2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
3.7解三角形应用举例
考纲剖析
能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
知识回顾
1．距离的测量
背景
可测元素
图形
目标及解法
两点均可到达
a，b，α
求AB：
只有一点可到达
b，α，β
求AB：
两点都不可到达
a，α，β，γ，θ
求AB：
2.高度的测量
背景
可测元素
图形
目标及解法
底部可到达
a，α
求AB：
底部不可到达
a，α，β
求AB：
3.实际问题中常见的角
(1)仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 时叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角(如图1)．
(2)方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
精讲方法
一、应用举例
（一）与距离有关的问题
1、一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；21世纪教育网版权所有
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。
2、解斜三角形应用题常有以下几种情形：
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；21cnjy.com
（3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。21·世纪*教育网
（二）与高度有关的问题
1、在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；
2、准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图；
3、运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用。
（三）与角度有关的问题
1、测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义；
2、在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。2-1-c-n-j-y
（四）与三角形面积有关的问题
（1）对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式；21*cnjy*com
（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，实施边角转化；
（3）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用。
真题精析
一、选择题
1．（2014四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2014新课标Ⅰ）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高____．www.21-cn-jy.com
3、（2014?浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是________．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角） 21*cnjy*com
4.(2015·湖北高考)如图3-7-6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.【出处：21教育名师】
图3-7-6
三、解答题（共3题；共15分）
5、（2014?上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β． 21·cn·jy·com
(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）． 2·1·c·n·j·y
6、（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2． （Ⅰ）求c； （Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ． （Ⅰ）求b和sinA的值； （Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．
如图所示，某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶，公路的走向是M站的北偏东40°，开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
模拟题精练
一、单选题
1、（2017山西晋中一模）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（?? ）
A、10步、50步 B、20步、60步 C、30步、70步 D、40步、80步
二、填空题
2、如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A测得水坝对面的山顶P的仰角为40°，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B测得∠ABP=56°，若坝面与水平面所成的锐角为30°，则山高为________?米；（结果四舍五入取整）
3、如图，为测量坡高MN，选择A和另一个山坡的坡顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知坡高BC=50米，则坡高MN=________?米．
4、如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________?km．
5、（2016广东中山模拟）如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=________．
（2016广东深圳二模）如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC= ，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为________．
三、解答题
7、为了绘制海底地图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，A，B两点的距离为海里． （1）求△ABD的面积； （2）求C，D之间的距离．
8、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，在A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，求此山的高度CD． 21教育网
9、（2017上海崇明一模）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ= ，0°＜θ＜90°）且与点A相距10 海里的位置C． （Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； （Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
10、（2017上海奉贤一模）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90° ， 求CB；（结果用α，β，b表示）
某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距（BD）6米，小李的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1，参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 【来源：21cnj*y.co*m】
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=20mD．现测得，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB．21教育名师原创作品
一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．如图所示，求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．【版权所有：21教育】
四、综合题
（2017上海青浦二模）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为 （∠ACB= ），墙AB的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC=θ
(1)若θ= ，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；
(2)为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．
如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用两小时追赶上． 【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sinC的值．
16、海滨某城市A附近海面上有一台风，在城市A测得该台风中心位于方位角150°、距离400km的海面P处，并正以70km/h的速度沿北偏西60°的方向移动，如果台风侵袭的范围是半径为250km的圆形区域．
(1)几小时后该城市开始受到台风侵袭？
(2)该台风将持续影响该城市多长时间？ （参考数据： ）
17.如图，某自行车手从O点出发，沿折线O﹣A﹣B﹣O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20 千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东（45°﹣α）（其中sinα= ，0°＜α＜90°）且与点O相距5 千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）．
(1)求该自行车手的骑行速度；
(2)若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由． www-2-1-cnjy-com
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
3.7解三角形应用举例（答案）
知识回顾
1．距离的测量
背景
可测元素
图形
目标及解法
两点均可到达
a，b，α
求AB：AB＝
只有一点可到达
b，α，β
求AB：(1)α＋β＋B＝π；(2)＝
两点都不可到达
a，α，β，γ，θ
求AB：(1)△ACD中，用正弦定理求AC；
(2)△BCD中，用正弦定理求BC；
(3)△ABC中，用余弦定理求AB
2.高度的测量
背景
可测元素
图形
目标及解法
底部可到达
a，α
求AB：AB＝atan_α
底部不可到达
a，α，β
求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝ADsin_β
3.实际问题中常见的角
(1)仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．21世纪教育网版权所有
真题精析
一、选择题
1．（2014四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于
A． B． C． D．
【解析】 ∵，
∴
【答案】C
二、填空题
2．（2014新课标Ⅰ）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高____．www.21-cn-jy.com
【答案】150
【解析】在三角形中，，在三角形中，
，解得，
在三角形中，，故．
3、（2014?浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是________．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角） 2·1·c·n·j·y
【答案】
【考点】在实际问题中建立三角函数模型，解三角形
【解析】【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°， ∴BC=20m， 过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ= ， 设BP′=x，则CP′=20﹣x， 由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°= （20﹣x）， 在直角△ABP′中，AP′= ， ∴tanθ= ? ， 令y= ，则函数在x∈[0，20]单调递减， ∴x=0时，取得最大值为 = ． 若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°= （20+x）， 在直角△ABP′中，AP′= ， ∴tanθ= ? ， 令y= ，则y′=0可得x= 时，函数取得最大值 ， 故答案为： ． 【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ= ，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论． 21教育名师原创作品
4.(2015·湖北高考)如图3-7-6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.21·cn·jy·com
图3-7-6
答案：100
【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.21·世纪*教育网
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×
＝100(m)．]
[规律方法] 1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．21*cnjy*com
2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识．
三、解答题（共3题；共15分）
5、（2014?上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β． 【版权所有：21教育】
(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
【答案】（1）解：设CD的长为x米，则tanα= ，tanβ= ， ∵0 ， ∴tanα≥tan2β＞0， ∴tan ， 即 = ， 解得0 ≈28.28， 即CD的长至多为28.28米 （2）解：设DB=a，DA=b，CD=m， 则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°， 由正弦定理得 ， 即a= ， ∴m= ≈26.93， 答：CD的长为26.93米．
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．
6、（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2． （Ⅰ）求c； （Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【答案】解：（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0， ∴tanA= ， ∵0＜A＜π， ∴A= ， 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA， 即28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ）， 即c2+2c﹣24=0， 解得c=﹣6（舍去）或c=4， （Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC， ∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC， ∴cosC= ， ∴sinC= ， ∴tanC= 在Rt△ACD中，tanC= ， ∴AD= ， ∴S△ACD= AC?AD= ×2× = ， ∵S△ABC= AB?AC?sin∠BAD= ×4×2× =2 ， ∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ =
【考点】同角三角函数基本关系的运用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出， （Ⅱ）先根据夹角求出cosC，求出AD的长，再求出△ABC和△ADC的面积，即可求出△ABD的面积．
7、（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ． （Ⅰ）求b和sinA的值； （Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．
【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b， 故由sinB= ，可得cosB= ． 由已知及余弦定理，有 =13， ∴b= ． 由正弦定理 ，得sinA= ． ∴b= ，sinA= ； （Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ， cos2A=1﹣2sin2A=﹣ ． 故sin（2A+ ）= = ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA； （Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．
如图所示，某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶，公路的走向是M站的北偏东40°，开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
【答案】解：设汽车前进20千米后到达点B， 则在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21， 由余弦定理得cosC= = = ， 则sinC= = ， 由已知∠AMC=60°，∴∠MAC=120°﹣C， sin∠MAC=sin（120°﹣C）=sin120°cosC﹣cos120°sinC= 在△MAC中，由正弦定理得 = =35 从而有MB=MC﹣BC=15（千米） 所以汽车还需行驶15千米，才能到达M汽车站．
【考点】正弦定理的应用，解三角形的实际应用
【解析】【分析】在△ABC中，由余弦定理得cosC，然后利用同角三角函数的基本关系式求出sinC，通过sin∠MAC=sin（120°﹣C），在△MAC中求出MC，然后求解MB即可．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017山西晋中一模）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（?? ）
A、10步、50步 B、20步、60步 C、30步、70步 D、40步、80步
【答案】B
【考点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m． 方田面积减去水池面积为13.75亩， ∴（40+m）2﹣ =13.75×240． 解得：m=20． 即圆池直径20步 那么：方田边长为40步+20步=60步． 故选B． 【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可． 21cnjy.com
二、填空题
2、如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A测得水坝对面的山顶P的仰角为40°，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B测得∠ABP=56°，若坝面与水平面所成的锐角为30°，则山高为________?米；（结果四舍五入取整） 21*cnjy*com
【答案】176
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，∠PAB=180°﹣30°﹣40°=110°，∴∠APB=180°﹣110°﹣56°=14°． 在△ABP中，由正弦定理得： ∴山高h=APsin40°≈176． 故答案为176． 【分析】在△PAB中使用正弦定理求出PA的长，再在直角三角形中利用三角函数定义求出上高．
3、如图，为测量坡高MN，选择A和另一个山坡的坡顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知坡高BC=50米，则坡高MN=________?米．
【答案】75
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=150m，所以AC=50m． 在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°， 由正弦定理得，， 因此AM=50m． 在RT△MNA中，AM=50m，∠MAN=60°，由 得MN=50=75m． 故答案为：75． 【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=50m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．
4、如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________?km．
【答案】7
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB×BCcosB=89﹣80cosB， 在△ACD中，由余弦定理得AC2=CD2+AD2﹣2AD×CDcosD=34﹣30cosD， ∴89﹣80cosB=34﹣30cosD， ∵A+C=180°，∴cosB=﹣cosD， ∴cosD=﹣， ∴AC2=34﹣30×（﹣）=49． ∴AC=7． 故答案为7． 【分析】分别在△ABC和△ACD中使用余弦定理解出AC，列方程解出cosD，得出AC．
5、（2016广东中山模拟）如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=________． 【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°， 在△ABD中，由正弦定理得 ，即 ， ∴BD=25（ ）． 在△BCD中，由正弦定理得 ，即 ， ∴sin∠BCD= ﹣1． ∴cosθ=sin（π﹣∠BCD）=sin∠BCD= ﹣1． 故答案为： ﹣1． 【分析】在△ABD中，由正弦定理解出BD，在△BCD中，由正弦定理解出sin∠BCD，则cosθ=sin（π﹣∠BCD）=sin∠BCD．
（2016广东深圳二模）如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC= ，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为________．
【答案】+1
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，则AC2=4﹣2 cosα， 由正弦定理可得sinβ= ， ∴BD2=3+4﹣2 cosα﹣2× × ×cos（90°+β）=7﹣2 cosα+2 sinα=7+2 sin（α﹣45°）， ∴α=135°时，BD取得最大值 +1． 故答案为： +1． 【分析】设∠ABC=α，∠ACB=β，求出AC，sinβ，利用余弦定理，即可求出对角线BD的最大值．
三、解答题
7、为了绘制海底地图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，A，B两点的距离为海里． （1）求△ABD的面积； （2）求C，D之间的距离．
【答案】解：（1）∠ADB=180°﹣30°﹣45°﹣45°=60°， 在△ABD中，由正弦定理，得， ∴，解得BD=． ∴=xxxsin450=． （2）△ABC中，∠ACB=180°﹣30°﹣45°﹣75°=30°， ∴BC=BA=， △BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2﹣2BC?BDcos∠DBC =3+()2﹣2×xxxsin450=5， ∴CD=． 【考点】余弦定理，解三角形的实际应用 【解析】【分析】（1）易求∠ADB，在△ABD中，由正弦定理，得， 代入数值可求； ???????????? （2）可判断△ABC为等腰三角形，可求BC，△BCD中，由余弦定理可求CD．
8、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，在A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，求此山的高度CD．
【答案】解：在△ABC中，∠BAC=30°，AB=600，∠ABC=180°﹣75°=105°，∴∠ACB=45°， ∵，即，解得BC=300． 又在Rt△BCD中，∠CBD=30°， ∴CD=BC?tan∠CBD=300×=100， 即山高CD为100m． www-2-1-cnjy-com
【考点】解三角形
【解析】【分析】在△ABC中由正弦定理解出BC，在Rt△BCD中由正切的定义求出CD．
9、（2017上海崇明一模）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ= ，0°＜θ＜90°）且与点A相距10 海里的位置C． （Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； （Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）如图， AB=40 ，AC=10 ， ． 由于0°＜θ＜90°，所以cosθ= ． 由余弦定理得BC= ． 所以船的行驶速度为 （海里/小时）． （Ⅱ）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q． 在△ABC中，由余弦定理得， = = ． 从而 ． 在△ABQ中，由正弦定理得， AQ= ． 由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE﹣AQ=15． 过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离． 在Rt△QPE中，PE=QE?sin∠PQE=QE?sin∠AQC=QE?sin（45°﹣∠ABC） = ． 所以船会进入警戒水域．
【考点】解三角形的实际应用 【解析】【分析】（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ= 求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE﹣AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．
10、（2017上海奉贤一模）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90° ， 求CB；（结果用α，β，b表示）
【答案】解：由题意，∠B=90°﹣（α+β）， △PBC中，PC=b，由正弦定理可得 ．
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，运用正弦定理可得结论．
某校高一年级某班开展数学活动，小李和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小李站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小李和小军相距（BD）6米，小李的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1，参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 【出处：21教育名师】
【答案】解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N， ∴MN=0.25m， ∵∠EAM=45°，∴AM=ME， 设AM=ME=x（m），则CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m， ∵∠ECN=30°，∴tan∠ECN= ?= ?= ， 解得：x≈8.8， 则EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3（m）． 答：旗杆的高EF为10.3m．
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，设AM=ME=x（m），利用tan∠ECN= ．解得：x，然后求解旗杆的高EF． 2-1-c-n-j-y
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=20mD．现测得，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB．
【答案】解：在△BCD中，∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45° 由正弦定理得BC= ?=10 ， 在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=10 21教育网
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】先根据三角形内角和为180°得∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°，再根据正弦定理求得BC，进而在Rt△ABC中，根据AB=BCtan∠ACB求得AB．
一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．如图所示，求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．
【答案】解：设所需时间为t小时， 则AB=21t，BC=9t． 又已知AC=10，依题意知，∠ACB=120°， 根据余弦定理，AB2=AC2+BC2﹣2?AC?BCcos∠ACB． ∴（21t）2=102+（9t）2﹣2×10×9tcos 120°， ∴（21t）2=100+81t2+90t， 即360t2﹣90t﹣100=0． ∴t= 或t=﹣ （舍）． ∴AB=21× =14（海里）． 即“黄山”舰需要用 小时靠近商船，共航行14海里 【来源：21·世纪·教育·网】
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】设所需时间为t小时，在点B处相遇则可求得AB和BC，进而利用余弦定理建立等式求得t，从而可得结论．
四、综合题
（2017上海青浦二模）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为 （∠ACB= ），墙AB的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC=θ
(1)若θ= ，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；
(2)为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．
【答案】（1）解：在△ABC中，由正弦定理可得AC= =2 ，BC= =3 + ， ∴△ABC的周长为6+3 +3 ≈17.60米 （2）解：在△ABC中，由余弦定理：c2=602=a2+b2﹣2abcos60°， ∴a2+b2﹣ab=36， ∴36+ab=a2+b2≥2ab，即ab≤36， ∴S△ABC= AC?BC?sin = ab≤9 ， 此时a=b，△ABC为等边三角形， ∴θ=60°，（S△ABC）max=9
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC，BC，即可求△ABC的周长；（2）利用余弦定理列出关系式，将c，cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时θ的值．
如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用两小时追赶上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sinC的值．
【答案】（1）解：依题意，∠BAC=120°，AB=12海里，AC=20海里． 在ABC中，由余弦定理得，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC． =122+202﹣2×12×20×cos120°=784． 解得BC=28海里，所以渔船甲的速度是=14（海里/小时） （2）解：在三角形ABC中，因为AB=12海里，∠BAC=120°，BC=28海里， 由正弦定理，得sinC= ?=
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出渔船甲的速度；（2）在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinC．
16、海滨某城市A附近海面上有一台风，在城市A测得该台风中心位于方位角150°、距离400km的海面P处，并正以70km/h的速度沿北偏西60°的方向移动，如果台风侵袭的范围是半径为250km的圆形区域．
(1)几小时后该城市开始受到台风侵袭？
(2)该台风将持续影响该城市多长时间？ （参考数据： ）
【答案】（1）解：设台风中心在点B处时该城市开始受到台风侵袭，即BA=250km， 由题AP=400，∠APB=30°，由余弦定理得 ， 解得 舍去）， ∴ ． 故2.8小时后该城市开始受到台风侵袭 （2）解：设台风中心移到点C处时 AC=250（与B不重合） 由（1）知 ，故BC=300km ∴ 即该台风中心持续影响该城市4.29小时
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由余弦定理求出BP，即可得出结论；（2）设台风中心移到点C处时 AC=250（与B不重合）由（1）知 ，故BC=300km，即可得出结论．
如图，某自行车手从O点出发，沿折线O﹣A﹣B﹣O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20 千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东（45°﹣α）（其中sinα= ，0°＜α＜90°）且与点O相距5 千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）．
(1)求该自行车手的骑行速度；
(2)若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．
【答案】（1）解：由题意，知：OA=20 ，OC=5 ， ∠AOC=α，sinα= ． 由于0°＜α＜90°，所以cos= = ．????? 由余弦定理，得AC=V=5 ．? 所以该自行车手的行驶速度为 =15 ?（千米/小时） （2）解：如图， 设直线OE与AB相交于点M．在△AOC中，由余弦定理， 得：cos∠OAC= = = ， 从而 sin∠OAC= = ．?????? 在△AOM中，由正弦定理，得：OM= = =20， 由于OE=27.5＞40=OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME=OE﹣OM=7.5． 过点E作EH AB于点H，则EH为点E到直线AB的距离． 在Rt△EHM中，EH=EM?sin∠EMH=EM?sin（45°﹣∠OAC）=7.5× = ＜3.5． 所以该自行车手会进入降雨区．
【考点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）根据余弦定理，即可求出AC的长，即可求出自行车的速度，（2）先根据余弦定理，即可求出cos∠OAC，再根据正弦定理可得OM，再在Rt△EHM中，求出EM的大小，比较即可．
