化因式不唯一，以运算最简为宜.
解题策略
1.多个二次根式相乘：可将根号前的系数对应相乘，再将被开方数对应相乘后开方化简．多个二次根式相乘可适当交换它们的位置使运算简便.
2.如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数；如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，也可以把除法运算转化为乘法运算.
1.若成立，则下列结论正确的是（ ）
A.x≥6 B.0≤x≤6 C.x≥0 D.x为任意实数
2.若等式成立，则字母m的取值范围是__________.
已知某长方体的体积为cm3，长为cm，宽为cm，求长方体的高为_______cm．
4.计算下列各式：
5.小明的爸爸做了一个长为cm，宽为cm的矩形木板，还想做一个与它面积相等的圆形木板，请你帮他计算一下这个圆的半径．21世纪教育网版权所有
当堂检测参考答案：
A
m>1
5.设圆的半径为rcm.
因为矩形木板的面积为×＝168π(cm)2.
所以πr2＝168π，r＝(cm)(r＝－舍去)．
15.3 二次根式的加减运算
学习目标：
1.掌握二次根式的加减运算法则，并进行计算.（难点）
2.灵活运用二次根式的加减运算解决有关问题.(重点）
学习重点：二次根式的加减运算.
学习难点：运用二次根式的加减法解决实际问题.
知识链接
满足什么条件的根式是最简二次根式？
答：___________________________________________________________________________.
化简下列二次根式
⑴??； ⑵??； ⑶??； ⑷；? ⑸? ；⑹.
新知预习
计算下列各式：
①，②，③；
请将你的做法和大家进行交流；
NOTE：就像整式合并同类项那样，被开方数相同的最简二次根式与可以合并.
二次根式的加减运算 二次根式的加减运算，其实是将被开方数相同的项进行合并.为此，首先应将每个二次根式化简为___________，然后将________相同的最简二次根式进行合并.
自学自测
1．计算﹣，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．3
2.计算：的值是（ ）
A．0 B． C． D．或
3.计算：
（1） ；
.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：二次根式的加减运算
问题1：计算：(1)＋； (2)＋；(3)4－3； (4)18－.
【归纳总结】二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．21世纪教育网版权所有
【针对训练】
下列计算正确的是（ ）
A．2--=2 B．a+b=a+b
C．5+=a+ D．-=
问题2：计算：
(1)－－；(2)－3＋3x；
(3)3－＋2－；(4)－2－(－)．
【归纳总结】二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．
【针对训练】
计算：（1）5+-7；
++-+.
问题3：一个三角形的周长是(2＋3)cm，其中两边长分别是(＋)cm，(3－2)cm，求第三边长．21教育网
【归纳总结】由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．21cnjy.com
【针对训练】
母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为8cm2,另一个为18cm2，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？21·cn·jy·com
二、课堂小结
内容
二次根式的加减法
在进行二次根式的加减运算时，通常先将每个二次根式化简，然后再将被开方数________的二次根式的________相加减，但被开方数________．即m±n＝(m±n)(a≥0)．
步骤：(1)化：将每个二次根式化成最简二次根式；
找：找出被开方数相同的最简二次根式；
(3)并：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项(即系数直接相加减，被开方数与根指数不变).
解题策略
化成最简二次根式的一般方法：①若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再化简；②若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数，再化简；③被开方数是多项式的要进行因式分解；
2.化简时先将被开方数化为一个数(式)的平方与另一个因数(式)的乘积；再将根号内开得尽方的因数(式)移到根号外．注：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数.
1.已知最简二次根式与能合并成一项，则x的值为（ ）
A.5 B.2 C.3 D.4
2.下列计算中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
4.已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A. B. C. D.或
5.计算：
当堂检测参考答案：
1.C
2.C
3.A
4.B
5.
15.4 二次根式的混合运算
学习目标：
1.了解二次根式的混合运算的顺序.
2.掌握二次根式运算中的运算律和乘法公式.（难点）
3.能熟练进行二次根式的混合运算.(重点）
学习重点：二次根式的混合运算.
学习难点：掌握二次根式运算中的运算律和乘法公式.
知识链接
如图，一个底面积为24cm2，长、宽、高的比为4：2：1的长方体，请回答下列问题：
（1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？
答：___________________________________________________________________________.
这个长方体的体积是多少？
答：___________________________________________________________________________.
（3）这个长方体的表面积是多少？
答：___________________________________________________________________________.
新知预习
与数、整式和分式的混合运算一样，二次根式的混合运算，也应该先算_______，后算_______;有括号时，先算______的.21教育网
计算下列各式：
；（2）；
；（4）.
谈一谈你在运算时，用到了哪些运算律和乘法公式.
答：___________________________________________________________________________.
NOTE：乘法公式在实数范围内也是成立的.
计算下列各式：
自学自测
计算下列各式：
；（2）；
；（4）.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点一：加、减、乘、除的混合运算
问题：计算：
(1)÷－×＋；(2)÷×－.
【归纳总结】二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．21世纪教育网版权所有
【针对训练】
计算：
探究点二：利用乘法公式化简二次根式
问题1：计算：(1)(＋)(－)；(2)(3－2)2－(3＋2)2.
【归纳总结】多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．21·cn·jy·com
【针对训练】
计算：
问题2：计算：
(1)；(2)＋.
【归纳总结】把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以一项的二次根式，使得分母能写成×的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是＋，则分子、分母同乘以－.21cnjy.com
【针对训练】
计算：
二、课堂小结
内容
二次根式的混合运算
运算顺序：先算______(或开方)，再算______，最后算________，如果有括号就先算括号里的.
运算律：实数运算中的运算律和整式乘法中的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用．在进行混合运算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式．
要注意的问题
二次根式的混合运算的结果应写成______二次根式或整式；
进行二次根式开方运算时应使开出的因数(或因式)是________数(或式)；
3.计算时注意观察，有时可利用乘法公式简便运算．即(＋)(－)＝a－b；(±)2＝a±2＋b.
1.计算的结果为（ ）
A.1 B.-1 C. D.
下列计算或化简错误的是（ ）
已知，则
计算下列各式：
化简下列各式：
6.有一直角三角形，两条直角边长分别是和，求此直角三角形的面积.
当堂检测参考答案：
A
B
此直角三角形的面积为
