全等图形
自我小测
1．如图13–2–15所示，已知△ABC≌△BAD，点A，C的对应点分别为B，D，如果AB=5
cm，BC=7
cm，AC=10
cm，那么BD等于(
)
A．10
cm
B．7
cm
C．5
cm
D．不确定
2．已知△ABC≌△A′B′C′，且AB=4，∠C′=30°，则A′B′=
，∠C=
．
图13–2–15
图13–2–16
图13–2–17
3．如图13–2–16所示，沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，若AD=7cm，DM=5
cm，∠DAM=30°，则AN=
cm，NM=
cm，∠NAM=
．
4．如图13–2–17所示，已知△ABC≌△ADE，∠DFB=90°，∠B=25°，∠CAF=15°，求∠E和∠DGB的度数．
5．指出图13–2–18中的全等图形．
图13–2–18
参考答案
1．A
解析：∵△ABC≌△BAD，∴BD=AC．∵AC=10
cm，∴BD=10
cm．
2．4
30°
解析：∵△ABC≌△A′B′C′，∴A′B′=AB=4，∠C=∠C′=30°．
3．7
5
30°
解析：由折叠知：△ADM≌△ANM，∴AN=AD=7cm，MN=MD=5
cm，∠NAM=∠DAM=30°．
4．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB=∠E，∠B=∠D．在Rt△ACF中，∠CAF=15°，∠AFC=90°，∴∠ACB=90°+∠CAF=105°，∴∠E=∠ACB=105°．在Rt△DGF中，∠D+∠DOF=90°，∴∠DGB=90°－∠D=90°－∠B=90°－25°=65°．
5．解：(1)和(10)，(2)和(12)，(3)和(13)，(6)和(9)．全等图形
一、填空题
1.如图，BC平分∠ABD，AB=DB，P为BC上一点，要证∠CAP=∠CDP，应先证________≌___________；得__________=____________，___________=___________；继而有△PAC≌________，理由是___________.
2.如图，△ABD≌△ACE，AE=3cm，AC=5cm，则CD=___________cm.
3.若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、__________或__________与另一个三角形完全重合。
4．如图，在△ABC和△DEF，若AB=DE，BE=CF,要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件（只要写出一个就可以）是_________.
5.已知：如图，AB//CD，点O为AC的中点，则图中相等的线段（除OA=OC外）有___________.
6.已知：如图AB//CD，AD//BC，点E，F分别为BD上两点，要使△BCF≌△DAE，还需添加一个条件（只需一个条件）是__________.
7.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠DAE，D为BE上一点，且∠ADE+∠AEC=180°，则AD=_______.
8.在△ABC与△MNP中，①AB=MN，②BC=NP，③AC=MP，④∠A=∠M，⑤∠B=∠N，⑥∠C=∠P，从这六个条件中任选三个条件，能判定△ABC与△MNP全等的方法共有__________种.
9.铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距26km，C，D为两村庄（视为两点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B(如图)，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建设一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站________km处.
二、选择题：
10.已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=56°，则高BD于BC的夹角为（
）
A、28°
B、34°
C、68° D、62°
11．在ΔABC中，AB=3,AC=4,延长BC至D，使CD=BC,连接AD，则AD的取值范围是（
）
A.1
B.2C.2.5D.5 12．如图，在ΔABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB与点E，且AB=6，则ΔDEB的周长为(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
13．点P为ΔABC的外角平分线上一点（与C点不重合），则PA+PB与AC+BC的大小关系为（
）
A.
PA+PB>AC+BC
B.
PA+PB=AC+BC
C.
PA+PBD.
无法比较大小
14．已知如图，D是ΔABC边AB上一点，DF交AC与点E，DE=EF，FC//AB，若BD=2，CF=5，则AB=(
)
A.1
B.3
C.5
D.7
15．如图，ΔABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与ΔABC全等，则这样的三角形最多可以画出（
）
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
16．如图，在ΔABC中，AB=AC,高BD,CE交与点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形(
)
A.7对
B.6对
C.5对
D.4对
17．如图，在ΔABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB与点E，若ΔDEB的周长为10cm，则斜边AB的长为(
)
A.8cm
B.10cm
C.12cm
D.20cm
18．如图，ΔABC与ΔBDE均为等边三角形，AB）
A.AE=CD
B.AE>CD
C.AED.无法确定
19．已知∠P=80°,过不在∠P上一点Q作QM，QN分别垂直与∠P的两边，垂足为M，N则∠Q的度数等于(
)
A.10°
B.80°
C.100°
D.80°或100°
三、解答题
20．已知如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE为BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，在直线CD上截取CD=AE.
求证：
（1）BD⊥BC；
（2）若AC=12cm，求BD的长。
21．探究题：“有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等”这一命题是否成立？若成立，请证之；若不成立，请试举一反例，并将命题作适当改正，使之成为一真命题。
22．能够互相重合的多边形叫做全等形，即如果两个多边形对应角相等，那么两个多边形一定全等。但判定两个三角形全等只需三组对应量相等即可，如SAS，SSS等，但如果要判定两个四边形全等仅有四组对应量相等是不够的，必须具备至少五组对应量相等。
（1）请写出两个四边形全等的一种判定方法（五组量对应相等）____________。
（2）如图，简要证明你的判定方法是正确的。
（3）举例说明仅有四边相等的两个四边形不一定全等（画出图形并简要证明）。
参考答案
1．ΔABC
ΔDBC
AC
DC
∠ACP
∠DCP
ΔPDC
SAS
2．2
3．翻转
旋转
4．AC=DF
5．BO=DO，AB=DC
6．BF=DE
7．AE
8．10
9．km
10．A
11．D
12．B
13．A
14．D
15．B
16．A
17．B
18．A
19．D
20．（1）由∠DCB+∠AEC=90°,∠AEC+∠EAC=90°,得∠EAC=∠DCB，在
ΔDBC和ΔECA中,
可知ΔDBC≌ΔECA.有∠ACE=∠DBC=90°，故BD⊥BC.
（2）AC=BC，E是BC的中点，
故，
又ΔDBC≌ΔECA，EC=DB.
由AC=12cm，故EC=6cm，DB=6cm.
21．这个命题是假命题，举一反例即可。
22．（1）∠D=∠D′，AD=A′D′，DC=D′C′，BC=B′C′，AB=A′B′.
（2）连AC
在ΔADC和ΔA′D′C′中，
,
可得ΔADC≌ΔA′D′C′，
故AC=A′C′,
易证：ΔACB≌ΔA′C′B′,
从而获得四边形ABCD和四边形A′B′C′D′对应角，对应边均相等。
即四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′。
（3）举一凸四边形和一凹四边形。全等图形
1.
你能沿虚线把下面图形划分成两个全等图形吗？请找出三种方法．
答案：
2.
你能把如图所示的一个三条边都相等的三角形分成两个全等的图形吗？能分成三个、四个、六个全等的图形吗？怎么分？
答案：
3.
你能把一个正方形分成八个全等的三角形吗？怎么分，请画出来．
答案：方法多种，答案不惟一．
4.
你能把圆分成3个、4个、5个全等的图形吗？
答案：只需将圆心角(360)3等分、4等分、5等分即可，如图所示
5.
在一个正方形的花园里，要怎样修建小路才能使这些小路正好把花园分成4个全等的三角形？如果要分成8个全等的三角形呢？
答案：
6.
你能把正方形分成2个、4个、8个全等的图形吗？
答案：分法可分别如下所示：
7.
在的方格纸上，沿着格线，把正方形划分为四个全等的图形，你可以得到几种不同的图形？
答案：每一种图形只能由4个小方格组成，考虑到的限制，只能得到5种，如图所示：
8.
找出下列图中的全等图形．
答案：根据全等形的定义得全等形有天鹅、荷花．
9.
你能把一个长方形分成两个全等的图形吗？怎么分？能分成三个全等的图形吗？若要分成四个、六个、八个、九个全等的图形，怎么分？
答案：能，如图所示
10.
图展示了沿网格可以将一个每边有4格的正方形分割成两个相同的部分．找出五种其他分割的方法．同样，你能将图和图中的每一个图形分割成相同的两部分吗？
答案：
11.
你能把下边的矩形分成两个全等的三角形吗？能分成四个全等的三角形吗？
答案：(1)分成两个全等的三角形；
(2)分成四个全等的三角形．
12.
请你说出实际生活中见到的全等图形的例子．
答案：答案不惟一，略．
13.
如图，正方形中有十二棵树，请你把这个正方形划分为四小块，要求每块的形状、大小都相同，并且每块中恰好有三棵树．
]
答案：
14..
走在马路上或是公园的小路上，你有没有发现地上铺的地砖有的虽然非常简单，却能拼出美丽的图案来？构成图案的每一块地砖都是全等的吗？你能否自己设计一种地砖，让每一块地砖都是全等的，而且能拼出美丽的图案？
答案：答案不惟一，略．
15.
将如图所示的小平行四边形的边三等分，分点为，过作的平行线，交于点，得多边形，请用四个这样的小多边形，拼成一个形状相同的大多边形．
答案：
16.
仔细观察下图这幅由“箭头”组成的“风车”图案，你能说出它的绘制过程吗？请你动手做一做，更多的“箭头”会拼出怎样的图案？
答案：从一个菱形出发制作箭头，再拼成“风车”图案．
（1）
（2）
（2）
（1）
120
90
72
8个
EMBED
Equation.DSMT4
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
a
b
c
c
a
b全等图形
专题一
全等图形在日常生活中的应用
1.如图有一块正方形的土地，要在上面修筑两条笔直的道路，将这片土地分成形状相同、面积相等的四部分，请设计三种不同的修筑方案（在给出的三个正方形上分别画图，并简述画图步骤）.
2.如图有一块正方形的地，其中有A、B、C、D四眼机井，把这块地分成形状、大小完全相同的四块，且每块中都有一眼井，应如何分？
专题二
全等三角形性质的应用
3.
在△ABC中，∠A=∠B，若△DEF≌△ABC，且△DEF中有一角是100°，则这个角在△ABC中的对应角是（
）
A.
∠A
B.∠B
C.∠C
D.
∠A或∠B
4.
如图所示，在△ABC中，AB=11
cm，BC=8
cm，AC=6
cm，沿着过点B的直线折叠，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为_______cm.
5.
如图，△ABE和△ACD是由△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠BAC=140°，则∠α=_______.
6.如图，△ABC≌△DEF，且B、C、F、E在同一直线上，判断AC与DF的位置关系，并证明.
参考答案
1.解：如图所示，（1）连结正方形的两条对角线，其对角线把此正方形分成四个全等的三角形；（2）连结两组对边的中点，把正方形分成四个全等的小正方形；（3）过正方形的中心作任意两条互相垂直的直线，则可把此正方形分成四个全等的部分.
2.解：如图所示分法.
3.C
解析：∵∠A=∠B，故在△ABC中，∠A和∠B不可能为100°.
4.9解析：由折叠知△BED≌△BCD，∴BE=BC=8
cm，DE=DC，AE=AB-BE=3（cm），△AED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm）.
5.80°解析：由折叠知△BAC≌△BAE≌△DAC，∴∠ABC=∠ABE，∠ACB=∠ACD.∵∠ABC+∠ACB=
180°-∠BAC=40°，∴∠EBC+∠DCB=80°，∴∠α=∠EBC+∠DCB=80°.
6.解：AC∥DF，证明：∵
△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴180°-∠ACB=180°-∠DFE，即∠ACF=∠DFC，∴AC∥DF.