1.1.1任意角
一、教材分析
“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键。它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。
二、教学目标
1.理解任意角的概念；
2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重点难点
1．判断已知角所在象限；
2．终边相同的角的书写。
四、学情分析
五、教学方法
1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
七、课时安排：1课时
八、教学过程
（一）复习引入：
1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：
1．角的定义：一条射线绕着它的端点，从起始位置旋转到终止位置，形成
一个角，点
是角的顶点，射线分别是角的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．
2．角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：
在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合，则
（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：都是第一象限角；是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。例如：等等。
说明：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为
轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
4．终边相同的角的集合：由特殊角看出：所有与角终边相同的角，连同角
自身在内，都可以写成的形式；反之，所有形如的角都与角的终边相同。
从而得出一般规律：
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，
即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
5．例题分析：
例1
在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？
（1）
（2）
（3）
解：（1），
所以，与角终边相同的角是，它是第三象限角；
（2），
所以，与角终边相同的角是角，它是第四象限角；
（3），
所以，角终边相同的角是角，它是第二象限角。
例2
若，试判断角所在象限。
解：∵
∴与终边相同，
所以，在第三象限。
写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素
写出来：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1），
中适合的元素是
（2），
S中适合的元素是
（3）
S中适合的元素是
（三）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（四）发导学案、布置预习。
九、板书设计
十、教学反思
以学生的学习为视角，可以对这节课的教学进行如下反思：
（1）学生对课堂提问，回答是否积极？学生能否独立或通过合作探索出问题的结果？
（2）学生处理课堂练习题情况如何？可能的原因是什么？
（3）教学任务是否完成？
下面我们着重分析一下提问的效果。
在回答教学设计中的各项提问时，大多数学生存在一定困难，特别是“问题1：任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα的近似值．”和“问题5：现在，角的范围扩大了，由锐角扩展到了0°~360°内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中，你认为，对于任意角α，sinα怎样定义好呢？”
对于问题1，除了由于时间久而遗忘有关知识外，学生不熟悉独立地由一个锐角α，构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因，他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。
对于问题5，教师强调“在坐标系下怎么样？”后，有学生开始尝试回答。这说明这个问题要求的思维概括水平较高，学生仅利用锐角三角函数的有关知识，难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。因此，教师必须要提供必要的脚手架。
在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!1.1.2
弧度制
课前预习学案
一、预习目标：
1.了解弧度制的表示方法；
2.知道弧长公式和扇形面积公式.
二、预习内容
初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？
自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：
角的弧度制是如何引入的？
为什么要引入弧度制？好处是什么？
弧度是如何定义的？
角度制与弧度制的区别与联系
三、提出疑惑
1、平角、周角的弧度数？
2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？
课内探究学案
一、学习目标
1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）；
4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
二、重点、难点
弧度与角度之间的换算；
弧长公式、扇形面积公式的应用。
三、学习过程
（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？
（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。
<我们规定>
叫做1弧度的角，用符号
表示，读作
。
练习：圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？
<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？
由上可知：如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么，角的弧度数的绝对值是：
，的正负由
决定。
正角的弧度数是一个
，负角的弧度数是一个
，零角的弧度数是
。
<说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是
．
（三）角度与弧度的换算
rad
1=
归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是：
<试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30°
90°
120°
150°
270°
0
例1、把下列各角从度化为弧度：
(1)
（2）
(3)
(4)
变式练习：把下列各角从度化为弧度：
(1)22
30′
（2）—210
(3)1200
例2、把下列各角从弧度化为度：
（1）
(2)
3.5
(3)
2
(4)
变式练习：把下列各角从弧度化为度：
（1）
（2）—
（3）
（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式：
因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为．
扇形面积公式：．
说明：以上公式中的必须为弧度单位．
例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，，求该扇形的面积。
变式练习
1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。
2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的
倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是
．
4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角
的弧度数为
．
课堂小结：
1、弧度制的定义；
2、弧度制与角度制的转换与区别；
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
（七）作业布置
习题1.1A组第7，8，9题。
课后练习与提高
1．在中，若，求A，B，C弧度数。
2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
3．选做题
如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。
PAGE
11.1.2
弧度制
【教学目标】
①
了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
②
认识弧长公式，能进行简单应用.
对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
【教学重难点】
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
【教学过程】
（一）复习引入.
复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系
提出问题：
①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？
②
1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？
③
角的范围是什么？如何分类的？
（二）概念形成
初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？
1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：
(1)角的弧度制是如何引入的？
(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？
(3)弧度是如何定义的？
(4)角度制与弧度制的区别与联系
2．学生动手画图来探究：
(1)平角、周角的弧度数
(2)角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？
(3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？
3．角度制与弧度制如何换算？
rad
1=
归纳：把角从弧度化为度的方法是：
把角从度化为弧度的方法是：
一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30°
90°
120°
150°
270°
0
例1、把下列各角从度化为弧度：
(1)
（2）
(3)
(4)
解：(1)
（2）
(3)
(4)
变式练习：把下列各角从度化为弧度：
(1)22
30′
（2）—210
(3)1200
解：(1)
（2）
(3)
例2、把下列各角从弧度化为度：
（1）
(2)
3.5
(3)
2
(4)
解：（1）108
(2)200.5
(3)114.6
(4)45
变式练习：把下列各角从弧度化为度：
（1）
（2）—
（3）
解：（1）15
（2）-240
（3）54
弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.
弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式：
因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为．
扇形面积公式：．
说明：以上公式中的必须为弧度单位．
例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，，求该扇形的面积。
解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4
变式练习：
1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。
答案：
2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 2
倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是
4cm2
．
4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角
的弧度数为
．
课堂小结：
1、弧度制的定义；
2、弧度制与角度制的转换与区别；
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
（四）作业布置
习题1.1A组第7，8，9题。
（五）课后检测
1．在中，若，求A，B，C弧度数。
答案：A=
B=
C=
2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
答案：
3．选做题
如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。
答案：
〖板书设计〗
1.1.2
弧度制（一）复习引入概念形成
例1
例2（三）弧度下的弧长公式和扇形面积公式例3
小结：
正角
零角
负角
正实数
零
负实数1.1.1任意角
课前预习学案
一、预习目标
1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；
2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；
3、能用集合和数学符号表示象限角；
4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.
二、预习内容
1．回忆：初中是任何定义角的？
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”
（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
2.角的概念的推广：?
3．正角、负角、零角概念
4.象限角
思考三个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？
2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？
3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
（1）4200；
（2）-750；
（3）8550；
（4）-5100.
5.终边相同的角的表示
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；
（2）理解任意角以及象限角的概念；
（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；
学习重难点：
重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。
难点:
把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
二、学习过程
例1.
例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）
例2.写出终边在轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式
的元素写出来.
（三）【回顾小结】
1.尝试练习
（1）教材第3、4、5题.
（2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为
，分针转过的角度为
。
注意:
（1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
2.学习小结
你知道角是如何推广的吗
象限角是如何定义的呢
(3)你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗
(四)当堂检测
1．设，
，那么有（
）．
A． B． C．（
） D．
2．用集合表示：
（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在
轴右侧的角的集合．
3．在～
间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1）
；（2）
；（3）
．
3.解：（1）∵
∴与
角终边相同的角是
角，它是第三象限的角；
（2）∵
∴与
终边相同的角是
，它是第四象限的角；
（3）
所以与
角终边相同的角是
，它是第二象限角．
课后练习与提高
1.
若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？
2.
下列命题正确的是：
（
）
（A）终边相同的角一定相等。
（B）第一象限的角都是锐角。
（C）锐角都是第一象限的角。
（D）小于的角都是锐角。
3.
若a是第一象限的角，则是第
象限角。
4.一角为
，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_
_．
5.集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（
）
A．轴正半轴上， B．轴正半轴上，
C．
轴或
轴上， D．
轴正半轴或
轴正半轴上
6.设
，
C＝{α|α=
k180o+45o
,k∈Z}
，
则相等的角集合为_
_．
参考答案
1.
解：2小时40分=小时，
故分针走过的角为480。
2.
C
3.
一或三
4.
5.
C
6.
_B＝D，C＝E
