2．3.2 空间两点间的距离
1．了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程．(重点)
2．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 空间两点间的距离公式
阅读教材P120～P121，完成下列问题．
1．平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为P1P2＝.特别地，点A(x，y)到原点距离为OA＝.
2．空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的距离公式是P1P2＝.特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为OA＝.
1．点P(－2，－1,1)到原点的距离为________．
【解析】 PO＝＝.
【答案】
2．点A(1,0,2)，B(－3,4,0)，则|AB|＝________.
【解析】 |AB|＝＝＝6.
【答案】 6
3．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为，则该点的坐标为__________．
【解析】 设点P的坐标是(x,0,0)，由题意得，P0P＝，即＝，∴(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1.
∴点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
【答案】 (9,0,0)或(－1,0,0)
教材整理2 空间两点的中点坐标公式
阅读教材P122，完成下列问题．
连结空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的线段P1P2的中点M的坐标为.
1．若O为原点，P点坐标为(2，－4，－6)，Q为OP中点，那么Q点的坐标为________．
【解析】 设Q(x，y，z)，则x＝＝1，y＝＝－2，z＝＝－3，
∴Q(1，－2，－3)．
【答案】 (1，－2，－3)
2．如图2－3－10，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是________．
图2－3－10
【解析】 ∵OA＝2，AB＝3，AA1＝2，
∴O(0,0,0)，B1(2,3,2)．
又∵M为OB1的中点，
∴M.
【答案】
[小组合作型]
空间中两点间距离的计算
如图2－3－11，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长．
图2－3－11
【精彩点拨】 解答本题关键是先建立适当坐标系，把M，N两点的坐标表示出来，再利用公式求长度．
【自主解答】 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为正方体的棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．
由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，
所以M，O′.
因为A′N＝3NC′，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N，根据空间两点距离公式，可得
MN＝＝a.
利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤：
(1)建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；
(2)代入空间两点间的距离公式求值．
[再练一题]
1．已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度．
【解】 (1)由空间两点间距离公式得
AB＝＝3，
BC＝＝，
AC＝＝，
∴△ABC中最短边是BC，其长度为.
(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为.
∴AC边上中线的长度为
＝.
[探究共研型]
空间两点间距离公式的应用
探究1 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是什么？
【提示】 设M(0，a,0)，由已知得MA＝MB，即＝，解得a＝－1，故M(0，－1,0)．
探究2 方程(x－1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝25的几何意义是什么？
【提示】 依题意＝5，点(x，y，z)是空间中到点(1,2,3)距离等于5的点，即以点(1,2,3)为球心，以5为半径的球面．
已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求AB取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的AB的长度．
【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标．
【自主解答】 由空间两点间的距离公式得AB＝＝＝，
当x＝时
，AB有最小值＝，
此时A，B.
解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标．
[再练一题]
2.如图2－3－12所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0
图2－3－12
(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小.
【解】 以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∵正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且CM＝BN＝a(0∴易得点M，N的坐标分别为
M，N.
∴当a＝时，MN的长最小，且最小值为.
1．点M(4，－3,5)到原点的距离d1＝________，到z轴的距离d2＝________.
【解析】 d1＝＝＝5
d2＝＝5.
【答案】 5 5
2．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为________.
【解析】 ∵B(4，－2，－2)，C(0,5,1)，
∴BC的中点为，
∴BC边上的中线长为
【答案】
3．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且AB＝2，则实数x的值是________．
【解析】 由题意得＝2，解得x＝－2或x＝6.
【答案】 －2或6
4．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于__________．
【解析】 ∵AM＝
＝，
∴正方体的体对角线长为2.
∵3a2＝52(a为正方体的棱长)，
∴a＝.
【答案】
5．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC为直角三角形．
【证明】 由空间两点间的距离公式得
AB＝＝，
BC＝＝，
AC＝＝，∵AB2＝BC2＋AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠C为直角．第二章
平面解析几何初步
[自我校对]
①(x2≠x1)
②点斜式
③两点式
④一般式
⑤
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直线方程及两直线的位置关系
1.直线方程的五种形式及其选取
直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．
2．两条直线的平行与垂直
两条直线的平行与垂直是解析几何中两条直线最基本的位置关系，其判定如下：
位置关系
l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2或l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)
平行
l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2或l1∥l2
垂直
l1⊥l2 k1·k2＝－1或l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0
过点P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.
【精彩点拨】 考虑直线斜率是否存在，不存在时可直接求出，存在时设方程利用截距关系求k.
【规范解答】 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；
(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.
令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.
由题意得＝1，即k＝1.
则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，
即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
[再练一题]
1．求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程．
【解】 法一 由方程组
得
∵直线l和直线3x－y－1＝0平行，
∴直线l的斜率k＝3，
∴根据点斜式有y－＝3.
即所求直线方程为15x－5y＋2＝0.
法二 ∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，
∴可设直线l的方程为：2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.
∵直线l与直线3x－y－1＝0平行，
∴＝≠，解得λ＝.
从而所求直线方程为15x－5y＋2＝0.
直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．
2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形来形象直观地分析问题．
如图2－1所示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
图2－1
(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
【精彩点拨】 (1)设出方程，求出弦心距，由点到直线的距离公式求k.(2)设出方程，由直线与圆的位置关系及几何性质列方程求出参数．
【规范解答】 (1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，
所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k＋7)＝0，
即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即＝，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，
从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，
即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，
因为k的取值范围有无穷多个，
所以或解得或
这样点P只可能是点P1或点P2.
经检验点P1和P2满足题目条件．
[再练一题]
2．如图2－2，平面直角坐标系中，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，
图2－2
(1)求圆A的方程；
(2)当MN＝2时，求直线l的方程．
【解】 (1)设圆A的半径为R.由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设MN的中点为Q，直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连结AQ，则AQ⊥MN.
∵MN＝2，∴AQ＝＝1，
则由AQ＝＝1，得k＝.直线方程为3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题，往往是已知圆的方程f(x，y)＝0，求，y－x，x2＋y2等量的最值或范围．解决的方法是：设(x，y)是圆上任意一点，分别把给定的式子，y－x，x2＋y2赋予一定的几何意义，这样就把有关最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题，再根据圆的几何性质确定最值．
已知实数x，y满足关系式：x2＋y2－6x－4y＋12＝0，点P(x，y)，A(－1,0)，B(1,0)．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x－y的最大值和最小值；
(3)求PA2＋PB2的最大值和最小值．
【精彩点拨】 (1)转化为过圆上的点(x，y)和原点(0,0)的直线的斜率问题．(2)令m＝x－y，转化为直线与圆相切的问题．(3)令PA2＋PB2＝m2，化简后转化为两圆相切问题．
【规范解答】 根据题意，设圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝1，圆心C(3,2)．
(1)设＝k，则当直线y＝kx与圆C相切时，取得最值．此时＝1，k＝，
∴的最大值为，最小值为.
(2)设x－y＝m，则当直线y＝x－m与圆C相切时，x－y取得最值．
此时＝1，∴m＝1±，
∴x－y的最大值为1＋，最小值为1－.
(3)设PA2＋PB2＝m2，则有x2＋y2＝，m2≥2.
当圆x2＋y2＝与圆C相切时，PA2＋PB2取得最值，此时±1＝，解得m2＝30±4.
∴PA2＋PB2的最大值为30＋4，最小值为30－4.
[再练一题]
3．如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)x＋y的最大值与最小值．
【解】 (1)设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6所表示的圆C上的任意一点P(x，y).的几何意义就是直线OP的斜率，设＝k，则直线OP的方程为y＝kx.
由图(1)可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．
因为点C到直线y＝kx的距离d＝，所以当＝，即k＝3±2时，直线OP与圆相切．
所以的最大值与最小值分别是3＋2与3－2.
(1) (2)
(2)设x＋y＝b，则y＝－x＋b，由图②知，当直线与圆C相切时，截距b取最值．而圆心C到直线y＝－x＋b的距离为d＝.
因为当＝，即b＝6±2时，直线y＝－x＋b与圆C相切，所以x＋y的最大值与最小值分别为6＋2与6－2.
待定系数法的应用
待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的系数(部分或全部)是待定的，然后根据题目所给条件来确定这些系数的方法．
本章中求直线和圆的方程常用待定系数法，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
①选择圆的方程的某一形式；
②由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；
③解出a，b，r(或D，E，F)；
④代入所设方程．
求直线方程时一般有以下几类：
①知过定点，设点斜式(注意斜率不存在的情况)；
②知斜率，设斜截式；
③与截距有关设截距式；
④知与已知直线平行或垂直，设一般式(或斜截式、点斜式)．
如图2－3，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
图2－3
【精彩点拨】 (1)求出圆心C，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，结合待定系数法求解．(2)设出圆的方程，化简条件MA＝2MO，将问题转化为两圆相交问题．
【规范解答】 (1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，得＝1，解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3，
化简得
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.
[再练一题]
4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程.
【解】 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设得y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)，由已知得
＝.
又P在曲线y2－x2＝1上，从而得
由得
此时，圆P的半径r＝.
由得
此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝________.
【解析】 将圆的方程化为标准方程，根据点到直线距离公式求解．
圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，由圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1可知＝1，解得a＝－.
【答案】 －
2．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是________．
【解析】 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
【答案】 x－y＋3＝0
3．如图2－4，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
图2－4
(1)圆C的标准方程为________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．
【解析】 (1)取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB.
由题意|AD|＝|CD|＝1，
故|AC|＝＝，即圆C的半径为.
又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)，所以圆心C的坐标为(1，)，故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.
(2)令(x－1)2＋(y－)2＝2中的x＝0，解得y＝±1，故B(0，＋1)．直线BC的斜率为＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y＝x＋＋1.令y＝0，解得x＝－－1，故所求截距为－－1.
【答案】 (1)(x－1)2＋(y－)2＝2 (2)－－1
4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为__________．
【解析】 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.
【答案】 6
5．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为______________________．
【解析】 设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
【答案】 (x－2)2＋(y－1)2＝4
6．如图2－5，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
图2－5
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
【解】 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋，
所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，
所以①
因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②
将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，
从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，
所以5－5≤≤5＋5，
解得2－2≤t≤2＋2.
因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2]．
7．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
【解】 (1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0)．
(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，
∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴·＝0.
又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，
∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.
易知直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为y＝mx，
当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，
解得m＝±.
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.
当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．
又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，
∴∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中(3)由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x2－3x＋y2＝0，其中化简得(k2＋1)x2－(3＋8k2)x＋16k2＝0，其中记f(x)＝(k2＋1)x2－(3＋8k2)x＋16k2，其中若直线L与曲线C只有一个交点，令f(x)＝0.
当Δ＝0时，解得k2＝，即k＝±，此时方程可化为25x2－120x＋144＝0，即(5x－12)2＝0，
解得x＝∈，∴k＝±满足条件．
当Δ>0时，
①若x＝3是方程的解，则f(3)＝0 k＝0 另一根为x＝0<，故在区间上有且仅有一个根，满足题意．
②若x＝是方程的解，则f＝0 k＝± 另外一根为x＝，<≤3，故在区间上有且仅有一个根，满足题意．
③若x＝3和x＝均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需f·f(3)<0 －综上所述，k的取值范围是－≤k≤或k＝±.2．3.1 空间直角坐标系
1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)
2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1 空间直角坐标系
阅读教材P118，完成下列问题．
1．空间直角坐标系的概念
从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
如图2－3－1，三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，且∠C＝90°，试在图中建立一个空间直角坐标系．
图2－3－1
【解】 以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴，以CA所在直线为y轴，以CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图．
教材整理2 空间点的坐标表示
阅读教材P119，完成下列问题．
对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R.点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记为A(x，y，z)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在空间直角坐标系中，x轴上点的坐标满足x＝0，z＝0.(×)
(2)在空间直角坐标系中，xOz平面上点的坐标满足z＝0.(×)
(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(√)
(4)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于z轴的对称点为P′(－x，－y，z)．(√)
2．在空间直角坐标系中，点P(2，－4,6)关于y轴对称点P′的坐标为____________．
【解析】 点P(2，－4,6)关于y轴对称点P′的坐标为(－2，－4，－6)．
【答案】 (－2，－4，－6)
[小组合作型]
空间中点的坐标的确定
如图2－3－2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．
图2－3－2
【精彩点拨】 可选取A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．
【自主解答】 以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
分别设AB＝1，AD＝2，
AA1＝4，
则CF＝AB＝1，CE＝AB＝，
所以BE＝BC－CE＝2－＝.
所以点E的坐标为，点F的坐标为(1,2,1)．
1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点M的坐标的方法
过点M分别作三个坐标平面的平行平面(或垂面)，分别交坐标轴于A，B，C三点，确定x，y，z.具体理解，可以以长方体为模型，要掌握一些特殊点(落在坐标轴上的点和落在坐标平面上的点)的坐标表示的特征．
[再练一题]
1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，D′B′的中点，棱长为1，求E，F点的坐标．
【解】 建立如图空间直角坐标系，
E点在xDy面上的射影为B，
B(1,1,0)，竖坐标为，
∴E.
F在xDy面上的射影为BD的中点G，竖坐标为1，
∴F.
[探究共研型]
空间中点的对称问题
探究1 在空间坐标系中，点(1,1,1)关于原点对称的坐标是什么？
【提示】 (－1，－1，－1)．
探究2 在空间坐标系中，点(a，b，c)关于x轴对称的点的坐标是什么？
【提示】 (a，－b，－c)．
探究3 在空间坐标系中，点(a，b，c)关于xOy平面对称的点的坐标是什么？
【提示】 (a，b，－c)．
求点M(2，－1,3)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标．
【精彩点拨】 结合图形，利用图象对称的思想找准对称点．
【自主解答】 点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(2，－1，－3)，
关于xOz平面的对称点M2的坐标为(2,1,3)，关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－2，－1,3)，
关于x轴的对称点M4的坐标为(2,1，－3)，
关于y轴的对称点M5的坐标为(－2，－1，－3)，
关于z轴的对称点M6的坐标为(－2,1,3)，
关于原点的对称点M7的坐标为(－2,1，－3)．
平面直角坐标系中的对称性可以推广到空间直角坐标系中．在空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊的对称点的坐标如下：
①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；
②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；
③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；
④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；
⑤关于xOy平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；
⑥关于yOz平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；
⑦关于xOz平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．
[再练一题]
2．在空间直角坐标系中，点P(－1,1,2)关于y轴对称的点的坐标为________，关于坐标平面yOz对称的点的坐标为________．
【解析】 由对称知识可知，P关于y轴对称的点为(1,1，－2)，关于平面yOz对称的点为(1,1,2)．
【答案】 (1,1，－2) (1,1,2)
1．点P(－1,0,4)位于________平面内．
【解析】 点P(－1,0,4)的y坐标为0，
∴点P(－1,0,4)在xOz平面内．
【答案】 xOz
2．点P(1,2，－1)在yOz平面内的垂足为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.
【解析】 点P(1,2，－1)在yOz平面内的垂足B(0,2，－1)，故x＋y＋z＝1.
【答案】 1
3．在空间直角坐标系中，点P(－2,4,4)关于x轴的对称点的坐标是________.
【解析】 因为点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点P′的坐标为(－2，－4，－4)．
【答案】 (－2，－4，－4)
4．设x，y为任意实数，相应的所有点P(x，y,3)的集合是________．
【答案】 过z轴上的点(0,0,3)且与z轴垂直的平面
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝4，A1C1与B1D1相交于点P，建立适当的坐标系，求点C，B1，P的坐标．(写出符合题意的一种情况即可)
【解】 如图，分别以AD，AB和AA1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系．
∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4，
∴B(0,5,0)，D(4,0,0)，A1(0,0,4)，从而C(4,5,0)，B1(0,5,4)．又D1(4,0,4)，
P为B1D1的中点，∴P.2.2.1
第2课时 圆的一般方程
1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)
2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 圆的一般方程的定义
阅读教材P109，完成下列问题．
1．圆的一般方程的定义
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点M在圆外
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(√)
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(×)
(3)方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(√)
(4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆应满足的条件是①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4F>0.(√)
2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0化为标准形式为_____________________．
【解析】 由x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，得(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
故圆的标准形式为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
【答案】 (x－1)2＋(y＋2)2＝2
3．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是______________．
【解析】 由题意可知，16＋(－2)2－20m＞0，解得m＜1.
【答案】 (－∞，1)
[小组合作型]
二元二次方程的曲线与圆的关系
下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；
(2)x2－2xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－4y＝0；
(5)ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0(a≠0)．
【精彩点拨】 根据二元二次方程表示圆的条件判断．
【自主解答】 (1)∵A≠B，∴不能表示圆．
(2)∵xy前的系数不等于0，∴不能表示圆．
(3)∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10<0，
∴不能表示圆．
(4)方程变形为x2＋y2－2y＝0.
配方得x2＋(y－1)2＝1，
故方程表示圆，其圆心为(0,1)，半径为1.
(5)法一：∵a≠0，∴原方程可化为x2＋y2－x＋y＝0，即2＋2＝.
∵>0，∴原方程表示圆，
此时圆心坐标为，
半径r＝.
法二：∵a≠0，∴原方程可化为
x2＋y2－x＋y＝0.
∵D2＋E2－4F＝＋
＝>0，
∴原方程表示圆，
此时圆心坐标为，
半径r＝.
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
[再练一题]
1．讨论方程x2＋y2＋2ay＋1＝0(a∈R)表示曲线的形状．
【解】 当a<－1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a)，半径为的圆；
当a＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a)；
当－1
圆的一般方程的求法
已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)，B(－1，－1)，C(－3,5)，求这个三角形外接圆的一般方程，并判断点M(1,2)，N(4,5)，Q(2,3)与圆的位置关系．
【精彩点拨】 解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．
【自主解答】 (1)法一：设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
∵此圆过A，B，C三点，
∴
解得
∴圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
②－①，③－①得
解得a＝－2，b＝2.
∴r2＝10.
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法三：AB的中垂线方程为y－1＝－(x－0)，
BC的中垂线方程为y－2＝(x＋2)，
联立解得圆心坐标为(－2,2)．
设圆的半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，
即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法四：由于kAB＝＝2，kAC＝＝－，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形，
∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2,2)，
半径r＝|BC|＝，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
(2)∵M(1,2)，
∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0，
∴点M(1,2)在圆内．
∵N(4,5)，
∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0，
∴点N(4,5)在圆外．
∵Q(2,3)，
∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0，
∴点Q(2,3)在圆外．
本题法一、法二中采用了待定系数法．用待定系数法求圆的方程时：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”．通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程．圆的标准方程和一般方程有如下关系：
(1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显．
(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显．
(3)
[再练一题]
2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
【解】 圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，即D＋E＝－2，①
又r＝＝，
∴D2＋E2＝20，②
由①②可得或
又圆心在第二象限，∴－<0，即D>0，
∴
∴圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
[探究共研型]
轨迹问题
探究1 若|AB|＝2，C为AB的中点，动点P满足|PC|＝2，那么P点轨迹是什么曲线？求出曲线方程？
【提示】 以AB所在直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，则C(0,0)，P点的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆的方程为x2＋y2＝4.
探究2 已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离都是2，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线．
【提示】 设点M(x，y)是曲线上任意一点，根据题意，有：＝2.
两边平方，得x2＋(y－2)2＝4.
因为曲线在x轴上方，y>0，
所以曲线方程应是x2＋(y－2)2＝4(y>0)．
曲线是圆心为(0,2)，半径为2的圆在x轴上方的部分．
(1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________．
(2)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足PA＝2PB.若点P的轨迹为曲线C，则此曲线的方程为__________.
【精彩点拨】 (1)设出中点坐标和圆上点的坐标，用圆上点的坐标表示中点坐标，再代入圆的方程，化简即可．(2)设出点P的坐标，利用PA＝2PB得点P坐标的关系，化简即可．
【自主解答】 (1)设圆上任意一点为(x1，y1)，它与点P连线的中点坐标为(x，y)，
则x＝，y＝，
所以x1＝2x－4，y1＝2y＋2，
又(x1，y1)在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(2)设点P的坐标为(x，y)，则＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．
【答案】 (1)(x－2)2＋(y＋1)2＝1 (2)(x－5)2＋y2＝16
求与圆有关的轨迹问题常用的方法
1．直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．如上例(2)．
2．定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
3．相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)的运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．如上例(1)．
[再练一题]
3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
【解】 设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3,3)．
∵CM⊥AM，∴kCM·kAM＝－1，
即·＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________．
【答案】 (2，－3)
2．经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的方程为__________．
【解析】 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将A，B，C三点代入，整理得方程组
解得
∴所求圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
【答案】 x2＋y2－7x－3y＋2＝0
3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为________.
【解析】 原方程可化为：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示点(－a，－b)．
【答案】 (－a，－b)
4．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
【解析】 圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为＝3.
【答案】 3
5．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？
【解】 设另一端点C的坐标为(x，y)，依题意，得AC＝AB.由两点间距离公式，得＝，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线．即点B，C不能重合且B，C不能为圆A的一直径的两个端点．
因为点B，C不能重合，所以点C不能为(3,5)．
又因为点B，C不能为一直径的两个端点，
所以≠4，且≠2，即点C不能为(5，－1)．
故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．2.1.2
第3课时 直线的一般式
1．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点)
2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程几种形式之间的关系．(易错、易混点)
3．能灵活应用直线方程的几种形式求直线方程．(重点)
[基础·初探]
教材整理1 二元一次方程与直线的关系
阅读教材P85练习以下的部分，完成下列问题．
直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示．
(2)在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线．
1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为________．
【解析】 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不同时为0，即A2＋B2≠0.
【答案】 A2＋B2≠0
2．过点(1,2)，斜率为0的直线对应的二元一次方程为________．
【解析】 过点(1,2)，斜率为0的直线方程为y＝2，其对应的二元一次方程为y－2＝0.
【答案】 y－2＝0
教材整理2 直线的一般式方程
阅读教材P85～P86，完成下列问题．
1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示直线．方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫做直线方程的一般式．
2．对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.
3．直线一般式方程的结构特征
(1)方程是关于x，y的二元一次方程．
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
(3)x的系数一般不为分数和负数．
(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0都表示一条直线．(×)
(2)直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程．(×)
(3)直线方程的一般式同二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)之间是一一对应关系．(√)
(4)方程①x＋2y－3＝0；②x－3＝0；③y＋1＝0均表示直线．(√)
2．方程－＝1，化成一般式为________．
【解析】 由－＝1，得2x－3y－6＝0.
【答案】 2x－3y－6＝0
3．经过点(－2,3)，且斜率为2的直线方程的一般式为______________．
【解析】由点斜式方程得y－3＝2(x＋2)，整理得y＝2x＋7，即2x－y＋7＝0.
【答案】 2x－y＋7＝0
[小组合作型]
求直线的一般式方程
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是，且经过点A(2,3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－1；
(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(4)在x，y轴上的截距分别是3，－1.
【精彩点拨】 选择恰当方程形式，代入条件，再化成一般式．
【自主解答】 (1)由点斜式方程可知，
所求直线方程为y－3＝(x－2)，
化为一般式为x－y＋3－2＝0.
(2)由斜截式方程可知，
所求直线方程为y＝4x－1，
化为一般式为4x－y－1＝0.
(3)由两点式方程可知，所求直线方程为
＝.
化为一般式方程为2x＋y－3＝0.
(4)由截距式方程可得，所求直线方程为＋＝1.
化成一般式方程为x－3y－3＝0.
求直线的一般式方程，设一般式用待定系数法求解并不简单，通常是根据题干条件选用点斜式，斜截式，两点式或截距式先求出方程，再化为一般式．
[再练一题]
1．求满足下列条件的直线方程，并化成一般式．
(1)斜率为3，经过点(5，－4)；
(2)斜率为－2，经过点(0,2)；
(3)经过两点(2,1)和(3，－4)；
(4)经过两点(2,0)和(0，－3)．
【解】 (1)∵直线的斜率为3，过点(5，－4)，
由直线的点斜式方程，得y＋4＝3(x－5)，
∴所求直线方程为3x－y－19＝0.
(2)∵直线的斜率为－2，在y轴上的截距为2，
由直线的斜截式方程，得y＝－2x＋2，
∴所求直线方程为2x＋y－2＝0.
(3)∵直线过两点(2,1)和(3，－4)，
由直线的两点式方程，得＝，
∴所求直线方程为5x＋y－11＝0.
(4)∵直线在x轴，y轴上的截距分别为2和－3，
由直线的截距式方程，得＋＝1，
∴所求直线方程为3x－2y－6＝0.
直线方程的实际应用
一根铁棒在20℃时，长10.402
5米，在40℃时，长10.405
0米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程求这根铁棒在25℃时的长度．
【精彩点拨】 把(20,10.402
5)和(40,10.405
0)视为直线l上的两个点，利用两点式求l的方程，并估计t＝25℃时的值．
【自主解答】 这条直线经过两点(20,10.402
5)和(40,10.405
0)，根据直线的两点式方程，
得＝，
即l＝0.002
5×＋10.400
0，
当t＝25℃时，l＝0.002
5×＋10.400
0
＝0.003
125＋10.400
0＝10.403
125.
即当t＝25℃时，铁棒长为10.403
125米．
在解决实际问题时，选择直线方程的形式不同，导致运算的繁简程度也不一样．待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法．一般地，已知一点，设k为待定系数，但要注意分k存在与不存在两种情况进行讨论．若已知斜率k，则设在y轴上的截距b为待定系数．有关直线与坐标轴围成的三角形问题，则设横截距和纵截距为待定系数，总之，应因题而异，寻找解题的最佳方法．
[再练一题]
2．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图2－1－6，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．
图2－1－6
【解析】 设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，
B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，
t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
【答案】 10
[探究共研型]
直线方程一般式的综合应用
探究1 直线5ax－5y－a＋3＝0是否一定过第一象限？为什么？
【提示】 5ax－5y－a＋3＝0变形为a(5x－1)＋3－5y＝0.
当5x－1＝0时，3－5y＝0即直线过定点，
所以不论a为何值，直线一定过第一象限．
探究2 要使直线5ax－5y－a＋3＝0不经过第二象限，那么a的取值范围是什么？
【提示】 易知直线5ax－5y－a＋3＝0过定点A，直线OA的斜率为k＝＝3.
而直线l的方程整理得y－＝a.
∵l不经过第二象限，∴k＝a≥3.
设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【精彩点拨】 (1)分直线“过原点”和“不过原点”两类分别求解．
(2)分“斜率为零”和“斜率不为零”两类分别求解．
【自主解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，即截距相等，
∴a＝2时满足条件，此时l的方程为3x＋y＝0；
当a＝－1时，直线平行于x轴，在x轴无截距，不合题意；
当a≠－1，且a≠2时，由＝a－2，即a＋1＝1，即a＝0.
此时直线在x轴，y轴上的截距都为－2，l的方程为x＋y＋2＝0.
综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0时，l在两坐标轴上的截距相等．
(2)假设存在实数a，使直线l不经过第二象限．将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
则有解得a≤－1.
1．本题(1)在求解过程中，常因忽略直线l过原点的情况而产生漏解；本题(2)在求解过程中，常因漏掉“－(a＋1)＝0”的情形而漏解．
2．解答此类综合问题，常采用分类讨论(或数形结合)的思想求解．解题时应结合具体问题选好切入点，以防增(漏)解．
[再练一题]
3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围.
【解】 (1)证明：直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.
故k的取值范围为{k|k≥0}．
1．过点(0，－1)，倾斜角为60°的直线的一般式方程为________．
【解析】 k＝tan
60°＝，
由斜截式方程得y＝x－1，化为一般式：x－y－1＝0.
【答案】 x－y－1＝0
2．已知直线的一般式方程为2x＋y－4＝0，且点(0，a)在直线上，则a＝__________.
【解析】 把点(0，a)的坐标代入方程2x＋y－4＝0，得a－4＝0，所以a＝4.
【答案】 4
3．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过第________象限.
【解析】 由ax＋by＝c，得y＝－x＋，
∵ab<0，∴直线的斜率k＝－>0，直线在y轴上的截距<0.
由此可知直线通过第一、三、四象限．
【答案】 一、三、四
4．斜率为－3，在y轴上的截距为2的直线的一般式方程是________．
【解析】 由斜截式方程得y＝－3x＋2，
化为一般式：3x＋y－2＝0.
【答案】 3x＋y－2＝0
5．已知一个等腰三角形，两腰长是5，底边长是8，建立适当坐标系，求两腰所在的直线的方程．
【解】 如图，以底边BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，易知点B，C的坐标分别为(－4,0)，(4,0)．
在Rt△AOC中，AC＝5，OC＝4，则OA＝3.所以点A的坐标为(0,3)．由直线的截距式方程得腰AB所在的直线方程为：＋＝1，即3x－4y＋12＝0；腰AC所在的直线方程为＋＝1，即3x＋4y－12＝0.2.1.3 两条直线的平行与垂直
1．理解两条直线平行与垂直的判断条件．(重点)
2．能根据斜率判定两条直线平行与垂直，体会用代数方法研究几何问题的思想．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 两条直线平行
阅读教材P89，完成下列问题．
若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．
【拓展】 设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2.(×)
(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率分别为k1，k2)，则k1＝k2.(√)
(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．(√)
2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________.
【解析】 kAB＝＝3，kl＝kAB＝3.
【答案】 3
教材整理2 两条直线垂直
阅读教材P90例2～P91思考以上部分内容，完成下列问题．
两条直线垂直与斜率的关系
(1)如图2－1－7①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2 k1k2＝－1(k1，k2均存在)．
(2)如图2－1－7②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．
① ②
图2－1－7
1．与直线x＋2y＋7＝0垂直的一条直线的斜率k＝______.
【解析】 直线x＋2y＋7＝0的斜率k＝－，故与其垂直的一条直线的斜率k＝2.
【答案】 2
2．过点(0,1)且与直线2x－y＝0垂直的直线的一般式方程是________.
【导学号：41292081】
【解析】 直线2x－y＝0的斜率是k＝2，故所求直线的方程是y＝－x＋1，即x＋2y－2＝0.
【答案】 x＋2y－2＝0
[小组合作型]
两直线平行的判定
判断下列各题中直线l1与l2是否平行．
(1)l1的斜率为1，l2经过点P(1,1)，Q(3,3)；
(2)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点C(5，－2)，D(5,5)；
(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点C(－1,3)，D(2,0)．
【精彩点拨】 依据斜率公式，求出斜率，利用l1∥l2或l1，l2重合 k1＝k2或k1，k2不存在判断．
【自主解答】 (1)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，∴l1与l2重合或l1∥l2.
(2)l1与l2都与x轴垂直，通过数形结合知l1∥l2.
(3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，k1＝k2，数形结合知l1∥l2.
判断两条直线平行的方法
[再练一题]
1．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)，N(－2，－3)．
【解】 (1)由题意知k1＝＝－，
k2＝＝－.
因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝tan
60°＝，k2＝＝.
因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
两直线垂直的判定
判断下列各题中直线l1与l2是否垂直．
(1)直线l1：2x－4y＋7＝0，直线l2：2x＋y－5＝0；
(2)直线l1：y－2＝0，直线l2：x－ay＋1＝0；
(3)直线l1经过点，，l2经过点，.
【精彩点拨】 利用两直线垂直的斜率关系判定．
【自主解答】 (1)k1＝，k2＝－2，
∵k1·k2＝×(－2)＝－1，
∴l1与l2垂直．
(2)当a＝0时，直线l2方程为x＝－1，即l2斜率不存在，又直线l1的斜率为0，故两直线垂直．
当a≠0时，直线l2的斜率为，又直线l1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．
(3)k1＝＝－，
k2＝＝.
∵k1·k2≠－1，∴两条直线不垂直．
1．判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两直线也垂直．
2．直接使用A1A2＋B1B2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．
[再练一题]
2．判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10，40)，N(10,40)．
【解】 (1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．
(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2.
(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．
直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴．故l1⊥l2.
[探究共研型]
两直线平行与垂直的应用
探究 如图2－1－8，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k1，k2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？
图2－1－8
【提示】 α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．
已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
【精彩点拨】 利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．
【自主解答】 法一：∵3x＋4y－20＝0，∴kl＝－.
(1)设过点A与l平行的直线为l1.
∵kl1＝kl＝－，∴l1的方程为y－2＝－(x－2)，
即3x＋4y－14＝0.
(2)设过点A与l垂直的直线为l2.
∵klkl2＝－1，∴×kl2＝－1，∴kl2＝.
∴l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0.
法二：(1)设与直线l平行的直线方程为3x＋4y＋m＝0，
则6＋8＋m＝0，∴m＝－14，∴3x＋4y－14＝0为所求．
(2)设与直线l垂直的直线方程为4x－3y＋n＝0，
则8－6＋n＝0，∴n＝－2，∴4x－3y－2＝0为所求．
两直线平行或垂直的应用
1．求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法，一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程，二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(C≠D)，垂直的直线系方程为Bx－Ay＋D＝0.
2．由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．
[再练一题]
3．(1)已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6，11)，求证：AB⊥CD.
(2)已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，求实数a的值．
【解】 (1)证明：由斜率公式得：
kAB＝＝，
kCD＝＝－，
则kAB·kCD＝－1，∴AB⊥CD.
(2)∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
即×＝－1，
解得a＝1或a＝3.
1．下列说法正确的有________．
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
【解析】 ①中，当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，错误；②中，斜率不存在时，错误；④错误．只有③正确．
【答案】 ③
2．过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为________.
【导学号：41292082】
【解析】 过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1＝＝－；
过点(，)，(2,0)的直线的斜率
k2＝＝＋.
因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．
【答案】 垂直
3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________.
【解析】 由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a＝2.
【答案】 2
4．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为________．
【解析】 由l1⊥l2及k1＝tan
45°＝1，知l2的斜率k2＝－1，∴l2的倾斜角为135°.
【答案】 135°
5．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．
【解】 直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×(2a)＝0，即a＝0.2．2.1 第1课时 圆的标准方程
1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点、难点)
2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点)
3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 圆的定义及标准方程
阅读教材P107～P108例1，完成下列问题．
1．圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．
2．圆的标准方程
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0,0)
(a，b)
半径
r(r>0)
r(r>0)
标准方程
x2＋y2＝r2
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
备注
确定圆的标准方程的关键是确定圆心和半径
1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是________．
【答案】 (2，－3)，
2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是________．
【答案】 x2＋y2＝4
3．以原点为圆心，且过点(2,2)的圆的标准方程为________________．
【解析】 由题意可设圆的标准方程为x2＋y2＝r2，又(2,2)在圆上，故22＋22＝r2，即r2＝8.
故所求圆的标准方程为x2＋y2＝8.
【答案】 x2＋y2＝8
教材整理2 点与圆的位置关系
阅读教材P107～P108，完成下列问题．
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d与r的大小关系
d＞r
d＝r
d＜r
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(×)
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(√)
(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(×)
(4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(×)
2．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝__________.
【解析】 把点P(－1，)代入x2＋y2＝m2，得1＋3＝m2，∴m＝2或－2.
【答案】 2或－2
[小组合作型]
求圆的标准方程
求下列各圆的标准方程．
(1)圆心为点C(8，－3)，且经过点P(5,1)；
(2)以P1(1,2)，P2(－3,4)为直径的端点．
(3)与x轴相交于A(1,0)，B(5,0)两点且半径为.
【精彩点拨】 (1)(2)直接求出圆心半径代入求解；(3)设出圆的标准方程，由已知条件列方程组求解．
【自主解答】 (1)由题意可知，圆的半径r＝PC＝＝5，所以圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25，
(2)由题意可知，P1，P2的中点P的坐标为(－1,3)．
又P1P2＝＝2，
所以圆的半径为P1P2＝.
即所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝5.
(3)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5.
因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：
解得或
所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
法二：由于A，B两点在圆上，所以线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，知这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3，b)，又由AC＝，得
＝，解得b＝1或b＝－1，
所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
求圆的标准方程的常用方法：
(1)待定系数法(代数法)：设出圆的标准方程，方程中有三个未知数a，b，r，根据题目条件列出a，b，r的方程组求解，代数法体现了方程思想．
(2)几何法：即利用圆的几何性质直接求出圆心和半径的方法，几何法体现了数形结合的思想．
[再练一题]
1．已知圆心为C的圆经过点A(0,2)和B(－3,3)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．求圆C的标准方程.
【解】 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
解得
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
法二：因为A(0,2)，B(－3,3)，所以线段AB的中点坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－，
故线段AB的垂直平分线方程是y－＝3，即3x－y＋7＝0.
由得所以圆心C的坐标为(－3，－2)．
∴圆的半径r＝AC＝＝5，
所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
圆的方程的实际应用
如图2－2－1所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2
m时，水面宽12
m，当水面下降1
m后，水面宽多少m？(结果保留两位小数)
图2－2－1
【精彩点拨】 由条件，此问题应首先建立坐标系，转化为求圆的方程，再利用条件求水面宽度．
【自主解答】 以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图所示，设圆拱所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．
设圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，将A(6，－2)代入方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1
m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)．如图所示，将A′(x0，－3)代入圆的方程，求得x0＝，
∴水面下降1
m，水面宽为2x0＝2≈14.28(m)．
本题考查应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当的坐标系，利用圆的方程来解决．一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解．
[再练一题]
2．已知隧道的截面是半径为4
m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3
m，高为3.5
m的货车能不能驶入这个隧道？
【解】 如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，将x＝3代入得y＝＝<＝3<3.5，
即在离中心线3
m处，隧道的高度低于货车的高度．
因此，该货车不能驶入这个隧道．
[探究共研型]
点与圆的位置关系
探究1 点(1,1)是否在圆(x－1)2＋y2＝2上？
【提示】 点(1,1)不在圆(x－1)2＋y2＝2上，因为将点(1,1)代入圆的方程左边得(1－1)2＋12＝1≠2.
探究2 在探究1中，点(1,1)与圆(x－1)2＋y2＝2是什么关系？
【提示】 点(1,1)在圆内．
探究3 如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？
【提示】 将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2，点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2r2，点A在圆外．
已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．
【精彩点拨】 (1)点在圆上，满足圆的方程求得a值．
(2)点在圆内(外)，则点与圆心的距离小于(大于)圆的半径，求a的范围．
【自主解答】 (1)∵点M(6,9)在圆上，
∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.
又a＞0，∴a＝.
(2)∵PC＝＝，
QC＝＝3，
PC＞QC，故点P在圆外，点Q在圆内，
∴3＜a＜.
判断点与圆的三种位置关系有两种方法：
(1)将所给的点M到圆心C的距离与半径r比较：若CM＝r，则点M在圆上；若CM＞r，则点M在圆外；若CM＜r，则点M在圆内．
(2)可用圆的标准方程来确定．
点M(m，n)在圆C上 (m－a)2＋(n－b)2＝r2；
点M(m，n)在圆C外 (m－a)2＋(n－b)2＞r2；
点M(m，n)在圆C内 (m－a)2＋(n－b)2＜r2.
[再练一题]
3．已知两点M(3,8)和N(5,2)．
(1)求以MN为直径的圆C的方程；
(2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
【解】 (1)法一：设圆心C(a，b)，半径r，则由C为MN的中点得a＝＝4，b＝＝5，
由两点间的距离公式得
r＝CM＝＝.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
法二：∵直径所对的圆周角是直角，
∴对于圆上除M，N外任意一点P(x，y)，有PM⊥PN，即kPM·kPN＝－1，
∴·＝－1(x≠3且x≠5)．
化简得x2＋y2－8x－10y＋31＝0，
即(x－4)2＋(y－5)2＝10.
又∵M(3,8)，N(5,2)的坐标满足方程，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
(2)分别计算点到圆心的距离
CP1＝＝>，
CP2＝＝，
CP3＝＝<
，
因此，点P2在圆上，点P1在圆外，点P3在圆内．
1．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________．
【解析】 C1(5,3)，C2(2，－1)，
|C1C2|＝＝5.
【答案】 5
2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)与圆的位置关系是________．
【解析】 (3－2)2＋(2－3)2＝2<4.
∴P点在圆内．
【答案】 P点在圆内
3．圆心在第二象限，半径为1，并且与x，y轴都相切的圆的方程为________.
【解析】 由条件知，|a|＝|b|＝r＝1.
∵圆心在第二象限，∴a＝－1，b＝1，
∴所求的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1.
【答案】 (x＋1)2＋(y－1)2＝1
4．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程是________．
【解析】 由题意，设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，则有(－1－2)2＋(1＋3)2＝r2，即r2＝25，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
【答案】 (x－2)2＋(y＋3)2＝25
5．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
【解】 (1)PQ中点M，kPQ＝－1，
所以圆心所在的直线方程为y＝x.
(2)由条件设圆的方程为：
(x－a)2＋(y－b)2＝1，
由圆过P，Q点得
解得或
所以圆C的方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.2.1.4 两条直线的交点
1．了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．(重点、难点)
2．会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标．(重点)
3．会利用直线系方程解决相关问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 两直线交点个数
阅读教材P93，完成下列问题．
二元一次方程组解的个数与两直线交点个数的关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1，l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1，l2的位置关系
相交
重合
平行
1．直线x＋2y－1＝0与直线x＋y－5＝0的交点坐标为________.
【导学号：41292086】
【解析】 联立方程组解得所以交点坐标为(9，－4)．
【答案】 (9，－4)
2．已知直线3x＋5y＋m＝0与直线x－y＋1＝0交点在x轴上，则m＝________.
【解析】 直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，则(－1,0)在直线3x＋5y＋m＝0上，∴3×(－1)＋5×0＋m＝0，∴m＝3.
【答案】 3
教材整理2 直线系方程
阅读教材P94～P95，完成下列问题．
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Ax＋By＋m＝0(m≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Bx－Ay＋m＝0(m为参数)．
3．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线：
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.(注意：该直线不包括直线l2)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示．(√)
(2)直线上点的坐标都是直线所对应的二元一次方程的解，反之，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上．(√)
(3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线．(×)
(4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0.(√)
2．过点(1,1)与直线2x＋y＝4平行的直线方程为________．
【解析】 设所求直线方程为2x＋y＝m，
将点(1,1)代入方程得m＝3，
∴所求直线方程为2x＋y－3＝0.
【答案】 2x＋y－3＝0
[小组合作型]
两直线位置关系的判定方法
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0.
【精彩点拨】 根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断．
【自主解答】 (1)由方程组
得
∴直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)解方程组
①×2－②得：1＝0矛盾，∴方程组无解．
∴两直线无公共点，l1∥l2.
(3)解方程组
①×2得4x－6y＋10＝0，
∴①和②可以化为同一方程，
即l1与l2是同一直线，l1与l2重合．
判定直线的位置关系有以下两种方法：
(1)利用方程组解的个数判断．
(2)利用直线平行、重合、垂直和相交的条件判断，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
①当A1B2－A2B1≠0时，两直线相交；②当A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0(或A1C2－A2C1＝0)时，两直线重合；③当A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)时，两直线平行；④当A1A2＋B1B2＝0时，两直线垂直．
[再练一题]
1．下列各组直线中，其中为相交直线的序号为________．
①y＝x＋2和y＝1；②x－y＋1＝0和y＝x＋5；③x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0；④2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0.
【解析】 ①显然相交；②平行；③直线x＋my－1＝0过点(1,0)，直线x＋2y－1＝0过点(1,0)，故两直线相交；④两直线平行．
【答案】 ①③
2．两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在x轴上，那么m的值是________.
【导学号：41292087】
【解析】 在2x＋3y－m＝0中，令y＝0，得x＝；在x－my＋12＝0中，令y＝0，得x＝－12.由题意知＝－12，故m＝－24.
【答案】 －24
直线交点的应用
当k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点P在第一象限？
【精彩点拨】 在相交的条件下，联立方程组求交点，根据条件列关于k的不等式组求解．
【自主解答】 当k＝－时，l1与l2平行，不符合题意．
当k≠－时，由
得
∵点P在第一象限，∴
∴已知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或不等式，从而求出参数的值或取值范围．
[再练一题]
3．如图2－1－11，以Rt△ABC的两条直角边AB，BC向三角形外分别作正方形ABDE和正方形BCFG.连结EC，AF，两直线交于点M.求证：BM⊥AC.
图2－1－11
【证明】 以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a，b，则A(0，a)，C(b,0)，B(0,0)，E(－a，a)，F(b，－b)．
直线AF的方程是＝，
即(a＋b)x＋by－ab＝0.
直线EC的方程是
＝，
即ax＋(a＋b)y－ab＝0.
解方程组
得
即M点的坐标为
，
故kBM＝，又kAC＝＝－，
所以kBM·kAC＝－1.
因此BM⊥AC.
[探究共研型]
过两直线交点的直线系方程的应用
探究1 过原点(0,0)且过直线x＋y－2＝0与直线x－y＋3＝0的交点的直线方程怎样求？有几种方法？
【提示】 有两种方法，方法一，先求直线x＋y－2＝0与直线x－y＋3＝0的交点，再利用两点式求出方程．
方法二，设所求直线为x＋y－2＋λ(x－y＋3)＝0，
将点(0,0)代入得3λ－2＝0，∴λ＝，
所求直线为x＋y－2＋(x－y＋3)＝0，
即5x＋y＝0.
探究2 过点M(2,0)，与直线x＋2y－b＝0(b≠2)平行的直线怎样求？
【提示】 设所求直线为x＋2y＋m＝0，将点(2,0)代入方程，求出m的值即可，直线为x＋2y－2＝0.
求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
【精彩点拨】 可先求交点坐标，再利用点斜式求直线方程；或利用过两直线交点的直线系方程求解．
【自主解答】 法一：解方程组
得P(0,2)．
∵kl3＝，且l⊥l3，∴kl＝－.
由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，
∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解．本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直直线求出斜率，由点斜式求解；而解法二则采用了过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件求出待定系数即可．
[再练一题]
4．求经过两条直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－2y＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线的方程．
【解】 法一：由解得
由题意可知所求的直线在x轴，y轴上的截距都存在且不为零，设所求的直线的方程为＋＝1.
所以
即或
解得或
所以所求的直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.
法二：易知直线x－2y＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积S＝×1×≠，
所以所求的直线的方程不可能是x－2y＋1＝0.
故可设所求的直线的方程为(2x＋y－8)＋λ(x－2y＋1)＝0(λ为任意实数)，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋(λ－8)＝0.
由题意得(2＋λ)·(1－2λ)·(λ－8)≠0，
令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－.
所以所求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为··＝，
所以(λ－8)2＝|(1－2λ)(2＋λ)|.
解得λ＝3或λ＝－22.
当λ＝3时，所求直线的方程为x－y－1＝0；当λ＝－22时，所求直线的方程为4x－9y＋6＝0.
故所求直线的方程是x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.
1．直线2x＋3y＋8＝0与直线x－y－1＝0的交点坐标为________．
【解析】 由解得
∴交点为(－1，－2)．
【答案】 (－1，－2)
2．直线l1：2x－y＝7与l2：3x＋2y－7＝0的交点坐标为________．
【解析】 由解得
∴交点(3，－1)．
【答案】 (3，－1)
3．已知直线l：2x＋my＋1＝0与直线y＝x＋1相交，则m的取值范围是________.
【导学号：41292088】
【解析】 若m＝0，两直线显然相交；
若m≠0，则－≠1，即m≠－2.
故m的取值范围为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．
【答案】 (－∞，－2)∪(－2，＋∞)
4．过l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0的直线方程为________．
【解析】 由解得交点坐标为，故所求直线过点且与x＋2y－5＝0平行，可设直线方程为x＋2y＋C＝0，
所以＋2×＋C＝0，故C＝，所以所求直线方程为x＋2y＋＝0，即为8x＋16y＋21＝0.
【答案】 8x＋16y＋21＝0
5．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求m的取值范围．
【解】 由得
∴交点M的坐标为.
∵交点M在第四象限，∴
解得－1∴m的取值范围是.2.2.3 圆与圆的位置关系
1．能根据两个圆的方程，判断两圆的位置关系．(重点)
2．当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题．(易错点)
3．了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是不是两圆的公切线．(难点)
[基础·初探]
教材整理 圆与圆的位置关系
阅读教材P115，完成下列问题．
1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|<
dd＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交．(√)
(2)若两个圆没有公共点，则两圆一定外离．(×)
(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(×)
(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(√)
2．两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的公共弦所在的直线方程为______________．
【解析】 联立
①－②得：x＋y＋2＝0.
【答案】 x＋y＋2＝0
3．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为________．
【解析】 由解得或
【答案】 (－1,0)和(0，－1)
[小组合作型]
两圆位置关系的判定
已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，与圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)m＝1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？
(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？
【精彩点拨】 (1)参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r1＋r2和|r1－r2|的大小关系．(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则圆心距d<|r1－r2|.
【自主解答】 (1)∵m＝1，∴两圆的方程分别可化为：
C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
C2：(x＋1)2＋y2＝1.
两圆的圆心距d＝＝2，
又∵r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，
∴r1－r2(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，
则<3－1，
即(m＋1)2<0，显然不等式无解．
故不存在m使得圆C1与圆C2内含．
判断圆与圆的位置关系时，通常用几何法，即转化为判断圆心距与两圆半径的和与差之间的大小关系．
[再练一题]
1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，
C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．
试求a为何值时两圆C1，C2(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．
【解】 对圆C1，C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5即3(3)当|C1C2|>5，即a>5时，
两圆外离．
(4)当|C1C2|<3，即0
两圆相交的问题
已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)求公共弦所在直线的方程；
(2)求公共弦的长．
【精彩点拨】 两圆方程相减→直线方程→
半径、弦心距、弦长一半构成直角三角形→列式求解
【自主解答】 (1)设两圆的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．将点A的坐标代入两圆方程，得
①－②，得x1－2y1＋4＝0，故点A在直线x－2y＋4＝0上．
同理，点B也在直线x－2y＋4＝0上，即点A，B均在直线x－2y＋4＝0上．因为经过两点有且只有一条直线，所以直线AB的方程为x－2y＋4＝0，即公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.
(2)圆C1的方程可化为(x－1)2＋(y＋5)2＝50，所以C1(1，－5)，半径r1＝5.
C1(1，－5)到公共弦的距离d＝＝3.
设公共弦的长为l，
则l＝2＝2＝2.
1．利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．
2．求两圆的公共弦长有两种方法：一是先求出两圆公共弦所在直线的方程；再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；二是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求弦长．
[再练一题]
2．求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程.
【解】 由
得或
即两圆的交点坐标为A(－1，－1)，B(3,3)．
设所求圆的圆心坐标C为(a，a－4)，由题意可知CA＝CB，
即＝，
解得a＝3，∴C(3，－1)．
∴CA＝＝4，
所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
[探究共研型]
两圆相切的问题
探究1 若已知圆C1：x2＋y2＝a2(a>0)和C2：(x－2)2＋y2＝1，那么a取何值时C1与C2相外切？
【提示】 由|C1C2|＝a＋1，得a＋1＝2，∴a＝1.
探究2 若将探究1中，C2的方程改为(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，那么a与r满足什么条件时两圆相切？
【提示】 若两圆外切，则a＋r＝|C1C2|＝2，即a＋r＝2时外切．若两圆内切，则|r－a|＝|C1C2|＝2.
∴r－a＝2或a－r＝2.
已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明：圆C1与圆C2相切，并求过切点的公切线的方程；
(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
【精彩点拨】 (1)证明|C1C2|＝r1＋r2，两圆方程相减得公切线方程．
(2)由圆系方程设圆的方程，将已知点代入．
【自主解答】 (1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，
得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13；
圆心与半径长分别为
C1(－2,2)，r1＝；C2(4，－2)，r2＝，
因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2相切．
由
得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，这就是过切点的两圆公切线的方程．
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为
x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.
点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝.
所以所求圆的方程为
x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，
即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
两圆相切有如下性质：
(1)设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则两圆相切
(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)．
在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算．
[再练一题]
3．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
【解】 圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
圆心C(1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题意可知解得
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．
【解析】 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2【答案】 相交
2．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝1与圆C2：x2＋y2＋2y＝8外离，则实数m的取值范围是________．
【解析】 圆C1可化为(x－m)2＋y2＝1，圆C2可化为x2＋(y＋1)2＝9，所以圆心C1(m,0)，C2(0，－1)，半径r1＝1，r2＝3，因为两圆外离，所以应有C1C2>r1＋r2＝1＋3＝4，即>4，解得m>或m<－.
【答案】 (－∞，－)∪(，＋∞)
3．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为________．
【解析】 设圆心坐标为(a，b)，由题意知b＝6，＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
【答案】 (x±4)2＋(y－6)2＝36
4．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为________.
【解析】 直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
【答案】 x＋y－1＝0
5．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，
(1)圆C1与圆C2外切；
(2)圆C1与圆C2内含．
【解】 将圆C1，圆C2化为标准形式得
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
则C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2，C1C2＝＝.
(1)当圆C1与圆C2外切时，
有r1＋r2＝C1C2，
则＝5，解得m＝－5或2，即当m＝－5或2时，两圆外切．
(2)当圆C1与圆C2内含时，
C1C2∴<1，即m2＋3m＋2<0.
∵f(m)＝m2＋3m＋2的图象与横坐标轴的交点是(－2,0)，(－1,0)，
∴由m2＋3m＋2<0，可得－2第2课时
直线的两点式
1．了解直线方程的两点式的推导过程．(难点)
2．会利用两点式求直线的方程．(重点)
3．掌握直线方程的截距式，并会应用．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 直线的两点式方程
阅读教材P83思考以上部分内容，完成下列问题．
已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则其方程＝(x1≠x2且y1≠y2)，称为直线的两点式方程．
1．过点P1(1,1)，P2(2,3)的直线方程为________．
【解析】 由直线方程的两点式得＝，即2x－y－1＝0.
【答案】 2x－y－1＝0
2．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为________．
【解析】 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2.
【答案】 y＝2
教材整理2 直线的截距式方程
阅读教材P84例2以上部分内容，完成下列问题．
若直线过点A(a,0)，B(0，b)，其中a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距，则直线方程＋＝1(a≠0，b≠0)，称为直线的截距式方程．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两点式＝，适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线．(√)
(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示．(√)
(3)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．(×)
(4)方程y－y1＝(x－x1)和＝表示同一图形．(×)
2．过点P1(2,0)，P2(0,3)的直线方程为________．
【解析】 ∵P1(2,0)，P2(0,3)都在坐标轴上，因此过这两点的直线方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
3．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为________.
【解析】 令x＝0，得y＝－4；令y＝0，得x＝3.
故直线在两坐标轴上的截距之和为－4＋3＝－1.
【答案】 －1
[小组合作型]
直线的两点式方程及其应用
已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
【精彩点拨】 已知直线上的两点，可利用两点式求方程，也可利用两点先求斜率，再利用点斜式写直线方程．
【自主解答】 ∵A(2，－1)，B(2,2)，
A，B两点横坐标相同，
直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.
∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得AC的方程为＝，即x－y－3＝0.
同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0.
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为
x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
[再练一题]
1．已知三角形的三个顶点A(－4,0)，B(0，－3)，C(－2,1)，求：
(1)BC边所在的直线方程；
(2)BC边上中线所在的直线方程．
【解】 (1)直线BC过点B(0，－3)，C(－2,1)，由两点式方程得＝，化简得2x＋y＋3＝0.
(2)由中点公式得，BC的中点D的坐标为，即D(－1，－1)，又直线AD过点A(－4，0)，由两点式方程得＝，化简得x＋3y＋4＝0.
直线的截距式方程
求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
【精彩点拨】
【自主解答】 设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，
此时直线的方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
当所给条件涉及直线的横、纵截距求直线方程时，可考虑用直线的截距式方程．但要特别注意截距式使用的条件是横纵截距都存在且不为零．
[再练一题]
2．求过点A(5,2)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
【解】 当直线l在坐标轴上的截距为0时，设方程为y＝kx，又l过点A(5,2)，得2＝5k，即k＝，故方程为y＝x，即2x－5y＝0.
当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
设直线l的方程为＋＝1，即x－y＝a.
又因为直线l过点A(5,2)，所以5－2＝a，a＝3.
所以直线l的方程为x－y－3＝0.
综上所述，直线l的方程为2x－5y＝0或x－y－3＝0.
[探究共研型]
直线的两点式方程与截距式方程
探究1 已知直线l经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)两点，如何求直线的点斜式方程，如果将求出的点斜式方程写成比例式可化成怎样的形式．
【提示】 由于x1≠x2，所求直线的斜率k＝，取P1(x1，y1)和k，由点斜式方程得y－y1＝·(x－x1)．由于y1≠y2，方程两边同除y2－y1得＝.
探究2 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适用求什么样的直线方程．
【提示】 两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．
已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程．
【精彩点拨】 结合两点式方程的结构形式，直接写出两点式方程，再化简．
【自主解答】 将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得＝，即＋＝1.
我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程＋＝1由直线l在两坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程．
[再练一题]
3．三角形的顶点是A(－4,0)，B(3，－3)，C(0,3)，求这个三角形三边所在的直线的方程．
【解】 ∵直线AB过点A(－4,0)，B(3，－3)两点，由两点式方程得＝，
整理得3x＋7y＋12＝0，
∴直线AB的方程为3x＋7y＋12＝0.
∵直线AC过点A(－4,0)和C(0,3)两点，
由截距式方程得＋＝1，整理得3x－4y＋12＝0.
∴直线AC的方程为3x－4y＋12＝0.
∵直线BC过点B(3，－3)和C(0,3)两点，
由两点式得＝，
整理得2x＋y－3＝0.
∴直线BC的方程为2x＋y－3＝0.
1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为________．
【解析】 代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3.
【答案】 y＝x＋3
2．经过两点(3,9)，(－1,1)的直线在x轴上的截距为________．
【解析】 由两点式得，所求直线的方程为
＝，即2x－y＋3＝0，令y＝0，得x＝－.
【答案】 －
3．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是________．
【解析】 因为由两点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为＋＝1.
【答案】 －＝1
4．直线－＝1在y轴上的截距是________.
【答案】 －b2
5．直线l经过点A(2,1)和点B(a,2)，求直线l的方程．
【解】 ①当a＝2时，直线的斜率不存在，直线上每点的横坐标都为2，所以直线方程为x＝2；
②当a≠2时，由＝，得x＋(2－a)y＋a－4＝0.综上，当a＝2时，所求直线方程为x＝2；
当a≠2时，所求直线方程为x＋(2－a)y＋a－4＝0.2.1.2
第1课时
直线的点斜式
1．掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)
2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)
3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 直线的点斜式方程
阅读教材P80～P81，完成下列问题．
1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．
2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.
1．过点(2,3)，斜率为－1的直线的方程为________．
【解析】 由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，
∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.
【答案】 y＝－x＋5
2．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．
【解析】 过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.
【答案】 y＝1 x＝1
3．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．
【解析】 k＝＝1，l的方程为y－1＝1·(x＋1)，即y＝x＋2.
【答案】 y＝x＋2
教材整理2 直线的斜截式方程
阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．
斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(√)
(2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．(×)
(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(√)
(4)当直线的斜率不存在时，过点(x1，y1)的直线方程为x＝x1.(√)
2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为________.
【导学号：41292066】
【解析】 k＝tan
60°＝，且过点(0，－2)，所以直线方程为y＋2＝(x－0)，即x－y－2＝0.
【答案】 x－y－2＝0
[小组合作型]
利用点斜式求直线的方程
根据下列条件，求直线的方程．
(1)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(3)经过点A(1,1)，B(2,3)．
【精彩点拨】 先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．
【自主解答】 (1)∵直线的倾斜角为45°，
∴此直线的斜率k＝tan
45°＝1，
∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，
即x－y＋1＝0.
(2)∵直线与x轴平行，
∴倾斜角为0°，斜率k＝0，
∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，
即y＝－1.
(3)∵直线的斜率k＝＝2.
∴直线的点斜式方程为y－3＝2×(x－2)，
即2x－y－1＝0.
1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．
[再练一题]
1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(－1,2)；
(2)在x轴上的截距是－5.
【解】 (1)∵所求直线的倾斜角为135°，
∴斜率k＝tan
135°＝－1，又直线经过点(－1,2)，
∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5,0)，又所求直线的斜率为－1，
∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，
即x＋y＋5＝0.
利用斜截式求直线的方程
根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【精彩点拨】 (1)直接利用斜截式写出方程；
(2)先求斜率，再用斜截式求方程；
(3)截距有两种情况．
【自主解答】 (1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan
150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan
60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
1．直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．
2．当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．
[再练一题]
2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．
(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.
(2)倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.
【导学号：41292067】
【解】 (1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan
30°＝，
由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝x.
(2)设直线y＝－x＋1的倾斜角为α，则tan
α＝－，
∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan
60°＝.
∴直线的斜截式方程为y＝x－10.
[探究共研型]
直线的点斜式方程和斜截式方程的应用
探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？
【提示】 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.
探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．
【提示】 ∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y＝1，即b＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．
已知直线l经过点P(4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程．
【精彩点拨】 设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．
【自主解答】 设所求直线的点斜式方程为：y－1＝k(x－4)(k<0)，
当x＝0时，y＝1－4k；当y＝0时，x＝4－.
由题意，得×(1－4k)×＝8.
解得k＝－.所以直线l的点斜式方程为y－1＝－(x－4)．
在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．
[再练一题]
3．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．
【解】 设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得
·|b|·|－6b|＝3，
即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1，
即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
1．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角和所过的点分别为________．
【解析】 由点斜式方程知，直线过点(－1,2)，斜率为－，∴倾斜角为120°.
【答案】 120°，(－1,2)
2．已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则直线的斜率为________．
【解析】 化直线方程为斜截式：y＝－x－3，
∴斜率为－1.
【答案】 －1
3．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是_____．
【解析】 由方程知，已知直线的斜率为，
∴所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)，即x－y＋＋1＝0.
【答案】 x－y＋＋1＝0
4．直线x＋y＋1＝0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是________.
【导学号：41292068】
【解析】 直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan
α＝－1，即α＝135°.
【答案】 135°，－1
5．求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．
【解】 设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)．
当x＝0，y＝4＋3k，
当y＝0，x＝－－3，
∴3k＋4－－3＝12，即3k2－11k－4＝0，
∴k＝4或k＝－.
∴直线方程为y－4＝4(x＋3)或y－4＝－(x＋3)，即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.2．1.1 直线的斜率
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念及它们之间的关系．(难点)
2．掌握过两点的直线斜率计算公式．(重点)
3．了解直线的倾斜角的范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 直线的斜率
阅读教材P77～P78例1，完成下列问题．
已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率为k＝(x1≠x2)，如果x1＝x2，那么直线PQ的斜率不存在．
1．若直线过点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的斜率是________．
【解析】 过点(1,2)，(4,2＋)的斜率k＝＝.
【答案】
2．若直线AB的斜率为－2，其中A(－2，－3)，B(a,5)，则a的值是__________.
【解析】 ∵＝－2，∴a＝－6.
【答案】 －6
教材整理2 直线的倾斜角
阅读教材P78～P79，完成下列问题．
1．直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
倾斜角α的范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率与倾斜角的关系
(1)从关系式上看：若直线l的倾斜角为α(α≠90°)，则直线l的斜率k＝tan_α.
(2)从几何图形上看：
直线情形
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的大小
0
k＝tan_α
不存在
k＝tan_α＝－tan(180°－α)
k的范围
0
k>0
不存在
k<0
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率．(×)
(2)平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°.(×)
(3)若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等．(×)
(4)若k是直线的斜率，则k∈R.(√)
2．直线l的倾斜角α＝120°，则其斜率为________．
【解析】 直线的斜率为tan
120°＝－tan
60°＝－.
【答案】 －
[小组合作型]
求直线的斜率
经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1)A(－1,0)，B(0，－2)；
(2)A(－，)，B(，－)；
(3)A(a，a＋b)，B(c，b＋c)；
(4)A(2，－1)，B(m，－2)．
【精彩点拨】 当x1≠x2时，利用求解直线的斜率，否则斜率不存在．
【自主解答】 (1)∵－1≠0，
∴斜率存在，且k＝＝－2.
(2)∵－≠，
∴斜率存在，且k＝＝＝－1.
(3)∵a≠c(否则A，B两点重合为一点)，
∴斜率存在，且k＝＝1.
(4)当m＝2时，斜率不存在．
当m≠2时，斜率k＝＝.
已知直线上两点(x1，y1)，(x2，y2)，表示直线的斜率时，要注意直线斜率存在的前提，即只有x1≠x2时才能用斜率公式求解．当x1＝x2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.当点的坐标中含有参数时，要注意对参数的讨论．
[再练一题]
1．过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m＝________.
【解析】 ＝1，m＝1.
【答案】 1
2．若斜率为2的直线经过A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为________．
【解析】 ＝2，∴a＝4，＝2，∴b＝－3.
【答案】 4，－3
直线的倾斜角与斜率的综合应用
已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交，且点M，N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．
(1)求直线PM与PN的斜率；
(2)求直线l的斜率k的取值范围．
【精彩点拨】 (1)代入斜率公式，(2)数形结合求k的范围．
【自主解答】 (1)由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为：
kPM＝＝－4，kPN＝＝.
(2)如图所示，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°，又kPN＝，
∴k≥.又当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°，又kPM＝－4，
∴k≤－4.
综上所述，k∈(－∞，－4]∪.
1．当直线l的倾斜角是锐角时，斜率k>0，反之也成立；当直线l的倾斜角是钝角时，斜率k<0，反之也成立．
2．当直线绕定点由与x轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐增大到＋∞，按顺时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐减小到－∞.
[再练一题]
3．(1)若过点P(1,1)，Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是__________．
(2)已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是__________.
【解析】 (1)∵直线PQ的倾斜角为钝角，∴kPQ<0，
即＝<0，∴a<，即实数a的取值
范围是.
(2)如图所示，由题意可知
kPA＝＝－1，
kPB＝＝1.
则直线AP的倾斜角为135°，直线BP的倾斜角是45°.
要使直线l与线段AB有公共点，需有45°≤α≤135°，即α的取值范围是45°≤α≤135°.
【答案】 (1) (2)45°≤α≤135°
[探究共研型]
三点共线问题
探究1 A(0,0)，B(1,2)，C(3,6)，三点是否在同一条直线上？
【提示】 三点在同一直线上，因为kAB＝2，kAC＝2，kAB＝kAC.直线AB，AC斜率相等，又过同一点，所以AB与AC重合．
∴A，B，C三点共线．
探究2 若三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为多少？
【提示】 ∵kAB＝kBC，∴＝，
解得a＝2或a＝.
(1)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，则x2＝________，y1＝__________.
(2)若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝__________.
【精彩点拨】 (1)kP1P2＝kP2P3＝1→分别解方程求x2，y1
(2)kAB＝kAC→化简得a与b的关系→代入化简求值
【自主解答】 (1)由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan
45°＝1，
又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝kl，
即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0.
(2)显然，直线斜率存在．由三点共线，得kAB＝kAC，即＝，整理得2a＋2b＝ab.∴＋＝＝＝.
【答案】 (1)7 0 (2)
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若有x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，则有A，B，C三点共线．利用斜率判断三点共线应注意以下三点：
(1)用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否有两点连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况；
(2)当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，且过同一点时，三点才共线；
(3)由斜率相等可以推出三点共线，但三点共线不一定推出任两点连线的斜率相等，还可能任两点连线的斜率都不存在．
[再练一题]
4．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．
【解】 由题意可知kAB＝＝2，
kAC＝＝，kAD＝＝，
所以k＝2＝＝，解得a＝4，b＝－3，
所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
1．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为________．
【解析】 k＝tan
30°＝.
【答案】
2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝________.
【解析】 kAB＝tan
45°＝1＝，
∴y＝－1.
【答案】 －1
3．直线l过点(－1,1)，(0,1)，则l的倾斜角为______．
【解析】 k＝＝0，tan
α＝0，∴α＝0°.
【答案】 0°
4．如图2－1－1所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．
图2－1－1
【解析】 设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，
所以tan
α2>tan
α3>0，tan
α1<0，故k1【答案】 k15．已知直线l上两点A(－2,3)，B(3，－2)，求其斜率．若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a＝时，b的值.
【解】 由斜率公式得kAB＝＝－1.
∵C在直线l上，∴kAC＝－1，即＝－1，∴a＋b－1＝0.
当a＝时，b＝1－a＝.2.1.5
平面上两点间的距离
2.1.6
点到直线的距离
1．理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单应用．(重点、难点)
2．熟练掌握中点坐标公式．
3．会求两条平行直线间的距离．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 两点间的距离公式
阅读教材P97～P98，完成下列问题．
平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝.特别地，当x1＝x2＝0，即两点在y轴上时，P1P2＝|y1－y2|；当y1＝y2＝0，即两点在x轴上时，P1P2＝|x1－x2|.
1．点(－2,3)到原点的距离为________．
【解析】 d＝＝.
【答案】
2．三角形三顶点为A(－1,0)，B(2,1)，C(0,3)，则△ABC的三边长分别为________．
【解析】 |AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝2.
【答案】 ，，2
教材整理2 中点坐标公式
阅读教材P99～P100，完成下列问题．
对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则
1．已知A(0,2)，B(3,0)，则AB中点P的坐标为________．
【解析】 设P(x，y)，则
∴P.
【答案】
2．已知A(－3,2)，B(7，－8)，C(x，y)，若B为AC的中点，则x＋y的值为________.
【导学号：41292091】
【解析】 ∵B为AC的中点，∴
∴x＝17，y＝－18，故x＋y＝－1.
【答案】 －1
教材整理3 点到直线的距离
阅读教材P101～P104，完成下列问题．
1．点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.
2．点P0(x0，y0)到直线l：y＝kx＋b的距离d＝.
3．两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离．
4．两平行线间的距离公式
若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离d＝.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.(×)
(2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)
(3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．(√)
(4)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝与两点的先后顺序无关．(√)
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为________．
【解析】 d＝＝＝.
【答案】
3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为________．
【解析】 d＝＝1.
【答案】 1
[小组合作型]
两点间距离公式及其应用
如图2－1－12，△ABC的顶点B(3,4)，AB边上的高CE所在直线方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1＝0，求边AC的长．
图2－1－12
【精彩点拨】 利用直线AB，AD的方程求交点A.利用D是线段BC的中点，将点C的坐标转化到点D上，再利用点C在直线CE上，点D在直线AD上解得点C.然后利用两点间距离公式求AC.
【自主解答】 设点A，C的坐标分别为A(x1，y1)，C(x2，y2)．
∵AB⊥CE，kCE＝－.∴kAB＝－＝.
∴直线AB的方程为3x－2y－1＝0.
由得A(1,1)．
∵D是BC的中点，∴D.
而点C在直线CE上，点D在直线AD上，
∴
解得∴C(5,2)．即|AC|＝＝.
两点间距离公式主要是用来计算两点之间的距离，记熟公式是解题的关键，单独考查较少，常与其他知识综合考查．
[再练一题]
1．在x－y＋4＝0上求一点P，使点P到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等．
【解】 由直线x－y＋4＝0可得y＝x＋4，因为点P在此直线上，所以可设点P的坐标为(a，a＋4)，已知PM＝PN，由两点间距离公式可得
＝，
解得a＝－，从而a＋4＝，
所以点P的坐标为.
点到直线的距离与两平行线间的距离公式的应用
(1)若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．
(2)若两平行直线3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之间的距离是，则＝________.
【精彩点拨】 (1)由点到直线的距离公式得出k的方程，解方程即得k值．
(2)由平行关系及平行线间的距离公式可求得a，c的值．
【自主解答】 (1)由4＝，
解得k＝－3或k＝.
(2)由于两直线平行，所以＝≠，
解得a＝－4，c≠－2，
又＝，
故c＝－6或c＝2.从而＝1或－1.
【答案】 (1)－3或 (2)±1
1．利用点到直线的距离公式要注意：
(1)要将直线方程化为一般式；(2)当直线方程中含有参数时，斜率不存在的情况要单独考虑．
2．对于平行线间的距离问题一般有两种思路：
(1)利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)直接用公式d＝，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．
[再练一题]
2．(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
(2)已知直线l经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)，B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．
【解】 (1)∵与l平行的直线方程为5x－12y＋c＝0，
根据两平行直线间的距离公式得＝3，
解得c＝45或c＝－33.所以所求直线方程为
5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.
(2)由已知条件可知直线l的斜率一定存在，
又直线l经过点P(2，－5)，
∴设直线l：y＋5＝k(x－2)，
即kx－y－2k－5＝0，
∴A点到直线l的距离d1＝＝，
B点到直线l的距离d2＝＝.
∵d1∶d2＝1∶2，
∴＝，
即k2＋18k＋17＝0，
解得k＝－1或k＝－17.
∴直线l的方程为x＋y＋3＝0或17x＋y－29＝0.
[探究共研型]
对称问题
探究1 若点P(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′，那么P′的坐标如何求解？
【提示】 设出P′的坐标，利用线段PP′的中点在直线Ax＋By＋C＝0上，和kPP′＝，列方程组求解．
探究2 已知直线l1关于直线l对称的直线为l2，如何由l1，l的方程求出l2的方程？
【提示】 法一 先由l1，l的方程求出交点，交点在l2上，再在l1上任取一点，求该点关于l的对称点，对称点在l2上，由两点式即可求出l2的方程．
法二 设l2上任意一点坐标为(x，y)，它关于l的对称点(x′，y′)在l1上，利用对称性质求出代入l1的方程即得l2的方程．
已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
【精彩点拨】 点关于直线的对称点的求法，可利用两点的连线与已知直线垂直，线段的中点在直线上，列方程组求得，而直线关于直线的对称直线方程的求法，可转化为点的对称问题，直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解．
【自主解答】 (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l.
∴
解得
即P′点的坐标为.
(2)法一 由得l与l1的交点A(2,0)，
在l1上任取一点B(0，－2)，设B关于l的对称点B′为(x0，y0)，则
即
∴即B′，
∴l2的斜率为kAB′＝＝7.
∴l2的方程为：y＝7(x－2)，即7x－y－14＝0.
法二 直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立．
由
得
把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，
得7x－y－14＝0，
即直线l2的方程为7x－y－14＝0.
(3)法一 取l：x＋2y－2＝0上一点M(2,0)，则M关于点A(1,1)的对称点M′的坐标为(0,2)，且M′在l关于A(1,1)对称的直线上，
又所求直线与l平行，
∴设所求直线为x＋2y＋C＝0.
又过点M′(0,2)，
∴C＝－4，
∴所求直线方程为x＋2y－4＝0.
法二 设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，则直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．
由得
将(x1，y1)代入直线l的方程得x＋2y－4＝0，
∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.
关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过两个条件列方程组求解．
[再练一题]
3．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．
(1)试在l上求一点P，使AP＋CP最小；
(2)试在l上求一点Q，使|AQ－BQ|最大．
【解】 (1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，则＝－，且3·－－1＝0，解得C′(－1,1)，所以直线AC′的方程为y＝1.由，得l与直线AC′的交点为P，此时AP＋CP取最小值为5.
① ②
(2)如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，则＝－，且3·－－1＝0，解得B′(3,3)．所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，由得AB′与l的交点为Q(2,5)，此时|AQ－BQ|取最大值为.
1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且AB＝5，则a的值为________．
【解析】 |AB|＝＝5，解得a＝1或a＝－5.
【答案】 1或－5
2．已知△ABC的三个顶点为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，则△ABC的形状为__________．
【解析】 由两点间距离公式得AB＝，BC＝，AC＝易知AB＝AC且AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC是等腰直角三角形．
【答案】 等腰直角三角形
3．夹在两条平行线l1：3x－4y＝0与l2：3x－4y－20＝0之间的圆的最大面积为________．
【解析】 因两条平行线间的距离为d＝＝4，则圆的最大面积为π·22＝4π.
【答案】 4π
4．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条.
【导学号：41292092】
【解析】 由题可知，所求直线显然不与y轴平行，∴可设直线为y＝kx＋b，
即kx－y＋b＝0.
∴d1＝＝1，
d2＝＝2，解得b1＝3，b2＝，
∴k1＝0，k2＝－，所以所求直线有2条．
【答案】 2
5．已知一条直线过点P(2，－3)，与直线2x－y－1＝0和直线x＋2y－4＝0分别相交于点A和点B，且P为线段AB的中点，求这条直线的方程．
【解】 设点A的坐标为(t,2t－1)，
因为点P(2，－3)是线段AB的中点，
所以点B的坐标为(4－t，－5－2t)．
因为点B在直线x＋2y－4＝0上，
所以4－t＋2(－5－2t)－4＝0，
解得t＝－2，于是点A的坐标为(－2，－5)．
所以所求直线的方程为＝，
即x－2y－8＝0.2．2.2 直线与圆的位置关系
1．掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法．(重点)
2．能利用圆心到直线的距离、半弦长、圆的半径三者之间的关系，解有关弦长的问题．(重点)
3．理解一元二次方程根的判定及根与系数关系，并能利用它们解一些简单的直线与圆的关系问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 直线与圆的位置关系及判断方法
阅读教材P112～P113例1上面的部分，完成下列问题．
直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
图形
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(×)
(2)若直线与圆相交，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解．(√)
(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆联立消元后的一元二次方程无解．(√)
2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．
【解析】 由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．
【答案】 相交
3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为________．
【解析】 由直线与圆的距离d＝＝，解得m＝2.
【答案】 2
4．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
【解析】 圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
【答案】 4π
[小组合作型]
直线与圆的位置关系的判断
已知直线y＝2x＋1和圆x2＋y2＝4，试判断直线和圆的位置关系．
【精彩点拨】 法一：利用代数法；法二：利用几何法；法三：利用直线方程(此题直线过定点(0,1))．
【自主解答】 法一：∵
∴5x2＋4x－3＝0.
判别式Δ＝42－4×5×(－3)＝76>0.
∴直线与圆相交．
法二：∵x2＋y2＝4，
∴圆心为(0,0)，半径r＝2.
又∵y＝2x＋1，
∴圆心到直线的距离d＝＝<2＝r.
∴直线与圆相交．
法三：由题意知，直线过定点(0,1)．
而02＋12＝1<4.
所以点(0,1)在圆内，从而直线与圆相交．
直线与圆位置关系的判定方法
[再练一题]
1．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【解】 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0，即－直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
(1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2，即－
直线与圆的相交弦问题
(1)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是__________．
(2)已知过点(2,5)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为4，则直线l的方程为__________.
【导学号：41292106】
【精彩点拨】 (1)将圆的一般方程化为标准方程，利用弦心距、半弦长和半径构成直角三角形求解．(2)设出直线方程、利用弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形得关于斜率的方程求解，验证斜率不存在的情况．
【自主解答】 (1)将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1,1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.
(2)当直线斜率不存在时，x－2＝0满足题意；
当直线斜率存在时，设方程为y－5＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋5＝0.
圆C：x2＋y2－2x－4y＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，因为直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为4，
所以2＝4，所以k＝，所以直线l的方程为4x－3y＋7＝0.
综上所述，直线l的方程为x－2＝0或4x－3y＋7＝0.
【答案】 (1)－4 (2)x－2＝0或4x－3y＋7＝0
解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法，即在弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形中求解．
[再练一题]
2．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________．
【解析】 最短的弦为过点(3,1)且与圆心(2,2)和点(3,1)连线的垂直的弦，
弦长l＝2＝2.
【答案】 2
[探究共研型]
圆的切线问题
探究1 求过点P(3,4)的圆C：x2＋y2＝25的切线方程．
【提示】 ∵点P(3,4)在圆上，∴切点为P，设切线斜率为k.
则k·kPC＝－1，∴k＝－＝－.
切线方程为y－4＝－(x－3)，即3x＋4y－25＝0.
探究2 求过点Q的圆x2＋y2＝25的切线方程．
【提示】 ∵(－5)2＋2>25，∴点Q在圆外．
若所求直线斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y－＝k[x－(－5)]，
即kx－y＋5k＋＝0.
因圆心C(0,0)到切线的距离等于半径5，
所以＝5，∴k＝.
故所求切线方程为x－y＋＋＝0，
即3x－4y＋25＝0.
若所求直线斜率不存在．
则直线方程为x＝－5，圆心C(0,0)到x＝－5的距离为5，符合题意．
综上，过点Q的切线方程为x＋5＝0或3x－4y＋25＝0.
已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1.
(1)过点A(3,2)，求圆的切线方程；
(2)过点B(4，－3)，求圆的切线方程．
【精彩点拨】 (1)直线和圆相切，则过圆心和切点的直线与切线垂直．(2)直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．
【自主解答】 (1)∵(3－3)2＋(2－1)2＝1，
∴A在圆上．
由题意知圆心C(3,1)，直线CA无斜率，
∴切线斜率为0，
∴所求切线方程为y＝2.
(2)∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
∴点B在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0；
②若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
过一点的圆的切线方程的求法
1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．对于填空题可以直接利用以下两个结论：(1)当点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)当点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
2．若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．
[再练一题]
3．已知圆的方程为x2＋y2＝13，它与斜率为－的直线相切，求该切线的方程．
【解】 设切线方程为y＝－x＋b，即2x＋3y－3b＝0，
依题意得：＝，
解得b＝±.
∴切线方程为2x＋3y＋13＝0或2x＋3y－13＝0.
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是________．
【解析】 圆心(1，－1)到直线的距离为＝<3，∴直线与圆相交．
【答案】 相交
2．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是________．
【解析】 点P到原点O的距离为PO＝，∵r＝3，∴切线长为＝1.
【答案】 1
3．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
【解析】 如图所示，∵直线AB的方程为x－y＋6＝0，
∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，
从而∠BDP＝60°.
在Rt△BOD中，
∵|OB|＝2，∴|OD|＝2.
取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，
∴OH为直角梯形ABDC的中位线，
∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.
【答案】 4
4．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________.
【导学号：41292107】
【解析】 令y＝0，得x＝－1，
所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，
即圆心C(－1,0)．
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r＝＝，
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
【答案】 (x＋1)2＋y2＝2
5．已知圆x2＋y2＝8，定点P(4,0)，问过P点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切，(2)相交，(3)相离？
【解】 设圆心到直线的距离为d，过P点的直线斜率为k，由题意，
知斜率k存在，则其方程为y＝k(x－4)，
则d＝＝.
(1)d＝r，即＝，∴k2＝1，∴k＝±1时，直线与圆相切．
(2)d直线与圆相交．
(3)d>r，即>，∴k2>1，即k<－1或k>1时，直线与圆相离．