2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.9函数模型及其应用
考纲剖析
1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 21教育名师原创作品
知识回顾
1．函数模型及其性质比较
(1)几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
二次函数模型
与指数函数相关模型
与对数函数相关模型
与幂函数相关模型
(2)三种函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的单调性
单调增函数
增长速度
越来越快
相对平稳
2.“f(x)＝x＋”型函数模型
形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值.21cnjy.com
精讲方法
1、一次函数与分段函数模型
（1）在现实生活中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0）；
（2）很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数。如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数。
（3）分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起。要注意各段变量的范围，特别是端点值。[21*cnjy*com
2、二次函数与分段函数模型
二次函数的应用主要有以下方面：
(1)利用二次函数关系式或图象求最值.
(2)利用二次函数单调性求参数取值或范围.
(3)二次函数如果是分段表示，则应注意分段区间端点值的应用.
(4)利用二次函数对应方程根的分布求参数范围.
3、指数函数模型
(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；
(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.
(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
4、利用函数刻画实际问题
用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.
5、利用已知函数模型解决实际问题
利用已知函数模型解决实际问题的步骤
若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.
6、自建模型解决实际问题
建立函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；
(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；
(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；
(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
真题精析
1、(2015·四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=（e=2.718...为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0℃的保鲜时间设计192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（?? ）小时.（?? ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A、16小时 B、20小时 C、24小时 D、21小时
2、（2014?安徽）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（?? ）
A、5或8 B、﹣1或5 C、﹣1或﹣4 D、﹣4或8
3、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（?? ） 21世纪教育网版权所有
A、60里 B、48里 C、36里 D、24里
4．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
5．（2014湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A． B． C． D．
二、综合题
6、?(2015·江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为了l1, l2 ， 山区边界曲线为C ， 计划修建的公路为l ， 如图所示，M ， N为C的两个端点，测得点M到l1, l2?的距离分别为5千米和40千米，点N到l1, l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1, l2所在的直线分别为x ， y轴，建立平面直角坐标系xOy ， 假设曲线C符合函数y=（其中a ， b为常数）模型. 21·cn·jy·com
(1)求a ， b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ??? ???①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ????? ?②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
7、（2016?全国）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n=19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
8、（2013?湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心． 【来源：21cnj*y.co*m】
(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
9、某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．
(1)请将l表示成关于α的函数l=f（α）；
(2)问当α为何值时l最小？并求最小值．
10、某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩．为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：
A
4
4
4.5
5
5.5
6
6
B
4.5
5
6
6.5
6.5
7
7
7.5
C
5
5
5.5
6
6
7
7
7.5
8
8
(1)已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量； 21教育网
(2)从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率； 2·1·c·n·j·y
(3)再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1 ， 表格中数据的平均数记为μ0 ． 若μ0≤μ1 ， 写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）． 21*cnjy*com
11、某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图3所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕． 2-1-c-n-j-y
(1)求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）的函数解析式；
(2)求当天的利润不低于750元的概率．
12、（2013?上海）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．
三、解答题（共4题；共20分）
13、某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨，（0≤t≤24） （1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ （2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．
14、某四星级酒店有客房300间，每天每间房费为200元，天天客满．该酒店欲提高档次升五星级，并提高房费．如果每天每间客的房费每增加20元，那么入住的客房间数就减少10间，若不考虑其他因素，酒店将房费提高到多少元时，每天客房的总收入最高？
四、填空题（共2题；共2分）
15、中国古代数学名著《算法统宗》中，许多数学问题都是以诗歌的形式呈现，其中一首诗可改编如下：“甲乙丙丁戊，酒钱欠千文，甲兄告乙弟，三百我还与，转差十几文，各人出怎取？”意为：五兄弟，酒钱欠千文，甲还三百，甲乙丙丁戊还钱数依次成等差数列，在这个问题中丁该还________文钱．
16、渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须流出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0），则鱼群年增长量的最大值是________．
模拟题精练
一、单选题
1、某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（ ）
A、200只?? B、300只? C、400只 D、500只
2、在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.0418
7.5
12
18.01
A、y=2x﹣2 B、y=（x2﹣1） C、y=log2x? D、y=x
3、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（ ）
A、一次函数 B、二次函数 C、指数型函数 D、对数型函数
4、在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
﹣1.01
0.01
0.98
2.00
则x、y最合适的函数是（ ）
A、y=2x B、y=x2﹣1 C、y=2x﹣2? D、y=log2x
5、下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A、y=20x B、y=x20 C、y=log20x? D、y=20x
6、某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x（正常情况0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分）计算当月绩效工资y元．要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少．则下列函数最符合要求的是（ ） www.21-cn-jy.com
A、y=（x﹣50）2+500 B、 C、 D、y=50[10+lg（2x+1）]
7、（2017吉林长春十一中期中）f（x）=x2 ， g（x）=2x ， h（x）=log2x，当x∈（4，+∞）时，三个函数增长速度比较，下列选项中正确的是（?? ）
A、f（x）＞g（x）＞h（x） B、g（x）＞f（x）＞h（x）?? C、g（x）＞h（x）＞f（x） D、f（x）＞h（x）＞g（x）21·世纪*教育网
8、（2017黑龙江双鸭山宝清一模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（?? ） 【出处：21教育名师】
A、60里 B、48里 C、36里 D、24里
9、（2017甘肃张掖高台一中四模）设函数f（x）= ，则满足f（f（m））=3f（m）的实数m的取值范围是（?? ）
A、（﹣∞，0）∪{﹣ } B、[0，1] C、[0，+∞）∪{﹣ } D、[1，+∞）
二、填空题
10、地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数．①f（x）=p?qx；②f（x）=px2+qx+1；③f（x）=x（x﹣q）2+p． （以上三式中p、q均为常数，且q＞1，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，依此类推）． （1）为准确研究其价格走势，应选________?种价格模拟函数． （2）若f（0）=4，f（2）=6，预测该果品在________?月份内价格下跌．（5月、6月）
11、甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为， ，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下结论： ①当x＞1时，甲走在最前面； ②当x＞1时，乙走在最前面； ③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲． 其中，正确结论的序号为________?（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．
12、（2017四川达州一诊）中国古代数学名著《算法统宗》中，许多数学问题都是以诗歌的形式呈现，其中一首诗可改编如下：“甲乙丙丁戊，酒钱欠千文，甲兄告乙弟，三百我还与，转差十几文，各人出怎取？”意为：五兄弟，酒钱欠千文，甲还三百，甲乙丙丁戊还钱数依次成等差数列，在这个问题中丁该还________文钱． 【版权所有：21教育】
三、解答题（共3题；共15分）
13、某服装厂某年1月份、2月份、3月份分别生产某名牌衣服1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测当年每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模型模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用函数y=p?qx+r（其中p，q，r常数）或二次函数．又已知当年4月份该产品的产量为1.36万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由． www-2-1-cnjy-com
14、函数f（x）=2x和g（x）=x3的部分图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），且x1＜x2 ． （Ⅰ）请指出示意图中曲线C1、C2分别对应哪一个函数？ （Ⅱ）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由； （Ⅲ）结合函数图象示意图，请把f（6），g（6），f（2011）、g（2011）四个数按从小到大的顺序排列．
15、某四星级酒店有客房300间，每天每间房费为200元，天天客满．该酒店欲提高档次升五星级，并提高房费．如果每天每间客的房费每增加20元，那么入住的客房间数就减少10间，若不考虑其他因素，酒店将房费提高到多少元时，每天客房的总收入最高？
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.9函数模型及其应用
知识回顾
1．函数模型及其性质比较
(1)几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
(2)三种函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的单调性
单调增函数
单调增函数
单调增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
真题精析
1
【答案】C
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由题意： , ∴ , e k = 1/ 2 , 所以x=33时， y= e 33 k + b =( e 11 k )3· e b = x192=24. 【分析】这是一个函数应用题，利用条件可求出参数k、b ， 但在实际应用中往往是利用整体代换求解（不要总是想把参数求出来）.本题利用整体代换，使问题大大简化.
2【答案】D
【考点】函数最值的应用
【解析】【解答】解：﹣ ＜﹣1时，x＜﹣ ，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞ ﹣1； ﹣ ≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥ ﹣1； x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2， ∴ ﹣1=3或a﹣2=3， ∴a=8或a=5， a=5时， ﹣1＜a﹣2，故舍去； ﹣ ≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a； ﹣1≤x≤﹣ ，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣ +1； x＞﹣ ，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣ +1， ∴2﹣a=3或﹣ +1=3， ∴a=﹣1或a=﹣4， a=﹣1时，﹣ +1＜2﹣a，故舍去； 综上，a=﹣4或8． 故选：D． 【分析】分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值． 21教育网
3【答案】C
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q= 的等比数列， 由S6=378，得S6= ，解得：a1=192， ∴ ，此人第4天和第5天共走了24+12=36里． 故选：C． 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程 21·cn·jy·com
4B【解析】由题意可知过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入
中可解得，∴
，∴当分钟时，可食用率最大．
5．D【解析】设年平均增长率为，原生产总值为，则，解得，故选D．
二、综合题
6【答案】
a=1000, b=0? （2）①f(t)=,定义域为[5,20]②t=10, f(t)min=15千米。 2-1-c-n-j-y
【考点】函数的最值及其几何意义，根据实际问题选择函数类型 【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】
【解答】由题意得函数y= 过点位(5,40), (20, 2.5)，列方程组就可解当a. b的值(2) ①求公路了长度的函数解析式}I川，就是求出直线l与x，y轴交点，再利用两点间距离公式计算即可， 关键是利用导数几何意义求出直线了方程，再根据M， N为C的两个端点的限制条件得定义域为[5,20]②对函数解析式f(t)解析式根式内部分单独求导求最值，注意列表说明函数变化趋势. 试题解析:【出处：21教育名师】
由题意知，点M，N的坐标分别为（5,40），（20, 2.5）。将其代入y=,得, 解得a=1000, b=0? 。 ? 21*cnjy*com
（2）? ??①由（1）知， y=(5≤x≤20), 则点P的坐标为（t,), 设在点P处的切线l交x, y轴分别于A,B点，y=-， 则l的方程为y-=-(x-t),? 由此得A（,0), B(0, ). 故f(t)==,t(5,20), ②设g(t)=t2+, 则g'(t)=2t-. 令g'(t)=0，解得t=10. 当t(5,10)时，g'(t)<0，?g(t)是减函数。 当t(10,20), g'(t)>0，?g(t)是减函数。从而， 当t=10时, 函数g(t)有极小值，要是最小值，所以 g(t)min=300, 此时f(t)min=15。 答：当t=10时,公路l的长度最短, 最短长度为15千米。 【分析】解诀实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型;本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可.求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的间题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值.
7【答案】（1）解：当n=19时， y= ?= （2）解：由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06， 更换的易损零件数为17个频率为0.16， 更换的易损零件数为18个频率为0.24， 更换的易损零件数为19个频率为0.24 又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5． 则n≥19 ∴n的最小值为19件 （3）解：假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件， 所须费用平均数为： （70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元） ?假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件， 所须费用平均数为 （90×4000+10×4500）=4050（元） ∵4000＜4050? ∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件
【考点】函数的最值及其几何意义，频率分布直方图，函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（2）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（3）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．；本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．
8【答案】
解：设点P的坐标为（x，y），则 点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）； （2）解：由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值 ①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20| ∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24 ∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24 ∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21 ∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21 ∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45； ②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20| 此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21 由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立 综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小． 2·1·c·n·j·y
【考点】根据实际问题选择函数类型，绝对值三角不等式
【解析】【分析】（1）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（2）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标． 【来源：21·世纪·教育·网】
9【答案】（1）解：设上底长为a，则S= ， ∴a= ﹣ ， ∴l= ﹣ + （0＜α＜ ） （2）解：l′=h ， ∴0＜α＜ ，l′＜0， ＜α＜ ，l′＞0， ∴ 时，l取得最小值 m
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值． www-2-1-cnjy-com
10【答案】
解：设该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为x台， 则购买的C品牌电动智能送风口罩为 台， 由题意得 ，所以x=800． 答：该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量为800台 （2）解：设A品牌待机时长高于B品牌的概率为P， 则 ． 答：在A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中各任取一台，A品牌待机时长高于B品牌的概率为 . （3）18．
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，建立方程，即可求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；（2）根据古典概型概率计算公式，可求出A品牌待机时长高于B品牌的概率；（3）根据平均数的定义，写出a+b+c的最小值．
11【答案】（1）解：（1）当n≥17时，y=17×（100﹣50）=850； 当n≤16时，y=50n﹣50（17﹣n）=100n﹣850． 得 … （2）设当天的利润不低于750元为事件A，由（2）得“利润不低于750元”等价于“需求量不低于16个”，则P（A）=0.7…
【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）当n≥17时，y=17×（100﹣50）=850；当n≤16时，y=50n﹣50（17﹣n）=100n﹣850．综合可得当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，n∈N）的函数解析式；（2）求当天的利润不低于750元的x的范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案．
12【答案】
解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0＜x＜40， 健身房占地面积为y平方米．因为△CFP∽△CBA， 以 ， ，求得BF=50﹣ ， 从而y=BF?FP=（50﹣ ）?x =﹣ =﹣ ≤500． 当且仅当x=20时，等号成立． 答：该健身房的最大占地面积为500平方米．
【考点】二次函数在闭区间上的最值，根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可． 21*cnjy*com
三、解答题（共4题；共20分）
13【答案】解：（1）设t小时后蓄水池中的水量为y吨， 则y=400+60t-120； 令=x；则x2=6t，即y=400+10x2﹣120x=10（x﹣6）2+40； ∴当x=6，即t=6时，ymin=40， 即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． （2）依题意400+10x2﹣120x＜80，得x2﹣12x+32＜0 解得，4＜x＜8，即，； 即由，所以每天约有8小时供水紧张 21教育名师原创作品
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据题意先设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨．写出蓄水池中的存水量的函数表达式，再利用换元法求此函数的最小值即得； （2）先由题意得：y≤80时，就会出现供水紧张．由此建立关于x的不等关系，最后解此不等式即得一天中会有多少小时出现这种供水紧张的现象．
14【答案】
解：设酒店将房费提高到x元，每天的客房的总收入为y元． 则每天入住的客房间数为间， 由及x≥0得：0≤x≤800．． 依题意知：y=x=-=-． 因为0≤x≤800，所以当x=400时，y有最大值为80000元． 答：酒店将房费提高到400元时，每天客房的总收入最高．
【考点】函数最值的应用
【解析】【分析】先确定每天入住的客房间数，可得每天客房的总收入，利用配方法求最值，即可得到结论．
四、填空题（共2题；共2分）
15【答案】150
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：依题意甲、乙、丙、丁、戊还钱数组成以300为首项，d为公差的等差数列，又300×5+ =1000，∴d=50， 则丁还钱数300﹣150=150． 故答案为150． 【分析】依题意甲、乙、丙、丁、戊还钱数组成以300为首项，d为公差的等差数列，利用条件求出d，则答案可求． www.21-cn-jy.com
16【答案】
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】
【解答】解：由题意，空闲率为 1﹣ ， ∴y=kx（1﹣ ），定义域为（0，m）， y=kx（1﹣ ）=﹣ ， 因为 x∈（0，m），k＞0； 所以当x= 时，ymax= ． 故答案为 ． 【分析】由鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．我们根据题意求出空闲率，即可得到y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域，使用配方法，易分析出鱼群年增长量的最大值．
模拟题精练
一、单选题
1【答案】A
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】解：由题意，繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），这种动物第2年有100只 ∴100=alog3（2+1）， ∴a=100， ∴y=100log3（x+1）， ∴当x=8时，y=100 log3（8+1）=100×2=200． 故选A． 【分析】根据这种动物第2年有100只，先确定函数解析式，再计算第8年的繁殖数量即可．
2【答案】B
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】解：由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在（0，+∞）上是增函数， 且y的变化随x的增大越来越快； ∵A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数； ∴排除A，C、D答案； ∴B中函数y=（x2﹣1）符合题意． 故选：B． 【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案．
3【答案】D
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】解：由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型， 故选 D． 【分析】由题意可知，利润y与时间x的关系是个增函数，而且增长速度越来越慢，符合对数函数的特征．
4【答案】D
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】解：根据x=0.50，y=﹣0.99，代入计算，可以排除A； 根据x=2.01，y=0.98，代入计算，可以排除B、C； 将各数据代入函数y=log2x，可知满足题意 故选D． 【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论． 21cnjy.com
5【答案】A
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】解：指数函数增长速度最快， 故选A． 【分析】由题意，指数函数增长速度最快．
6【答案】C
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】解：由题意知： 拟定函数应满足是单调增函数，且先慢后快； ②在x=50左右增长缓慢，最小值为500； A中，y=（x﹣50）2+500是先递减后增加，不符合要求； B中，是指数函数类型，是增长越来越快的，不符合要求； C中，是y=x3的平移和伸缩变换而得，最符合题目要求 D中，y=50[10+lg（2x+1）]是对数函数类型，增长速度越来越慢，不符合要求； 故选：C． 【分析】根据题意，拟定函数应满足是单调增函数，且先慢后快；②在x=50左右增长缓慢，最小值为500；根据要求判定选项中的函数是否满足即可．
7【答案】B
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】解：∵f（x）=x2 ， g（x）=2x ， h（x）=log2x，∴f'（x）=2x，g'（x）=2xln2，h'（x）= ， 当x＞4时，2xln2＞2x＞ ， ∴g'（x）＞f'（x）＞h'（x）， 故三个函数的增长速度为g（x）＞f（x）＞h（x）． 故选B． 【分析】先对三个函数分别求导，然后根据x的范围判断导函数的大小关系，进而可判断其对应函数的增长速度的快慢． 【版权所有：21教育】
8【答案】C
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q= 的等比数列， 由S6=378，得S6= ，解得：a1=192， ∴ ，此人第4天和第5天共走了24+12=36里． 故选：C． 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程 21·世纪*教育网
9【答案】C
【考点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：令t=f（m），即有f（t）=3t ， 当t＜1时，2t+1=3t∈（0，3），即为﹣ ＜t＜1， 设g（t）=2t+1﹣3t ， 令g（t）=0，可得t=0， 由f（m）=2m+1=0，可得m=﹣ ； 当t≥1时，f（t）=3t ， 若2m+1≥1，且m＜1，解得0≤m＜1； 若3m≥1，且m≥1，解得m≥1， 可得m≥0． 综上可得，m的范围是[0，+∞）∪{﹣ }． 故选C． 【分析】令t=f（m），即有f（t）=3t ， 当t＜1时，2t+1=3t ， 解得t=0，进而求得m的值；当t≥1时，f（t）=3t ， 讨论m的范围，结合指数函数的单调性可得m的范围．
二、填空题
10【答案】③；5月、6月
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】解：（1）因为f（x）=pqx是单调函数，f（x）=px2+qx+1，只有两个单调区间，不符合题设中的价格变化规律 在f（x）=（x﹣1）（x﹣q）2+p中， f′（x）=3x2﹣4qx+q2 ， 令f′（x）=0，得x=q，x=， 即f（x）有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，符合题设中的价格变化规律 所以应选f（x）=x（x﹣q）2+p为其成绩模拟函数． （2）①由f（0）=4，f（2）=6，得 得 f（x）=x3﹣6x2+9x+4（1≤x≤12，且x∈Z）． 由f′（x）=3x2﹣12x+9≤0得：1≤x≤3， 由题意可预测该果品在5、6月份内价格下跌． 故答案为：（1）③；（2）5月、6月． 【分析】（1）欲找出能较准确反映数学成绩与考试序次关系的模拟函数，主要依据是呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f（x）=x（x﹣q）2+p为其成绩模拟函数． （2）由题中条件：f（0）=4，f（2）=6，得方程组，求出p，q即可，从而得到f（x）的解析式即可预测该果品在哪几个月份内价格下跌．
11【答案】③④⑤
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【解答】解：路程fi（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系是： ， f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1）， 它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命题①不正确； 当x=4时，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命题②不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面， 命题③正确； 指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确． 结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确． 故答案为：③④⑤． 【分析】分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确． 21世纪教育网版权所有
12 【答案】150
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：依题意甲、乙、丙、丁、戊还钱数组成以300为首项，d为公差的等差数列，又300×5+ =1000，∴d=50， 则丁还钱数300﹣150=150． 故答案为150． 【分析】依题意甲、乙、丙、丁、戊还钱数组成以300为首项，d为公差的等差数列，利用条件求出d，则答案可求．
三、解答题（共3题；共15分）
13【答案】解：若模拟函数为y=ax2+bx+c 由已知得 ，解得?? ， 则有 y=﹣0.05x2+0.35x+0.7 因此当x=4是，y=1.3??????????????????????????????????????????? 若模拟函数为 y=p?qx+r， 由已知得 ，解得 则有 y=﹣0.8×0.5x+1.4 因此当x=4是，y=1.35???????????????????????????????????????????? ∵1.35比1.3更接近1.36 ∴应将y=﹣0.8×0.5x+1.4作为模拟函数． 【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异 【解析】【分析】先设二次函数为y=ax2+bx+c由已知得出关于a，b，c的方程组，从而求得其解析式，得出x=4时的函数值；又对函数y=p?qx+r由已知得出p，q，r的方程，得出其函数式，最后求得x=4时的函数值，最后根据四月份的实际产量决定选择哪一个函数式较好．
14【答案】【解答】（I）图象C1对应的函数：g（x）=x3； 图象 C2对应的函数：f（x）=2x ． （II）记h（x）=f（x）﹣g（x），由h（1）=1，h（2）=﹣4， 由h（1）?h（2）＜0， 得x1∈[1，2]，∴a=1． 同理：h（9）=﹣217，h（10）=24，h（9）?h（10）＜0， 可得x2∈[9，10]，∴b=9． （III）由两个函数的图象及两个函数的增长速度的快慢可得，f（6）＜g（6）＜g（2011）＜f（2011）．
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
【解析】【分析】（I）由幂函数和指数函数的增长的特点知，当自变量取值足够大时，2x远大于 x3 ， 故g（x）=x3 ， f（x）=2x ． （II）由h（1）?h（2）＜0，得x1∈[1，2]，由h（9）?h（10）＜0，可得x2∈[9，10]，从而得出a，b的值． （III）由两个函数的图象及两个函数的增长速度的快慢可得，当自变量取值足够大时，2x远大于 x3 ．
15【答案】解：设酒店将房费提高到x元，每天的客房的总收入为y元． 则每天入住的客房间数为间， 由及x≥0得：0≤x≤800．． 依题意知：y=x=-=-． 因为0≤x≤800，所以当x=400时，y有最大值为80000元． 答：酒店将房费提高到400元时，每天客房的总收入最高．
【考点】函数最值的应用
【解析】【分析】先确定每天入住的客房间数，可得每天客房的总收入，利用配方法求最值，即可得到结论．
