轴对称图形与等腰三角形
15.1 轴对称图形
第1课时 轴对称图形与轴对称
【学习目标】
1.感受生活中的轴对称图形，理解轴对称图形的概念、性质（重点）
2.能识别简单的轴对称图形，并指出其对称轴（难点）。
【学习过程】
一、学前准备
1.观察教材第113面图案，用自己的话说说这些图形的特征。
2.列举生活中常见的轴对称图形（至少3个）。
3.画出下面图形的对称轴。
4.画一个轴对称图形，并画出它的对称轴。
二．合作探究
1．按教材第114面图16-3右边文字提示折叠蜻蜓图案，
如果一个图形沿着____________折叠，_______两旁的_____能够__________,那么这个图形叫做____________,这条______叫做这个图形的_____________。21教育网
2.完成教材第114面“操作”，再完成第116面练习2，轴对称图形有哪些性质？
3.完成教材第114面练习1，与同学交流完成情况。
4.试一试
如图，把一张纸片对折后，用笔尖在纸上扎出图（3）所示的图案，将纸打开后铺平，观察你所得的图案．位于折痕两侧的部分有什么关系？与同伴交流你的想法．21cnjy.com
【学习检测】
1.计算器中的十个数字中，是轴对称图形的有____________________。
2.26个字母中是轴对称图形的有__________________________。
3.线段有____条对称轴，是___________________,角的对称轴是__________________，等腰三角形的对称轴______________________。21世纪教育网版权所有
4.如图，其中是轴对称图形的是（ ）。
5.图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴。
6.完成下面图案创作。
7.习题15.1第2、3题。
【学习小结】
1、 我的收获：
2、 我的困惑
15.1 轴对称图形
第2课时 平面直角坐标系中的轴对称
【学习目标】
1、了解平面直角坐标系中关于坐标轴对称的两个点的坐标的关系（重点）；
2、能在平面直角坐标系中作出简单的平面图形经过一次轴对称变换后的图形并写出对称点的坐标（难点）
【学习过程】
一．学前准备
1．如图，仿照例子利用“两个圆、两个三角形和两条平行线段”设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义．21cnjy.com
2. 如图: 画△A′B′C′，使它与△ABC关于横轴对称；画△A″B″C″，使它与△ABC关于纵轴对称。21·cn·jy·com
已知点坐标
A（ ）
B( )
C( )
关于横轴对称的点的坐标
A′
B′
C′
关于纵轴对称的点的坐标
A″
B″
C″
二．合作探究
1.阅读教材第117面“思考”，
平面直角坐标系中点P(x,y)关于x轴的对称点P1的坐标是P1 ( , ), 关于y轴的对称点P2的坐标是P2 ( , )。
2..点P（－2，1）关于x轴对称的点的坐标为（ ），关于y轴对称的点的坐标为（ ）。21世纪教育网版权所有
思考：你能归纳某点关于x轴、y 轴对称点的坐标特征吗？
【学习检测】
一、基础性练习
1.习题16.1第4、5、6题
2.已知点A(－2，4)，B(2，4)，C(－1，2)，D(1，2)，E(－3，1)，F(3，1)是平面坐标系内的6个点，很快分别写出它们关于x轴的对称点的坐标和关于y轴的对称点的坐标。
二、扩展性练习
1. 若点P（2a+b，-3a）与点P′（8，b+2）关于x轴对称，则a = ，b= .
2.平面直角坐标系中长方形ABCD,A(-1,1),B(1,1),C(1,0),D(-1,0),在下左图中画出它关于x轴对称的图形，在下右图中将它向下平移1个单位，这两个变换得到的结果一样吗？21教育网
3. 画△A1 B1 C1，，，使它与△ABC关于直线x=1对称.
【学习小结】
1、 我的收获：
2、 我的困惑:
15.2 线段的垂直平分线
【学习目标】
1.会用尺规作线段的垂直平分线。（作图的证明是难点）
2.理解线段的垂直平分线的性质定理及定理的应用。（重点）
3.理解三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
【学习过程】
一、学前准备
1.旧知回顾：互逆命题和互逆定理的概念。
2.线段的垂直平分线性质定理的题设与结论各是什么？
3.证明命题的一般步骤:
二、合作探究一
1.怎样作出一条线段的垂直平分线？
A．在薄纸上画一条线段AB，通过对折点A与点B重合，思考下列问题。
（1）将纸展开后铺平，记折痕所在的直线MN，直线MN与线段AB的交点为O,线段AO与BO的长度有什么关系？21世纪教育网版权所有
?
（2）直线MN与线段AB有怎样的位置关系？
B．怎样用刻度尺画出线段的垂直平分线？（写出你的画法）
C．用尺规怎样作出线段的垂直平分线呢？
（1）自主预习课本，作出线段的垂直平分线
（2）小组合作：你能根据三角形全等的判定定理给出证明吗？（证明时要说清垂直、平分）
?
?2.交流与发现
（1）请同学们在练习本上作线段AB的垂直平分线EF。
（2）在EF上任取一点P，连结PA、PB量出PA= ，PB= 观察这两个值有什么关系？ ?
（3）再取一点P＇试一试，猜想EF上的所有点和点A、点B的距离 。
（4）归纳总结：
线段垂直平分线的性质：
3.尝试证明线段垂直平分线的性质
小贴士：要证明一个图形上每一个点都具有某种性质
只需要在图形上任意取一点作代表即可。
合作探究二
1.写出线段的垂直平分线性质定理的逆命题。
2.试证明其正确性。
给大家提供两种证明方法供参考：（1）过点P作已知线段AB的垂线PO，再证明PO平分AB；（2）取AB的中点O，证明；请选一种方法证明试试。21教育网
3.学习例题，完成本题
已知：如图△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线上．
本例说明，三角形三边的垂直平分线 ，该点到三角形的 的距离相等。21cnjy.com
【学习检测】
一、基础性练习
已知：直线L是线段AB的垂直平分线，C、D是L上的两点。
求证：（1）△ABC、△ABD是等腰三角形；
（2）∠CAD=∠CBD
一、拓展性练习
1．如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.21·cn·jy·com
2. 如图所示，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
3. 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（ ）的垂直平分线上
A．AB B．AC C．BC D．不能确定
4. 下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（ ）www.21-cn-jy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如图，A、B、C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站。要求变电站到三镇的距离相等。请你作出变电站的位置（用P点表示，并说明你的理由）。
·A
·B
·C
15.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质定理及推论
【自学目标】：
使学生掌握等腰三角形的两底角相等及三线合一的性质，并会应用其解决相关问题
【自学重难点】：
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．21世纪教育网版权所有
【自学指导】：
一 、学生看P132---P133并思考一下问题：
等腰三角形的定义是什么？
等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．等腰三角形的两底角有什么关系？顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？21教育网
等腰三角形中，什么是“三线合一”。
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
二、自学检测：
1.如图：△ABC中，
⑴若AB=AC,则_______；
⑵若AB=AC, ∠BAD=∠CAD,则_________，___________；
⑶若AB=AC, BD=CD,则_____，______；
⑷若AB=AC, AD⊥BC,则_____，______
2. 已知:房屋的顶角∠BAC=100度，过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB=AC，
求:顶架上∠B, ∠C, ∠BAD, ∠CAD的度数。
⑴三角形的内角和是多少度？
⑵△ABC中， AB=AC，则∠B和∠C是什么关系？
⑶等腰△ABC中， AD⊥BC，还有无其它特殊性质？
3、等腰三角形的角平分线、高线和中线重合. ( )
4、等腰三角形的底角只能是锐角. ( )
5、等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高. ( )
6、如果等腰三角形有一个角是100°，那么其余两个角一定是40°. ( )
7、已知等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么它的顶角为30° （ )
三、师生共同探讨，总结：
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角” ）
①顶角= ；
②底角= 。
2．三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高线这三线是重合的）：
①AB=AC AD⊥BC
∠1=∠2 BD=CD
②AB=AC ∠1=∠2
AD⊥BC BD=CD
③AB=AC ∠1=∠2
BD=CD AD⊥BC
等腰三角形是 ，只有一条 ，顶角平分线所在的 是它的对称轴
等边三角形的三个内角都 ，且都等于 。
四、例题讲解：
P60例1（小黑板）
五、作业
1.在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的高，∠BAC=49度，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长。
2.在等边△ABC中，点P为等边△ABC的边BC上的一点，且∠APD=80度，AD=AP,求∠DPC的度数。
3.在△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F，连接AF。
求证：∠B=∠CAF.
15.3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定定理及推论
备课时间
201（ ）年（ ）月（ ）日 星期（ ）
学习时间
201（ ）年（ ）月（ ）日 星期（ ）
学习目标
1、探索等腰三角形的判定定理．
2、理解等腰三角形的判定方法及推论
3、通过对等腰三角形的判定定理的探索，体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养利用已有知识解决实际问题的能力．
学习重点
掌握等腰三角形的判定定理及推论．
学习难点
探索等腰三角形的判定定理及推论．
学具使用
多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前20分钟）
1、阅读课本P136 ～137 页，思考下列问题：
（1）等腰三角形的判定方法是什么？你能证明它吗？
（2）课本P137页证明题你能独立解答吗？
（3）由（2）你得到了什么？
（4）等腰三角形的性质1和判定有什么区别和联系？
2、独立思考后我还有以下疑惑：
学习活动
设计意图
二、答疑解惑我最棒（约8分钟）
甲：
乙：
丙：
丁：
同伴互助答疑解惑
三、合作学习探索新知（约15分钟）
1、小组合作分析问题
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
【1】等腰三角形有些什么性质呢？
（1）等腰三角形的两底角相等．
（2）等边三角形三个内角都相等.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
【2】思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
【3】在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
【4】已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．
学习活动
设计意图
求证：AB=AC．
证明：作∠BAC的平分线AD．
在△BAD和△CAD中
∴△BAD≌△CAD（AAS）．
∴AB=AC．
四、归纳总结巩固新知（约15分钟）
1、知识点的归纳总结：
◆等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）
【1】求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE是△ABC的外角，
∠1=∠2，AD∥BC（如图）．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
学习活动
设计意图
【2】已知：线段a,h
求作：等腰△ABC，BC=a,AD=h
作法：（1）作线段BC，使BC=a,
（2）作BC的垂直平分线MN，交BC于D，（BC的中点）
（3）在MN上截取DA=h,得A点，连结AB、AC，
则△ABC即为所求等腰△。
五、课堂小测（约5分钟）
六、独立作业我能行
七、课后反思：
1、学习目标完成情况反思：
15.3 等腰三角形
第3课时 直角三角形中30°角的性质定理
学习目标：
理解并证明直角三角形的性质：30°角所对的直角边是斜边的一半
学前准备：
一、思考并证明：
写出等腰三角形性质及判定定理
2、推理说明：
30°角所对的直角边是斜边的一半
二、探究新知：
1、测量一下30°角的直角三角板的三边长，发现了什么？
2、阅读教材相关内容，推导：在Rt△ABC中，∠C是直角，∠A＝30°，则BC＝AB
自我疑惑
自学小结
15.4 角的平分线
第1课时 角平分线的尺规作图
【学习目标】1、会画已知角的平分线 2、能通过逻辑推理验证所作图形是角平分线
【学习重点】掌握尺规作已知角的平分线的作法
【学习难点】从作图过程中找到已知条件，通过逻辑推理验证所作图形为角平分线
【教学流程】
学习流程（教学流程）
学法指导
（个性修改）
指导：边作图边口述作图步骤和作法。
指导：倒推法进行分析，由问题入手倒推到已知条件。
一、新课导入：
师：同学们，请大家观察我手中的三角形，如果我要将其中一个角分成两个相等的角，你有哪些方法？
生：用量角器量、翻折、用直尺和圆规
师：①本节课我们就学习用没有刻度的直尺和圆规画已知角的平分线（出示课题），这节课我们要掌握哪些知识呢？让我们一起来了解一下学习目标。
②若学生说不出用尺规作图,则这样引导:前面我们学习了用尺规作图的方法可以画一条线段等于已知线段,画一个角等于已经角,那么用尺规作图的方法可否画这个角的平分线呢?这就是我们今天要学习的内容.
二、展示目标：（大家齐读一遍，教师解读目标）
1、掌握尺规的基本作图三：画已知角的平分线
2、能通过逻辑推理验证所作图形是角平分线
过渡：为了达成学习目标，同时培养大家的学习能力，今天，我们的课堂要改变传统的方式，今天的课堂由同学们作主，同学们就是小老师，现在就请各个小组的同学按照老师提前分给你们的任务，进行对学、群学和预展，为展示做好充分的准备。（是否要规定时间）
三、学习导引：
1、引出角平分线作法。
过渡：刚才的这一环节每个组的同学都表现得非常好，所以老师要给每个组加上满分4分，现在就有请PK小组决出胜负。下面掌声有请第一个展示小组为大家展示“利用尺规如何作一个角的角平分线。”
师：刚才这位老师已经为我们展示了整个作图的过程，那么，我们可以把这个过程分成几步呢？
生：多媒体演示作图过程，学生口述作法
师：在第二步时为什么要取大于线段BC长的一半为半径画弧呢？
生：充分思考，讨论交流，抽学生上台演示小于一半不能产生交点。
师：同学们，记得作完图后还要作答（多媒体展示）
2、验证所作射线为角平分线。
过渡：同学们，第一个展示小组为我们介绍了怎样画一个角的平分线？他们画出的就一定是角平分线吗？如果是，如何验证呢？下面有请第二个展示小组为大家介绍他们的验证思路。
师：这个小组通过“边边边”证三角形全等验证了所作的射线就是角平分线，这说明这种作角平分线的方法是可行的。
师：既然可行，那就请同学们拿出你的作图工具，完成巩固提升练习1、2题。
三、小组合作，展示提升。
1、如图，已知∠A，试作∠B= ∠A （不写作法，保留作图痕迹）
2、如图所示，作出△ABC三个内角的角平分线，然后观察有什么特点？（不写作法，保留作图痕迹）
四、课外思考题。
先作平角∠AOB的平分线ＯＣ，然后反向延长OC得到直线ＣＤ，则直线ＣＤ与直线ＡＢ是什么关系？
(一)引入?同学们，通过前面的学习，大家知道运用没有刻度的直尺和圆规画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角。首先，我要检查大家对前面2个基本作图的掌握情况。那么利用尺规还能画角平分线吗??
(二)新课?
前面我们学习了用尺规画线段，那么你能利用尺规作图将一个角两等分吗?
利用尺规作图画角平分线.?
请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一个角的平分线.?
已知∠AOB，用直尺和圆规准确地画出已知∠AOB的平分线.?
请各小组同学讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.?
例1 已知∠α与∠β，求作一个角，使它等于(∠α+∠β)的一半.?
分析：要完成这个作图，先作出等于(∠α+∠β)的角，再作平分线即可.? 已知、求作、作法由学生自行完成.(略)?
例2 已知三角形中的一个角，此角的平分线长，以及这个角的一边长，求作三角形.?
分析：首先作出符合条件的图形草图，分析图形的特征，然后确定作图的顺序，写出已知、求作、作法，作图中遇到属于基本作图的，只叙述基本作图即可.
已知：∠α，以及线段b、c(b＜c).?
求作：△ABC，使得∠BAC=∠α，AB=c，∠BAC的平分线AD=b.?
作法：(1)作∠MAN=∠α.?
(2)作∠MAN的平分线AE.?
(3)在AM上截取AB=c，在AE上截取AD=b.?
(4)连结BD，并延长交AN于点C.?
△ABC就是所画的三角形.(如图)?
例3 已知三角形的一边及这边上的中线和高(中线长大于高)，求作三角形.同学们先自主思考探索，然后各小组同学讨论、交流、归纳出具体的作图方
法.再请学生代表上黑板示范，并解释原由.?
例4 已知直线和直线外两点(过这两点的直线与已知直线不垂直)，利用尺规作图在直线上求作一点，使其到直线外已知两点的距离和最小.?
同学们先自主思考，然后各小组交流意见，完成作图.?
练习教材练习第1、2题.?
(三)小结?
1.尺规作图的五种常用基本作图.?
2.掌握一些规范的几何作图语句.?
3.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述即可.?
4.解决尺规作图问题，先作出符合条件的图形草图，再确定具体的作图方法.?
15.4 角的平分线
第2课时 角平分线的性质及判定
【学习目标】
1.理解角平分线的性质定理。（重点）
2.能运用角平分线的性质定理去解决问题。（是重点也是难点）
3.理解角平分线的性质定理的逆定理，会用该定理去解题（重点）。
4.理解三角形的三个内角的平分线相交于一点，该点到三角形三边的距离相等。
【学习过程】
一、学前准备
复习旧知：
叫做角平分线；
怎样用圆规和直尺作角平分线？
3．角是 对称图形， 是它的对称轴。
4.角平分线的性质定理是 。
5.这个定理的题设是 ，结论是 。
6.你能写出上述定理的逆命题吗？
二、合作探究
㈠操作：1.作∠AOB的平分线OM，在OM上取点P，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，C、D是垂足。
2.量一量：PC、PD的长分别是多少？你有什么发现？
猜一猜：角平分线上的点具有什么性质？
㈡根据你猜想的结论，写出这个问题的已知、求证、证明。
㈢形成结论：角平分线上的点到 距离相等。
㈣例题解析
1.△ABC中，AD是平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足。
求证：EB=FC
2．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F,FG⊥AB，垂足为G。21世纪教育网版权所有
求证：CE=FG
根据所写的逆命题画出图形，写出、已知、求证并尝试证明：
总结：在一个角的内部， 的点在这个角的平分线上。
阅读教材P145的例题，完成下列问题
已知：△ABC中，∠A、∠B的平分线AD、BE相交于点P。
求证：CP平分∠ACB
本例说明，三角形三个内角的平分线 一点，这点到
的 距离相等。
【学习检测】
一、基础性练习
1.已知：在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.判断下列结论是否正确：21教育网
⑴DE=DF （ ）
⑵BD=CD （ ）
⑶AD上任一点到AB、AC的距离相等。 （ ）
⑷AD上任一点到点B、C的距离相等。 （ ）
2. 已知：在△ABC中，AD是平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足。
求证：∠B=∠C
3.如图所示，求作一点P，使P到∠AOB的两边的距离相等，且PM=PN
4.已知：如图，△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于一点D。求证：AD是∠BAC的平分线。
拓展性练习
5.到三角形三边所在的直线距离相等的点有几个？它们是怎样找到的？
