第5章 用样本推断总体
5.1
总体平均数与方差的估计
1．学会正确、合理地取样，懂得随机抽样的合理性．
2．能利用样本的平均数与方差，对总体所含有的个体做出合理的估计和推测．
自学反馈
Ｋ
阅读教材P141～P144，完成下面的内容：
1．在总体中抽取样本，通过对样本的分析，去推断总体的情况，这就是统计的基本思想．
2．用样本平均数、方差去估计总体平均数、总体方差然后再对事件发展做出决断、预测．
3．P143例题是通过计算零件直径的方差来得到机器两个时段的运作性能是否正常的．
归纳：统计的基本思想：用样本的平均数、样本方差分别去估计总体的平均数、总体方差．用样本去估计总体时要注意：(1)抽取的样本要具有代表性；(2)样本容量要足够大．
范例：为估计一个月家中使用管道煤气的开支情况，小强从15日起，连续八天每天晚上记录了家的煤气表显示的读数，如下表(注：煤气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用煤气的数量，单位：m3)
日期
15日
16日
17日
18日
19日
20日
21日
22日
煤气表显示读数(单位：m3)
22.09
22.92
24.17
24.99
25.95
27.08
27.91
29.04
如果每立方煤气2.2元，请你估计小强家一个月(按30天计)使用管道煤气的费用是多少元(精确到0.1元)．
解：小强家从15日到22日平均每天用的煤气的数量为：
＝0.99(m3)，
则一个月用气量为30×0.99＝29.7(m3)，
则估计小强家一个月(按30天计)使用管道煤气的费用为：
29．7×2.2＝65.5(元)．
仿例：农科院对甲，乙两种甜玉米各用10块试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两种数据：
根据这些数据，应为农科院选择甜玉米种子提出怎样的建议？
品种
各试验田每公顷产量(单位：吨)
甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
解：用计算器算得样本数据的平均数是：
x甲＝≈7.54，
x乙＝≈7.52.
说明在试验田中，甲，乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此估计在这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大．
用计算器算得样本数据的方差是：
s＝[(7.
65－7.54)2×2＋(7.50－7.54)2×2＋(7.62－7.54)2＋(7.59－7.54)2＋(7.64－7.54)2＋(7.40－7.54)2＋(7.41－7.54)2×2]≈0.01，
s＝[(7.55－7.52)2＋(7.56－7.52)2＋(7.44－7.52)2＋(7.49－7.52)2×2＋(7.52－7.52)2＋(7.58－7.52)2＋(7.46－7.52)2＋(7.53－7.52)2]×2≈0.002.
∴s>s.
说明在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定，进而可以推测要这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲的稳定．
综合考虑甲乙两个品种的产量和产量的稳定性，可以推测这个地区更适合种植乙种甜玉米．
1．小组共同探讨“自学自研”部分，将疑难问题板演到黑板上．小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．组长带领组员参照展示方案，分配好展示任务，同时进行组内小展示，将形成的展示方案在黑板上进行板书规划．
追踪训练
从鱼塘打捞草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾的质量分别是1．5，1．6，1．4，1．6，1．2，1．7，1．8，1．3，1．4(单位：kg)，依此估计这240尾草鱼的平均质量大约是( C )
A．1．2kg
B．1．3kg
C．1．5kg
D．1．6kg
2.(3分)
为了解甲、乙两人的射击水平，随机让甲、乙两人各射击5次，命中的环数如下：
甲：7 9 8 7 9 乙：7 8 9 8 8
计算得甲、乙两人5次射击命中环数的平均数都是8环，甲命中环数的方差为0．8，由此可知( B )
A．甲比乙的成绩稳定
B．乙比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
3.(3分)
小芳家今年6月份头6天的用电量如下表：
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
用电量（度）
3.6
4.8
5.4
4.2
3.4
3.2
请你根据统计知识，估计小芳家6月份（30天）总用电量是（ D ）
A．162
B．120
C．96
D．123
课堂小结
1.当一次实验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
2.注意第二次放回与不放回的区别.
请使用《名校课堂》相应的练习部分5.2
统计的简单应用
1．了解通过样本的频率分布推断总体的频率分布．
2．能解释统计结果，根据结果对总体做出推断．
3．体验统计思想方法在各类实际问题中的简单应用．
自学反馈
Ｋ
阅读教材P146～P148，完成下面的内容：
1．例1中随机抽取的1
000件产品组成了一个简单随机样本，所以1
000件产品的次品率能作为整批次品的次品率．
2．“动脑筋”中：①先求该地100户中约有66户的用户能够全部享受基本价格；②再求20万用户中约有20×66%＝13.2万户的用户能够全部享受基本价格．
3．例2中：身高小于134
cm的包括122≤h<126，126≤h<130，130≤h<134．
归纳：对于简单随机样本，可以用样本的百分比去估计总体的百分比(收视率、次品率、合格率等)．
典例：要了解某地区八年级学生的身高情况，从中随机抽取150名学生的身高作为一个样本，身高均在141
cm～175
cm之间(取整数厘米)，整理后分成7组，绘制出频数分布直方图(不完整)．根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
解：如图．
(2)抽取的样本中，学生身高的中位数在哪个小组？
解：抽取的样本中，学生身高的中位数在155.5
cm～160.5
cm小组内．
(3)该地区共有3
000名八年级学生，估计其中身高不低于161
cm的人数．
解：样本中身高不低于161
cm的人数为27＋15＋6＝48(人)在样本中所占的比例为＝，
∴该地区身高不低于161
cm的八年级学生人数估计有：
3
000×＝960(人)．
仿例：对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
寿命(h)
100～200
200～300
300～400
400～500
500～600
个 数
20
30
80
40
30
(1)列出频率分布表；
解：完成频率分布表如下：
分组
频数
频率
100～200
20
0.10
200～300
30
0.15
300～400
80
0.40
400～500
40
0.20
500～600
30
0.15
合计
200
1
(2)画出频率分布直方图；
解：完成频率分布直方图如下：
(3)估计元件寿命在100～400
h以内的在总体中占的比例；
解：由频率分布表可知，
寿命在100～400小时的电子元件出现的频率为0.10＋0.15＋0.40＝0.65，
所以估计电子元件寿命在100～400小时的概率为0.65.
(4)估计电子元件寿命在400
h以上的在总体中占的比例．
解：由频率分布表可知，
寿命在400小时以上的电子元件出现的频率为0.20＋0.15＝0.35，
所以估计电子元件寿命在400小时以上的概率为0.35.,
Ｋ
阅读教材P149～P151，完成下面的内容：
1．用样本推断总体的过程是：
2．用坐标法分析数据的方法其实质是折线统计图，它的特点是能清楚地看到变化趋势．
归纳：通过科学调查，取得真实可靠的数据后，可以用正确的统计方法来推断总体，还可以用已有的数据对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预测．
范例：某瓜果销售公司去年3月至8月销售库尔勒香梨、哈密瓜的情况见下表：
3月
4月
5月
6月
7月
8月
库尔勒香梨(吨)
4
8
5
8
10
13
哈密瓜(吨)
8
7
9
7
10
7
(1)请你根据以上数据填写下表：
平均数
方差
库尔勒香梨
8
9
哈密瓜
8
(2)补全下边折线统计图：
(3)请你根据下面两个要求对这两种瓜果在去年3月份至8月份的销售情况进行分析：
①根据平均数和方差；
②根据折线图上两种瓜果销售量的趋势．
解：①库尔勒香梨与哈密瓜销量的平均数相同，从平均数看来销售情况一样；但是库尔勒香梨与哈密瓜的方差相差很大，因为哈密瓜的方差小，所以哈密瓜的销售情况好于库尔勒香梨；②由折线图可以看出，库尔勒香梨的销售量曲线起伏较大，所以哈密瓜的销售情况好于库尔勒香梨，但库尔勒香梨的销售呈上升趋势．
仿例：我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我荆门”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下所示，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b.
队别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
七年级
6.7
m
3.41
90%
n
八年级
7.1
7.5
1.69
80%
10%
(1)请依据图表中的数据，求a，b的值；
解：依题意得：
解得
(2)直接写出表中的m，n的值；
解：m＝6，n＝20%；
(3)有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．
解：①八年级队平均分高于七年级队；
②八年级队的成绩比七年级队稳定；
③八年级队的成绩集中在中上游，所以支持八年级队成绩好．(注：任说两条即可)
活动1
小组讨论
1．小组共同探讨“自学自研”部分，将疑难问题板演到黑板上．小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．组长带领组员参照展示方案，分配好展示任务，同时进行组内小展示，将形成的展示方案在黑板上进行板书规划．
跟踪训练
1.某校为鼓励学生课外阅读，制定了“阅读奖励方案”．方案公布后，随机征求了100名学生的意见，并对持“赞成”、“反对”、“弃权”三种意见的人数进行统计，绘制成如图所示的扇形统计图．若该校有1000名学生，则赞成该方案的学生约有
700
人．
2.为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生900名中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”．由此，估计该校全体学生中约有 225
名学生“步行上学”．
3.
下表是弹簧的长度与所挂物体的质量的数据：
物体的质量/千克
1
2
3
4
弹簧的长度/厘米
6/1．5
6/3
6/4．5
6/6
根据表中数据，建立直角坐标系，并描出坐标后可以预测：弹簧的长度随所挂物体的质量在一定范围内是_____逐步增长的_________．
4.暑假期间，小亮到某地高山旅游，沿途小亮利用随身带的仪器测得以下的数据：
海拔高度/米
300
400
500
600
700
…
气温/℃
29．1
28．6
27．9
27．5
26．8
…
(1)请根据表中数据，建立直角坐标系，并描出坐标(海拔高度，气温)；
(2)试用直线表示气温随海拔高度变化的发展趋势．
解：
(1)如图所示：
(2)由图可以预测：气温随海拔高度是逐步递减的．
课堂小结
1.当一次实验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
2.注意第二次放回与不放回的区别.
请使用《名校课堂》相应的练习部分
