1.2.2 空间两条直线的位置关系
1．会判断空间中直线与直线的位置关系．(重点)
2．能应用公理4和等角定理解决简单的立体几何问题．(难点)
3．了解异面直线所成的角的概念，能借助长方体模型说明异面直线所成的角．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 空间两直线的位置关系
阅读教材P25～P26公理4以上部分内容，完成下列问题．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果a⊥b，b⊥c，则a∥c.(×)
(2)如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线．(×)
(3)如果a，b相交，b，c相交，则a，c也相交．(×)
(4)如果a，b共面，b，c共面，则a，c也共面．(×)
2．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是______________．
【解析】 如图所示，MN綊AC，
又∵AC綊A′C′，
∴MN綊A′C′.
【答案】 平行
教材整理2 公理4及等角定理
阅读教材P26～P27，完成下列问题．
1．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
符号表示： a∥c.
2．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于__________．
【解析】 ∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.
【答案】 30°或150°
教材整理3 异面直线的判定及其所成的角
阅读教材P28～P30练习以上部分内容，完成下列问题．
1．异面直线的判定定理
定理
文字语言
符号表示
图形语言
异面直线的判定定理
过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
若l α，A α，B∈α，B l，则直线l与AB是异面直线
2．异面直线所成的角
(1)定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角．
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.
(3)当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b的位置关系是________．
【解析】 a，b是异面直线，直线c∥直线a，因而c不平行于b，若c∥b，则a∥b，与已知矛盾，因而c不平行于b.
【答案】 相交或异面
[小组合作型]
空间中直线的位置关系
(1)下列命题中正确的有________．(填序号)
①两条直线无公共点，则这两条直线平行；
②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；
③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线；
④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．
(2)a，b，c是空间中三条直线，下列给出几个说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②a∥b是指直线a，b在同一平面内且没有公共点；
③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．
其中正确的有__________．(填序号)
【精彩点拨】 根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．
【自主解答】 (1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．
(2)由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l，a α，b β，a∥l，b∥l，则a∥b.③错误．
【答案】 (1)② (2)①②
空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．
[再练一题]
1．如图1－2－16，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
图1－2－16
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【解析】 直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以③应该填“相交”．
【答案】 ①平行 ②异面 ③相交 ④异面
求异面直线所成的角
如图1－2－17，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
图1－2－17
【精彩点拨】 先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．
【自主解答】
(1)
(2)
法一：如图(1)，连结A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连结OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点．
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
法二：如图(2)，连结A1D，取A1D的中点H，连结HE，HF，则HE∥DB1，且HE＝DB1.
于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角．
连结HF，设AA1＝1.则EF＝，HE＝，
取A1D1的中点I，连结IF，IH，则HI⊥IF，
∴HF2＝HI2＋IF2＝，∴HF2＝EF2＋HE2.
∴∠HEF＝90°，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
(3)
法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ，B1Q，则B1Q∥EF.
于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
设AA1＝1，则DQ＝＝，B1D＝＝，B1Q＝＝，所以B1D2＋B1Q2＝DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.
求两条异面直线所成角的步骤：
(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角．
(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．
(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．
(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．
[再练一题]
2.如图1－2－18所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．
图1－2－18
【解】 如图所示，取BD的中点G，连结EG，FG.
∵E，F，G分别为BC，AD，BD的中点，AB＝CD，
∴EG綊CD，GF綊AB.
∴∠GFE就是EF与AB所成的角或其补角．
∵AB⊥CD，∴EG⊥GF，
∴∠EGF＝90°.
∵AB＝CD，∴EG＝GF，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠GFE＝45°，即EF和AB所成的角为45°.
[探究共研型]
公理4与等角定理的应用
探究1 如图1－2－19，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，若E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点．那么四边形EFGH是什么四边形？为什么？
图1－2－19
【提示】 平行四边形．因为在△PAB中，
∵E，F分别是PA，PB的中点，∴EF綊AB，
同理GH綊DC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊CD，
∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形．
探究2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？
【提示】 这两条直线所成的锐角(或直角)相等．
如图1－2－20，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．
求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
图1－2－20
【精彩点拨】 解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A1E∥CE1，A1F∥CF1，然后根据等角定理，得出结论．
【自主解答】 如图所示，在正方体AC1中，取A1B1的中点M，连结BM，MF1，
则BF＝A1M＝AB.
又BF∥A1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形，
∴A1F∥BM.
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1B1.
而C1B1綊BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC.
∴四边形F1MBC为平行四边形，
∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
同理取A1D1的中点N，连结DN，E1N，则A1N綊DE，200
∴四边形A1NDE为平行四边形，∴A1E∥DN.
又E1N∥CD，且E1N＝CD，
∴四边形E1NDC为平行四边形，
∴DN∥CE1，∴A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行．
即A1E∥CE1，A1F∥CF1，∴∠EA1F＝∠E1CF1.
运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．
[再练一题]
3．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
图1－2－21
(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；
(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
【导学号：41292021】
【证明】 (1)在△ADC中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ADC的中位线．
∴MN綊AC.
由正方体性质知，AC綊A1C1，
∴MN綊A1C1，即MN≠A1C1.
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1，
又因为ND∥A1D1，
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．
【解析】 若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．
【答案】 平行或异面
2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________．
【解析】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线．
【答案】 相交或异面
3．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是________.
【导学号：41292022】
【答案】 平行或相交或异面
4．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.
【解析】 ∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，
∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，
∴∠B＝70°或110°.
【答案】 70°或110°
5．如图1－2－22，已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.
图1－2－22
(1)BC和A′C′所成的角是多少度？
(2)AA′和BC′所成的角是多少度？
【解】 (1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．
在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.
(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.1.2.3 第1课时 直线与平面平行
1．通过直观感知、操作确认直线与平面的位置关系及线面平行的判定定理．(重点)
2．理解并会证明直线与平面平行的性质定理．(难点)
3．会用图形语言和符号语言描述直线和平面平行的判定定理和性质定理．(重点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1 直线和平面的位置关系
阅读教材P32的内容，完成下列问题．
直线和平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
a α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.(×)
(2)若直线a在平面α外，则a∥α.(×)
(3)若直线a∩b＝ ，b α，则a∥α.(×)
(4)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线．(√)
教材整理2 直线与平面平行的判定
阅读教材P33例1以上部分内容，完成下列问题．
直线与平面平行的判定定理
(1)自然语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
(2)图形语言：如图1－2－34所示．
图1－2－34
(3)符号语言： a∥α.
1．如果直线a∥b，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是________．
【解析】 若a∥b，且a∥平面α，则b与平面α的位置关系如图所示．
【答案】 b∥α或b α
2．能保证直线a与平面α平行的条件是__________(填序号).
【导学号：41292026】
(1)b α，a∥b；
(2)b α，c∥α，a∥b，a∥c；
(3)b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD；
(4)a α，b α，a∥b.
【解析】 由线面平行的判定定理可知(4)正确．
【答案】 (4)
教材整理3 直线与平面平行的性质
阅读教材P33例1以下部分内容，完成下列问题．
直线与平面平行的性质定理
(1)自然语言：如果一条直线和一个平面平行
，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
图1－2－35
(2)图形语言：如图1－2－35所示．
(3)符号语言：
l∥m.
1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．
【答案】 相交或平行
2．如图1－2－36所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是__________．
图1－2－36
【解析】 ∵ABC－A1B1C1是三棱柱，
∴A1B1∥AB.
又∵A1B1 平面ABC，AB 平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC.
∵A1B1 平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，
∴A1B1∥DE，∴DE∥AB.
【答案】 平行
[小组合作型]
直线与平面的位置关系
(1)下列说法中，正确的有__________．(填序号)
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；
④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
(2)下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．
①若a α，b α，且a，b不相交，则a∥b；
②若a α，b α，a∩b＝A，l α，且l和a，b均不相交，则l∥α；
③若点A a，则过点A可以作无数个平面与a平行；
④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.
其中正确的命题有______．(把你认为正确的序号都填上)
【精彩点拨】 利用线面平行的定义，借助图形分析判断．
【自主解答】 (1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；对于③显然错误；而④，也有可能相交，所以也错误．
(2)①错误．如图(a)，满足a α，b α，且a，b不相交，但a与b不平行．
②错误．如图(b)，满足a α，b α，a∩b＝A，l α，且l和a，b均不相交，但l与α相交．
③正确．如图(c)，点A a，过点A可以作无数个平面与a平行．
④错误．当a与α相交时，也有a与α内的无数条直线不相交．
【答案】 (1)② (2)③
空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种．
在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
[再练一题]
1．下列命题中正确的个数是________个．
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
【解析】 ①中，l可与α相交，故①错．②中，α内的直线可能与l异面，故②错．③中，另一条直线可能在这个平面内，故③错．④中，由l与α平行的定义知④正确．
【答案】 1
直线与平面平行的判定定理的应用
如图1－2－37,
M，N分别是底面为矩形的四棱锥P－ABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.
图1－2－37
【精彩点拨】 取PD中点E，证明EN綊AM.
【自主解答】 如图所示，取PD的中点E，连结AE，NE，
∵N是PC的中点，
∴EN綊DC.
又∵AM綊CD，
∴NE綊AM.
∴四边形AMNE是平行四边形．
∴MN∥AE.
又∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
[再练一题]
2．如图1－2－38，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
图1－2－38
求证：MN∥平面SBC.
【证明】 连结AN并延长交BC于P，连结SP，
∵AD∥BC，∴＝，
又∵＝，
∴＝，∴MN∥SP，
又MN 平面SBC，SP 平面SBC，
∴MN∥平面SBC.
[探究共研型]
线面平行的性质定理的应用
探究1 若a∥α，b α，那么a与b的位置关系是怎样的？a与b有没有可能平行？在什么条件下平行？
【提示】 a与b平行或异面，当a，b同在一平面内时，a∥b.
探究2 如图1－2－39，若a∥b，a α，b α，α∩β＝c，且c∥a.那么a与β，b与β是什么关系？
图1－2－39
【提示】 a∥β，b∥β.
探究3 一个长方体木块如图1－2－40所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？
图1－2－40
【提示】 在平面A1C1内，过点P作EF∥B1C1，分别交A1B1，C1D1于E，F.连结BE，CF，则BE，CF和EF就是所要画的线，如图．
四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.
图1－2－41
【精彩点拨】 要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线．
【自主解答】 如图，连结AC交BD于点O，连结MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH.
证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来使用，并常利用下面的关系：
线线平行线面平行线线平行．
运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面．
[再练一题]
3．如图1－2－42，将上例条件改为“已知四边形ABCD是平行四边形，四边形BDPF也是平行四边形，M是线段PF的中点．求证：BM∥平面APC.
图1－2－42
【证明】 记AC与BD的交点为O，连结OP.
∵O，M分别为BD，PF的中点，四边形BDPF是平行四边形，
∴OB∥MP且OB＝MP，
∴四边形OBMP是平行四边形，
∴BM∥OP，
∵OP 平面APC，BM 平面APC，
∴BM∥平面APC.
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．
①若a∥b，b α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b α，则a∥b.
【答案】 0
2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个.
【导学号：41292027】
【解析】 如图，∵EF∥A1B1，
∴EF∥平面A1B1C1D1.
同理EF∥平面ABCD，
EF∥平面DD1C1C.
【答案】 3
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)与直线AB平行的平面是________；
(2)与直线AA1平行的平面是________；
(3)与直线AB1平行的平面是________．
【解析】 如图，可知：
AB∥平面A1B1C1D1，AB∥平面CDD1C1；
AA1∥平面BCC1B1，AA1∥平面CDD1C1；
AB1∥平面CDD1C1.
【答案】 (1)平面A1B1C1D1，平面CDD1C1 (2)平面BCC1B1，平面CDD1C1 (3)平面CDD1C1
4．直线a∥平面α，过α内一点A的所有直线中与直线a平行的直线条数为__________．
【解析】 过直线a和点A的平面与平面α有一条交线l，只有l满足在平面α内过点A且与a平行．
【答案】 1
5．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP＝DQ.
图1－2－43
求证：PQ∥平面BCE.
【证明】 如图所示，
在平面ABEF内过P作PM∥AB交BE于点M，在平面ABCD内过点Q作QN∥AB交BC于点N，连结MN.
∵PM∥AB，∴＝.
又∵QN∥AB∥CD，
∴＝，即＝.
∵正方形ABEF与ABCD有公共边AB，
∴AE＝DB.
∵AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴PM＝QN.
又∵PM∥AB，QN∥AB，
∴PM∥QN.
∴四边形PQNM为平行四边形．
∴PQ∥MN.又∵MN 平面BCE，PQ 平面BCE.
∴PQ∥平面BCE.1.2.3
第2课时 直线与平面垂直
1．能正确判断直线与平面垂直的位置关系．(重点)
2．了解点到平面的距离和直线与平面间的距离．(难点)
3．理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(重点、难点)
4．了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 直线与平面垂直的定义
阅读教材P35～P36思考以上的部分，完成以下问题．
如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a与平面α互相垂直，符号表示：a⊥α.直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．
图形表示：
图1－2－54
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.(×)
(2)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×)
(3)若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b.(√)
(4)若l⊥平面ABCD，则l⊥BC.(√)
教材整理2 直线与平面垂直的判定
阅读教材P36～P37第5行，完成下列问题．
直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面
a⊥α
1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
能判定直线与此平面垂直的有________．
【解析】 由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．
【答案】 ①③
2．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的有________．
①l与平面α内的两条直线垂直；
②l与平面α内的无数条直线垂直；
③l与平面α内的某一条直线垂直；
④l与平面α内的任意一条直线垂直．
【解析】 由直线与平面垂直的定义及判定定理知④正确．
【答案】 ④
教材整理3 直线与平面垂直的性质
阅读教材P37第8行～第13行，完成下列问题．
直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
a∥b
已知α是平面，a，b是直线，且a∥b，a⊥平面α，则b与平面α的位置关系是________．
【解析】 由线面垂直的性质可知，若a∥b，a⊥α，则b⊥α.
【答案】 垂直
教材整理4 距离及直线与平面所成的角
阅读教材P36第13,14行及P38第4,5行和P39例3以上部分内容，完成下列问题．
1．距离
(1)点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．
(2)直线和平面的距离
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．
2．直线与平面所成的角
平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝1，则点C到平面B1BDD1的距离为________，AB到平面A1B1CD的距离为________.
【导学号：41292031】
【解析】 连结AC，则AC⊥BD，又BB1⊥AC，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC＝，AB到平面A1B1CD距离等于A到该平面的距离，等于.
【答案】
2．如图1－2－55所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
图1－2－55
【解析】 ∵PA⊥平面ABC，
∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，
在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.
【答案】 45°
[小组合作型]
线面垂直判定定理的应用
如图1－2－56所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.
图1－2－56
【精彩点拨】 只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，即转为证BC垂直于平面PAC即可．
【自主解答】 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
又∵AE 平面PAC，∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.
1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．
2．线线垂直与线面垂直的转化关系
线线垂直线面垂直
[再练一题]
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
图1－2－57
【证明】 ∵E，F分别是棱AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，
∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO，
又∵BB1⊥平面ABCD，EF 平面ABCD，
∴EF⊥BB1，
又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.
线面垂直性质定理的应用
如图1－2－58，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
图1－2－58
【精彩点拨】 利用线面垂直的性质定理证明EF，BD1垂直于平面AB1C可得结论．
【自主解答】
如图所示，
连结AB1，B1C，BD，B1D1，
∵DD1⊥平面ABCD，
AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1 平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥AC，EF⊥A1D，
又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
空间中证明两条直线平行的方法：
(1)利用线线平行定义证两线无公共点；
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c(公理4)；
(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行；
(4)若a⊥α，b⊥α，则a∥b(线面垂直的性质定理)．
[再练一题]
2．如图1－2－59，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
图1－2－59
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
【证明】 (1)取PD中点E，又N为PC中点，连结NE，AE，
则NE∥CD，NE＝CD.
又∵AM∥CD，AM＝CD，
∴AM綊NE，∴四边形AMNE为平行四边形．
∴MN∥AE.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴CD⊥PA.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面ADP.
∵AE 平面ADP，
∴CD⊥AE，
∴MN⊥CD.
(2)当∠PDA＝45°时，Rt△PAD为等腰直角三角形，则AE⊥PD.
又MN∥AE，
∴MN⊥PD，
由(1)知MN⊥CD，PD∩CD＝D.
∴MN⊥平面PCD.
[探究共研型]
距离问题及直线与平面所成角的求法
探究1 如图1－2－60，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1.点B与D1到平面A1C1CA的距离分别是多少
？BC1到平面ADD1A1的距离是多少？
图1－2－60
【提示】 由题意知BD＝B1D1＝2，B，D1到平面AC1的距离分别为和，都为；BC1到平面AD1的距离等于AB的长，为2.
探究2 如图1－2－61，正方体ABCD－A1B1C1D1中，
图1－2－61
(1)直线BD1与平面AC及平面A1C1所成的角相等吗？
(2)A1B与平面A1B1CD所成的角是多少度？
【提示】(1)因为平面AC与平面A1C1平行，所以BD1与两平面所成的角相等．
(2)A1B与平面A1C所成的角为30°，
连结BC1交B1C于点O，连结A1O.
设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，
所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，
所以BC1⊥平面A1B1CD.
所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，即∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，
所以BO＝A1B，∠BA1O＝30°.
因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.
如图1－2－62所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．
图1－2－62
(1)求证：MN⊥平面A1BC；
(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．
【精彩点拨】 (1)证明MN∥AC1，(2)C1点在平面A1BC上的射影为A1C中点．
【自主解答】 (1)证明：如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，得BC⊥平面ACC1A1.
连结AC1，
则BC⊥AC1.
由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.
又BC∩A1C＝C，
所以AC1⊥平面A1BC.
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，
所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.
(2)因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连结BD，
则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．
设AC＝BC＝CC1＝a，
则C1D＝a，BC1＝a.
在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝＝，所以∠C1BD＝30°，
故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.
求直线和平面所成角的步骤：
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
(2)连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
[再练一题]
3．如图1－2－63，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F，G分别为CC1，DD1，AA1的中点．
图1－2－63
(1)求证：A1F⊥平面BEF；
(2)求证：GC1∥平面BEF；
(3)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值．
【解】 (1)证明：连结AF.
∵E，F分别为CC1，DD1的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形．又在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
AB⊥平面AA1D1D，A1F 平面AA1D1D，
∴AB⊥A1F，∴EF⊥A1F.
由已知，得AF＝，A1F＝，AA1＝2，
∴A1F2＋AF2＝AA，∴AF⊥A1F.
又AF∩EF＝F.
∴A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面BEF.
(2)证明：∵G，F分别为AA1，DD1的中点，连结AE.
∴AG∥EC1且AG＝EC1，∴四边形AEC1G为平行四边形，∴AE∥GC1.
而AE 平面ABEF，GC1 平面ABEF，
∴GC1∥平面ABEF，即GC1∥平面BEF.
(3)∵A1F⊥平面BEF.
∴A1B在平面BEF上的射影为BF，
∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．
由已知，得A1F＝，A1B＝，∴sin∠A1BF＝，
即A1B与平面BEF所成角的正弦值为.
1．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能______(填序号)．
①平行；②相交；③异面；④垂直．
【答案】 ①
2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________．
【解析】 ∵l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，∴l⊥平面ABC，
又∵AB 平面ABC，∴l⊥AB.
【答案】 垂直
3．在△ABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图1－2－64中直角三角形的个数为________．
图1－2－64
【解析】 ∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，又BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB.综上可知，△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形．
【答案】 4
4．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是______.
【解析】A，B在α同一侧时P到α的距离为3，A，B在α异侧时P到α的距离为1.
【答案】 1或3
5．如图1－2－65，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，求PA与底面ABC所成角的大小．
图1－2－65
【解】 ∵PA＝PB＝PC，∴P在底面的射影O是△ABC的外心．
又∠BAC＝90°，∴O在BC上且为BC的中点，
∴AO为PA在底面的射影，∠PAO即为所求的角．
在Rt△PAO中，PO＝PB＝PA.
∴sin∠PAO＝＝，∴∠PAO＝60°.1.2.4
第2课时 两平面垂直
1．了解二面角的概念，能在长方体中度量二面角．(难点)
2．理解并掌握面面垂直的判定定理．(难点、重点)
3．掌握面面垂直的性质定理及其应用方法．(难点、重点)
[基础·初探]
教材整理1 与二面角有关的概念
阅读教材P46～P47例1，完成下列问题．
1．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角α－AB－β.
2．一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
3．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是________．
【答案】 ②④
教材整理2 平面与平面垂直的判定定理
阅读教材P47～P48例2，完成下列问题．
平面与平面垂直的判定定理
自然语言
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号语言
l⊥α，l β α⊥β
图形语言
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直．(√)
(2)一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直．(√)
(3)一条直线与两个平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直．(√)
(4)一个平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直．(√)
教材整理3 平面与平面垂直的性质定理
阅读教材P48例2以下部分内容，完成下列问题．
平面与平面垂直的性质定理
自然语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言
1．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则a与α的位置关系是________.
【答案】 a∥α或a α
2．若三个不同的平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β之间的位置关系是________．
【解析】 如图所示，满足α⊥γ，β⊥γ的α与β之间的位置关系可能为平行，也可能相交．
【答案】 平行或相交
[小组合作型]
面面垂直的判定定理的应用
已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD.
【精彩点拨】 欲证平面MND⊥平面PCD，只需证明平面MND中的直线MN⊥平面PCD即可，取PD的中点E，易知MN∥AE，故只需证明AE⊥平面PCD即可．
【自主解答】 如图，取PD的中点E，连结AE，NE.
∵E，N分别是PD，PC的中点，
∴EN綊CD.
又AB∥CD，AM＝AB，
∴EN綊AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE.
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE.
在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边PD上的中线，
∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.
又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.
∵MN 平面MND，∴平面MND⊥平面PCD.
面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．
[再练一题]
1．如图1－2－91，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中点．求证：平面BDC1⊥平面BDC.
图1－2－91
【解】 由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又∵DC1 平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，
∵DC1 平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC.
面面垂直性质的应用
如图1－2－92，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
图1－2－92
(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
【精彩点拨】 (1)在平面EFG中找两条相交的直线分别与平面ABC平行即可．(2)先证BC⊥平面SAB，再利用线面垂直的性质即可证BC⊥SA.
【自主解答】 (1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．
又因为E是SA的中点，
所以EF∥AB.
因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB.又AF 平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.
因为BC 平面SBC，所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF 平面SAB，AB 平面SAB，所以BC⊥平面SAB.
因为SA 平面SAB，所以BC⊥SA.
1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．
2．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
[再练一题]
2．如图1－2－93，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
图1－2－93
求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
【证明】 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF，
又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.
因为CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
[探究共研型]
求二面角的大小
探究 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系如何？
【提示】 关系无法确定．如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定．
如图1－2－94所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝，PB＝，求二面角P－BC－A的大小.
图1－2－94
【精彩点拨】 先利用二面角的平面角的定义找平面角，再通过解三角形求解．
【自主解答】 ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又∵PC 平面PAC，∴BC⊥PC.
又∵BC⊥AC.
∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．
在Rt△PBC中，
∵PB＝，BC＝，∴PC＝2.
在Rt△ABC中，AC＝＝，
∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝＝，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小为45°.
解决二面角问题的策略
[再练一题]
3．如图1－2－95(1)所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠BCD＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图1－2－95(2)所示．
(1) (2)
图1－2－95
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；
(2)求二面角B－AD－C的大小．
【解】 (1)证明：如图，
∵∠ACD＝135°－45°＝90°，
∴CD⊥AC.由已知二面角B－AC－D是直二面角，
过B作BO⊥AC，垂足为O，
由AB＝BC知O为AC中点，
作OE⊥AC交AD于E，
则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.
而OE∩AC＝O，
∴BO⊥平面ACD.
又∵CD 平面ACD，∴BO⊥CD.
又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC.
∵AB 平面ABC，
∴AB⊥CD，由已知∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.
又∵AB 平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.
(2)由(1)知BO⊥平面ACD，
∴BO⊥AD.
∵BO∩OE＝O，
∴AD⊥平面BOE，而BE 平面BOE，
∴AD⊥BE，
∴∠BEO是二面角B－AD－C的平面角．
由已知AB＝BC＝CD＝a，∴AC＝a，∴BO＝a.
由(1)知AC⊥CD，∴AD＝a.
∵△AOE∽△ADC，
∴＝，∴OE＝＝a.
在△BOE中，tan∠BEO＝＝＝，
∴∠BEO＝60°，即二面角B－AD－C的大小为60°.
1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面有________个．
【解析】 由面面垂直的判定定理知，
凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．
【答案】 无数
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是________．
①m⊥n，m∥α，n∥β；②m⊥n，α∩β＝m，n α；
③m∥n，n⊥β，m α；④m∥n，m⊥α，n⊥β.
【解析】 ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.
【答案】 ③
3．设α－l－β是直二面角，直线a α，直线b β，a，b与l都不垂直，那么说法中正确的有________.
①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行．
【解析】 当a，b都与l平行时，
则a∥b，所以①④错．如图，若a⊥b，过a上一点P在α内作a′⊥l，
因为α⊥β，所以a′⊥β.
又b β，∴a′⊥b，∴b⊥α，与题干要求矛盾，即a与b不可能垂直．
【答案】 ③
4．如图1－2－96，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有__________．(填序号)
图1－2－96
①平面ABC⊥平面ABD；
②平面ABD⊥平面BCD；
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
【解析】 因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.
因为AC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．
【答案】 ③
5．如图1－2－97，平面角为锐角的二面角α－EF－β，A∈EF，AG α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α－EF－β的平面角．
图1－2－97
【解】 作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连结GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．
又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则GB＝a，GH＝a，sin∠GBH＝＝，所以∠GBH＝45°，
故二面角α－EF－β的平面角为45°.1.2.1 平面的基本性质
1．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)
2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 平面的概念及表示
阅读教材P21～P22公理2以上部分内容，完成下列问题．
1．概念
平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．
图1－2－1
2．表示
(1)图形表示
平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1－2－1)．
(2)字母表示
平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．
3．点、线、面位置关系的符号表示
位置关系
符号表示
点P在直线AB上
P
∈AB
点C不在直线AB上
C AB
点M在平面AC内
M∈平面AC
点A1不在平面AC内
A1 平面AC
直线AB与直线BC交于点B
AB∩BC＝B
直线AB在平面AC内
AB 平面AC
直线AA1不在平面AC内
AA1 平面AC
如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么下列说法正确的是________．(填序号)
①l α；②l α；③l∩α＝M；④l∩α＝N.
【解析】 ∵M∈a，N∈b，a α，b α，
∴M∈α，N∈α.而M，N确定直线l，根据公理1可知l α.故填①.
【答案】 ①
教材整理2 平面的基本性质
阅读教材P21～P23，完成下列问题．
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
用符号表示为： AB α.
(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
用符号表示为： α∩β＝l且P∈l.
(3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．
2．平面的基本性质的推论
(1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
(2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
(3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
1．如图1－2－2所示，用符号可表达为________．
图1－2－2
【解析】 由题图可知平面α与平面β相交于直线m，且直线n在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n α且m∩n＝A.
【答案】 α∩β＝m，n α且m∩n＝A
2．下列说法正确的是________．(填序号)
①三点可以确定一个平面；
②一条直线和一个点可以确定一个平面；
③四边形是平面图形；
④两条相交直线可以确定一个平面．
【解析】 ①错误，不共线的三点可以确定一个平面．
②错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．
③错误，四边形不一定是平面图形．
④正确，两条相交直线可以确定一个平面．
【答案】 ④
[小组合作型]
三种语言的转换
(1)如图1－2－3，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
① ②
图1－2－3
(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC”，并画出图形．
【精彩点拨】 根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．
【自主解答】 (1)①α∩β＝l，m α，n β，l∩n＝P，l∥m.
②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O.
(2)符号语言表示：
平面ABD∩平面BDC＝BD，
平面ABC∩平面ADC＝AC.
图形表示：
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”表示，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”表示．
3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
[再练一题]
1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．
(1) (2)
图1－2－4
图(1)可以用几何符号表示为________________．
图(2)可以用几何符号表示为________________．
【答案】 (1)α∩β＝AB，a α，b β，a∥AB，b∥AB，a∥b
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A l，B l
点线共面问题
已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．
【精彩点拨】 法一：a，b确定一个平面→l在平面内→a，c，l共面→
a，b，c，l共面
法二：a，b确定一个平面→b，c确定另一个平面→两平面重合
【自主解答】 如图．
法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.
又∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴l上有两点A，B在α内，即直线l α.
∴a，b，l共面．
同理，a，c，l共面，
即c也在a，l确定的平面内．
故a，b，c，l共面．
法二：∵a∥b，
∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，
∴AB α，即l α.
又∵b∥c，∴过b，c确定平面β，
而B∈b，C∈c，∴BC β，即l β.
∴b，l α，b，l β，而b∩l＝B，
∴α与β重合，故a，b，c，l共面．
在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
确定一个平面的方法有：
①直线和直线外一点确定一个平面；
②两条平行线确定一个平面；
③两条相交直线确定一个平面．
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．
[再练一题]
2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
【导学号：41292016】
【解】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
法一：
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：
∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
[探究共研型]
共线，共点问题
探究1 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
【提示】 由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交成一条直线．
探究2 如图1－2－5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？
图1－2－5
【提示】 交于一点．
证明：连结EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF綊A1B.
又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，
∴E，F，D1，C四点共面，
且EF＝D1C，
∴D1F与CE相交于点P.
又D1F 平面A1D1DA，
CE 平面ABCD.
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据公理3，可得P∈DA，
即CE，D1F，DA相交于一点．
如图1－2－6所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．
图1－2－6
【精彩点拨】 先证明GH和EF共面且交于一点O，然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O在交线上，即点O在直线BD上．从而证明了直线EF，GH，BD都过点O.
【自主解答】 ∵E，G分别为BC，AB的中点，
∴GE∥AC，GE＝AC.
又DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，
∴FH∥AC，FH＝AC.
∴FH∥GE，FH≠GE.
∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.
∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，
∴O在这两平面的交线上．
而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，
∴点O在直线BD上．
∴EF，GH，BD交于一点．
证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由公理2完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上．
[再练一题]
3．如图1－2－7，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，CC1上，且DP，RQ相交于点O.求证：O，B，C三点共线．
图1－2－7
【证明】 如图，可知平面AC∩平面BC1＝BC.
O为平面BC1与平面AC的公共点
又∵平面AC∩平面BC1＝BC，
∴O∈BC，
即O，B，C三点共线．
1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的有________．
①A∈a，a α A α；②A∈a，a∈α A∈α；
③A a，a α A α；④A∈a，a α A α.
【解析】 ①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a，a α，但A∈α；④不正确，“A α”表述错误．
【答案】 ①②③④
2．如图1－2－8所示，点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的交点的个数是________个．
图1－2－8
【解析】 因为如果两个平面有一个公共点，那么它们必然相交，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线，所以平面ABC与平面α的交点有无数个．
【答案】 无数
3．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________个．
【答案】 3
4．下列图形(如图1－2－9)均表示两个相交平面，其中画法正确的是________.
① ② ③ ④
图1－2－9
【答案】 ④
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明理由．
【解】 设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如图．1.2.4 第1课时 两平面平行
1．了解平面与平面的两种位置关系．了解两个平面间的距离的概念．(重点)
2．理解空间中面面平行的判定定理和性质定理，并能灵活应用．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 平面与平面之间的位置关系
阅读教材P43中间部分，完成下列问题．
平面与平面之间的位置关系
位置关系
平面α与平面β相交
平面α与平面β平行
公共点
有一条公共直线
没有公共点
符号表示
α∩β＝a
α∥β
图形表示
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列平面的位置关系是：
图1－2－74
(1)平面AB1与平面D1C________；
(2)平面BD1与平面AC1________；
(3)若E，F，G，H分别为DD1，CC1，AA1，B1B的中点，则平面ABFE与平面BC1________；
(4)平面D1C1HG与平面ABFE________.
【答案】 (1)平行 (2)相交 (3)相交 (4)平行
教材整理2 平面与平面平行的判定
阅读教材P43～P44例1部分内容，完成下列问题．
自然语言
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
符号语言
a α，b α，a∩b＝A，a∥β，b∥β α∥β
图形语言
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行．(×)
(2)若平面α内的两条不平行的直线分别与平面β平行，则α与β平行．(√)
(3)平行于同一条直线的两个平面平行．(×)
(4)若平面α内有一条直线平行于平面β，平面β内也有一条直线平行于α，则α与β平行．(×)
(5)若平面α内的任何直线都与平面β平行，则α与β平行．(√)
教材整理3 平面与平面平行的性质定理
阅读教材P44例1以下部分内容，完成下列问题.
自然语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
图形语言
平面α∥平面β，直线a α，直线b β，则下列四种情况：
①a⊥b；②a∥b；③a与b异面；④a与b相交．
其中可能出现的情况有________种．
【解析】 只有a，b相交不可能．
【答案】 3
教材整理4 两个平行平面间的距离
阅读教材P45中间三自然段，完成下列问题．
公垂线与公垂线段
(1)与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段．
(2)两个平行平面的公垂线段都相等．公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离．
在四棱锥P－ABCD中，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，PA⊥平面AC，若PA＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为________．
图1－2－75
【解析】 ∵E，F，G，H为PA，PB，PC，PD的中点，
∴平面EFGH∥平面ABCD，
∵PA⊥平面AC，
∴PA⊥平面EG，
∴AE为平面AC与平面EG的公垂线段，
EA＝PA＝1.
【答案】 1
[小组合作型]
面面平行判定定理的应用
如图1－2－76，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
图1－2－76
求证：(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
【精彩点拨】 解答本题第(1)问，只需证BD∥EF即可．第(2)问，只需证MN∥平面EFDB，AM∥平面EFDB即可．
【自主解答】 (1)连结B1D1，
∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1，
而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.连结DF，MF.
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.
∴MF∥AD，MF＝AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM 平面EFDB.
DF 平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB.
又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
证明两平面平行的主要方法是用判定定理，即将“面面平行”转化为“线面平行”再转化为“线线平行”，具体操作就是在其中一个面内寻找出两条相交直线，均平行于另一个平面，而寻找这两条相交直线时，应结合条件，常用到中位线定理、平行四边形的性质、比例线段等平面几何知识．
[再练一题]
1．已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
【导学号：41292036】
图1－2－77
【证明】 ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP，
∵BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
∴NQ∥平面PBC.
又底面ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴MQ∥BC，
∵BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.
面面平行性质定理的应用
如图1－2－78所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.求△A′B′C′的面积．
图1－2－78
【精彩点拨】 先利用面面平行的性质得线线平行．再利用平行线分线段成比例求△A′B′C′的面积．
【自主解答】 相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β分别相交于AB，A′B′.
由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.
同理相交直线BB′，CC′确定的平面和平行平面α，β分别相交于BC，B′C′，从而BC∥B′C′.
同理易证AC∥A′C′.
∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∠BCA＝∠B′C′A′.
∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，
∴在平面ABA′B′中，
△AOB∽△A′OB′.
∴＝＝.
而S△ABC＝AB·AC＝×2×1＝1.
∴＝2，
∴S△A′B′C′＝S△ABC＝×1＝.
通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理．利用面面平行的关键是要找到过已知的直线与已知的平行直线的平面．
[再练一题]
2.如图1－2－79所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2.求证：l1∥l2.
图1－2－79
【证明】 连结D1D(图略)，∵D与D1分别是BC与B1C1的中点，
∴DD1綊BB1，又BB1綊AA1，
∴DD1綊AA1，∴A1D1∥AD，
又平面A1B1C1∥平面ABC，
且平面A1B1C1∩平面A1D1B＝A1D1，
平面A1D1B∩平面ABC＝l1，
∴A1D1∥l1.
同理可证AD∥l2，又A1D1∥AD，即A1D1∥l2，
∴l1∥l2.
[探究共研型]
面面平行关系的综合应用
探究1 过平面外一条直线可以作几个与已知平面平行的平面？
【提示】 当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出唯一的一个符合题意的平面．
探究2 平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形有怎样的关系？
【提示】 这两个三角形相似，由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，
由面与面平行的性质知AB∥A′B′，
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，
故两个三角形相似．
如图1－2－80所示，AB，CD是夹在平行平面α，β之间的异面线段，且A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且＝.求证：EF∥平面β.
图1－2－80
【精彩点拨】 利用面面平行的性质，将证明线面平行转化为证明面面平行．
【自主解答】 如图所示，连结BC并在BC上取一点G，使得＝，则在△BAC中，EG∥AC，而AC 平面α，EG 平面α，∴EG∥α.
又α∥β，∴EG∥β.
同理可得GF∥BD，而BD β，GF β，∴GF∥β.
又EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.
又EF 平面EGF，∴EF∥平面β.
线面平行与面面平行性质定理着重体现了平行间的转化思想．转化是综合应用的关键．
[再练一题]
3．如图1－2－81所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点，求证：AB1∥平面BEC1.
图1－2－81
【证明】 如图，取A1C1的中点F，连结AF，B1F，
∵E为AC的中点，
∴AF∥C1E，
∵AF 平面BEC1，C1E 平面BEC1，
∴AF∥平面BEC1.
连结EF，由E，F分别是AC，A1C1的中点，
可知EF綊AA1綊BB1，∴BE∥B1F，又B1F 平面BEC1，BE 平面BEC1，
∴B1F∥平面BEC1，
∵B1F∩AF＝F，∴平面BEC1∥平面AB1F.
∵AB1 平面AB1F，∴AB1∥平面BEC1.
1．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面的位置关系是________．
【解析】 有无数条直线平行于另一个平面并不能保证平面内没有一条直线与另一个平面相交．
【答案】 平行或相交
2．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是____________．
①l α，m α，且l∥β，m∥β；
②l α，m β，且l∥m；
③l⊥α，m⊥β，且l∥m；
④l∥α，m∥β，且l∥m.
【解析】 ①不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；
②不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；
③正确，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊥β，∴α∥β；
④不正确，α与β有可能相交，也有可能平行．
【答案】 ③
3．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是________.
【导学号：41292037】
【解析】 若三点在平面α的同侧，则α∥β；若三点在平面α的异侧，则α与β相交．
【答案】 平行或相交
4．下列条件中，能使α∥β的条件是________．(填序号)
①平面α内有无数条直线平行于平面β；②平面α与平面β同时平行于一条直线；③平面α内有两条直线平行于平面β；④平面α内有两条相交直线平行于平面β.
【解析】 由平面与平面平行的判定定理可知④正确，其余选项中平面α与平面β的关系可能平行也可能相交．
【答案】 ④
5．如图1－2－82所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
图1－2－82
【证明】 过点M作MG∥BC交AB于点G，连结GN，
则＝.
∵AM＝FN，AC＝BF，∴MC＝NB.
∴＝，∴GN∥AF.又AF∥BE，∴GN∥BE.
∵GN 平面BCE，BE 平面BCE，
∴GN∥平面BCE.
∵MG∥BC，MG 平面BCE，BC 平面BCE，
∴MG∥平面BCE.
∵MG∩GN＝G，∴平面MNG∥平面BCE.
∵MN 平面MNG，∴MN∥平面BCE.
