2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.11定积分与微积分基本定理
考纲剖析
1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
2．了解微积分基本定理的含义.
知识回顾
1．定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式21·世纪*教育网
(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作，即＝f(ξi)．21*cnjy*com
(2)定积分的几何意义
①当f(x)≥0时，定积分表示由直线 和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)
②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分表示介于x轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即＝ .
2．定积分的性质
1、当a=b时
2、当a>b时
3、常数可以提到积分号前
4、代数和的积分等于积分的代数和
5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0则
7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在（a，b)内使
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么＝ ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
精讲方法
一、定积分的概念与微积分基本定理
（一）定积分的计算（利用定义）
（1）由定积分定义求定积分的步骤为
①分割；
②近似代替；
③求和；
④取极限。
（2）关于定积分的概念应注意的问题
①积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即
②定义中区间的分法和的取法都是任意的。
③在定积分的定义中，限定下限小于上限，即a（二）定积分的计算（利用微积分基本定理）
（1）求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形。
（2）计算简单定积分的步骤
①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；
②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；
③分别用求导公式找到F(x)，使得F‘(x)=f(x);
④利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；
⑤计算所求定积分的值。
（三）求分段函数（带绝对值的函数）的积分
（1）分段函数的定积分
①分段函数在区间[a,b]上的积分可分成几段积分的和的形式；
②分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细。
（2）奇偶函数在对称区间上的积分
①若f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则;
②若f(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则
二、定积分的简单应用
（一）利用定积分求图形的面积
（1）利用定积分求曲边梯形面积的步骤
①画出曲线的草图，确定图形范围；
②借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
③将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和或差；
④计算定积分，写出答案。
注：利用定积分
（2）关键环节
①认定曲边梯形，选定积分变量；
②确定被积函数与积分上、下限。
注：被积函数实际上就是曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数，当某一边界是不同函数的图象时就要分段去求。【来源：21·世纪·教育·网】
（二）定积分在物理方面的应用
（1）物体作变速直线运动的速度v(t)等于加速度函数a=a(t)在时间区间[m,n]上的定积分。
（2）求变力作功的方法
①求变力作功，要根据物理学的实际意义，求出变力F(x)的表达式，这是求功的关键；
②由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从x=a移到x=b(a③根据变力作功公式即可求出变力F(x)所作的功。
真题精析
1、（2013?北京）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（?? ） 21cnjy.com
A、 B、2 C、 D、
2、（2013?江西）若S1= x2dx，S2= dx，S3= exdx，则S1 ， S2 ， S3的大小关系为（?? ） 21·cn·jy·com
A、S1＜S2＜S3 B、S2＜S1＜S3 C、S2＜S3＜S1 D、S3＜S2＜S1 www-2-1-cnjy-com
3、（2014?湖北）若函数f（x），g（x）满足 f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数： ①f（x）=sin x，g（x）=cos x； ②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1； ③f（x）=x，g（x）=x2 ， 其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（?? ） 【版权所有：21教育】
A、0 B、1 C、2 D、3
4、（2014?湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（?? ）
A、x= B、x= C、x= D、x=
5、（2014?江西）若f（x）=x2+2 f（x）dx，则 f（x）dx=（?? ）
A、﹣1 B、﹣ C、 D、1
6、（2014?山东）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（?? ）
A、2 B、4 C、2 D、4
7、（2014?陕西）定积分 的值为（?? ）
A、e+2 B、e+1 C、e D、e﹣1
8、（2015湖南）=________?.
9、（2013?湖南）若 ，则常数T的值为________．
10、?（2015天津）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为________ 。
模拟题精练
一、单选题
1.（2017山西临汾二模）一物体A以速度v（t）=t2﹣t+6沿直线运动，则当时间由t=1变化到t=4时，物体A运动的路程是（?? ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、26.5 B、53 C、31.5 D、63
2.（2016广西桂林模拟）由曲线y=x2和曲线y= 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为（?? ）
A、 B、 C、 D、
3.（2016陕西商洛模拟）若 ，则 的展开式中的常数项（?? ）
A、 B、- C、20 D、﹣15
4.（2016山东模拟）一辆汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v（t）=2+sint（t的单位：h，v单位：km/h），那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s（单位：km）是（?? ） 21世纪教育网版权所有
A、3﹣cos1 B、3+cos1 C、1+cos1 D、1﹣cos1
5.（2016甘肃金昌永昌一中期中）曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的面积是（?? ） 2-1-c-n-j-y
A、0 B、1 C、2 D、3
6.（2017河北邯郸一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是（?? ）
A、 B、 C、 D、
7、（2013?湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（?? ）
A、1+25ln5 B、8+25ln C、4+25ln5 D、4+50ln2
8.（2017北京丰台一模）定积分 =（?? ）
A、10﹣ln3 B、8﹣ln3 C、 D、
9.（2016广西桂林十八中测试）的值是（?? ）
A、 B、 C、 D、
10.（2017广东深圳三校联考一模）定积分 x2dx=（?? ）
A、0 B、 C、1 D、2
11.（2017甘肃兰州一中期中）曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积是（?? ） 21教育名师原创作品
A、2π B、3π C、 D、π
12.（2017河南周口西华一中期中）若函数f（x），g（x）满足 （x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数： ①f（x）=sin x，g（x）=cos x； ②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1； ③f（x）=x，g（x）=x2 ， 其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（?? ）
A、0 B、1 C、2 D、3
13.（2017江西宜春南苑实验期中）设 ， ， ，则a、b、c的大小关系为（）
A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、a＞c＞b D、b＞c＞a
14.（2017广东天河三模）由直线x= ，x=2，曲线y=﹣ 及x轴所围图形的面积为（?? ）
A、﹣2ln2 B、2ln2 C、 D、
15.（2017河南信阳息县一中三模）设f（x）= ，则 的值为（?? ）
A、+ B、+3 C、+ D、+3
16.（2017安徽六安舒城中学仿真卷）设k是一个正整数，（1+ ）k的展开式中第四项的系数为 ，记函数y=x2与y=kx的图象所围成的阴影部分为S，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（?? ）
A、 B、 C、 D、
17.（2017广东汕头潮南考前模拟）设，则二项式（ax﹣ ）5展开式中含x2项的系数是（?? ）
A、80 B、640 C、﹣160 D、﹣40
18.（2017贵州铜仁四中模拟）已知等比数列{an}，且a6+a8= ，则a8（a4+2a6+a8）的值为（?? ）
A、π2 B、4π2 C、8π2 D、16π2
19.（2017河南高考诊断）如图所示，已知AB，CD是圆O中两条互相垂直的直径，两个小圆与圆O以及AB，CD均相切，则往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为（?? ） 【出处：21教育名师】
A、12﹣8 B、3﹣2 C、8﹣5 D、6﹣4
填空题（共23题；共23分）
20 .（2017广东广州一模）定积分 （ +x）dx的值为________
21（2016河南驻马店期末）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2 ， 若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________． 2·1·c·n·j·y
22.（2017广东中山华侨中学模拟）由函数y=lnx和y=ex﹣1的图象与直线x=1所围成的封闭图形的面积是________．
23.（2016山西孝义模拟）由直线x= ，y=x，曲线y= 所围成封闭图形的面积为________．
24.（2017安徽六安模拟）若f（x）=ax2+（a﹣2）x+a2是偶函数，则 ________． 21教育网
25.（2016江西宜春三中期中）由y=x3 ， y2=x围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积为________．
26.（2016江西宜春三中期中）已知f（x）=∫0x（2t﹣4）dt，则当x∈[1，3]时，f（x）的最小值为________．
27. （2017山东K12教育联盟模拟）定积分 的值为________．
28 .（2017江西南昌二中模拟）=________．
29.（2017吉林白山二模）若 ，则t=________
30.（2017江西九校联考一模）________．
31.（2017贵州贵阳二模）定积分 的值为________．
32.（2017福建福州一中模拟）2x+ ）dx=________．
33.（2017江西鹰潭二模）a0+a1x+a2x2+…+anxn）dx=x（x+1）n ， 则a1+a2+…+an=________． www.21-cn-jy.com
34.（2017贵州铜仁四中模拟）定积分 的值为________．
35.（河北石家庄二中三模）=________．
36.（2017河南南阳一中四模）已知a＞0， 展开式的常数项为15，则 =________． 21*cnjy*com
37.（2017湖北襄阳四中五模）已知函数y=cosx的图象与直线 以及x轴所围成的图形的面积为a，则（x﹣ ）（2x﹣ ）5的展开式中的常数项为________（用数字作答）．
38.（2017湖北襄阳五中三模）若（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ， 其中a= sinx﹣cosx）dx，则a0+a1+a2+…+a6的值为________．
39、（2017山东重点中学冲刺模拟） =________．
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
2.11定积分与微积分基本定理（答案）
知识回顾
(2)定积分的几何意义
①当f(x)≥0时，定积分表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)
②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分表示介于x轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即＝A1＋A3－A2.
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
真题精析
1、（2013?北京）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（?? ）
A、 B、2 C、 D、
【答案】C
【考点】定积分
【解析】【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）， ∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直， ∴直线l的方程为y=1， 由 ，可得交点的横坐标分别为﹣2，2． ∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x﹣ ）| = ． 故选：C． 【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．
2、（2013?江西）若S1= x2dx，S2= dx，S3= exdx，则S1 ， S2 ， S3的大小关系为（?? ） 21*cnjy*com
A、S1＜S2＜S3 B、S2＜S1＜S3 C、S2＜S3＜S1 D、S3＜S2＜S1
【答案】B
【考点】微积分基本定理
【解析】【解答】解：由于S1= x2dx= | = ， S2= dx=lnx| =ln2， S3= exdx=ex| =e2﹣e． 且ln2＜ ＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3 ． 故选：B． 【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．
3、（2014?湖北）若函数f（x），g（x）满足 f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数： ①f（x）=sin x，g（x）=cos x； ②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1； ③f（x）=x，g（x）=x2 ， 其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（?? ） 2·1·c·n·j·y
A、0 B、1 C、2 D、3
【答案】C
【考点】微积分基本定理 【解析】【解答】解：对于①： ?[sin x?cos x]dx= （ sinx）dx=﹣ cosx =0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数； 对于②： （x+1）（x﹣1）dx= （x2﹣1）dx=（ ） ≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数； 对于③： x3dx=（ ） =0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数， ∴正交函数有2组， 故选：C． 【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论． 21cnjy.com
4、（2014?湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（?? ） 21·cn·jy·com
A、x= B、x= C、x= D、x=
【答案】A
【考点】定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ）， f（x）dx=﹣cos（x﹣φ） =﹣cos（ ﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]= cosφ﹣ sinφ= cos（φ+ ）=0， ∴φ+ =kπ+ ，k∈z，即 φ=kπ+ ，k∈z，故可取φ= ，f（x）=sin（x﹣ ）． 令x﹣ =kπ+ ，求得 x=kπ+ ，k∈Z， 则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x= ， 故选：A． 【分析】由 f（x）dx=0求得 cos（φ+ ）=0，故有 φ+ =kπ+ ，k∈z．可取φ= ，则f（x）=sin（x﹣ ）． 令x﹣ =kπ+ ，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．
5、（2014?江西）若f（x）=x2+2 f（x）dx，则 f（x）dx=（?? ）
A、﹣1 B、﹣ C、 D、1
【答案】B
【考点】定积分
【解析】【解答】解：若 f（x）dx=﹣1，则：f（x）=x2﹣2， ∴x2﹣2=x2+2 （x2﹣2）dx=x2+2（ ） =x2﹣ ，显然A不正确； 若 f（x）dx=- ，则：f（x）=x2﹣ ， ∴x2﹣ =x2+2 （x2﹣ ）dx=x2+2（ ） =x2﹣ ，显然B正确； 若 f（x）dx= ，则：f（x）=x2+ ， ∴x2+ =x2+2 （x2+ ）dx=x2+2（ ） =x2+2，显然C不正确； 若 f（x）dx=1，则：f（x）=x2+2， ∴x2+2=x2+2 （x2+2）dx=x2+2（ ） =x2+ ，显然D不正确； 故选：B． 【分析】利用回代验证法推出选项即可． 21教育名师原创作品
6、（2014?山东）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（?? ）
A、2 B、4 C、2 D、4
【答案】D
【考点】定积分
【解析】【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0， 曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫ （4x﹣x3）dx， 而∫ （4x﹣x3）dx=（2x2﹣ x4）| =8﹣4=4， ∴曲边梯形的面积是4， 故选：D． 【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
7、（2014?陕西）定积分 的值为（?? ）
A、e+2 B、e+1 C、e D、e﹣1
【答案】C
【考点】定积分 【解析】【解答】解： （2x+ex）dx=（x2+ex） =（1+e）﹣（0+e0）=e． 故选：C． 【分析】根据微积分基本定理计算即可． 21世纪教育网版权所有
8、（2015湖南）=________?.
【答案】0
【考点】定积分的简单应用
【解析】【解答】 【分析】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解。
9、（2013?湖南）若 ，则常数T的值为________．
【答案】3
【考点】定积分 【解析】【解答】解： = =9，解得T=3， 故答案为：3． 【分析】利用微积分基本定理即可求得． www.21-cn-jy.com
10、?（2015天津）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为________ 。
【答案】
【考点】用定积分求简单几何体的体积
【解析】【解答】在同一坐标系内做出两个函数的图像，解译程组得两曲线的交点坐标为,由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积 【分析】本题主要考查定积分几何意义与运算能力，定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，即考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力。
模拟题精练
一、单选题
1.（2017山西临汾二模）一物体A以速度v（t）=t2﹣t+6沿直线运动，则当时间由t=1变化到t=4时，物体A运动的路程是（?? ） 21·世纪*教育网
A、26.5 B、53 C、31.5 D、63
【答案】C
【考点】定积分
【解析】【解答】解：由题意可得， 在t=1和t=4这段时间内物体A运动的路程是 S= （t2﹣t+6）dt=（ t3﹣ t2+6t）| =（ ﹣8+24）﹣（ ﹣ +6）=31.5 故选：C． 【分析】由题意可得，在t=1和t=4这段时间内物体A运动的路程是S= （t2﹣t+6）dt，求解定积分得答案． www-2-1-cnjy-com
2.（2016广西桂林模拟）由曲线y=x2和曲线y= 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【考点】定积分 【解析】【解答】解：有图可知阴影的面积S= = = ． 故选：A 【分析】利用积分求阴影的面积，找到积分上下限，和积分函数．
3.（2016陕西商洛模拟）若 ，则 的展开式中的常数项（?? ）
A、 B、- C、20 D、﹣15
【答案】B
【考点】定积分 【解析】【解答】解： 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一， 故 = ， 则 =（ ﹣ ）6 ， 其通项公式为C6k（ ）6﹣k?（﹣ ）k=C6k（ ）6﹣k?（﹣1）kx6﹣2k ， 令6﹣2k=0，即k=3， 故常数项为C63（ ）6﹣3?（﹣1）3=﹣ ， 故选：B． 【分析】先根据定积分的几何意义求出a的值，再再由二项式展开式的通项公式，令x的次数为0，即可求得． 2-1-c-n-j-y
4.（2016山东模拟）一辆汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v（t）=2+sint（t的单位：h，v单位：km/h），那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s（单位：km）是（?? ）
A、3﹣cos1 B、3+cos1 C、1+cos1 D、1﹣cos1
【答案】A
【考点】定积分的简单应用
【解析】【解答】解：由v（t）=2+sint＞0， 故这辆车行驶的路程S= v（t）dt═ （2+sint）dt=（2t﹣cost） =（2﹣cos1）﹣（﹣cos0）=3﹣cos1， 故选：A． 【分析】根据定积分的物理意义即可求出路程．
5.（2016甘肃金昌永昌一中期中）曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的面积是（?? ）
A、0 B、1 C、2 D、3
【答案】C
【考点】微积分基本定理 【解析】【解答】解：由题意，y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的面积是 =2 =2sinx =2 故选C． 【分析】用定积分表示出面积，再求定积分，即可得到结论． 【来源：21·世纪·教育·网】
6.（2017河北邯郸一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，则D（2，1）， 设抛物线方程为y2=2px，代入D，可得p= ，∴y= ， ∴S= ， 故选D． 【分析】由题意，建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，利用定积分求面积即可．
7、（2013?湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（?? ） 【版权所有：21教育】
A、1+25ln5 B、8+25ln C、4+25ln5 D、4+50ln2
【答案】C
【考点】定积分 【解析】【解答】解：令v（t）=7﹣3t+ ，化为3t2﹣4t﹣32=0，又t＞0，解得t=4． ∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s= = =4+25ln5． 故选C． 【分析】令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S= ，解出即可．
8.（2017北京丰台一模）定积分 =（?? ）
A、10﹣ln3 B、8﹣ln3 C、 D、
【答案】B
【考点】定积分 【解析】【解答】解： = =8﹣ln3， 故选B． 【分析】求出原函数，即可求出定积分． 21*cnjy*com
9.（2016广西桂林十八中测试）的值是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【考点】定积分，微积分基本定理 【解析】【解答】解： = ， 设 ，则（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），表示为圆心在（1，0），半径为1的上半圆的 ，所以由积分的几何意义可知 dx= ×π×12= ， 而 ， 所以 = ． 故选：A． 【分析】根据微积分的积分公式和微积分基本定理的几何意义进行计算即可．
10.（2017广东深圳三校联考一模）定积分 x2dx=（?? ）
A、0 B、 C、1 D、2
【答案】A
【考点】定积分 【解析】【解答】解：定积分 x2dx= | = （1+1）= ， 故选：A． 【分析】根据定积分的计算法则计算即可
11.（2017甘肃兰州一中期中）曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积是（?? ）
A、2π B、3π C、 D、π
【答案】A
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】解：根据余弦函数的对称性，可知①与②，③与④的面积分别相等， ∴曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积即为x轴上方矩形的面积 即1×2π=2π ∴曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积是2π 故选A． 【分析】根据余弦函数的对称性，可知①与②，③与④的面积分别相等，所以曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积即为x轴上方矩形的面积，由此可得结论．
12.（2017河南周口西华一中期中）若函数f（x），g（x）满足 f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数： ①f（x）=sin x，g（x）=cos x； ②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1； ③f（x）=x，g（x）=x2 ， 其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（?? ）
A、0 B、1 C、2 D、3
【答案】C
【考点】微积分基本定理 【解析】【解答】解：对于①： [sin x?cos x]dx= （ sinx）dx=﹣ cosx =0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数； 对于②： （x+1）（x﹣1）dx= （x2﹣1）dx=（ ） ≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数； 对于③： x3dx=（ ） =0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数， ∴正交函数有2组， 故选：C． 【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．
13.（2017江西宜春南苑实验期中）设 ， ， ，则a、b、c的大小关系为（）
A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、a＞c＞b D、b＞c＞a
【答案】A
【考点】微积分基本定理
【解析】【解答】解：∵ = = ， =1﹣ = ， = = ， 又 ， ∴c＜b＜a． 故选A． 【分析】利用微积分基本定理分别计算出a，b，c进而即可比较出答案．
14.（2017广东天河三模）由直线x= ，x=2，曲线y=﹣ 及x轴所围图形的面积为（?? ）
A、﹣2ln2 B、2ln2 C、 D、
【答案】C
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】解：如图： 则阴影部分的面积S= ?[0﹣（﹣ ）]dx═ dx=lnx| =ln2﹣ln =ln2+ln2=2ln2， 故选：B 【分析】作出函数的图象，利用积分进行求解即可． 21教育网
15.（2017河南信阳息县一中三模）设f（x）= ，则 的值为（?? ）
A、+ B、+3 C、+ D、+3
【答案】A
【考点】定积分
【解析】【解答】解：根据定积分性质可得 f（x）dx= + ， 根据定积分的几何意义， 是以原点为圆心，以1为半径圆面积的 ， = ， ∴ f（x）dx= +（ ） ， = + ， 故答案选：A． 【分析】根据定积分性质可得 f（x）dx= + ，然后根据定积分可得．
16.（2017安徽六安舒城中学仿真卷）设k是一个正整数，（1+ ）k的展开式中第四项的系数为 ，记函数y=x2与y=kx的图象所围成的阴影部分为S，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【考点】定积分在求面积中的应用，几何概型
【解析】【解答】解：根据题意得 ， 解得：k=4或 k= （舍去） 解方程组 ， 解得：x=0或4 ∴阴影部分的面积为 = ， 任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）对应区域面积为4×16=64， 由几何概型概率求法得点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为 ； 故选C． 【分析】先利用二项式定理求出k值，再利用积分求阴影部分的面积，那积分的上下限由求方程组得到．然后利用几何概型的概率公式解答．
17.（2017广东汕头潮南考前模拟）设，则二项式（ax﹣ ）5展开式中含x2项的系数是（?? ）
A、80 B、640 C、﹣160 D、﹣40
【答案】A
【考点】定积分，二项式系数的性质
【解析】【解答】解：a= xdx= x2 = =2，则二项式（ax﹣ ）5 ， 即（2x﹣ ）5 ， 故展开式的通项公式为Tr+1= ?（﹣1）r?25﹣r? ，令5﹣ =2，求得r=2， 故展开式中含x2项的系数为 ?23=80， 故选：A． 【分析】求定积分求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于02，求出r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．
18.（2017贵州铜仁四中模拟）已知等比数列{an}，且a6+a8= ，则a8（a4+2a6+a8）的值为（?? ）
A、π2 B、4π2 C、8π2 D、16π2
【答案】D
【考点】定积分
【解析】【解答】解： 表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一， 故a6+a8= =4π， ∴a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82=a62+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16π2 ． 故选：D 【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8= =4π，再根据等比数列的性质即可求出． 【来源：21cnj*y.co*m】
19.（2017河南高考诊断）如图所示，已知AB，CD是圆O中两条互相垂直的直径，两个小圆与圆O以及AB，CD均相切，则往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为（?? ）
A、12﹣8 B、3﹣2 C、8﹣5 D、6﹣4
【答案】D
【考点】定积分，几何概型
【解析】【解答】解：设小圆半径为r，则圆O的半径为r+ r，由几何概型的公式得到：往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为：r+ ； 故选：D． 【分析】由题意，本题是几何概型，只要利用阴影部分的面积与圆O的面积比求概率．
填空题（共23题；共23分）
20 .（2017广东广州一模）定积分 （ +x）dx的值为________
【答案】
【考点】定积分
【解析】【解答】解：根据定积分的几何意义可知 dx表示以1为半径的圆面积的 ， ∴ dx= ， 又 xdx= | = ， ∴ （ +x）dx= dx+ xdx= ． 故答案为： ． 【分析】根据定积分的几何意义计算 dx，利用微积分基本定理计算 xdx，然后相加即可．
21.（2016河南驻马店期末）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2 ， 若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
【答案】
【考点】定积分的简单应用，几何概型
【解析】【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4， 阴影部分的面积为 =（4x﹣ ）| = ， 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于 ； 故答案为： ． 【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．
22.（2017广东中山华侨中学模拟）由函数y=lnx和y=ex﹣1的图象与直线x=1所围成的封闭图形的面积是________．
【答案】e﹣1
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】解：由函数y=lnx和y=ex﹣1的图象与直线x=1所围成的封闭图形如图： 则A（1，e）、B（e，1）、C（0，1）， 则封闭图形的面积S= =（elnx﹣xlnx+x） =e﹣1， 故答案为：e﹣1． 【分析】做出函数y=lnx和y=ex﹣1的图象及x=1，求出交点坐标，可知封闭图形的面积为函数ex﹣1﹣lnx在1到e的定积分，即可求得结论．
23.（2016山西孝义模拟）由直线x= ，y=x，曲线y= 所围成封闭图形的面积为________．
【答案】
【考点】定积分在求面积中的应用
【解析】【解答】解：由 ，解得x=1，y=1， ∴直线x= ，y=x，曲线y= 所围成封闭图形的面积为S= （ ﹣x）dx=（lnx﹣ x2）| ?=（ln1﹣ ）﹣（﹣ln2﹣ ） =ln2﹣ ， 故答案为： 【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示面积，即可求得结论．
24.（2017安徽六安模拟）若f（x）=ax2+（a﹣2）x+a2是偶函数，则 ________．
【答案】+2π
【考点】定积分
【解析】【解答】解：若f（x）=ax2+（a﹣2）x+a2是偶函数， 则a﹣2=0，即a=2， 故f（x）=2x2+4， 则 （x2+x+ ）dx= x2dx+ xdx+ dx = x3 + x2 +2π = +2π， 故答案为： +2π． 【分析】根据函数的奇偶性求出a的值，求定积分的值即可．
25.（2016江西宜春三中期中）由y=x3 ， y2=x围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积为________．
【答案】
【考点】用定积分求简单几何体的体积
【解析】【解答】解：由函数图象可知函数的交点为（0，0）和（1，1）， 设旋转体的体积为V， π （x﹣x6）dx=π（ ） = ， 故答案为： ． 【分析】欲求曲线y=x3 ， y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y=π（x﹣x6）在0→1上的积分即可．
26.（2016江西宜春三中期中）已知f（x）=∫0x（2t﹣4）dt，则当x∈[1，3]时，f（x）的最小值为________．
【答案】-4
【考点】函数的最值及其几何意义，微积分基本定理
【解析】【解答】解：f（x）=∫0x（2t﹣4）dt=（t2﹣4t）|0x=x2﹣4x =（x﹣2）2﹣4（1≤x≤3）， ∴当x=2时，f（x）min=﹣4． 故答案是﹣4． 【分析】首先由不定积分的基本求法求出f（x）的函数表达式（x﹣2）2﹣4，这是一个以x=2为对称轴的抛物线．由于定义域包含对称轴，即X=2时取得最小值为﹣4，故答案是﹣4．
27. （2017山东K12教育联盟模拟）定积分 的值为________．
【答案】
【考点】定积分
【解析】【解答】解： = = +0= ；故答案为： ． 【分析】首先利用定积分的运算法则写成定积分和的形式，然后利用定积分的几何意义求值．
28 .（2017江西南昌二中模拟）=________．
【答案】4
【考点】定积分
【解析】【解答】解：原式= ， 其中 表示如图所示 单位圆的面积， ∴ = ． ∴原式= =2+2=4． 故答案为：4． 【分析】利用定积分的几何意义和微积分基本定理即可得出．
29.（2017吉林白山二模）若 ，则t=________
【答案】2
【考点】定积分 【解析】【解答】解：∵ （﹣ +2x）dx=（﹣lnx+x2）| =﹣lnt+t2﹣1， ∴3﹣ln2=﹣lnt+t2﹣1，解得t=2． 故答案为：2． 【分析】利用微积分基本定理计算 （﹣ +2x）dx，列方程解出t即可．
30.（2017江西九校联考一模）________．
【答案】1+
【考点】定积分 【解析】【解答】解： （2x+ ）dx= 2xdx+ dx， 由定积分的几何意义可知： dx表示单位圆面积的 ，即 dx= ， 2xdx=x2 =1， ∴ （2x+ ）dx=1+ ， 故答案为：1+ ． 【分析】利用定积分的运算性质，根据定积分的几何意义，即可求得答案，
31.（2017贵州贵阳二模）定积分 的值为________．
【答案】e﹣1
【考点】定积分 【解析】【解答】解：∵（ +ex﹣ x）′=x2+ex﹣ ， ∴ =（ +ex﹣ x） =（ ）﹣1=e﹣1． 故答案为：e﹣1． 【分析】根据微积分基本定理计算．
32.（2017福建福州一中模拟）2x+ ）dx=________．
【答案】1+
【考点】定积分 【解析】【解答】解： （2x+ ）dx= 2xdx+ dx， 由定积分的几何意义可知： dx表示单位圆面积的 ，即 dx= ， 2xdx=x2 =1， ∴ （2x+ ）dx=1+ ， 故答案为：1+ ． 【分析】利用定积分的运算性质，根据定积分的几何意义，即可求得答案，
33.（2017江西鹰潭二模）a0+a1x+a2x2+…+anxn）dx=x（x+1）n ， 则a1+a2+…+an=________． 【出处：21教育名师】
【答案】（n+2）2n﹣1﹣1
【考点】定积分
【解析】【解答】解： （a0+a1x+a2x2+…+anxn）dx=x（a0+ a1x+ a2x2+…+ anxn）=x（x+1）n ， ∴x（x+1）n=a0x+ a1x2+ a2x3+…+ anxn+1 ， 两边求导可得（x+1）n+nx（x+1）n﹣1=a0+a1x+a2x2+…+anxn ， 令x=1，则a0+a1+a2+…+an=2n+n?2n﹣1=（n+2）2n﹣1 ， 再令x=0，则a0=1， ∴a1+a2+…+an=（n+2）2n﹣1﹣1， 故答案为：（n+2）2n﹣1﹣1． 【分析】根据定积分的计算方法和求导法则得到（x+1）n+nx（x+1）n﹣1=a0+a1x+a2x2+…+anxn ， 再分别令x=1或x=0即可求出答案．
34.（2017贵州铜仁四中模拟）定积分 的值为________．
【答案】e﹣1
【考点】定积分 【解析】【解答】解：∵（ +ex﹣ x）′=x2+ex﹣ ， ∴ =（ +ex﹣ x） =（ ）﹣1=e﹣1． 故答案为：e﹣1． 【分析】根据微积分基本定理计算．
35.（河北石家庄二中三模）=________．
【答案】π+2
【考点】定积分 【解析】【解答】解： = ， 令y= ，得x2+y2=4（y≥0）， 则圆x2+y2=4的面积为4π， 由定积分的几何意义可得， ， 又 ， ∴ =π+2． 故答案为：π+2． 【分析】由和的积分等于积分的和展开，然后由定积分的几何意义求得 ，再求得 ，作和得答案．
36.（2017河南南阳一中四模）已知a＞0， 展开式的常数项为15，则 =________．
【答案】
【考点】定积分，二项式系数的性质
【解析】【解答】解：∵ 展开式的常数项为15，∴C （ ）4x2=15， ∴a4=1，又a＞0，∴a=1． ∵y= 表示半径为1的上半圆，y=sin2x是奇函数， ∴ = ， =0， ∴ = = ． 故答案为： ． 【分析】根据二项式定理计算a，再根据定积分的几何意义和性质计算即可．
37.（2017湖北襄阳四中五模）已知函数y=cosx的图象与直线 以及x轴所围成的图形的面积为a，则（x﹣ ）（2x﹣ ）5的展开式中的常数项为________（用数字作答）．
【答案】-200
【考点】定积分 【解析】【解答】解：由题意，a=| |=| |=| |=2． 故（x﹣ ）（2x﹣ ）5=（x﹣ ）（2x﹣ ）5 ． 展开式的常数项由（2x﹣ ）5 中含x的项乘以 再加上含 的项乘以x得到的． ∵（2x﹣ ）5 展开式的通项 ?x5﹣2r ． 令5﹣2r=1，得r=2，因此（2x﹣ ）5 的展开式中x的系数为 ． 令5﹣2r=﹣1，得r=3，因此（2x﹣ ）5 的展开式中 的系数为 ． ∴（x﹣ ）（2x﹣ ）5的展开式中的常数项为80×（﹣2）﹣40=﹣200． 故答案为：﹣200． 【分析】求定积分可得a值，然后求出二项式（2x﹣ ）5的通项，得到（2x﹣ ）5的展开式中含x及 的项，分别与（x﹣ ）中的项相乘求得答案．
38.（2017湖北襄阳五中三模）若（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ， 其中a= sinx﹣cosx）dx，则a0+a1+a2+…+a6的值为________．
【答案】1
【考点】定积分
【解析】【解答】解：a= （sinx﹣cosx）dx=（﹣cosx﹣sinx）| =﹣cosπ﹣sinπ+cos0+sin0=2， 所以（1+x）（2﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ， 其中a7=1，令x=1，得到a0+a1+a2+…+a6=2﹣1=1； 故答案为：1． 【分析】首先求出a，然后对x赋值，求系数和．
39、（2017山东重点中学冲刺模拟） =________．
【答案】2π
【考点】定积分
【解析】【解答】解： dx，表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的二分之一， 故 dx= π×22=2π， 2xdx=x2| =22﹣（﹣2）2=0， ∴ =2π 故答案为：2π 【分析】根据定积分的几何意义和定积分的计算法则计算即可．
