【备考2018】高考数学真题精讲精练专题3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数（2013-2017）

2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数
考纲剖析
1．了解任意角的概念；了解弧度制的概念．
2．能进行弧度与角度的互化．
3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识回顾
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．21cnjy.com
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
(2)公式：
角α的弧度数公式

角度与弧度的换算

弧长公式

扇形面积公式

3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ

＋

Ⅱ
＋

－
Ⅲ

－
＋
Ⅳ
－


口诀

续表
三角函数线
有向线段 为正弦线
有向线段 为余弦线
有向线段 为正切线
精讲方法
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数
1、三角函数的定义
（1）已知角α终边上上点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；
（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。
注：若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。
2、象限角、三角函数值符号的判断
（1）熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键；
（2）判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限；
（3）对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限。21·cn·jy·com
3、已知α所在象限，求所在象限
（1）由α所在象限，确定所在象限的方法
①由α的范围，求出的范围；
②通过分类讨论把角写成θ+k·3600的形式，然后判断所在象限。
（2）由α所在象限，确定所在象限，也可用如下方法判断：
①画出区域：将坐标系每个象限二等分，得8个区域；
②标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（如图所示）；
③确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求。
（3）由α所在象限，确定所在象限，也可用如下方法判断：
①画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12个区域；
②标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（如图所示）：
③确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求。
真题精析
1.(2015·陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（?? ）www.21-cn-jy.com
A、167? B、137??? C、123? D、93
2、（2016?上海）设 ， ．若对任意实数x都有 ，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（?? ） 21世纪教育网版权所有
A、1 B、2 C、3 D、4
模拟题精练
一、单选题
1、“且”是“为第三象限角”的(??? )
A、充要条件 B、必要不充分条件C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

2、设 a=sin46°，b=cos46°，c=tan46°．则（　　）
A、c＞a＞b B、a＞b＞cC、b＞c＞a D、c＞b＞a
3、设点是角α终边上一点，当最小时，cosα的值是（　　）
A、- B、C、 D、-
4、已知角α的终边上一点P落在直线y=2x上，则sin2α=（　　）
A、- B、 C、- D、
5、若点（sin， cos）在角α的终边上，则sinα的值为（　　）
A、- B、- C、 D、

6、角θ的终边过点P（﹣1，2），则sinθ=（　　）
A、 B、 C、- D、-

7、已知， 那么角是（???）
A、第一或第二象限角 B、第二或第三象限角C、第三或第四象限角 D、第一或第四象限角

8、（2017云南大理州二模）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线 上，则sin2θ=（?? ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A、 B、 C、 D、
9、（2017江西百校联盟模拟）已知角α的终边经过点（ ， ），若α= ，则m的值为（?? ） 21·世纪*教育网
A、27 B、 C、9 D、

10、（2017广东名校模拟）已知角α终边上一点的坐标为P（sin ，cos ），则角α是（?? ）
A、 B、 C、﹣ D、﹣
11、（2017湖北襄阳枣阳一中模拟）已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k） （k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（?? ） 21教育网
A、 B、﹣ C、或﹣ D、随着k的取值不同其值不同
12、（2017浙江嘉兴一中测试）始边与x轴正半轴重合，终边所在直线与y轴夹角为 的角的集合是（?? ） www-2-1-cnjy-com
A、{α|α=2kπ+ ± ，k∈Z} B、{α|α=2kπ± ，k∈Z}C、{α|α=kπ± ，k∈Z} D、{α|α=kπ± ，k∈Z}2-1-c-n-j-y
13、（2017云南楚雄姚安一中期中）﹣1060o的终边落在（?? ）
A、第一象限 B、第二象限C、第三象限 D、第四象限
14、（2017云南楚雄姚安一中期中）若α是第一象限的角，则 所在的象限是（?? ）
A、第一象限B、第一、二象限C、第一、三象限D、第一、四象限
15、（2017陕西西安七十中期中）下列说法正确的是（?? ）
A、三角形的内角是第一象限角或第二象限角B、第一象限的角是锐角C、第二象限的角比第一象限的角大D、角α是第四象限角，则 21*cnjy*com
16、（2017贵州铜仁四中模拟）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，点P（﹣2t，t）（t≠0）是角α终边上的一点，则 的值为（?? ）
A、 B、3 C、 D、

二、填空题
17、若角α的终边经过点P（3，2），则tanα的值为________?
18、已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为________?
19、已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为， Q点的横坐标为， 则cos∠POQ=________?
20、若角α的终边经过点P（1，2），则sin2α的值是________?
21、（2017湖南益阳桃江一中测试）若角α和β的终边关于直线x+y=0对称，且α=﹣ ，则角β的集合是________． 【来源：21cnj*y.co*m】
22、（2017福建泉州二模）在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P（x，1）（x≥1），则cosθ+sinθ的取值范围是________． 2·1·c·n·j·y
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数（答案）
知识回顾
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
(2)公式：
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝rad　②1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
口诀
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
续表
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
真题精析
1.(2015·陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（?? ）21cnjy.com
A、167?B、137???C、123?D、93

【答案】B
【考点】收集数据的方法，扇形的面积公式
【解析】【解答】该校女老师的人数是110x70%+150x(1一60%)=137，故选B.【分析】本题主要考查的是扇形图，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“女教师”，否则很容易出现错误．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系． 21教育网
2、（2016?上海）设 ， ．若对任意实数x都有 ，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（?? ） www.21-cn-jy.com
A、1B、2C、3D、4
【答案】B
【考点】终边相同的角，终边相同的角
【解析】【解答】 ， ，又 ， ，注意到 ，只有这两组．故选B．【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．
模拟题精练
一、单选题
1、“且”是“为第三象限角”的(??? )
A、充要条件B、必要不充分条件C、充分不必要条件D、既不充分也不必要条件

【答案】A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，象限角、轴线角 2·1·c·n·j·y
【解析】【分析】本题主要考查的是三角函数的象限符号。【解答】若， 则为第二象限、第三象限或轴非正半轴上的角；若， 则为第一象限、第三象限上的角。同理，若为第三象限角，则， 。所以，“且”是“为第三象限角”的充要条件。应选A。 【来源：21·世纪·教育·网】

2、设 a=sin46°，b=cos46°，c=tan46°．则（　　）
A、c＞a＞bB、a＞b＞cC、b＞c＞aD、c＞b＞a
【答案】A
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】由 a=sin46°，b=cos46°=sin44°，c=tan46°＞tan45°=1，而y=sinx在（0，）上是增函数且函数值小于1，可得 c＞a＞b，故选：A．【分析】由条件利用诱导公式、正弦函数的单调性和值域，得出结论。 21·世纪*教育网
3、设点是角α终边上一点，当最小时，cosα的值是（　　）
A、-B、C、D、-
【答案】D
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】∵t＜0，当且仅当t=﹣2时，最小为． 此时，点P（﹣2，1），cosα=故选D．【分析】利用基本不等式，我们可以确定出当 最小时，P点的坐标，进而求出cosα的值，即可得到答案． 2-1-c-n-j-y
4、已知角α的终边上一点P落在直线y=2x上，则sin2α=（　　）
A、-B、C、-D、
【答案】D
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】∵角α的终边落在直线y=2x上当角α的终边在第一象限时，在α终边上任意取一点（1，2），则该点到原点的距离为， ∴sinα=， cosα=， ∴sin2α=2sinαcosα=；当角α的终边在第三象限时，在α终边上任意取一点（﹣1，﹣2），则该点到原点的距离为， ∴sinα=﹣， cosα=﹣， ∴sin2α=2sinαcosα=． 故选：D．【分析】角的终边是射线，分两种情况讨论角的终边所在的象限，对于各种情况在终边上任取一点，利用三角函数的定义求出sinα、cosα的值，即可求出sin2α． www-2-1-cnjy-com
5、若点（sin， cos）在角α的终边上，则sinα的值为（　　）
A、-B、-C、D、
【答案】A
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin， cos）即（， -），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=-， 故选：A．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值． 21*cnjy*com
6、角θ的终边过点P（﹣1，2），则sinθ=（　　）
A、B、C、-D、-
【答案】B
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】由题意可得，x=﹣1，y=2，r=|OP|=， ∴sinθ=故选：B．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinθ的值． 【出处：21教育名师】

7、已知， 那么角是（???）
A、第一或第二象限角B、第二或第三象限角C、第三或第四象限角D、第一或第四象限角

【答案】C
【考点】象限角、轴线角，三角函数值的符号
【解析】【解答】因为， 所以异号，角终边只有第三或第四象限角，故选C。【分析】简单题，三角函数在各象限为正的符号记忆：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”。

8、（2017云南大理州二模）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线 上，则sin2θ=（?? ） 21*cnjy*com
A、B、C、D、

【答案】D
【考点】任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦
【解析】【解答】解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线 上， ∴tanθ=﹣ 则sin2θ= = = =﹣ ，故选：D．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2θ的值．
9、（2017江西百校联盟模拟）已知角α的终边经过点（ ， ），若α= ，则m的值为（?? ）
A、27B、C、9D、
【答案】B
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】解：角α的终边经过点（ ， ），若α= ，则tan =tan = = = ， 则m= ，故选：B．【分析】利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得m的值． 21·cn·jy·com

10、（2017广东名校模拟）已知角α终边上一点的坐标为P（sin ，cos ），则角α是（?? ）
A、B、C、﹣ D、﹣

【答案】D
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵角α终边上一点的坐标为P（sin ，cos ）， sin =cos（ ﹣ ）=cos =cos（﹣ ），cos =﹣cos =﹣sin（ ﹣ ）=sin（﹣ ），即P（cos（﹣ ?），sin（﹣ ）），则角α是﹣ ，故选：D．【分析】利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得角α的值．
11、（2017湖北襄阳枣阳一中模拟）已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k） （k＜0），则2sinθ+cosθ的值是（?? ） 【版权所有：21教育】
A、B、﹣ C、或﹣ D、随着k的取值不同其值不同
【答案】B
【考点】终边相同的角，任意角的三角函数的定义，终边相同的角
【解析】【解答】解：∵角θ的终边过点P（﹣4k，3k），（k＜0）， ∴r= =5|k|=﹣5k，∴sinθ= =﹣ ，cosθ= = ，∴2sinθ+cosθ=2（﹣ ）+ =﹣ 故选B．【分析】根据角的终边所过的一个点，写出这点到原点的距离，注意字母的符号，根据三角函数的定义，写出角的正弦和余弦值，代入要求的算式得到结果即可．
12、（2017浙江嘉兴一中测试）始边与x轴正半轴重合，终边所在直线与y轴夹角为 的角的集合是（?? ）
A、{α|α=2kπ+ ± ，k∈Z}B、{α|α=2kπ± ，k∈Z}C、{α|α=kπ± ，k∈Z}D、{α|α=kπ± ，k∈Z}
【答案】D
【考点】象限角、轴线角
【解析】【解答】解：始边与x轴正半轴重合，终边所在直线与y轴夹角为 的角，的倾斜角为： 或 ， 所求角的集合是：{α|α=kπ± ，k∈Z}．故选：D．【分析】直接利用终边所在直线与y轴夹角为 的角推出直线的倾斜角，然后写出集合即可．
13、（2017云南楚雄姚安一中期中）﹣1060o的终边落在（?? ）
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
【答案】A
【考点】象限角、轴线角
【解析】【解答】解：∵﹣1060o=﹣3×360o+20o ， ∴﹣1060o的终边落在第一象限．故选：A．【分析】由﹣1060o=﹣3×360o+20o可知﹣1060o的终边所在象限． 21教育名师原创作品
14、（2017云南楚雄姚安一中期中）若α是第一象限的角，则 所在的象限是（?? ）
A、第一象限B、第一、二象限C、第一、三象限D、第一、四象限
【答案】C
【考点】象限角、轴线角
【解析】【解答】解：∵α是第一象限角， ∴k?360°＜α＜k?360°+90°，k∈Z，则k?180°＜ ＜k?180°+45°，k∈Z，令k=2n，n∈Z有n?360°＜ ＜n?360°+45°，n∈Z；在一象限；k=2n+1，n∈z，有n?360°+180°＜ ＜n?360°+225°，n∈Z；在三象限；故选：C．【分析】用不等式表示第一象限角α，再利用不等式的性质求出 满足的不等式，从而确定角 的终边在的象限． 【来源：21cnj*y.co*m】
15、（2017陕西西安七十中期中）下列说法正确的是（?? ）
A、三角形的内角是第一象限角或第二象限角B、第一象限的角是锐角C、第二象限的角比第一象限的角大D、角α是第四象限角，则
【答案】D
【考点】任意角的概念
【解析】【解答】解：对于A，三角形的内角可以是90°，不正确； 对于B，﹣30°是第一象限的角，不是锐角，不正确；对于C，﹣30°是第一象限的角，120°是第二象限的角，不正确；对于D，角α是第四象限角，则 ，正确．故选D．【分析】对4个结论分别进行判断，即可得出结论．
16、（2017贵州铜仁四中模拟）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，点P（﹣2t，t）（t≠0）是角α终边上的一点，则 的值为（?? ）
A、B、3C、D、
【答案】D
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵点P（﹣2t，t）（t≠0）是角α终边上的一点， ∴tanα=﹣ ，∴ = = 故选：D．【分析】利用三角函数的定义，和角的正切公式，即可得出结论． 21世纪教育网版权所有
二、填空题
17、若角α的终边经过点P（3，2），则tanα的值为________?
【答案】
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】由定义若角α的终边经过点P（3，2），x=2，y=3，∴tanα==故答案为：． 【分析】由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切值，正切值为纵坐标与横坐标的商．
18、已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为________?
【答案】2π
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】根据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2∴圆柱的体积为V=Sl=πr2l=π×12×2=2π．故答案为：2π．【分析】根据题意，求出圆柱的母线长l，再求圆柱的体积V．
19、已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为， Q点的横坐标为， 则cos∠POQ=________?
【答案】-
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】由题意可得，sin∠xOP=， ∴cos∠xOP=；再根据cos∠xOQ=， 可得sin∠xOQ=． ∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）=cos∠xOP?cos∠xOQ﹣sin∠xOP?sin∠xOQ=故答案为：﹣． 【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP 和 sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）的值．
20、若角α的终边经过点P（1，2），则sin2α的值是________?
【答案】
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，|OP|=， ∴sinα=， cosα=∴sin2α=2sinαcosα=2××=故答案为：． 【分析】利用三角函数的定义，计算α的正弦与余弦值，再利用二倍角公式，即可求得结论．
21、（2017湖南益阳桃江一中测试）若角α和β的终边关于直线x+y=0对称，且α=﹣ ，则角β的集合是________．
【答案】{β|β=2kπ﹣ ，k∈Z}
【考点】终边相同的角，象限角、轴线角，终边相同的角
【解析】【解答】解：∵角α、β的终边关于直线直线x+y=0对称，且α=﹣ ，∴β=2kπ﹣ ，∴角β的集合是：{ β|β=2kπ﹣ ，k∈Z}故答案为：{ β|β=2kπ﹣ ，k∈Z}【分析】利用终边相同的角的集合的性质定理即可得出．
22、（2017福建泉州二模）在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P（x，1）（x≥1），则cosθ+sinθ的取值范围是________．
【答案】（1， ]
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】解：法一： 角θ的终边经过点P（x，1）（x≥1），∴r= ，cosθ= = ．sinθ= = ，∴cosθ+sinθ= + = = = = = ．∵ ，当且仅当x=1时取等号．，∴1＜cosθ+sinθ≤ ．故得cosθ+sinθ的取值范围是（1， ]．法二：由题意，令f（θ）=cosθ+sinθ= sin（ ），当θ= 时，f（θ）取得最大值为 ，此时P（1，1）．∵x≥1，∴0＜tanθ= ，即 ，∴sin（ ）∈（ ]．得cosθ+sinθ的取值范围是（1， ]．故答案为：（1， ]．【分析】法一：直接利用任意角的三角函数结合不等式的性质，求解即可．法二：利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，求解即可．