反证法
专题 用反证法证明一个命题是真命题
1.已知，如图有a,b,c三条直线，且a∥c，b∥c.求证：a∥b.
2.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等.
3.试证明：两直线相交有且只有一个交点．
参考答案
1.证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.那么过点A就有两条直线a与b和直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，∴假设不成立. ∴a∥b.
2.证明：假设在一个三角形中，这两个角所对的边相等，那么根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等.21世纪教育网版权所有
3.解：已知直线a，b，求证：直线a，b相交时只有一个交点P．
证明：假设a，b相交时不止一个交点P，不妨设其他交点中有一个为P′，
则点P和点P′在直线a上又在直线b上，
那么经过P和P′的直线就有两条，
这与“两点决定一条直线”相矛盾，
因此假设不成立，
所以两条直线相交只有一个交点．
专题 应用HL解决问题
1. 如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF=DF
2. 如图（1），A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，
（1）若AB=CD，求证：BD平分EF.
（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图(2)时，其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由.21教育网
参考答案
1.证明：连结AC、AD,
∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED(SAS).∴AC=AD.
又∵AF⊥CD，∴∠AFC＝∠AFD＝90°.
又∵AF=AF,∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL).∴CF=DF.
2.解：（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即：AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）.21世纪教育网版权所有
∴BF=DE在△BFG和△DEG中，∵∠BFG＝∠DEG ，∠BGF＝∠DGE， BF=DE，
∴△BFG≌Rt△DEG（AAS）.∴FG=EG，故BD平分EF.
（2）成立.理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°.∵AE=CF，∴AE-EF=CF-EF，即：AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）.21cnjy.com
∴BF=DE，△BFG和△DEG中，∵∠BFG＝∠DEG ，∠BGF＝∠DGE， BF=DE，
∴△BFG≌Rt△DEG（AAS）.∴FG=EG，故BD平分EF.
专题一 勾股定理与方程
1．如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3， AB=6，∠BCA=90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（ ）
A．6 B．3 C． D．
2．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝ 米时,有DC＝AE＋BC.
专题二 构造直角三角形
3.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．
4．如图，在四边形ABCD中，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且∠ABC=90°，求∠DAB的度数.
专题三 勾股定理中的分类讨论思想
5.在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是 ．
6.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_______.
7. 在△ABC中， AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．21教育网
参考答案
1.C 解析：由折叠可知BC=BA=6，DE=AE，∵BC=3，∴CD=BC=3，∴BE=DE=AE，由勾股定理可得AC=，设DE=AE=BE=x，在Rt△BCE中，32＋=x2，解得x=，即DE的长度为.
2. 解析：因为∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米，所以AC＝12米.设当AE为 x时，所以EC＝
12－x，由DC＝AE＋BC及DC2＝DE2＋EC2，所以有22＋（12－x）2＝x2＋36，解得x＝.
3.解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.
∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，
∴BD＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD＋BD＝3＋.
答：AB的长是3＋．
4．解：连结AC.设AB、BC、CD、DA分别为2x，2x，3x，x，则，∴，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=90°+45°=135°.21世纪教育网版权所有
5. 或4或4
解析：（1）如图①，当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=AC=×8=4；
（2）如图②，当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴BD=，
∴CD==4；
（3）如图③，当AC=BC时，则AD=4，设CD=x，则AC=2x. 则，解得x=.
故答案为：或4或4．
6.42或32 解析：当△ABC是锐角三角形时，如图①，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=14,此时△ABC的周长为15+13+14=42；21cnjy.com
当△ABC是钝角三角形时，如图②，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,∴BC=9-5=4,此时△ABC的周长为15+13+4=32.21·cn·jy·com
8.解：∵AC=4，BC=2，AB=，∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况如图(1)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E．易证△ACB≌△BED，易求CD=2；
如图(2)，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA，易求CD=2；
如图(3)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
易证△AFD≌△DEB，易求CD=3.
∴CD的长为2或2或3.
等腰三角形
专题一 等腰三角形的性质和判定的应用
1.已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连结BD，将△BCD绕点 B逆时针旋转60°，得到△BAE，连结ED．若BC＝10，BD ＝9，则△AED的周长是 ．2·1·c·n·j·y
3.在等腰△ABC中，AB=AC，MN是AB的垂直平分线，MN与AB相交于D点，与AC所在的直线相交于E点，若∠AED=40°，则∠EBC的度数为______.21·世纪*教育网
4如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．
若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数；
若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数；
（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）
专题二 等腰（边）三角形中的动点问题
5.已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M，的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论。www.21-cn-jy.com
测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______。
6.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B，重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．www-2-1-cnjy-com
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或“小”）；2-1-c-n-j-y
当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D运动的程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
7．阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连结AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB?r1+AC?r2=AB?h，∴r1+r2=h（定值）． （1）类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．21教育网
（2）理解与应用 △ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _____．若不存在，请说明理由．21·cn·jy·com
参考答案
1.C 解析：根据题意得2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，所以，所以a=b=c，所以△ABC是等边三角形.21世纪教育网版权所有
2. 19 解析：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC＝10. ∵△BAE由△BCD逆时针旋旋转
60°得出，∴AE＝CD，BD＝BE，∠EBD＝60°，∴AE＋AD＝AD＋CD＝AC＝10，
∵∠EBD＝60°，BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD＝9，
∴△AED的周长＝AE＋AD＋DE＝AC＋BD＝19．故答案为19．
3. 15°或75°解析：如图①，∵E在AB的垂直平分线上，∴EA=EB，可得∠EBA=∠A=90°－
40°=50°. ∵AB=AC，∴∠CBA=∠C==65°，∴∠EBC=15°；
如图②，∵E在AB的垂直平分线上，∴EA=EB，可得∠EBA=∠EAB=90°?40°=50°. ∵AB=AC，∴∠CBA=∠C=∠EAB=25°，∴∠EBC=25°+50°=75°.21cnjy.com
4.解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB.
∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形，
即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；
EF与BE、CF之间的关系是EF=BE+CF，
理由是：∵BE=OE，CF=OF， ∴EF=BE+CF．
（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCG.
∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形，
即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；EF与BE、CF之间的关系是EF=BE-CF，
理由是：∵BE=OE，CF=OF，∴EF=OE-OF=BE-CF．
5. 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=45°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°.
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-30°=60°，
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°-∠DAC）=60°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=75°-60°=15°，
答：∠EDC的度数是15°．
（2）与（1）类似：∠B=∠C=（180°-∠BAC）=90°-α，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°-α+30°=120°-α.
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=α-30°，∴∠ADE=∠AED=（180°-∠DAC）=105°-α，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=（120°-α）-（105°-α）=15°，
答：∠EDC的度数是15°．
（3）∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC=∠BAD．
5.解： 60°，60°，60°.
证明:BM=CN；∠ABM=∠BCN=60°；BA=BC.则⊿ABM≌ΔBCN(SAS),∠M=∠N;【来源：21·世纪·教育·网】
所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠C =60°.
6.解：（1）∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2）当△ABD≌△DCE时．DC=AB，∵AB=2，∴DC=2，∴当DC等于2时，△ABD≌△DCE；
（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
7.解：连接AP，BP，CP.则，即：，∵AB=BC=AC，所以r1+r2+r3=h（定值）．
（2）存在；2.
等腰三角形
一．选择题（共8小题）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）21cnjy.com
A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD
2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A． 80° B． 80°或20° C． 80°或50° D． 20°
3．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A． 20或16 B． 20 C． 16 D． 以上答案均不对
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，
则∠BDC的度数是（ ）
A． 60° B． 70° C． 75° D． 80°
5．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）
A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或13
6．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）21·cn·jy·com
A． 80° B． 70° C． 60° D． 50°
在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和
12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A． 7 B． 11 C． 7或11 D． 7或10
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A． 60° B． 120° C． 60°或150° D． 60°或120°
二．填空题（共10小题）
9．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是 ．
10．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= ．
第10题 第11题 第12题 第13题21教育网
11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，则∠B= °．
12．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=_________ ．
14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=_________ °．
15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=10cm，则AB+BD= cm．www.21-cn-jy.com
16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为 ．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C= ．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF= 度．2·1·c·n·j·y
三．解答题（共5小题）
19．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．【来源：21·世纪·教育·网】
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
求证：（1）△ABD≌△ACD；
（2）BE=CE．
21．（2009?河南）如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．21世纪教育网版权所有
参考答案
一、CBBCDCCD
二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、10；
16、72；17、70；18、50
三、19、证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB=∠OEC=90°．
∵O是底边BC上的中点，
∴OB=OC，
在△OBD与△OCE中，
∴△OBD≌△OCE（AAS）．
∴BD=CE．
∵AB=AC，
∴AB﹣BD=AC﹣CE．
即AD=AE．
20、证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
（2）由（1）知△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE （SAS），
∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．
（其他正确证法同样给分）
21、解：OE⊥AB．
证明：在△BAC和△ABD中，，
∴△BAC≌△ABD（SAS）．
∴∠C=∠D，∵∠AOC=∠BOD, AC=BD, ∴△AOC≌△BOD
∴OA=OB．
又∵AE=BE，∴OE⊥AB．
答：OE⊥AB．
等腰三角形
一．选择题（共7小题）
1．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为 （ ）
A．36° B．60° C．72° D．108°
2．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为 （ ）21·cn·jy·com
A．11 B．16 C．17 D．16或17
3．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米 （ ）2·1·c·n·j·y
A．50 B．50或40
C．50或40或30 D．50或30或20
4．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是21教育网
①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE． （ ）21·世纪*教育网
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为 （ ）www-2-1-cnjy-com
A．2.5 B．1.5 C．2 D．1
6．如图所示．△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD=50°，AE=AD，则∠EDC的度数为 （ ）www.21-cn-jy.com
A．15° B．25° C．30° D．50°
7．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有 （ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共8小题）
8．一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，则该大等腰三角形顶角的度数是 ．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
10．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 （度）．2-1-c-n-j-y
11．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角应该为 ．
12．在△ABC中，∠A=100°，当∠B= °时，△ABC是等腰三角形．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为 秒．（结果可含根号）． 21*cnjy*com
15．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于 ．【来源：21cnj*y.co*m】
三．解答题（共8小题）
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
17．已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC．
18．如图，已知△ABC中，AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．
求证：DE+DF=BG．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
21．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．21世纪教育网版权所有
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？21cnjy.com
第十七章检测卷
时间：120分钟 满分：120分
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、选择题(第1～10小题，每小题3分，第11～16小题，每小题2分，共42分)
1．如图，△ABC中，AB＝AC，若∠B＝65°，则∠A的度数为( )
A．70°
B．55°
C．50°
D．40°
2．(桂林中考)下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )
A．30，40，50 B．7，12，13
C．5，9，12 D．3，4，6
3．若等腰三角形的一个内角是30°，则它的顶角是( )
A．120° B．30° C．120°或30° D．60°
4．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则的值为( )
A. B. C. D.
第4题图 第6题图
5．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是( )
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等
6．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于( )
A．60° B．70° C．50° D．40°
7．(赵县校级月考)如图，在长方形ABCD中，CD与BC的长度比为5∶12，若该长方形的周长为34，则BD的长为( )21·世纪*教育网
A．13 B．12 C．8 D．10
第7题图 第8题图
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，BC＝BD，DE⊥AB交AC于点E.△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为( )21教育名师原创作品
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在等边△ABC中，AD是BC边的中线，DE⊥AB，垂足为E，等边△ABC的边长是6cm，则BE的长为( )21*cnjy*com
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．2.5cm
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为AC、AB上的点．若DE＝DC，BC＝BE，∠A＝40°，则∠BDC等于( )21教育网
A．40° B．50° C．60° D．65°
11．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠B＝60°，则图中与CD(本身除外)相等的线段有( )2·1·c·n·j·y
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
12．(铜仁中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为( )21*cnjy*com
A．3 B. C．5 D.
第12题图第13题图 第14题图
13．(唐山市丰润区期中)如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
14．如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上)，那么△DEF与△ABC的周长比为( )
A．4∶1 B．3∶1 C．2∶1 D.∶1
15．(河北模拟)图①为一个长方体，AD＝AB＝10，AE＝6，M，N为所在棱的中点，图②为图①的表面展开图，则图②中MN的长度为( )
A．11 B．10 C．10 D．8
16．(秦皇岛卢龙县期末)已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP.其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
二、填空题(每小题3分，共12分)
17．一个三角形的三个内角的度数比是1：1：2，则这个三角形是____________三角形．
18．(吉林中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm.将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF和△BDF的周长之和为________cm.
第18题图 第19题图
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP.以上结论始终正确的有________(填正确答案的序号)．
20．(沧州市期末)如图，∠BOC＝10°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．
三、解答题(共66分)
21．(10分)如图所示，等边△ABC中，EF⊥AB，E为垂足，交BC于点D，交AC的延长线于点F，判断△CDF的形状，并证明．21·cn·jy·com
22．(10分)如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD⊥AB.
求证：(1)CE是Rt△ABC的中线；(2)AB＝2BC.
23．(10分)小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？
24．(11分)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【来源：21·世纪·教育·网】
25．(11分)(临沭期末)如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC＋CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
26．(14分)(廊坊市文定县期末)已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE.2-1-c-n-j-y
(1)如图①，当点D在边BC上时，求证：
①△ABD≌△ACE；
②BC＝DC＋CE；
(2)如图②，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．www-2-1-cnjy-com
参考答案与解析
1．C 2.A 3.C 4.D 5.D
6．B 7.A 8.A 9.B 10.D
11．C 12.B 13.D 14.D 15.A
16．D 解析：如图①，连接OB.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°－∠BAD＝30°.∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确；∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∴∠APC＋∠DCP＝150°.∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°－(∠OPC＋∠OCP)＝60°.∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形；故②正确；www.21-cn-jy.com
如图②，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°－∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO＋∠OPE＝60°.∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE.在△OPA和△CPE中，∵∴△OPA≌△CPE(SAS)，∴AO＝CE，∴AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故③正确；如图③，过点C作CH⊥AP于H，∵∠PAC＝∠DAC＝60°，AD⊥BC，∴CH＝CD，∴S△ABC＝AB·CH，S四边形AOCP＝S△ACP＋S△AOC＝AP·CH＋OA·CD＝AP·CH＋OA·CH＝CH·(AP＋OA)＝CH·AC，∴S△ABC＝S四边形AOCP；故④正确．故选D.【来源：21cnj*y.co*m】
17．等腰直角 18.42 19.①②③
20．8 解析：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1…则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A…∵∠BOC＝10°，∴∠A1AB＝20°，∠A2A1C＝30°，∠A3A2B＝40°，∠A4A3C＝50°…∴10°n＜90°，解得n＜9.由于n为整数，故n＝8.故答案为8.21cnjy.com
21．解：△CDF为等腰三角形．(2分)证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°.(4分)∵EF⊥AB，∴∠BED＝90°.∴∠EDB＝30°，∠F＝30°，∴∠CDF＝∠F，(8分)∴CD＝CF，∴△CDF是等腰三角形．(10分)【出处：21教育名师】
22．证明：(1)∵CD、CE三等分∠ACB，∴∠BCD＝∠DCE＝∠ACE＝×90°＝30°.∵在Rt△CDB中，∠DCB＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.又∵∠ECB＝30°＋30°＝60°，∴CE＝BE.在△ABC中，∠B＝60°，∴∠A＝30°＝∠ACE，∴AE＝CE，∴AE＝BE.即CE是Rt△ABC的中线；(7分)
(2)在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC.(10分)
23．解：设竹竿长x米，(3分)由题意知大门高(x－1)米，32＋(x－1)2＝x2，(6分)解得x＝5.(8分)【版权所有：21教育】
答：竹竿长为5米．(10分)
24．解：如图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，(3分)另一条直角边长5×3＝15(尺)，202＋152＝625＝252，因此斜边长为25尺，(10分)故葛藤的最短长度是25尺．(11分)
25．解：设BC＝xcm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．(2分)∵BC＋CD＝34cm，∴CD＝(34－x)cm.在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝36＋x2，(4分)在Rt△ACD中，AC2＝CD2－AD2＝(34－x)2－576，∴36＋x2＝(34－x)2－576，(8分)解得x＝8.(10分)∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．(11分)21世纪教育网版权所有
26．(1)证明：①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC.(3分)在△ABD和△ACE中，
∵∴△ABD≌△ACE(SAS)．(6分)
②∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.∵BC＝BD＋CD，∴BC＝CE＋CD；(8分)
(2)BC＋CD＝CE.(9分)证明如下：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE.∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC.(11分)在△ABD和△ACE中，∵∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE.∵BD＝BC＋CD，∴CE＝BC＋CD.(14分)
