【备考2018】高考数学真题精讲精练专题4.1平面向量的概念及其线性运算（2013-2017）

2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
4.1平面向量的概念及其线性运算
考纲剖析
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3．理解向量的几何表示．
4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知识回顾
向量的有关概念
名称
定义
备注
平行向量
方向 或 的非零向量
0与任一向量 或共线
共线向量
的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度 且方向 的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度 且方向 的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量
运算
定　义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量
和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：

(2)结合律：

续表
减法
求a与b的
相反向量
－b的和的
运算叫做
a与b的差
三角形法则
数乘
求实数λ与
向量a的积
的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
精讲方法
一、平面向量的概念及其线性运算
（一）向量的有关概念
1、着重理解向量以下几个方面：
（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。
2、判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：
（1）零向量的方向及与其他向量的关系；
（2）单位向量的长度及方向。
（二）向量的线性运算
（1）用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理；21世纪教育网版权所有
（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。21cnjy.com
注：若为BC的中点，则。
（三）向量的共线问题
（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线量时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想。2·1·c·n·j·y
（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。【来源：21·世纪·教育·网】
真题精析
一、单选题
1、(2015·新课标1卷）已知点A(0,1)，B(3，2)向量=(-4，-3)，则向量(? )
A、(-7，-4)B、(7，4)C、(-1，4)D、(1，4)

2、(2015·陕西）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（?? ）
A、B、C、D、

3、（2012?重庆）设x，y∈R，向量 =（x，1）， =（1，y）， =（2，﹣4）且 ⊥ ， ∥ ，则| + |=（?? ） 21·cn·jy·com
A、B、C、2 D、10

4、（2013?辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量 同方向的单位向量为（? ） 21·世纪*教育网
A、B、C、D、

5、（2014?浙江）记max{x，y}= ，min{x，y}= ，设 ， 为平面向量，则（??? ） www-2-1-cnjy-com
A、min{| + |，| ﹣ |}≤min{| |，| |}B、min{| + |，| ﹣ |}≥min{| |，| |}C、max{| + |2 ， | ﹣ |2}≤| |2+| |2D、max{| + |2 ， | ﹣ |2}≥| |2+| |221*cnjy*com
6、（2017?北京卷）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ? ＜0”的（　　） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

二、填空题
7、?（2015天津）在等腰梯形中，已知,动点和分别在线段和上，且则的最小值为________ 。


8、（2015·湖北）已知向量AB，，则________? .

9、（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．

三、解答题
10、（2017?浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________． 【出处：21教育名师】
模拟题精练
一、单选题
1、（2017广东佛山禅城实验高中期中）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，则 =（?? ） www.21-cn-jy.com
A、B、C、D、
2、（2017广东佛山禅城实验高中期中）已知 =（3，1），向量 =（﹣4，﹣3），则向量 =（?? ） 【版权所有：21教育】
A、（﹣7，﹣4）B、（7，4）C、（﹣1，4）D、（1，4）

（2017广东潮州潮安颜锡祺中学期中）如图 ， 为互相垂直的单位向量，向量 可表示为（?? ） 21教育名师原创作品
21*cnjy*com
A、2 B、3 C、2 D、3


4、如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中=λ+μ， 下列判断正确的是（　　）
A、满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B、满足λ+μ=1的点P有且只有一个C、λ+μ的最大值为3D、λ+μ的最小值不存在

5、在直角梯形中，， ， ,， 点在线段?上，若， 则的取值范围是（????）
A、B、C、D、

6、在直角中,,P为AB边上的点,若,则的取值范围是(????? )
A、B、C、D、
7、如图，在△OAB中，点P在边AB上，且AP：PB=3：2．则=（　　）
A、+B、+C、-D、-
8、已知向量=（1，1），=（3，m），∥（+），则m=（　　）
A、2B、-2C、-3D、3


9、在平行四边形中，与交于点是线段OD的中点，的延长线与交于点． 若， ， 则（??）
A、B、C、D、

10、如图，在△OAB中，点P在边AB上，且AP：PB=3：2．则=（　　）
A、+B、+C、-D、-
11、设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（　　）
A、=-B、C、=2D、

12、（2017四川名校联考一模）在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，3），O为坐标原点，且 =α +β （α+β=1），N（1，0），则| |的最小值为（?? ） 2-1-c-n-j-y
A、B、C、D、

（2017江西赣州七校联考模拟2）如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么 =（?? ） 21教育网

A、B、C、D、
14、（2017押题预测卷新课标Ⅲ卷）设单位向量 ， 的夹角为锐角，若对于任意的 ，都有 ，则 的最小值为（? ）
A、B、C、D、?

二、填空题
15、（2016江苏盐城亭湖南洋中学期中）若 =（2，8）， =（﹣7，2），则 =________．

16、（2017新疆生产建设兵团二中期末）已知向量 ， ， ，满足 + + =0，且| |=| |=| |=1，则| |=________．

17、（2017河南郑州外国语学校测试）平面向量 ， ， 两两所成角相等，且| |=1，| |=2，| |=3，则| + + |为________．

18、（2017江苏南通第二次调研测试）如图，在平面四边形 中， 为 的中点，且OA=3，OC=5．若 ，则 的值是________


2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
4.1平面向量的概念及其线性运算（答案）
知识回顾
向量的有关概念
名称
定义
备注
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量
运算
定　义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量
和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
续表
减法
求a与b的
相反向量
－b的和的
运算叫做
a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与
向量a的积
的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
真题精析
一、单选题
1、(2015·新课标1卷）已知点A(0,1)，B(3，2)向量=(-4，-3)，则向量(? )
A、(-7，-4)B、(7，4)C、(-1，4)D、(1，4)

【答案】A
【考点】数列与向量的综合，向量的减法及其几何意义
【解析】【解答】∵=-=（3,1），∴=-=（-7，-4），故选A。【分析】对向量的坐标运算间题，先将未知向量用已知向量表示出来，再代入已知向量的坐标，即可求出来知向量的坐标，是基础题. www.21-cn-jy.com
2、(2015·陕西）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（?? ）
A、B、C、D、

【答案】B
【考点】向量的模，向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】因为所以选项A正确，当与方向相反时，,不成立，所以选项B错误;向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确所以选项D正确.故选B.【分析】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“不”，否则很容易出现错误． 【来源：21·世纪·教育·网】
3、（2012?重庆）设x，y∈R，向量 =（x，1）， =（1，y）， =（2，﹣4）且 ⊥ ， ∥ ，则| + |=（?? ） 21*cnjy*com
A、B、C、2 D、10
【答案】B
【考点】向量的模，平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积判断两个平面向量的垂直关系 21教育名师原创作品
【解析】【解答】解：∵向量 =（x，1）， =（1，y）， =（2，﹣4）且 ⊥ ， ∥ ，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0， 解得 x=2，y=﹣2，故 =（3，﹣1 ）．故有| |= = ，故选B．【分析】由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出 x=2，y=﹣2，以及 的坐标，从而求得| |的值．
4、（2013?辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量 同方向的单位向量为（? ） 21*cnjy*com
A、B、C、D、

【答案】A
【考点】单位向量，平行向量与共线向量
【解析】【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴ =（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），| |= =5，则与向量 同方向的单位向量为 = ，故选A．【分析】由条件求得 =（3，﹣4），| |=5，再根据与向量 同方向的单位向量为 ?求得结果． 21·世纪*教育网
5、（2014?浙江）记max{x，y}= ，min{x，y}= ，设 ， 为平面向量，则（??? ）
A、min{| + |，| ﹣ |}≤min{| |，| |}B、min{| + |，| ﹣ |}≥min{| |，| |}C、max{| + |2 ， | ﹣ |2}≤| |2+| |2D、max{| + |2 ， | ﹣ |2}≥| |2+| |2
【答案】D
【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义
【解析】【解答】解：对于选项A，取 ⊥ ，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立； 对于选项B，取 ， 是非零的相等向量，则不等式左边min{| + |，| ﹣ |}=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取 ， 是非零的相等向量，则不等式左边max{| + |2 ， | ﹣ |2}=| + |2=4 ，而不等式右边=| |2+| |2=2 ，故C不成立，D选项正确．故选：D．【分析】将 ， 平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知， + 和 ﹣ 分别表示以 ， 为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断．
6、（2017?北京卷）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ? ＜0”的（　　）
A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量数乘的运算及其几何意义，平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】【解答】解： ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 ? ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ? ＜0，而 =λ 不成立．∴ ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 ? ＜0”的充分不必要条件．故选：A．【分析】 ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 ? ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 ? ＜0，而 =λ 不成立．即可判断出结论．
二、填空题
7、?（2015天津）在等腰梯形中，已知,动点和分别在线段和上，且则的最小值为________ 。

【答案】
【考点】向量的几何表示，向量在几何中的应用
【解析】【解答】因为当且仅当即时的最小值为【分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式，运用向量的几何运算求,体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算，体现了数字定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力，是思维能力与计算能力的综合体现。

8、（2015·湖北）已知向量AB，，则________? .

【答案】9
【考点】向量的模，数量积判断两个平面向量的垂直关系，二阶矩阵与平面向量的乘法
【解析】【解答】因为，，所以.【点评】平面向量是新教材新增内容，而且由于向量的双重“身份”是研究一些数学问题的工具.这类问题难度不大，以考查基础知识为主.
9、（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
【答案】
【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义，数量积的坐标表达式，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图所示， △ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2 ，∴ = + = + = + （ ﹣ ）= + ，又 =λ ﹣ （λ∈R），∴ =（ + ）?（λ ﹣ ）=（ λ﹣ ） ? ﹣ + λ =（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，∴ λ=1，解得λ= ．故答案为： ．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值．
三、解答题
10、（2017?浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________． 21·cn·jy·com
【答案】4；
【考点】函数的最值及其几何意义，向量的模，余弦定理，三角函数的最值
【解析】【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |= ，| ﹣ |= ，令x= ，y= ，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=﹣x+z，则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍，所以zmax= × = ．综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ．故答案为：4、 ． 【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |= 、| ﹣ |= ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017广东佛山禅城实验高中期中）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，则 =（?? ）
A、B、C、D、
【答案】A
【考点】向量的三角形法则
【解析】【解答】解：∵ ， ∴ = = = ．故选：A．【分析】利用平行四边形的性质、向量的运算性质即可得出． 2-1-c-n-j-y
2、（2017广东佛山禅城实验高中期中）已知 =（3，1），向量 =（﹣4，﹣3），则向量 =（?? ） 2·1·c·n·j·y
A、（﹣7，﹣4）B、（7，4）C、（﹣1，4）D、（1，4）
【答案】A
【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义
【解析】【解答】解： =（3，1），向量 =（﹣4，﹣3）， 则向量 = ﹣ =（﹣4，﹣3）﹣（3，1）=（﹣7，﹣4），故选：A【分析】根据向量的加减的坐标运算即可求出． 【版权所有：21教育】
（2017广东潮州潮安颜锡祺中学期中）如图 ， 为互相垂直的单位向量，向量 可表示为（?? ）

A、2 B、3 C、2 D、3
【答案】C
【考点】向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】解：观察图形知： ， = ， ， ∴ =（ ）+（ ）+（ ）= ．故选C． 【分析】观察图形知： ， = ， ，由此能求出 ．

4、如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中=λ+μ， 下列判断正确的是（　　）
A、满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B、满足λ+μ=1的点P有且只有一个C、λ+μ的最大值为3D、λ+μ的最小值不存在

【答案】C
【考点】向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=λ+μ=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A错误；当λ=1，μ=0时，=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=， μ=时，=（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选C【分析】建立坐标系可得=λ+μ=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．

5、在直角梯形中，， ， ,， 点在线段?上，若， 则的取值范围是（????）
A、B、C、D、

【答案】C
【考点】向量的加法及其几何意义，向量的共线定理
【解析】【解答】由题意可求得。所以。因为点在线段?上，所以。由向量加法的三角形法则可得,又因为,所以。所以。因为， 所以。故C正确。 21cnjy.com

6、在直角中,,P为AB边上的点,若,则的取值范围是(????? )
A、B、C、D、

【答案】B
【考点】向量的加法及其几何意义，平面向量数量积的性质及其运算律，三角形中的几何计算 21世纪教育网版权所有
【解析】【分析】根据向量的加法可得,?,又因为,所以,因为,即该三角形为等腰直角三角形,所以根据内积的定义可得,,则,故选B
7、如图，在△OAB中，点P在边AB上，且AP：PB=3：2．则=（　　）
A、+B、+C、-D、-
【答案】B
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】【解答】∵AP：PB=3：2，∴又∴=+故选：B．【分析】AP：PB=3：2，可得代入化简计算即可得出。
8、已知向量=（1，1），=（3，m），∥（+），则m=（　　）
A、2B、-2C、-3D、3
【答案】D
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】因为向量=（1，1），=（3，m），所以+=（4，1+m）；又∥（+），所以1×（1+m）﹣1×4=0，解得m=3．故选D．【分析】由题意求出∥（+），通过共线，列出关系式，求出m的值．

9、在平行四边形中，与交于点是线段OD的中点，的延长线与交于点． 若， ， 则（??）
A、B、C、D、

【答案】C
【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量的共线定理
【解析】【解答】， 因为是的中点,,所以，==?，＝,故选C.
10、如图，在△OAB中，点P在边AB上，且AP：PB=3：2．则=（　　）
A、+B、+C、-D、-
【答案】B
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】【解答】解：∵AP：PB=3：2，∴又， ∴=+故选：B．【分析】AP：PB=3：2，可得， ， 代入， 化简计算即可得出．
11、设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（　　）
A、=-B、C、=2D、
【答案】A
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】由则向量、共线且方向相反，因此当向量、共线且方向相反时，能使成立．对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反；C项中向量、的方向相同；D项中向量、的方向互相垂直．只有A项能确定向量、共线且方向相反．故选：A【分析】根据向量共线定理，可得若成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案． www-2-1-cnjy-com

12、（2017四川名校联考一模）在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，3），O为坐标原点，且 =α +β （α+β=1），N（1，0），则| |的最小值为（?? ）
A、B、C、D、

【答案】B
【考点】向量的模，平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：∵ =α +β （α+β=1）， ∴A，B，M共线，∵A（﹣2，0），B（1，3），∴直线AB的方程为x﹣y+2=0，∵N（1，0），设点N到直线的距离为d，∴d= = ∴| |的N的最小值为N到直线AB的距离 ，故选：B． 【分析】由题意知A，B，M共线，先求出直线AB的方程，再根据点到直线的距离公式，点N到直线的距离为d，即为| |的最小值．
（2017江西赣州七校联考模拟2）如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么 =（?? ）

A、B、C、D、
【答案】D
【考点】向量数乘的运算及其几何意义
【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∵ ，∴ ．故选D．【分析】利用向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，结合正方体进行求解．
14、（2017押题预测卷新课标Ⅲ卷）设单位向量 ， 的夹角为锐角，若对于任意的 ，都有 ，则 的最小值为（? ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、B、C、D、?
【答案】C
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】设a,b的夹角为 ，则 ，由 得， ，又设 ，则 ，代入 ，得 ，所以 ，即 ，整理得 ，所以 ，解得 ，于是 ，经检验，此时 符合要求，故 的最小值为 .故选C.【分析】本题主要考查平行向量数量积的概念及性质，难点是处理“二次双变量型”的最值问题的常用方法之判别式法，意在考查逻辑思维能力和基本计算能力，是中档题．
二、填空题
15、（2016江苏盐城亭湖南洋中学期中）若 =（2，8）， =（﹣7，2），则 =________．
【答案】（﹣9，﹣6）
【考点】向量的减法及其几何意义
【解析】【解答】解： =（2，8）， =（﹣7，2）， 则 = ﹣ =（﹣7，2）﹣（2，8）=（﹣9，﹣6）．故答案为：（﹣9，﹣6）．【分析】直接利用向量的坐标运算法则，求解即可． 21教育网

16、（2017新疆生产建设兵团二中期末）已知向量 ， ， ，满足 + + =0，且| |=| |=| |=1，则| |=________．

【答案】
【考点】向量的三角形法则
【解析】【解答】解：∵ + + = ， ∴ + =﹣ ，∵| |=| |=| |=1，∴两边平方，整理可得 ? =﹣ 由向量的数量积的定义可得，∠P1OP2=120°∴| |= = 故答案为 ．【分析】先证明 ? =﹣ ，由向量的数量积的定义可得，∠P1OP2=120°，即可得出结论．
17、（2017河南郑州外国语学校测试）平面向量 ， ， 两两所成角相等，且| |=1，| |=2，| |=3，则| + + |为________．
【答案】或6
【考点】向量的三角形法则
【解析】【解答】解：∵平面向量 ， ， 两两所成角相等， ∴两两所成角为0°或120°．∵| |=1，| |=2，| |=3，当所成角为120°时，∴ =1×2×cos120°=﹣1，=﹣ ，=﹣3，则| + + |= = = ．同理可得：当所成角为0°时，则| + + |=1+2+3=6．故答案为： 或6．【分析】由平面向量 ， ， 两两所成角相等，可得两两所成角为0°或120°．再利用数量积运算性质即可得出． 【出处：21教育名师】

18、（2017江苏南通第二次调研测试）如图，在平面四边形 中， 为 的中点，且OA=3，OC=5．若 ，则 的值是________


【答案】9
【考点】向量加减混合运算及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义
【解析】【解答】由O是BD的中点可得 ,∴ 可得 计算 = 结合 可得 =52-32-7=9【分析】根据向量的加法法则将 ， 用 代替，即可算出 的值。