2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
3.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考纲剖析
1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．【来源：21·世纪·教育·网】
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
知识回顾
1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：
(1)定点：如下表所示.
x
－
ωx＋φ
y＝Asin(ωx＋φ)
(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．www-2-1-cnjy-com
(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．
2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动时，A叫做 ，T＝叫做 ，f＝叫做 ，ωx＋φ叫做 ，φ叫做 ．
精讲方法
一、函数的图象及三角函数模型的简单应用
1、函数的图象
（1）“五点作图法”
①当画函数在x∈R上的图象时，一般令即可得到所画图象的特殊点坐标，其中横坐标成等差数列，公差为；2·1·c·n·j·y
②当画函数在某个指定区间上的图象时，一般先求出的范围，然后在这个范围内，选取特殊点，连同区间的两个端点一起列表。
（2）图象变换法
ⅰ、平移变换
①沿x轴平移，按“左加右减”法则；
②沿y轴平移，按“上加下减”法则。
ⅱ、伸缩变换
①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长（0<ω<1）或缩短(ω>1)为原来的倍（纵坐标y不变）;
②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长（A>1）或缩短（0
注：在实际画图象时，我们一般用“五点作图”法，而不使用图象变换法。
2、函数+b的解析式
确定+b的解析式的步骤：
（1）求A，b确定函数的最大值M和最小值m，则A=，b=。
（2）求ω，确定函数的周期T，则；
（3）求，常用方法有：
ⅰ、代入法：把图象上的一个已知点代入（此时，A、ω、b已知）或代入图象与直线y=b的交点求解。（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）；【来源：21cnj*y.co*m】
ⅱ、五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点（，0）作为突破口。具体如下：
第一点（即图象上升时与x轴的交点）为；第二点（即图象的“峰点”）为；第三点（即图象下降时与x轴的交点）为；第四点（即图象的“谷点”）为；第五点为21*cnjy*com
注：当不能确定周期T时，往往根据图象与y轴的交点，先求.
3、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用
（1）已知函数的图象变换求解析式
①左右平移变换：把函数y=Asin(ωx+φ)的图象向左（右）平移k个单位，得到的图象解析式为y=Asin[ω（x±k）+φ].
②伸缩变换：把函数y=Asin(ωx+φ)的图象上各点的横坐标变为原来的M倍，纵坐标不变，得到的函数的图象解析式为y=Asin[ω（）+φ]。
（2）函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称问题
①函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk（其中ωxk+φ=kπ+,k∈Z）成轴对称图形，也就是说过波峰或波谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴。
②函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点（xj,0）(其中ωxj+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形，也就是说函数图象与x轴的交点（平衡位置点）是其对称中心。21*cnjy*com
真题精析
一、单选题
1、（2013?山东）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（?? ）
A、 B、 C、0 D、-
．
（2013?四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（?? ）
A、 B、 C、 D、
3、（2014?辽宁）将函数y=3sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（?? ） 21·cn·jy·com
A、在区间[ ， ]上单调递减
B、在区间[ ， ]上单调递增
C、在区间[﹣ ， ]上单调递减
D、在区间[﹣ ， ]上单调递增
4、（2014?浙江）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y= cos3x的图象（??? ）
A、向右平移 个单位 B、向左平移 个单位 C、向右平移 个单位 D、向左平移 个单位
5、（2017·天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ） 2-1-c-n-j-y
A、ω= ，φ= B、ω= ，φ=﹣ C、ω= ，φ=﹣ D、ω= ，φ=
二、解答题
6、（2015·湖北）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x
0
5
-5
0
?（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式； （Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象.?若图象的一个对称中心为，求的最小值.? www.21-cn-jy.com
?
三、综合题
7、（2016?山东）设f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 ．
(1)求f（x）的单调递增区间；
(2)把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（ ）的值．
【答案】（1）解：∵f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2 sin2x﹣1+sin2x =2 ? ﹣1+sin2x =sin2x﹣ cos2x+ ﹣1 =2sin（2x﹣ ）+ ﹣1， 令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ， 可得函数的增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z （2）解：把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣ ）+ ﹣1的图象； 再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+ ﹣1的图象， ∴g（ ）=2sin + ﹣1= 【考点】三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（ ）的值．；本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．
8、（2013?上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
(1)若y=f（x）在[﹣ ， ]上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．
四、填空题
9、（2016?全国）函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=sinx+ cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．
10、（2014?安徽）若将函数f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017山东滨州邹平双语学校模拟）函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（?? ）
A、向左平移 个单位长度 B、向左平移 个单位长度 C、向右平移 个单位长度 D、向右平移 个单位长度21教育网
2、（2017广西桂林中学模拟）若将函数 的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则φ最小时，tanφ=（?? ）
A、 B、 C、 D、
（2017湖北襄阳四中一模）已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f（x0）=3，x0∈（ ， ），则sinx0的值为（?? ）
A、 B、 C、 D、
4、（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）已知f（x）=sinxcosx+ cos2x﹣ ，将f（x）的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象．若对任意实数x，都有g（a﹣x）=g（a+x）成立，则 =（?? ）
A、 B、1 C、 D、0
5、（2017福建龙岩二模）把函数f（x）=cos2（ x﹣ ）的图象向左平移 个单位后得到的函数为g（x），则以下结论中正确的是（?? ）
A、g（ ）＞g（ ）＞0 B、g（ ） ?? C、g（ ）＞g（ ）＞0 D、g（ ）=g（ ）＞0
6、（2017福建厦门一中考前模拟）将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0， ]和[2a， ]上均单调递增，则实数a的取值范围是（?? ）
A、[ ， ] B、[ ， ] C、[ ， ] D、[ ， ]
（2017甘肃天水一中三诊）已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则 的值为（?? ）
A、﹣1 B、 C、 D、2
（2017河南质检）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0， ）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移 个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间 （ ）上的值域为[﹣1，2]，则θ等于（?? ）
A、 B、 C、 D、
9、（2017河北邢台二中二模）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（??? ） 21cnjy.com
A、 B、 C、0 D、
10、（2017河北邢台二中二模）已知函数 的两条相邻对称轴间的距离为 ，把f（x）的图象向右平移 个单位得到函数g（x）的图象，且g（x）为偶函数，则f（x）的单调递增区间为（?? ）
A、 B、 C、 D、
（2017湖南长沙长郡中学模拟冲刺）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（?? ）
A、f（x）=4sin（ x+ π） B、f（x）=4sin（ x+ ） C、f（x）=4sin（ x+ ） D、f（x）=4sin（ x+ ）
12、（2017吉林通化梅河口五中考前模拟）将函数y=cos2x的图象向左平移 个单位，得到函数y=f（x）?cosx的图象，则f（x）的表达式可以是（?? ） 21·世纪*教育网
A、f（x）=﹣2sinx B、f（x）=2sinx C、f（x）= sin2x D、f（x）= （sin2x+cos2x）【出处：21教育名师】
13、（2017吉林长春四模）将函数f（x）=cos2x﹣sin2x的图象向左平移 个单位后得到函数F（x）的图象，则下列说法正确的是（?? ）
A、函数F（x）是奇函数，最小值是 B、函数F（x）是偶函数，最小值是 C、函数F（x）是奇函数，最小值是﹣2 D、函数F（x）是偶函数，最小值是﹣221世纪教育网版权所有
14、（2017辽宁辽南模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜ ）的图象在 y轴左侧的第一个最高点为（﹣ ，3），第﹣个最低点为（﹣ ，m），则函数f（x）的解析式为（?? ）
A、f（x）=3sin（ ﹣2x） B、f（x）=3sin（2x﹣ ） C、f（x）=3sin（ ﹣2x） D、f（x）=3sin（2x﹣ ）21教育名师原创作品
15、（2017辽宁实验中学分校仿真模拟）将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度得到y=cosx的图象，则函数f（x）的单调递增区间为（?? ）
A、[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z） B、[kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z） C、[4kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z） D、[4kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）
二、填空题
16、（2017河北省衡水武邑中学四模）设ω＞0，函数y=sin（ωx+ ）的图象向右平移 π个单位后与原图象重合则ω的最小值为________．
三、解答题
17、（2017北京丰台一模）已知函数f（x）=Asin（ωx）（ω＞0）的图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）若 ，求g（x）在 上的单调递减区间．
四、综合题
18、（2017山东枣庄四十六中模拟）设函数f（x）=sinωx?cosωx﹣ （ω＞0）的图象上相邻最高点与最低点距离为 ．
(1)求ω的值；
(2)若函数y=f（x+φ）（0＜φ＜ ）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ）在区间[0，2π]上的单调减区间． 【版权所有：21教育】
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
3.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（答案）
知识回顾
1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：
(1)定点：如下表所示.
x
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
真题精析
一、单选题
1、（2013?山东）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（?? ）
A、 B、 C、0 D、-
【答案】B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ）， 则f（x+ ）=sin[2（x+ ）+φ]=sin（2x+ +φ）， ∵f（x+ ）为偶函数， ∴ +φ=kπ+ ， ∴φ=kπ+ ，k∈Z， ∴当k=0时，φ= ． 故φ的一个可能的值为 ． 故选B． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案． 21世纪教育网版权所有
（2013?四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（?? ） 21cnjy.com
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【解答】解：∵在同一周期内，函数在x= 时取得最大值，x= 时取得最小值， ∴函数的周期T满足 = ﹣ = ， 由此可得T= =π，解得ω=2， 得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ） 又∵当x= 时取得最大值2， ∴2sin（2? +φ）=2，可得 +φ= +2kπ（k∈Z） ∵ ，∴取k=0，得φ=﹣ 故选：A． 【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T= =π，解得ω=2．由函数当x= 时取得最大值2，得到 +φ= +kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣ ．由此即可得到本题的答案． 【来源：21·世纪·教育·网】
3、（2014?辽宁）将函数y=3sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（?? ） 【出处：21教育名师】
A、在区间[ ， ]上单调递减
B、在区间[ ， ]上单调递增
C、在区间[﹣ ， ]上单调递减
D、在区间[﹣ ， ]上单调递增
【答案】B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：把函数y=3sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度， 得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣ ）+ ]． 即y=3sin（2x﹣ ）． 当函数递增时，由 ，得 ． 取k=0，得 ． ∴所得图象对应的函数在区间[ ， ]上单调递增． 故选：B． 【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[ ， ]上单调递增，则答案可求． www.21-cn-jy.com
4、（2014?浙江）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y= cos3x的图象（??? ）
A、向右平移 个单位 B、向左平移 个单位 C、向右平移 个单位 D、向左平移 个单位
【答案】C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数y=sin3x+cos3x= ，故只需将函数y= cos3x的图象向右平移 个单位，得到y= = 的图象． 故选：C． 【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．
5、（2017·天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A、ω= ，φ= B、ω= ，φ=﹣ C、ω= ，φ=﹣ D、ω= ，φ=
【答案】A 【考点】三角函数的周期性及其求法，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得 ， 又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ， ∴T=3π，则 ，即 ． ∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ x+φ）， 由f（ ）= ，得sin（φ+ ）=1． ∴φ+ = ，k∈Z． 取k=0，得φ= ＜π． ∴ ，φ= ． 故选：A． 【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得ω，最后由若f（ ）=2求得φ值．
二、解答题
6、（2015·湖北）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：21·世纪*教育网
0
x
0
5
-5
0
?（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式； （Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象.?若图象的一个对称中心为，求的最小值.? 【版权所有：21教育】
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【考点】三角函数中的恒等变换应用，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
【解析】【解答】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得.数据补全如下表：
0
x
0
5
0
-5
0
且函数表达式为 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，得.因为的对称中心为,.令,解得,.由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得,.由可知，当时，取得最小值?。 【分析】“五点法”描图： (1)的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． ?
三、综合题
7、（2016?山东）设f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 ．
(1)求f（x）的单调递增区间；
(2)把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（ ）的值．
【答案】（1）解：∵f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2 sin2x﹣1+sin2x =2 ? ﹣1+sin2x =sin2x﹣ cos2x+ ﹣1 =2sin（2x﹣ ）+ ﹣1， 令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ， 可得函数的增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z （2）解：把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣ ）+ ﹣1的图象； 再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+ ﹣1的图象， ∴g（ ）=2sin + ﹣1= 【考点】三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（ ）的值．；本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．
8、（2013?上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
(1)若y=f（x）在[﹣ ， ]上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值． 21教育网
【答案】（1）解：∵函数y=f（x）在 上单调递增，且ω＞0， ∴ ，且 ， 解得 ． （2）解：f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到 ， ∴函数y=g（x）= ， 令g（x）=0，得 ，或x= （k∈Z）． ∴相邻两个零点之间的距离为 或 ． 若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点， 所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点， ∴ ． 另一方面，在区间 恰有30个零点， 因此b﹣a的最小值为 ．
【考点】正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）已知函数y=f（x）在 上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得 ，且 ，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2 ．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．
四、填空题
9、（2016?全国）函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=sinx+ cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．
【答案】
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵y=f（x）=sinx+ cosx=2in（x+ ），y=sinx﹣ cosx=2in（x﹣ ）， ∴f（x﹣φ）=2in（x+ ﹣φ）（φ＞0），令2in（x+ ﹣φ）=2in（x﹣ ），则 ﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z），即φ= ﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin= ，故答案为： ． 【分析】令f（x）=sinx+ cosx=2in（x+ ），则f（x﹣φ）=2in（x+ ﹣φ），依题意可得2in（x+ ﹣φ）=2in（x﹣ ），由 ﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z），可得答案．本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到 ﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．
10、（2014?安徽）若将函数f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
【答案】
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+ ）的图象向右平移φ个单位， 所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+ ]=sin（2x+ ﹣2φ）关于y轴对称， 则 ﹣2φ=kπ+ ，k∈z，即 φ=﹣ ﹣ ，故φ的最小正值为 ， 故答案为： ． 【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+ ﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得 ﹣2φ=kπ+ ，k∈z，由此求得φ的最小正值． 2-1-c-n-j-y
模拟题精练
一、单选题
1、（2017山东滨州邹平双语学校模拟）函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（?? ）
A、向左平移 个单位长度 B、向左平移 个单位长度 C、向右平移 个单位长度 D、向右平移 个单位长度
【答案】B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A=2， ∵ ， ∴T=π= ，解得：ω=2，可得：f（x）=2cos（2x+φ）， 将 代入得： ， ∵﹣π＜φ＜0， ∴ ， 故可将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位长度得到l的图象． 故选：B． 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由 在函数图象上，结合φ的范围求出φ的值，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
2、（2017广西桂林中学模拟）若将函数 的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则φ最小时，tanφ=（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数 的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y=cos（2x+2φ+ ）的图象； 再根据所得关于原点对称，可得2φ+ =kπ+ ，k∈Z，∴φ的最小值为 ， ∴tanφ=tan = ， 故选：B． 【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得φ的最小值，可得tanφ的值．
（2017湖北襄阳四中一模）已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f（x0）=3，x0∈（ ， ），则sinx0的值为（?? ） 21*cnjy*com
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由函数的图象可得A=5，且 = ，解得ω=1 再由五点法作图可得 1? +φ= ，解得 φ= ． 故函数的解析式为 f（x）=5sin（x+ ?）． 再由f （x0）=3，x0∈（ ， ），可得? 5sin（1?x0+ ?）=3， 解得 sin（x0+ ?）= ，故有cos（x0+ ?）=﹣ ， sinx0 =sin[（x0+ ?）﹣ ]=sin（x0+ ?）cos ﹣cos（x0+ ?）sin = ﹣（﹣ ）= ． 故选A． 【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．再由f （x0）=3求出sin（x0+ ?）的值，可得cos（x0+ ?）的值，再由两角差的正弦公式求得sinx0 =sin[（x0+ ?）﹣ ]的值．
4、（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）已知f（x）=sinxcosx+ cos2x﹣ ，将f（x）的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象．若对任意实数x，都有g（a﹣x）=g（a+x）成立，则 =（?? ）
A、 B、1 C、 D、0
【答案】D
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵f（x）=sinxcosx+ cos2x﹣ = sin2x+ ? ﹣ =sin（2x+ ）， 将f（x）的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位， 得到y=g（x）=sin（2x﹣ + ）+1=sin2x+1的图象． 若对任意实数x，都有g（a﹣x）=g（a+x）成立，则g（x）的图象关于直线x=a对称， 再根据g（x）的周期为 =π，可得 =0， 故选：D． 【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得 的值．
5、（2017福建龙岩二模）把函数f（x）=cos2（ x﹣ ）的图象向左平移 个单位后得到的函数为g（x），则以下结论中正确的是（?? ）
A、g（ ）＞g（ ）＞0 B、g（ ） ?? C、g（ ）＞g（ ）＞0 D、g（ ）=g（ ）＞0
【答案】A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：把函数f（x）=cos2（ x﹣ ）= 的图象向左平移 个单位后， 得到的函数为g（x）= = 的图象， 故有g（ ）= + cos = +cos（ ﹣ ）= +sin ，g（ ）= +cos = ﹣cos = ﹣cos（ + ）= +sin ， 而sin ＞sin ＞0，∴g（ ）＞g（ ）＞0， 故选：A． 【分析】利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用诱导公式、正弦函数的单调性，可得g（ ）和g（ ）大小关系．
6、（2017福建厦门一中考前模拟）将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0， ]和[2a， ]上均单调递增，则实数a的取值范围是（?? ）
A、[ ， ] B、[ ， ] C、[ ， ] D、[ ， ]
【答案】A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g（x）的图象， 得g（x）=2cos2（x﹣ ）=2cos（2x﹣ ）， 由 ，得 ． 当k=0时，函数的增区间为[ ]，当k=1时，函数的增区间为[ ]． 要使函数g（x）在区间[0， ]和[2a， ]上均单调递增， 则 ，解得a∈[ ， ]． 故选：A． 【分析】由函数的图象平移求得函数g（x）的解析式，进一步求出函数（x）的单调增区间，结合函数g（x）在区间[0， ]和[2a， ]上均单调递增列关于a的不等式组求解．
（2017甘肃天水一中三诊）已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则 的值为（?? ）
A、﹣1 B、 C、 D、2
【答案】D
【考点】平面向量数量积的运算，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义 21·cn·jy·com
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=sin（πx+φ）的周期T= =2， 则BC= =1，则C点是一个对称中心， 则根据向量的平行四边形法则可知： =2 ， = ∴ =2 ? =2| |2=2×12=2． 故选：D． 【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．
（2017河南质检）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0， ）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移 个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间 （ ）上的值域为[﹣1，2]，则θ等于（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0， ）的部分图象， 可得A=﹣2， = = ，∴ω=2． 再根据五点法作图可得2? +φ=π，∴φ= ，f（x）=﹣2sin（2x+ ）． 将函数f（x）的图象向右平移 个单位后得到函数g（x）=﹣2sin（2x﹣ + ）=﹣2sin（2x﹣ ）的图象， 若函数g（x）在区间 （ ）上，2x﹣ ∈[﹣π，2θ﹣ ]， 由于g（x）的值域为[﹣1，2]，故﹣2sin（2x﹣ ）的最小值为﹣1， 此时，sin（2θ﹣ ）= ，则2θ﹣ = ，求得θ= ， 故选：B． 【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，结合条件，利用正弦函数的定义域和值域，求得θ的值．． 21*cnjy*com
9、（2017河北邢台二中二模）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（??? ）
A、 B、 C、0 D、
【答案】B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ）， 则f（x+ ）=sin[2（x+ ）+φ]=sin（2x+ +φ）， ∵f（x+ ）为偶函数， ∴ +φ=kπ+ ， ∴φ=kπ+ ，k∈Z， ∴当k=0时，φ= ． 故φ的一个可能的值为 ． 故选B． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．
10、（2017河北邢台二中二模）已知函数 的两条相邻对称轴间的距离为 ，把f（x）的图象向右平移 个单位得到函数g（x）的图象，且g（x）为偶函数，则f（x）的单调递增区间为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【考点】正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵函数f（x）的两条相邻对称轴间的距离为 ， ∴ = ，即周期T= ，则ω=2， 此时f（x）=2sin（2x+φ）， 把f（x）的图象向右平移 个单位得到函数g（x）的图象， 则g（x）=2sin[2（x﹣ ）+φ]=2sin（2x+φ﹣ ）， ∵g（x）为偶函数， ∴φ﹣ = +kπ， 则φ= +kπ，k∈Z， ∵|φ|＜ ， ∴当k=﹣1时，φ= ﹣π=﹣ ， 则f（x）=2sin（2x﹣ ）， 由2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z， 得2kπ﹣ ≤2x≤2kπ+ ， 即kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z， 即函数的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z， 故选：C． 【分析】根据条件求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．
（2017湖南长沙长郡中学模拟冲刺）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（?? ）21教育名师原创作品
A、f（x）=4sin（ x+ π） B、f（x）=4sin（ x+ ） C、f（x）=4sin（ x+ ） D、f（x）=4sin（ x+ ）
【答案】B
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：根据题意，对函数f（x）=Asin（ωx+φ）求导，可得f′（x）=ωAcos（ωx+φ），
由导函数的图象可得A=2，再由 = ? = ﹣（﹣ ），求得ω= ．则Aω=2，即A=4， ∴导函数f′（x）=2cos（ x+φ）， 把（ ，0）代入得：2cos（ +φ）=0，且|φ|＜π，解得φ= ， 故函数f（x）的解析式为 f（x）=4sin（ x+ ）． 故选：B． 【分析】对函数f（x）=Asin（ωx+φ）求导，可得f′（x），由导函数f′（x）的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，从而求得函数的解析式．
12、（2017吉林通化梅河口五中考前模拟）将函数y=cos2x的图象向左平移 个单位，得到函数y=f（x）?cosx的图象，则f（x）的表达式可以是（?? ） 2·1·c·n·j·y
A、f（x）=﹣2sinx B、f（x）=2sinx C、f（x）= sin2x D、f（x）= （sin2x+cos2x）
【答案】A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数y=cos2x的图象向左平移 个单位，可得y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=﹣sin2x=﹣2cosx?sinx， ∵y=f（x）?cosx， ∴f（x）=﹣2sinx． 故选：A． 【分析】将函数y=cos2x的图象向左平移 个单位，可得y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=﹣sin2x=﹣2cosx?sinx，利用条件，可得结论． www-2-1-cnjy-com
13、（2017吉林长春四模）将函数f（x）=cos2x﹣sin2x的图象向左平移 个单位后得到函数F（x）的图象，则下列说法正确的是（?? ）
A、函数F（x）是奇函数，最小值是 B、函数F（x）是偶函数，最小值是 C、函数F（x）是奇函数，最小值是﹣2 D、函数F（x）是偶函数，最小值是﹣2
【答案】A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数f（x）=cos2x﹣sin2x= cos（2x+ ）的图象向左平移 个单位后得到函数F（x）= cos[2（x+ ）+ ]= cos（2x+ ）=﹣ sin2x的图象， 故函数F（x）是奇函数，且它的最小值为﹣ ， 故选：A． 【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得平移后所得函数的解析式，再利用正弦函数的奇偶性以及最值，得出结论．
14、（2017辽宁辽南模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜ ）的图象在 y轴左侧的第一个最高点为（﹣ ，3），第﹣个最低点为（﹣ ，m），则函数f（x）的解析式为（?? ）
A、f（x）=3sin（ ﹣2x） B、f（x）=3sin（2x﹣ ） C、f（x）=3sin（ ﹣2x） D、f（x）=3sin（2x﹣ ）【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】A
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜ ）的图象在 y轴左侧的第一个最高点为（﹣ ，3），第﹣个最低点为（﹣ ，m），所以T=2（ ）=π=| |，由题意ω＜0所以ω=﹣2，并且A=3， 又f（ ）=3即sin[﹣2× +φ]=1，所以φ= ；所以解析式为f（x）=3sin（﹣2x+ ）； 故选：A． 【分析】由三角函数图象的第一个最高点为（﹣ ，3），第﹣个最低点为（﹣ ，m），得到三角函数的周期，从而求得ω，以及A，再由待定系数法求φ．
15、（2017辽宁实验中学分校仿真模拟）将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度得到y=cosx的图象，则函数f（x）的单调递增区间为（?? ）
A、[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z） B、[kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z） C、[4kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z） D、[4kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）
【答案】B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 可得y=cos（ ωx+φ）图象；再向右平移 个单位长度，得到 y=cos[ ω（x﹣ ）+φ]=cos（ ωx﹣ ?ω+φ）的图象， 而由已知可得，得到的是函数y=cosx的图象，∴ =1，∴ω=2； 再根据﹣ ?2+φ=2kπ，k∈Z，∴φ= ，f（x）=cos（2x+ ）． 令2kπ﹣π≤2x+ ≤2kπ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ﹣ ，k∈Z， 则函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ﹣ ]，（k∈Z）， 故选：B． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
二、填空题
16、（2017河北省衡水武邑中学四模）设ω＞0，函数y=sin（ωx+ ）的图象向右平移 π个单位后与原图象重合则ω的最小值为________．
【答案】
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵函数y=sin（ωx+ ）的图象向右平移 π个单位后与原图象重合， ∴ =n× ，n∈z ∴ω=n× ，n∈z 又ω＞0，故其最小值是 ． 故答案为： ． 【分析】函数y=sin（ωx+ ）的图象向右平移 π个单位后与原图象重合可判断出 π是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值．
三、解答题
17、（2017北京丰台一模）已知函数f（x）=Asin（ωx）（ω＞0）的图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）若 ，求g（x）在 上的单调递减区间．
【答案】
解：（Ⅰ）由图象可知A=2， 设函数f（x）的周期为T，则 ， 求得T=π，从而ω=2， ∴f（x）=2sin2x； （Ⅱ） = = = ， ∴ ， 即 ，k∈Z． 令k=0，得 ， ∴g（x）在 上的单调递减区间为
【考点】正弦函数的图象，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（Ⅰ）由图象求得A及周期，再由周期公式求得ω，则f（x）的解析式可求；（Ⅱ）把f（x）代入 ，整理后由复合函数的单调性求得g（x）在 上的单调递减区间．
四、综合题
18、（2017山东枣庄四十六中模拟）设函数f（x）=sinωx?cosωx﹣ （ω＞0）的图象上相邻最高点与最低点距离为 ．
(1)求ω的值；
(2)若函数y=f（x+φ）（0＜φ＜ ）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ）在区间[0，2π]上的单调减区间．
【答案】（1）解：∵ = ， 设T为f（x）的最小值周期，由f（x）图象上相邻最高点与最低点的距离为 ，得 ， ∵f（x）max=1， ∴ ，整理可得T=2π， 又∵ω＞0，T= =2π， ∴ω= ． （2）解：由（1）可得f（x）=sin（x﹣ ）， ∴f（x+φ）=sin（x+φ﹣ ）， ∵y=f（x+φ）是奇函数，则sin（φ﹣ ）=0， 又∵0＜φ＜ ， ∴φ= ， ∴g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣ ）， 令 ，则 ， ∴单调递减区间是 ， 又∵x∈[0，2π]， ∴当k=0时，递减区间为 ；当k=1时，递减区间为 ， ∴函数g（x）在[0，2π]上的单调递减区间是 ， ． 【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx﹣ ），设T为f（x）的最小值周期，由题意得 ，结合f（x）max=1，可求T的值，利用周期公式可求 ω的值．（2）由题意可求f（x+φ）=sin（x+φ﹣ ）是奇函数，则sin（φ﹣ ）=0，结合0＜φ＜ ，可求φ，进而可求函数g（x）的解析式，利用余弦函数的图象和性质可求其单调递减区间，结合范围x∈[0，2π]，即可得解．
