2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
3.6正弦定理和余弦定理
考纲剖析
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
知识回顾
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
正弦定理
余弦定理
内容
常见变形
解决的问题
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ ．
(2)S＝ ＝ ＝ .
(3)S＝ ．
精讲方法
一、正弦定理和余弦定理
（一）正弦定理、余弦定理的简单应用
1、已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断；21教育网
2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷；21·cn·jy·com
3、三角形中常见的结论
（1）A+B+C=π；
（2）在三角形中大边对大角，反之亦然；
（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
（4）三角形内的诱导公式
（5）在ΔABC中，tanA+tanB+tanC= tanA·tanB·tanC.
（二）三角形形状的判定
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；21·世纪*教育网
（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=π这个结论。
注：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。
（三）正、余弦定理在几何中的应用
正、余弦定理在几何中的应用
（1）首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形；
（2）其次确定与未知量相关联的量；
（3）最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来。
真题精析
一、单选题
1、(2015·新课标I卷）sin20°cos10°-cos160°sin10°=(???? )
A、- B、 C、- D、
2、（2016?全国）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a= ，c=2，cosA= ，则b=（ ） 2·1·c·n·j·y
A、 B、 C、2 D、3
3、（2016?全国）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA=（ ） www-2-1-cnjy-com
A、 B、 C、﹣ D、﹣
4、（2013?湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB= b，则角A等于（?? ） 2-1-c-n-j-y
A、 B、 C、 D、
5、（2014?江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C= ，则△ABC的面积是（?? ）
A、 B、 C、 D、3
6、（2017?新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（??? ）
A、 B、 C、 D、
7、（2017?新课标Ⅰ卷）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3）．则△APF的面积为（ ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、 B、 C、 D、
8、（2017?山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ） 【版权所有：21教育】
A、a=2b B、b=2a C、A=2B D、B=2A
二、综合题
9、（2015新课标II）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍 21*cnjy*com
(1)（I）求
(2)(II)若AD=1，DC=，求BD和AC的长
10、(2015·新课标I卷）已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边，sin2B=2sinAsinC.
(1)（I）若a=b，求cosB,
(2)（II）若B=90°，且a=求△ABC的面积.
三、填空题
11、(2015·新课标I卷）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是________? .???
12、（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ，c=3，则A=________． ?
13、（2017?浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是________，com∠BDC=________． 21世纪教育网版权所有
四、解答题
14、（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2． （Ⅰ）求c； （Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
15、（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2 ． （Ⅰ）求cosB； （Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b． 【来源：21·世纪·教育·网】
16、（2017?浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________．
17、（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ． （Ⅰ）求b和sinA的值； （Ⅱ）求sin（2A+ ）的值． 21*cnjy*com
模拟题精练
一、单选题
1、（2017福建三明二模）在△ABC中，∠BAC的平分线交BC边于D，若AB=2，AC=1，则△ABD面积的最大值为（?? ）
A、 B、 C、 D、1
2、（2017甘肃张掖高台一中四模）已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为（?? ）
A、15 B、18 C、21 D、24
3、（2017河北衡水一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A= ，b2﹣a2= ，则tanC=（?? ）
A、2 B、﹣2 C、 D、﹣
4、（2017湖南衡阳三模）《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f（x）=x2﹣2x+2，在 上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值范围为（?? ）
A、[0，1] B、 C、 D、
5、（2017福建宁德三模）已知在三角形ABC中，AB＜AC，∠BAC=90°，边AB，AC的长分别为方程 的两个实数根，若斜边BC上有异于端点的E，F两点，且EF=1，∠EAF=θ，则tanθ的取值范围为（?? ） 21cnjy.com
A、 B、 C、 D、
6、（2017福建泉州二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，AC=2，BD=2 ，∠ACD=60°，则AD=（?? ） 【出处：21教育名师】
A、2 B、 C、 D、
7、（2017山东枣庄十六中模拟）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ，则S△ABC的最大值为（?? ）
A、 B、 C、 D、
8、（2017浙江冲刺卷（2））已知两个单位向量 ， ，且满足 ? =﹣ ，存在向量 使cos（ ﹣ ， ﹣ ）= ，则| |的最大值为（?? ） 21教育名师原创作品
A、2 B、 C、 D、1
二、填空题
9、（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，则角A的最大值是________．
10、（2017福建厦门一中考前模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB，a≠b，则c=________．
11、（2017湖南长沙长郡中学模拟冲刺）在△ABC中A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=4，A=60°，且△ABC外接圆的面积为4π，则△ABC的面积为________．
12、（2017江苏南通四模）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，A=75°，B=45°，c=3 ，则b=________． www.21-cn-jy.com
三、解答题
13、（2017湖南怀化一模）已知 ， ，且 ． （Ⅰ）试将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若 ，且 ，a+b=6，求△ABC的面积．
（2017福建龙岩二模）在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠BCD=60°，cosD=﹣ ，AD=DC=2．
（Ⅰ）求cos∠DAC及AC的长； （Ⅱ）求BC的长．
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
3.6正弦定理和余弦定理（答案）
知识回顾
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos A
b2＝a2＋c2－2accos B
c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
解决的问题
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．
真题精析
一、单选题
1、(2015·新课标I卷）sin20°cos10°-cos160°sin10°=(???? )
A、- B、 C、- D、
【答案】D
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【解答】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=。 【分析】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式. 21·cn·jy·com
2、（2016?全国）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a= ，c=2，cosA= ，则b=（ ） 2·1·c·n·j·y
A、 B、 C、2 D、3
【答案】D
【考点】余弦定理 【解析】【解答】解：∵a= ，c=2，cosA= ， ∴由余弦定理可得：cosA= = = ，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣ （舍去）． 故选：D． 【分析】由余弦定理可得cosA= ，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．；本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． www-2-1-cnjy-com
3、（2016?全国）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA=（ ） 【版权所有：21教育】
A、 B、 C、﹣ D、﹣
【答案】C
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B= ，BC边上的高AD=h= BC= a，∴BD=AD= a，CD= a，在Rt△ADC中，cosθ= = = ，故sinθ= ，∴cosA=cos（ +θ）=cos cosθ﹣sin sinθ= × ﹣ × =﹣ ． 故选：C． 【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ= = = ，sinθ= ，利用两角和的余弦即可求得答案．本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．
4、（2013?湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB= b，则角A等于（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，2asinB= b， ∴由正弦定理 = =2R得：2sinAsinB= sinB， ∴sinA= ，又△ABC为锐角三角形， ∴A= ． 故选D． 【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．
5、（2014?江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C= ，则△ABC的面积是（?? ）
A、 B、 C、 D、3
【答案】C
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6， 又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab， ∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6． ∴S△ABC= = ． 故选：C． 【分析】将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积． 21教育名师原创作品
6、（2017?新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（??? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【考点】余弦定理的应用，异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点， 则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0， ]）， 可知MN= AB1= ， NP= BC1= ； 作BC中点Q，则△PQM为直角三角形； ∵PQ=1，MQ= AC， △ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC =4+1﹣2×2×1×（﹣ ） =7， ∴AC= ， ∴MQ= ； 在△MQP中，MP= = ； 在△PMN中，由余弦定理得 cos∠MNP= = =﹣ ； 又异面直线所成角的范围是（0， ]， ∴AB1与BC1所成角的余弦值为 ． 【分析】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．
7、（2017?新课标Ⅰ卷）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3）．则△APF的面积为（ ） 21教育网
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【考点】三角形中的几何计算，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由双曲线C：x2﹣ =1的右焦点F（2，0）， PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3， 则P（2，3）， ∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3， ∴△APF的面积S= ×丨AP丨×丨PF丨= ， 故选D． 【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．
8、（2017?山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）
A、a=2b B、b=2a C、A=2B D、B=2A
【答案】A
【考点】两角和与差的正弦函数，正弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB， 可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA， 由正弦定理可得：2b=a． 故选：A． 【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．
二、综合题
9、（2015新课标II）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍
(1)（I）求
(2)(II)若AD=1，DC=，求BD和AC的长
【答案】
（1）（I）
（2）（II）BD=,AC=1
【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】 （I）SABD=ABADsinBAD。SADC=ACADsinCAD，因为SABD=2SADC，BAD=CAD,所以AB=2AC 由正弦定理可得，==。 (II)因为SABD：SADC=BD:DC,所以BD=，在ABD和ADC中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC,AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6 由（I）知AB=2AC，所以AC=1 【分析】本题考查了三角形的面积公式、角平分线、正弦定理和余弦定理，由角平分线的定义得角的等量关系，由面积关系得边的关系，由正弦定理得三角形内角正弦的关系，分析两个三角形中cosADB和cosADC互为相反数的特点，结合已知条件，利用余弦定理列方程，进而求 AC。 【来源：21cnj*y.co*m】
10、(2015·新课标I卷）已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边，sin2B=2sinAsinC.
(1)（I）若a=b，求cosB,
(2)（II）若B=90°，且a=求△ABC的面积.
【答案】
（2）1
【考点】正弦定理
【解析】【解答】(I)由题设及正弦定理可得b2=2ac，又a=b，可得b=2c, a=2c, 由余弦定理可得cosB=。 (II)由(I)知b2=2ac, 因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2. 故a2+c2=2ac，得c=a=,所以△ABC的面积为1. 【分析】(I)先由正弦定理将sin2B=2sinAsinC化为变得关系，结合条件a=b，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B的余弦值， (II)由(I)知b2=2ac，根据勾股定理即可求出c, 从而求出△ABC的面积。 解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积。 21cnjy.com
三、填空题
11、(2015·新课标I卷）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是________? .???
【答案】（， ）
【考点】正弦定理
【解析】【解答】如图所示，延长BA，CD交于E，平行AD,当A与D重合于E点事，AB 最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正玄定理可得=,即=，解得BE=，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，=,即=，解得BF=，所以AB的取值范围为（，） 【分析】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC长定，平移AD ， 当AD重合时，AB最长，当CD重合时AB最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB的长，即可求出AB的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.
12、（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ，c=3，则A=________． ?
【答案】75°
【考点】正弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：根据正弦定理可得 = ，C=60°，b= ，c=3， ∴sinB= = ， ∵b＜c， ∴B=45°， ∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°， 故答案为：75°． 【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可
13、（2017?浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是________，com∠BDC=________．
【答案】；
【考点】二倍角的余弦，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图，取BC得中点E， ∵AB=AC=4，BC=2， ∴BE= BC=1，AE⊥BC， ∴AE= = ， ∴S△ABC= BC?AE= ×2× = ， ∵BD=2， ∴S△BDC= S△ABC= ， ∵BC=BD=2， ∴∠BDC=∠BCD， ∴∠ABE=2∠BDC 在Rt△ABE中， ∵cos∠ABE= = ， ∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ， ∴cos∠BDC= ， 故答案为： ， 【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC ， 再根据S△BDC= S△ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出
四、解答题
14、（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2． （Ⅰ）求c； （Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【答案】
解：（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0， ∴tanA= ， ∵0＜A＜π， ∴A= ， 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA， 即28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ）， 即c2+2c﹣24=0， 解得c=﹣6（舍去）或c=4， （Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC， ∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC， ∴cosC= ， ∴sinC= ， ∴tanC= 在Rt△ACD中，tanC= ， ∴AD= ， ∴S△ACD= AC?AD= ×2× = ， ∵S△ABC= AB?AC?sin∠BAD= ×4×2× =2 ， ∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ =
【考点】同角三角函数基本关系的运用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出， （Ⅱ）先根据夹角求出cosC，求出AD的长，再求出△ABC和△ADC的面积，即可求出△ABD的面积．
15、（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2 ． （Ⅰ）求cosB； （Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．
【答案】解：（Ⅰ）sin（A+C）=8sin2 ， ∴sinB=4（1﹣cosB）， ∵sin2B+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1， ∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0， ∴cosB= ； （Ⅱ）由（1）可知sinB= ， ∵S△ABC= ac?sinB=2， ∴ac= ， ∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× × =a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4， ∴b=2． 21·世纪*教育网
【考点】同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值，二倍角的正弦，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2 ，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB， （Ⅱ）由（1）可知sinB= ，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．
16、（2017?浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________．
【答案】4；
【考点】函数的最值及其几何意义，向量的模，余弦定理，三角函数的最值
【解析】【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图， 由余弦定理可得： | + |= ， | ﹣ |= ， 令x= ，y= ， 则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图， 令z=x+y，则y=﹣x+z， 则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4， 当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大， 由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍， 也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍， 所以zmax= × = ． 综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ． 故答案为：4、 ． 【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |= 、| ﹣ |= ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
17、（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ． （Ⅰ）求b和sinA的值； （Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．
【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b， 故由sinB= ，可得cosB= ． 由已知及余弦定理，有 =13， ∴b= ． 由正弦定理 ，得sinA= ． ∴b= ，sinA= ； （Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ， cos2A=1﹣2sin2A=﹣ ． 故sin（2A+ ）= = ．
【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA； （Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017福建三明二模）在△ABC中，∠BAC的平分线交BC边于D，若AB=2，AC=1，则△ABD面积的最大值为（?? ）
A、 B、 C、 D、1
【答案】B
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，△ABD面积为 S△ABC ， ∵S△ABC= bcsinA，即 ×2×1×sinA， 那么，△ABD面积为 sinA． ∵0＜A＜π， ∴sinA∈（0，1]， ∴△ABD面积的最大值为 ， 故选：B． 【分析】根据∠BAC的平分线交BC边于D，可得△ABD和△ACD以D为顶点的高相等．可得△ABD面积与△ACD面积之比为AB：AC=2：1，则△ABD面积为 S△ABC ． 利用三角形的有界限可得答案． 21世纪教育网版权所有
2、（2017甘肃张掖高台一中四模）已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为（?? ）
A、15 B、18 C、21 D、24
【答案】A
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：根据题意设△ABC的三边长为a，a+2，a+4，且a+4所对的角为最大角α， ∵sinα= ，∴cosα= 或﹣ ， 当cosα= 时，α=60°，不合题意，舍去； 当cosα=﹣ 时，α=120°，由余弦定理得：cosα=cos120°= =﹣ ， 解得：a=3或a=﹣2（不合题意，舍去）， 则这个三角形周长为a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15． 故选：A． 【分析】根据三角形ABC三边构成公差为2的等差数列，设出三边为a，a+2，a+4，根据最大角的正弦值求出余弦值，利用余弦定理求出a的值，即可确定出三角形的周长．
3、（2017河北衡水一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A= ，b2﹣a2= ，则tanC=（?? ）
A、2 B、﹣2 C、 D、﹣
【答案】A
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵A= ， ∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccos ， ∴b2﹣a2= bc﹣c2 ， 又b2﹣a2= c2 ． ∴ bc﹣c2= c2 ． ∴ b= c．可得b= ， ∴a2=b2﹣ c2= c2 ， 即a= ． ∴cosC= = = ． ∵C∈（0，π）， ∴sinC= = ． ∴tanC= =2． 故选：A． 【分析】由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccos ，已知b2﹣a2= c2 ． 可得b= ，a= c．利用余弦定理可得cosC．利用同角三角函数基本关系式可得sinC，进而可求出tanC的值． 【来源：21·世纪·教育·网】
4、（2017湖南衡阳三模）《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f（x）=x2﹣2x+2，在 上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值范围为（?? ）
A、[0，1] B、 C、 D、
【答案】A
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2， ∵f（x）=x2﹣2x+2=2，∴x=0或2， ∴m2﹣m+2≤2，∴0≤m≤1， 故选A． 【分析】由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，可得m2﹣m+2≤2，即可得出结论．
5、（2017福建宁德三模）已知在三角形ABC中，AB＜AC，∠BAC=90°，边AB，AC的长分别为方程 的两个实数根，若斜边BC上有异于端点的E，F两点，且EF=1，∠EAF=θ，则tanθ的取值范围为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：∵边AB，AC的长分别为方程 的两个实数根∴AC=2 ，AB=2， 在直角△ABC中，B= ，C= ，BC=4 建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（0，2 ）， 得直线BC的方程为y= ，故设E（a， （2﹣a）），F（b， （2﹣b）），a＞b， ＜a＜2． 则由EF= =2（a﹣b）=1，可得b=a﹣ ． ∴tan∠BAE= ，tan∠BAF= ． ∴tanθ=tan（∠BAF﹣∠BAE）= =﹣ = ． 由 ＜a＜2和二次函数的性质可得t=4a2﹣14a+15∈[ ，9），∴ ∈（ ， ]． 故选：C． 【分析】解方程可得AB，AC，建立坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（0，2 ），设E（a， （2﹣a）），F（b， （2﹣b）），a＞b， ＜a＜2．由EF=1，可得b=a﹣ ． 可得tan∠BAE= ，tan∠BAF= ．即tanθ=tan（∠BAF﹣∠BAE）= =﹣ = ．由 ＜a＜2和二次函数的性质可得 ∈（ ， ]． 2-1-c-n-j-y
6、（2017福建泉州二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，AC=2，BD=2 ，∠ACD=60°，则AD=（?? ）
A、2 B、 C、 D、
【答案】B
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，AC=2，BD=2 ，∠ACD=60°， ∴∠BAC=60°，∴BC= = ， ∴AB2+BC2=AC2 ， ∴ ， ∴CD= =3， ∴AD= = ． 故选：B． 【分析】由余弦定理先求出BC= ，再由勾股定理求出 ，从而CD=3，由此利用余弦定理能求出AD= = ．
7、（2017山东枣庄十六中模拟）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ，则S△ABC的最大值为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理知： ，即 ， 故 ， 所以 ，又 ， 由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2+ac≥3ac， ∴ ， 故 ， 故选：D． 【分析】由正弦定理化简已知等式可求 ，进而可求B，由余弦定理，基本不等式可求 ，进而利用三角形面积公式即可得解． 21*cnjy*com
8、（2017浙江冲刺卷（2））已知两个单位向量 ， ，且满足 ? =﹣ ，存在向量 使cos（ ﹣ ， ﹣ ）= ，则| |的最大值为（?? ）
A、2 B、 C、 D、1
【答案】A
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵ =﹣1，∴ 的夹角为120°， 不妨设 = =（1，0）， = =（﹣ ， ）， = ， 则 = ， ，∵cos＜ ﹣ ， ﹣ ＞= ， ∴∠ACB=60°， ∴C在圆x2+y2=1的优弧 上或C在△AOB的外接圆的优弧 上． 显然| |得最大值为△AOB的外接圆直径． 由正弦定理可知外接圆直径2R= = =2， ∴| |的最大值为2． 故选：A． 【分析】由∠AOB=120°，∠ACB=60°可知C在圆弧上运动，作出图形得出| |取得最大值时的位置，利用正弦定理求出外接圆直径．
二、填空题
9、（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，则角A的最大值是________．
【答案】
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵asinAsinB+bcos2A=2a， ∴sinAsinAsinB+sinBcos2A=2sinA， ∴sinB=2sinA，∴b=2a． ∴cosA= = ≥ = ，当且仅当 b=c时取等号． 又A∈（0，π），∴ ． ∴角A的最大值是 ． 故答案为： ． 【分析】asinAsinB+bcos2A=2a，利用正弦定理可得：sinAsinAsinB+sinBcos2A=2sinA，化为sinB=2sinA，再利用正弦定理可得：b=2a．利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．
10、（2017福建厦门一中考前模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB，a≠b，则c=________．
【答案】2
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB， ∴2sinAcosB﹣2cosAsinB=asinA﹣bsinB，由正弦定理可得：2acosB﹣2bcosA=a2﹣b2 ， ∴由余弦定理可得：2a× ﹣2b× =a2﹣b2 ， 可得： =a2﹣b2 ， ∵a≠b， ∴c=2． 故答案为：2． 【分析】利用两角差的正弦函数公式，正弦定理化简已知可得：2acosB﹣2bcosA=a2﹣b2 ， 进而由余弦定理即可解得c的值． 21*cnjy*com
11、（2017湖南长沙长郡中学模拟冲刺）在△ABC中A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=4，A=60°，且△ABC外接圆的面积为4π，则△ABC的面积为________．
【答案】
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：由△ABC外接圆的面积为4π， ∴半径R=2． 由正弦定理： = =2R， 则有 ． 可得：sinB=1，即B= ． a=2 ． 勾股定理可得：c=2． △ABC的面积S= ac=2 ． 故答案为：2 ． 【分析】根据正弦定理把△ABC外接圆R与三角形内角和边长建立关系，即可求出△ABC的面积．
12、（2017江苏南通四模）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，A=75°，B=45°，c=3 ，则b=________．
【答案】2
【考点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵A=75°，B=45°，c=3 ， ∴C=180°﹣A﹣B=60°， ∴由正弦定理可得：b= = =2 ． 故答案为：2 ． 【分析】由三角形内角和定理可求角C，利用正弦定理即可求b的值．
三、解答题
13、（2017湖南怀化一模）已知 ， ，且 ． （Ⅰ）试将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若 ，且 ，a+b=6，求△ABC的面积．
【答案】解：（Ⅰ）向量 ， ， ∵ ∴ ， ∴ = =2sin ． ， 则 ， 故f（x）的单调递增区间为 ，k∈Z． （Ⅱ）∵ ， ∴ ∴ ∵ 由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC， 可得：（a+b）2﹣3ab=24， ∵a+b=6， ∴ab=4． 故得△ABC的面积S= ． 【出处：21教育名师】
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）由 ，利用向量的运算建立关系，可得f（x）的解析式，即可求解f（x）的单调递增区间（Ⅱ）根据 ，求出角C的大小． ，a+b=6，利用余弦定理求出ab，即可求△ABC的面积．
（2017福建龙岩二模）在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠BCD=60°，cosD=﹣ ，AD=DC=2．
（Ⅰ）求cos∠DAC及AC的长； （Ⅱ）求BC的长．
【答案】解：（Ⅰ）△ACD中，由余弦定理可得：AC2= = ，解得AC= ． ∴cos∠DAC= = = ． （Ⅱ）设∠DAC=α=∠DCA． 由（Ⅰ）可得：cosα= ，sinα= ． ∴sin∠BAC=sin（120°﹣α）= × + = ． ∴sinB=sin（∠BAC+∠BCA）=sin（180°﹣2α）=sin2α=2× × = ． 在△BAC中，由正弦定理可得： = ． ∴BC= =3
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（1）△ACD中，由余弦定理可得：AC2= = ，解得AC．可得cos∠DAC= ．（2）设∠DAC=α=∠DCA．由（1）可得：cosα= ，sinα= ．可得sin∠BAC=sin（120°﹣α）．sinB=sin（∠BAC+∠BCA）=sin（180°﹣2α）=sin2α．在△BAC中，由正弦定理可得： = ．即可得出． www.21-cn-jy.com
