【备考2018】高考数学真题精讲精练专题3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式（2013-2017）

2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式
考纲剖析
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，＝tan α.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识回顾
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝ .
(2)商数关系：＝ .
2．三角函数的诱导公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
cosα
余弦
cos α
cosα
－sinα
正切
tan α
tanα
－tanα
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
3.特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
角α的弧度数
0
π
sin α
cos α
tan α
精讲方法
一、三角函数的诱导公式
1、三角函数式的化简
（1），，，的三角函数值是化简的主要工具。使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；21世纪教育网版权所有
（2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：等。
注：若出现时，要分为奇数和偶数讨论。
（3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了。特殊角能求值则求值；
（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等。21教育网
2、三角函数的求值
（1）六个诱导公式和同角三角函数的关系是求值的基础；
（2）已知一个角的三角函数值，求其他角三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数，然后求值。21·cn·jy·com
3、诱导公式在三角形中的应用
在ΔABC中常用的变形结论有：
∵A+B+C=π，2A+2B+2C=2π，，
∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC;
cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC;
tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC;
sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=-sin2C;
cos(2A+2B)= cos(2π-2C)=cos2C;
tan(2A+2B)=tan(2π-2C)=-tan2C;
sin()=sin()=cos;
cos()=cos()=sin.
以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆。
注：已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：
（1）由三角函数值的符号确定角α所丰的象限；
（2）据角α所在的象限求出角α的最小正角；
（3）最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式。
真题精析
一、单选题
1、=（　　）
A、4B、2C、-2D、-4
2、设tan（5π+α）=m，则的值为（　　）
A、B、-1C、D、1
3、化简sin600°的值是（　　）
A、0.5B、-0.5C、D、-
5、如果A为锐角，=-,那么cos=（　　）
A、B、-C、D、-
6、若sin（3π+α）=﹣， 则cos()等于（　　）
A、-B、C、D、-
7、（2013?重庆）4cos50°﹣tan40°=（?? ）
A、B、C、D、2 ﹣1
8、（2017?新课标Ⅲ）函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）的最大值为（　　）
A、B、1C、D、

9、（2017?新课标Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c= ，则C=（　　） 21cnjy.com
A、B、C、D、
二、填空题（共3题；共3分）
10、（2017?北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则sinβ=________． www.21-cn-jy.com
11、（2016?四川）sin750°=________．

12、（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=________． 2·1·c·n·j·y

13、（2017?北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则cos（α﹣β）=________．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017河南南阳一中四模）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（?? ）
A、﹣ B、C、﹣ D、
2、（2017四川广安一诊）若 ，则 =（?? ）
A、B、C、D、
3、若 ，则cos（π﹣2α）=（?? ）
A、B、C、D、

4、（2017黑龙江大庆二模）已知 ，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（?? ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A、B、C、D、

5、已知sin（a+）=， 则cos（2a﹣）的值是（　　）
A、B、C、-D、-
6、cos（﹣570°）的值为（　　）
A、B、C、-D、-
7、设tan（5π+α）=m，则的值为（　　）
A、B、-1C、D、1
8、sin330°等于（　　）
A、-B、-C、D、
9、若， 则的值为（????）
A、B、C、D、


10、若， 则的值为（???）
A、B、C、D、

二、填空题
11、已知A、B、C为△ABC的三内角，若cos(B+C)=， 则A=________?

12、已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx﹣β），其中α，β，a，b均为非零实数，若f（2016）=﹣1，则f（2017）=________． 21·世纪*教育网
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式（答案）
知识回顾
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cos α
－cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
正切
tan α
tanα
－tanα
－tanα
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
3.特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
角α的弧度数
0
π
sin α
0
1
0
cos α
1
0
－
－
－1
tan α
0
1
－
－
0
真题精析
一、单选题
1、=（　　）
A、4B、2C、-2D、-4
【答案】D
【考点】诱导公式的作用
【解析】【解答】===故选D【分析】由已知可得原式等于， 利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结果。 21世纪教育网版权所有
2、设tan（5π+α）=m，则的值为（　　）
A、B、-1C、D、1
【答案】C
【考点】诱导公式的作用
【解析】【解答】∵tan（5π+α）=m，∴tanα=m，∴===． 故选C．【分析】利用诱导公式，再将所求值的关系式转化为关于tanα的关系式即可。
3、化简sin600°的值是（　　）
A、0.5B、-0.5C、D、-
【答案】D
【考点】诱导公式的作用
【解析】【解答】sin600°=sin（360°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣． 故选D．【分析】利用诱导公式可求得sin600°的值。 21·cn·jy·com
4、下列能与sin20°的值相等的是（　　）
A、cos20°B、sin（﹣20°）C、sin70°D、sin160°
【答案】D
【考点】诱导公式的作用
【解析】【解答】解：cos20°=sin70°，故A 错误．???????????????? sin（﹣20°）=﹣sin20°，故B 错误．???????????????? sin70°≠sin20°，故C 错误．???????????????? sin160°=sin（180°﹣20°）=sin20°故D正确．故选D．【分析】根据诱导公式可知cos20°=sin70°不等于sin20°，sin（﹣20°）=﹣sin20°不符合题意，sin70°≠sin20°，利用诱导公式可知sin160°=sin（180°﹣20°）=sin20° D项符合题意．本题属于基础题。 www.21-cn-jy.com
5、如果A为锐角，=-,那么cos=（　　）
A、B、-C、D、-
【答案】D
【考点】诱导公式的作用
【解析】【解答】解：∵sin（π+A）=﹣sinA=﹣， ???????????????? ∴sinA=， 又A为锐角，???????????????? ∴A=；???????????????? ∴cos（π﹣A）=﹣cosA=﹣cos=﹣． 故选D．【分析】由于sin（π+A）=﹣sinA=﹣， cos（π﹣A）=﹣cosA，A为锐角，可求得其值，从而可求得cos（π﹣A）．本题属于基础题。 2·1·c·n·j·y
6、若sin（3π+α）=﹣， 则cos()等于（　　）
A、-B、C、D、-
【答案】A
【考点】诱导公式的作用
【解析】【解答】解：即,故∴?????????? 故选A．【分析】利用诱导公式化简即可得出． 【来源：21·世纪·教育·网】
7、（2013?重庆）4cos50°﹣tan40°=（?? ）
A、B、C、D、2 ﹣1
【答案】C
【考点】同角三角函数间的基本关系，诱导公式的作用，两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦 2-1-c-n-j-y
【解析】【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°= = = = = = ．故选C【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．
8、（2017?新课标Ⅲ）函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）的最大值为（　　）
A、B、1C、D、
【答案】A
【考点】运用诱导公式化简求值，正弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】解：函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣ ）= sin（x+ ）+cos（﹣x+ ）= sin（x+ ）+sin（x+ ）= sin（x+ ） ．故选：A．【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
9、（2017?新课标Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c= ，则C=（　　） 21*cnjy*com
A、B、C、D、
【答案】B
【考点】运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，正弦定理，解三角形 21cnjy.com
【解析】【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵0＜A＜π，∴A= ，由正弦定理可得 = ，∴sinC= ，∵a=2，c= ，∴sinC= = = ，∵a＞c，∴C= ，故选：B．【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
二、填空题（共3题；共3分）
10、（2017?北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则sinβ=________． 21·世纪*教育网
【答案】
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα= ，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα= ．故答案为： ．【分析】推导出α+β=π+2kπ，k∈Z，从而sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα，由此能求出结果．
11、（2016?四川）sin750°=________．
【答案】
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°= ， 故答案为： ．【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案；本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．
12、（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=________． 【出处：21教育名师】
【答案】?
【考点】三角函数中的恒等变换应用，运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，三角形的形状判断，正弦定理 【版权所有：21教育】
【解析】【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB= ，∵0＜B＜π，∴B= ，故答案为： 【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可 21*cnjy*com
13、（2017?北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则cos（α﹣β）=________．
【答案】﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，两角和与差的余弦函数 21教育名师原创作品
【解析】【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1= ﹣1=﹣ 方法二：∵sinα= ，当α在第一象限时，cosα= ，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣ ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣ ：∵sinα= ，当α在第二象限时，cosα=﹣ ，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ × + × =﹣ 综上所述cos（α﹣β）=﹣ ，故答案为：﹣ 【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出
模拟题精练
一、单选题
1、（2017河南南阳一中四模）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（?? ）
A、﹣ B、C、﹣ D、
【答案】B
【考点】运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】解：原式=sin163°?sin223°+cos163°cos223° =cos（163°﹣223°）=cos（﹣60°）= ．故答案选B【分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．
2、（2017四川广安一诊）若 ，则 =（?? ）
A、B、C、D、
【答案】B
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：若 ，则cosα= = ， 则 =sinαcos +cosαsin = + = ，故选：B．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得要求式子的值． 21教育网
3、若 ，则cos（π﹣2α）=（?? ）
A、B、C、D、
【答案】C
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：若 ，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=2? ﹣1=﹣ ， 故选：C．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）=﹣cos2α 的值．

4、（2017黑龙江大庆二模）已知 ，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（?? ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、B、C、D、

【答案】D
【考点】运用诱导公式化简求值，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，图形的对称性 www-2-1-cnjy-com
【解析】【解答】解： =2sin（x+ ）， 函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+ ）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ= 故选D．【分析】化简函数 的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．
5、已知sin（a+）=， 则cos（2a﹣）的值是（　　）
A、B、C、-D、-
【答案】D
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】sin（a+）=sin[﹣（﹣α）]=cos（﹣α）=cos（α﹣）=， 则cos故选D【分析】把已知条件根据诱导公式化简，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后代入即可求出值。
6、cos（﹣570°）的值为（　　）
A、B、C、-D、-
【答案】D
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】cos（﹣570°）=cos570°=cos（360°+180°+30°）=﹣cos30°=﹣． 故选：D．【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求值．
7、设tan（5π+α）=m，则的值为（　　）
A、B、-1C、D、1
【答案】C
【考点】同角三角函数间的基本关系，诱导公式的作用
【解析】【解答】解：∵tan（5π+α）=m，∴tanα=m，∴===． 故选C．【分析】利用诱导公式，再将所求值的关系式转化为关于tanα的关系式即可．
8、sin330°等于（　　）
A、-B、-C、D、
【答案】B
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：∵故选B．【分析】根据330°=360°﹣30°，由诱导公式一可得答案．
9、若， 则的值为（????）
A、B、C、D、
【答案】A
【考点】诱导公式的作用
【解析】【解答】故选A．

10、若， 则的值为（???）
A、B、C、D、

【答案】B
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】， 选B.
二、填空题
11、已知A、B、C为△ABC的三内角，若cos(B+C)=， 则A=________?
【答案】
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：∵△ABC中，cos(B+C)==﹣cosA，即cosA=﹣， ∴A=， 故答案为：． 【分析】由条件利用诱导公式求得cosA=﹣， 可得A的值．
12、已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx﹣β），其中α，β，a，b均为非零实数，若f（2016）=﹣1，则f（2017）=________．
【答案】1
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意得：f（2016）=asin（2016π+α）+bcos（2016π﹣β）=asinα+bcosβ=﹣1， 则f（20117=asin（2017π+α）+bcos（2017π﹣β）=﹣（asinα+bcosβ）=1．故答案为：1．【分析】把x=2016，f（2016）=﹣1代入已知等式求出asinα+bcosβ的值，再将x=2017及asinα+bcosβ的值代入计算即可求出值．