2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.8 函数与方程
考纲剖析
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
知识回顾
1．函数的零点
(1)函数的零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程的根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与 有交点?函数y＝f(x)有 ．
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在闭区间[a，b]上连续；② ；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
精讲方法
1、零点的判定
（1）解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。
（2）用定理：零点存在性定理。
注：如果函数在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且是函数在这个区间上的一个零点，但不一定成立。
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
2、函数零点个数的判定
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间［a,b］上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.21·cn·jy·com
3、与二次函数有关的零点分布问题
设是实系数一元二次方程的两实根，下面为几类常见二次函数零点分布情况需满足于的条件：
根的分布（且均为常数）
图象
满足的条件
[
只有一根在之间
或
4、由函数零点的存在情况求参数的取值
已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
真题精析
1、（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（??? ） 21世纪教育网版权所有
A、﹣ B、 C、 D、1
2、（2016?天津）已知函数f（x）=sin2 + sinωx﹣ （ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A、（0， ] B、（0， ]∪[ ，1） C、（0， ] D、（0， ]∪[ ， ]21·世纪*教育网
3、（2016?天津）已知函数f（x）= （a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程│f（x）│=2 x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 A、（0， ] B、[ ， ] C、[ ， ] { } D、[ ， ） { } www-2-1-cnjy-com
4、（2015·安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（???）
A、y=lnx B、 C、y=sinx??? D、y=cosx
5、（2015·山东）设函数，若，则?(???)
A、 B、 C、 D、
【答案】D
6、(2015·陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（?? ）
A、-1是f(x)的零点????? B、1是f(x)的极值点 C、3是f(x)的极值 D、点(2,8)在曲线y=f(x) 上21教育网
7、（2014?新课标I）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0 ， 且x0＞0，则实数a的取值范围是（?? ） 21*cnjy*com
A、（1，+∞） B、（2，+∞） C、（﹣∞，﹣1） D、（﹣∞，﹣2）
8、（2014?山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（?? ）
A、（0， ） B、（ ，1） C、（1，2） D、（2，+∞）
9、（2014?浙江）设函数f1（x）=x2 ， f2（x）=2（x﹣x2）， ， ，i=0，1，2，…，99．记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，k=1，2，3，则（?? ）
A、I1＜I2＜I3 B、I2＜I1＜I3 C、I1＜I3＜I2 D、I3＜I2＜I1
10、（2013?四川）设函数 （a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0 ， y0）使得f（f（y0））=y0 ， 则a的取值范围是（?? ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、[1，e] B、[e﹣1﹣1，1] C、[1，e+1] D、[e﹣1﹣1，e+1]
11、（2013?天津）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（?? ）
A、1 B、2 C、3 D、4
12、（2013?重庆）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（? ）
A、（a，b）和（b，c）内 B、（﹣∞，a）和（a，b）内 C、（b，c）和（c，+∞）内 D、（﹣∞，a）和（c，+∞）内【出处：21教育名师】
13、（2017?江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是________． 21*cnjy*com
14、（2016?山东）已知函数f（x）= ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
【答案】（3，+∞）
15、（2016?浙江）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2 ， x∈R，则实数a=________，b=________．
16、（2016?山东）已知函数f（x）= ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
17、（2015·湖北）函数的零点个数为??________?．
18、(2015·湖南）若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是________ .
19、（2014?江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+ |，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是________． 【版权所有：21教育】
20、（2014?天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
21、（2014?江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为 的交点，则φ的值是________． 21教育名师原创作品
22、（2013?新课标Ⅰ）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为________．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017福建考前模拟）设正数x，y满足log x+log3y=m（m∈[﹣1，1]），若不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，则实数a的取值范围是（?? ）
A、（1， ] B、（1， ] C、[ ，+∞） D、[ ，+∞）
2、（2017广东东莞北师大石竹附中三模）已知函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为（?? ）
A、（﹣∞，e） B、（﹣∞，e] C、 D、
3、（2017广东汕头潮南考前冲刺）已知函数f（x）=lnx﹣（ ）x﹣2的零点为x0 ， 则x0所在的区间是（?? ） 2-1-c-n-j-y
A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）
4、（2017重庆渝中巴蜀中学三模）已知实数a＞0，函数 ，若关于x的方程 有三个不等的实根，则实数a的取值范围是（?? ）
A、 B、 C、 D、
5、（2017河南诊断卷）已知关于x的方程|2x3﹣8x|+mx=4有且仅有2个实数根，则实数m的取值范围为（?? ）
A、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C、（﹣2，2） D、（﹣1，1）
6、（2017湖北黄石三中模拟）已知 ，如果方程ax=logbx，bx=logax，bx=logbx的根分别为x1 ， x2 ， x3 ， 则x1 ， x2 ， x3的大小关系为（?? ）
A、x3＜x1＜x2 B、x3＜x2＜x1 C、x1＜x3＜x2 D、x1＜x2＜x3
7、（2017湖北襄阳四中五模）已知f（x）=x2﹣3，g（x）=mex ， 若方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，则m的取值范围是（?? ）
A、 B、 C、 D、（0，2e）
8、（2017湖南长沙长郡中学模拟）已知函数f（x）=exlnx（x＞0），若对 使得方程f（x）=k有解，则实数a的取值范围是（?? ） 21cnjy.com
A、（0，ee] B、[ee ， +∞） C、[e，+∞） D、
9、（2017吉林通化梅河口五中考前模拟）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）= ，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（?? ）
A、3a﹣1 B、1﹣3a C、3﹣a﹣1 D、1﹣3﹣a
10、（辽宁东北育才学校模拟）已知函数 （a∈R），若函数y=|f（x）|﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（?? ）
A、a≥﹣2 B、a＞2 C、0＜a＜1 D、1≤a＜2
11、（2017辽宁实验中学仿真模拟）已知函数f（x）=x+ex﹣a ， g（x）=ln（x+2）﹣4ea﹣x ， 其中e为自然对数的底数，若存在实数x0 ， 使f（x0）﹣g（x0）=3成立，则实数a的值为（?? ） www.21-cn-jy.com
A、﹣ln2﹣1 B、﹣1+ln2 C、﹣ln2 D、ln2
12、（2017宁夏六盘山高级中学四模）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（?? ） 2·1·c·n·j·y
A、y=x2+1 B、y=|lgx| C、y=cosx D、y=ex﹣1
二、填空题
13、（2017湖南长沙长郡中学模拟）若函数f（x）满足 ，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，方程f（x）﹣4ax﹣a=0有两个不等的实根，则实数a的取值范围是________．
14、（2017广东汕头潮南考前冲刺）已知函数f（x）= 有3个零点，则实数a的取值范围是________．
15、（2017吉林通化梅河口五中考前模拟）已知增函数f（x）=x3+bx+c，x∈[﹣1，1]，且 ，则f（x）的零点的个数为________．
16、（2017辽宁辽南模拟）设f（x）是定义在R上的偶函数，F（x）=（x+2）3f（x+2）﹣17，G（x）=﹣ ，若F（x）的图象与G（x）的图象的交点分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2），…（xm ， ym），则 （xi+yi）=________．
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.8 函数与方程
知识回顾
1．函数的零点
(1)函数的零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程的根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在闭区间[a，b]上连续；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．21*cnjy*com
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
真题精析
1
【答案】C 【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，函数的零点与方程根的关系，函数的零点 【解析】【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ）=0， 所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解， 等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a）， 由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾； ③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象的最低点为B（1，2a）， 由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件； 综上所述，a= ， 故选：C． 【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
2
【答案】D
【考点】函数零点的判定定理 【解析】【解答】解：函数f（x）= + sinωx﹣ = + sinωx = ， 由f（x）=0，可得 =0，解得x= ?（π，2π），∴ω? ∪ ∪ ∪…= ∪ ， ∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈ ∪ ． 故选：D． 【分析】函数f（x）= ，由f（x）=0，可得 =0，解得x= ?（π，2π），因此ω? ∪ ∪ ∪…= ∪ ，即可得出．；本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21世纪教育网版权所有
3
【答案】C
【考点】分段函数的应用，根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】由 在 上递减，则 又由 在r上单调递减，则： 由图像可知，在 上， 有且仅有一个解， 故在 上， 同样有且仅有一个解， 当 即 时，联立 ， 则 ，解得： 或1（舍）， 当 时，由图像可知，符合条件. 综上：∴ 选C． 【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围
4
【答案】D
【考点】函数奇偶性的判断，函数的零点与方程根的关系 【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】【解答】选项A：y=lnx的定义域为故y=lnx不具备奇偶性，故A错误；选项B：是偶函数，但=0无解，即不存在零点，故B错误；选项C：y=sinx是奇函数，故C错；选项D：y=cosx是偶函数，且故D项正确。 【分析】在判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(x0网与f(-x)的关系；在判断函数零点时，可分两种情况：①函数图象与X轴是否有交点；②令f(x)＝0是否有解；本题考查考生的综合分析能力。 2·1·c·n·j·y
5
【答案】D
【考点】分段函数的应用，函数与方程的综合运用
【解析】【解答】由题意，由，得，或，解，故选D 【分析】本题考查了分段函数及函数方程思想，解答本题的关键，是理解分段函数的概念，明确函数值计算层次，准确地加以计算.? 本题属于小综合题，在考查分段函数及函数方程思想的同时，较好地考查了考生的运算能力及分类讨论思想. 21教育名师原创作品
6
【答案】A
【考点】函数的零点
【解析】【解答】可采取排除法． 若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b， 即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②， 又f（2）=8，即4D正确，则有a-b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=-83不为非零整数，不成立； 若D错，则A，B，C正确，则有a-b+c=0，且2a+b=0，且4ac-b24a=3，解得a=-34不为非零整数，不成立4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=-10，c=8．符合a为非零整数． 若B错，则A，C，D正确，则有a-b+c=0，且4a+2b+c=8，且4ac-b24a=3，解得a∈ ，不成立； 若C错，则A，B， 故选：A． 【分析】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．
7
【答案】D
【考点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1， ∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1； ①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立； ②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点； 故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点； 而当x= 时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值； 故f（ ）= ﹣3? +1＞0； 故a＜﹣2； 综上所述， 实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D． 【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
8
【答案】B
【考点】函数的零点
【解析】【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线） 和函数g（x）的图象（红线）有两个交点， 如图所示：KOA= ， 数形结合可得 ＜k＜1， 故选：B． 【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．
9
【答案】B
【考点】函数与方程的综合运用 【解析】【解答】解：由 ，故 = =1， 由 ，故 × = × ＜1， + = ， 故I2＜I1＜I3 ， 故选：B． 【分析】根据记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，分别求出I1 ， I2 ， I3与1的关系，继而得到答案
10
【答案】A
【考点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：曲线y=sinx上存在点（x0 ， y0）使得f（f（y0））=y0 ， 则y0∈[﹣1，1] 考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项 当a=0时， ，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））=y0是否成立 由于 是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）= ＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确 当a=e+1时， 此函数是一个增函数， =0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确 综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确 故选A 【分析】考查题设中的条件，函数f（f（y0））的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，e+1出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项
11
【答案】B
【考点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0， 在同一坐标系中作出y=（ ）x ． 与y=|log0.5x|，如图， 由图可得零点的个数为2． 故选B． 【分析】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数． 21·cn·jy·com
12
【答案】A
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0， 由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点； 又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点， 因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内． 故选A． 【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．
13
【答案】8
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的周期性，对数函数的图像与性质，根的存在性及根的个数判断 【解析】【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）= ， 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又f（x）是定义在R上且周期为1的函数， ∴在区间[1，2）上，f（x）= ，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 同理： 区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点； 故f（x）的图象与y=lgx有8个交点； 即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8， 故答案为：8 【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．
14
【答案】（3，+∞）
【考点】根的存在性及根的个数判断 【解析】【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=? 的图象如下： ∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2 ， ∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根， 必须4m﹣m2＜m（m＞0）， 即m2＞3m（m＞0）， 解得m＞3， ∴m的取值范围是（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）． 【分析】作出函数f（x）= 的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．；本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m2＜m是难点，属于中档题．
15
【答案】-2；1
【考点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+1， ∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1） =x3+3x2﹣（a3+3a2） ∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b， 且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2 ， ∴ ，解得 或 （舍去）， 故答案为：﹣2；1． 【分析】根据函数解析式化简f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）（x﹣a）2 ， 根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值．本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．
16
【答案】（3，+∞）
【考点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：当m＞0时，函数f（x）= 的图象如下： ∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2 ， ∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根， 必须4m﹣m2＜m（m＞0）， 即m2＞3m（m＞0）， 解得m＞3， ∴m的取值范围是（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）． 【分析】作出函数f（x）= 的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．；本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m2＜m是难点，属于中档题．
17
【答案】2
【考点】诱导公式一，诱导公式的推导，二倍角的正弦，二倍角的余弦，函数的零点
【解析】【解答】因为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 所以函数的零点个数为函数与图像的交点的个数，函数与图像如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点. 【分析】数形结合思想方法是高考考查的重点.?已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.由“数”想图，借“图”解题.
18
【答案】0【考点】函数的零点
【解析】【解答】由函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，可得|2x-2|=b有两个不等的根，从而可得函数y=|2x-2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得0
19
【答案】（0， ）
【考点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+ |，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知 ． 故答案为：（0， ）． 【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可． 【出处：21教育名师】
20
【答案】（0，1）∪（9，+∞）
【考点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|， 作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象， 当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件， 则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|= ， 当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1）， 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1）， 即x2+（3﹣a）x+a=0， 则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9， 当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1， 要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1， 若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点， 此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可， 即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0， 则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9， 综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞）， 方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|， 若x=1，则4=0不成立， 故x≠1， 则方程等价为a= = =| |=|x﹣1+ +5|， 设g（x）=x﹣1+ +5， 当x＞1时，g（x）=x﹣1+ +5≥ ，当且仅当x﹣1= ，即x=3时取等号， 当x＜1时，g（x）=x﹣1+ +5 =5﹣4=1，当且仅当﹣（x﹣1）=﹣ ，即x=﹣1时取等号， 则|g（x）|的图象如图： 若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根， 则满足a＞9或0＜a＜1， 故答案为：（0，1）∪（9，+∞） 【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．
21
【答案】 【考点】函数的零点 【解析】【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为 的交点， ∴ = ． ∵0≤φ＜π，∴ ， ∴ +φ= ， 解得φ= ． 故答案为： ． 【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为 的交点，可得 = ．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．
22
【答案】16
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，函数与方程的综合运用 21教育网
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称， ∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0， 即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a?（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a?（﹣5）+b]=0， 解之得 ， 因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15， 求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8， 令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣ ，x2=﹣2，x3=﹣2+ ， 当x∈（﹣∞，﹣2﹣ ）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣ ，﹣2）时，f′（x）＜0； 当x∈（﹣2，﹣2+ ）时，f′（x）＞0； 当x∈（﹣2+ ，+∞）时，f′（x）＜0 ∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣ ）、（﹣2，﹣2+ ）上是增函数，在区间（﹣2﹣ ，﹣2）、（﹣2+ ，+∞）上是减函数． 又∵f（﹣2﹣ ）=f（﹣2+ ）=16， ∴f（x）的最大值为16． 故答案为：16． 【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣ ）、（﹣2，﹣2+ ）上是增函数，在区间（﹣2﹣ ，﹣2）、（﹣2+ ，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣ ）=f（﹣2+ ）=16，即可得到f（x）的最大值．
模拟题精练
一、单选题
1【答案】C
【考点】函数与方程的综合运用 【解析】【解答】解：∵log x+log3y=m，即log3 +log3y=log3 =m， ∴ =3m ， ∵m∈[﹣1，1]，∴ ∈[ ，3]． ∵3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2 ， ∴3a﹣18 +（2a+3） ≥1﹣2 + ， 令 =t，则2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1≥0， 设f（t）=2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1， ∵不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解， ∴f（t）在[ ，3]上的最大值fmax（x）≥0， （i）当a=﹣1时，f（t）=﹣16t﹣4， ∴fmax（t）=f（ ）=﹣ ﹣4＜0，不符合题意； （ii）若a＜﹣1，则f（t）开口向下，对称轴为t= ＜0， ∴f（t）在[ ，3]上单调递减， ∴fmax（t）=f（ ）= ﹣6＜0，不符合题意； （iii）若a＞﹣1，则f（t）开口向上，对称轴为t= ＞0， ①若0＜ ≤ ，即a≥11时，f（t）在[ ，3]上单调递增， ∴fmax（t）=f（3）=21a﹣31＞0，符合题意； ②若 ，即﹣1＜a 时，f（t）在[ ，3]上单调递减， ∴fmax（t）=f（ ）= ﹣6≤ ﹣6＜0，不符合题意； ③若 ＜ ＜3，即 ＜a＜11时，f（t）在[ ，3]上先减后增， ∴fmax（t）=f（ ）或fmax（t）=f（3）， ∴f（ ）= ﹣6≥0或f（3）=21a﹣31＞0， 解得a≥ 或a≥ ，又 ＜a＜11， ∴ ≤a＜11， 综上，a的取值范围是[ ，+∞）． 故选C． 【分析】根据对数运算性质可得 =3m ， 令 =t，则不等式可化简为2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1≥0，令f（t）=2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1，则问题转化为fmax（t）≥0，讨论对称轴与开口方向，根据二次函数的性质求出fmax（t）即可得出a的范围． 21·世纪*教育网
2【答案】D
【考点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点， ∴f（x）=﹣g（x）有解， ∴lnx﹣x3=﹣x3+ax， ∴lnx=ax，在（0，+∞）有解， 分别设y=lnx，y=ax， 若y=ax为y=lnx的切线， ∴y′= ， 设切点为（x0 ， y0）， ∴a= ，ax0=lnx0 ， ∴x0=e， ∴a= ， 结合图象可知，a≤ 故选：D． 【分析】由题意可知f（x）=﹣g（x）有解，即y=lnx与y=ax有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a的范围． 2-1-c-n-j-y
3【答案】C
【考点】函数零点的判定定理 【解析】【解答】解：易知函数f（x）=lnx﹣（ ）x﹣2在其定义域上单调递增且连续， f（2）=ln2﹣1＜0， f（3）=ln3﹣ ＞0； 故f（2）?f（3）＜0， 则x0所在的区间是（2，3）． 故选：C． 【分析】易知函数f（x）=lnx﹣（ ）x﹣2在其定义域上单调递增且连续，再由函数零点的判定定理确定即可． 【来源：21cnj*y.co*m】
4
【答案】B
【考点】根的存在性及根的个数判断 【解析】【解答】解：当x＜0时，令f（x）=e﹣a+ 得x﹣1=﹣a，即x=1﹣a， 当x≥0时，令f（x）=e﹣a+ 得ex﹣1+ x2﹣（a+1）x+ =e﹣a+ ，显然方程无解． ∴1﹣a＜0，即a＞1， ∵f[﹣f（x）]=e﹣a+ ，∴﹣f（x）=1﹣a，即f（x）=a﹣1， ∴f（x）=a﹣1有三解， 当x＜0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且x→﹣∞时，f（x）→ ， 当x≥0时，f′（x）=ex﹣1+ax﹣a﹣1， ∴f′（x）是增函数，且f′（1）=0， ∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 又f（1）=0，当x→+∞时，f（x）→+∞， 作出f（x）的大致函数图象如图所示： ∵f（x）=a﹣1有三解， ∴ ，解得2 ． 故选B． 【分析】求出f（x）=e﹣a+ 的解为1﹣a，即可得出f（x）=a﹣1有三解，判断f（x）的单调性，计算最值，作出f（x）的图象，根据图象得出关于a的不等式，即可解出a的范围．
5【答案】A
【考点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：由|2x3﹣8x|+mx=4得|2x3﹣8x|=4﹣mx， 作出y=|2x3﹣8x|和y=4﹣mx的函数图象， 当0＜x＜2时，y=|2x3﹣8x|=﹣2x3+8x， 若直线y=4﹣mx经过点（﹣2，0），则﹣m=2，即m=﹣2， 若直线y=4﹣mx与y=﹣2x3+8x相切，切点坐标为（x0 ， y0）， 则 ，解得x0=1，y0=6，m=﹣2， 由图象的对称性可知，若直线y=4﹣mx与y=|2x3﹣8x|的图象有2个交点， ∴﹣m＞2或﹣m＜﹣2， 即m＜﹣2或m＞2． 故选：A． 【分析】作出y=|2x3﹣8x|和y=4﹣mx的函数图象，根据图象交点个数判断直线y=4﹣mx的斜率的范围，从而得出m的范围． www.21-cn-jy.com
6【答案】C
【考点】函数的零点
【解析】【解答】解：∵ ，∴a＞1，0＜b＜1， 作出y=ax ， y=bx ， y=logax，y=logbx的函数图象， 由图象可知x1＜x3＜x2 ． 故选C． 【分析】作出函数图象，根据图象判断大小关系．
7【答案】A
【考点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：设f（x）与g（x）的共同切线的切点为（x0 ， y0）， ∵f（x）=x2﹣3，g（x）=mex ， ∴f′（x）=2x，g（x）=mex ， ∴f′（x0）=g′（x0），f（x0）=g（x0）， ∴2x0= ，x02﹣3= ， ∴x0=x02﹣3， 解得x0=3，或x0=﹣1（舍去） 当x0=3， ∴6=me3 ， 即m= ， ∵方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，由图象可知， ∴0＜m＜ ， 故选：A． 【分析】设f（x）与g（x）的共同切线的切点为（x0 ， y0），根据导数求出切点，即可求出m的值，结合图象可知m的取值范围．
8【答案】B
【考点】根的存在性及根的个数判断 【解析】【解答】解：f′（x）=exlnx+ =ex（lnx+ ）， 令g（x）=lnx+ ，则g′（x）= ﹣ = ， ∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0， ∴g（x）在（ ，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增， ∴g（x）≥g（1）=1， ∴f′（x）＞0， ∴f（x）在[ ，e]上单调递增， ∴f（x）在[ ，e]上的值域为[﹣e ，ee]． ∵对 使得方程f（x）=k有解， ∴ ，解得a≥ee ． 故选B． 【分析】利用导数判断f（x）的单调性，得出f（x）在[ ，e]上的值域，从而得出a的范围．
9【答案】B
【考点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）， ∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∵当x≥0时，f（x）= ， ∴当x≥0时，f（x）= ， 得出x＜0时，f（x）= 画出图象得出： 如图从左向右零点为x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ， 根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8， x4+x5=2×4=8，﹣log （﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a ， 故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a ， 故选：B 【分析】利用奇偶函数得出当x≥0时，f（x）= ，x≥0时，f（x）= ，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2 ， x4+x5的值，关键运用对数求解x3=1﹣3a ， 整体求解即可．
10【答案】B 【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：（1）若a＜0，|f（x）|≥0，显然|f（x）|=a无解，不符合题意；（2）若a=0，则|f（x）|=0的解为x=1，不符合题意；（3）若a＞0，作出y=|f（x）|的哈数图象如图所示： ∵|f（x）|=a有三个解，∴a＞2， 故选B． 【分析】作出|f（x）|的函数图象，根据零点个数判断a的范围．
11【答案】A
【考点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x ， 令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣ = ， 故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1， 而ex﹣a+4ea﹣x≥4， （当且仅当ex﹣a=4ea﹣x ， 即x=a+ln2时，等号成立）； 故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln2=﹣1， 即a=﹣1﹣ln2． 故选：A． 【分析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x ， 运用导数求出y=x﹣ln（x+2）的最小值；运用基本不等式可得ex﹣a+4ea﹣x≥4，从而可证明f（x）﹣g（x）≥3，由等号成立的条件，从而解得a． 21cnjy.com
12【答案】C
【考点】函数奇偶性的性质，函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：对于A，函数是偶函数，不存在零点，不正确； 对于B，函数不是偶函数，不正确； 对于C，既是偶函数又存在零点，正确； 对于D，函数不是偶函数，不正确． 故选C． 【分析】先判定函数的奇偶性、再确定函数是否存在零点． 【版权所有：21教育】
二、填空题
13【答案】（﹣∞，﹣1）∪（0， ]
【考点】根的存在性及根的个数判断 【解析】【解答】解：∵f（x+1）= ，∴f（x）= ， 当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1）， ∴f（x）= ．x∈（﹣1，0）． 作出f（x）在（﹣1，1]上的函数图形，如图所示： 令f（x）﹣4ax﹣a=0得f（x）=4a（x+ ）， ∴y=f（x）与直线y=4a（x+ ）在（﹣1，1]上有两个交点． 若直线y=4a（x+ ）经过点（1，1），则a= ； 若直线y=4a（x+ ）与y= 相切， 联立方程组 ，消元得4ax2+（5a+1）x+a=0， 令△=（5a+1）2﹣16a2=0得a=﹣1或a=﹣ ． 当a=﹣ 时，方程的解为x=﹣ = ，不符合题意； 故a=﹣1． ∴a＜﹣1或0＜a＜ ． 故答案为： ． 【分析】求出f（x）在（﹣1，0）上的解析式，作出函数图形，根据f（x）与直线y=4ax+a有两个交点判断a的临界值，得出a的范围． 21*cnjy*com
14【答案】（ ，1）
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：∵函数f（x）= 有3个零点， ∴a＞0 且 y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点， ∴ ， 解得 ＜a＜1， 故答案为：（ ，1）． 【分析】由题意可得，a＞0 且 y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，再利用二次函数的性质求得a的范围．
15【答案】1个
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=x3+bx+c是增函数， ∴函数f（x）=x3+bx+c至多有一个零点， 又∵ ，且函数f（x）连续， ∴f（x）在（﹣ ， ）上有零点， 故f（x）的零点的个数为1个， 故答案为：1个． 【分析】由函数的单调性及函数零点的判定定理可知函数有且只有一个零点．
16【答案】﹣19m
【考点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：∵f（x）是偶函数， ∴g（x）=x3f（x）是奇函数， ∴g（x）的图象关于原点（0，0）对称， ∴F（x）=（x+2）3f（x+2）﹣17=g（x+2）﹣17关于点（﹣2，﹣17）对称， 又G（x）=﹣ 关于点（﹣2，﹣17）对称， ∴ = =﹣2m， = =﹣17m， ∴ （xi+yi）= + =﹣19m． 故答案为：﹣19m． 【分析】判断F（x）与G（x）的对称性，找出对称中心，利用交点的对称性得出结论．
