2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
4.2平面向量基本定理及坐标表示
考纲剖析
1．了解平面向量的基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
知识回顾
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a
， 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝ .
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b? .
精讲方法
一、平面向量的基本定理及坐标表示
（一）平面向量基本定理及其应用
1、以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同；2·1·c·n·j·y
2、对于两个向量，，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的关系，来反映与的关系；21·世纪*教育网
3、利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算。www-2-1-cnjy-com
注：由于基底向量不共线，所以不能作为一个基底向量。
（二）平面向量的坐标运算
1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用；【来源：21·世纪·教育·网】
2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；
3、利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数；2-1-c-n-j-y
4、向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。
（三）平面向量共线的坐标表示
1、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件；
2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题。
（四）向量与其他知识的综合
对于信息处理题应注意以下几点：
①认真领会题中所给信息（注意概念的内涵与外延）；
②将所得到的信息，应用于题目中去，即解决实际问题（当然注意条件与结论，往往是三段论推理）。
真题精析
一、单选题
1、（2015·新课标I）设D为所在平面内一点，则（??）
A、 B、 C、 D、
2、（2015福建）设,若则实数k的值等于（?????）
A、- B、- C、 D、
3、（2016?全国）已知向量 ，且 ，则m=(? )
A、－8 B、－6 C、6 D、8
4、（2013?重庆）在平面上， ⊥ ，| |=| |=1， = + ．若| |＜ ，则| |的取值范围是（?? ） www.21-cn-jy.com
A、（0， ] B、（ ， ] C、（ ， ] D、（ ， ]
5、2014?福建）在下列向量组中，可以把向量 =（3，2）表示出来的是（?? ）
A、=（0，0）， =（1，2） B、=（﹣1，2）， =（5，﹣2） C、=（3，5）， =（6，10） D、=（2，﹣3）， =（﹣2，3） 21*cnjy*com
6、（2014?重庆）已知向量 =（k，3）， =（1，4）， =（2，1）且（2 ﹣3 ）⊥ ，则实数k=（?? ） 【出处：21教育名师】
A、﹣ B、0 C、3 D、
二、填空题
7、（2015新课标II）设向量,不平行，向量++2平行，则实数=?________
9、（2013?北京）向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若 （λ，μ∈R），则 =________． 21教育名师原创作品
10、（2013?江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD= AB，BE= BC，若 =λ1 +λ2 （λ1 ， λ2为实数），则λ1+λ2的值为________．
11、（2014?陕西）设0＜θ＜ ，向量 =（sin2θ，cosθ）， =（cosθ，1），若 ∥ ，则tanθ=________． 21世纪教育网版权所有
12、（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n （m，n∈R），则m+n=________．
13、（2017·山东）已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若 ，则λ=________．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017四川名校联考一模）在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，3），O为坐标原点，且 =α +β （α+β=1），N（1，0），则| |的最小值为（?? ） 21·cn·jy·com
A、 B、 C、 D、
（2017福建泉州适应性）如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若 ，则x+y的取值范围是（?? ）【版权所有：21教育】
A、[﹣4，4] B、 C、[﹣5，5] D、[﹣6，6]
（2017河南洛阳三模）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若 ，则λ+μ的值为（ ??） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、 B、 C、1 D、﹣1
4、（2017河南信阳息县一中三模）已知向量 ，向量 如图表示，则（?? ）
A、?λ＞0，使得 B、?λ＞0，使得＜ ， ＞=60° C、?λ＜0，使得＜ ， ＞=30° D、?λ＞0，使得 为不为0的常数）
5、（2017黑龙江哈尔滨六中二模）已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且 的最大值是（?? ）
A、 B、 C、 D、
6、（2017福建泉州二模）已知直线PA，PB分别与半径为1的圆O相切于点A，B，PO=2， ．若点M在圆O的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是（?? ） 21*cnjy*com
A、（﹣1，1） B、 C、 D、（0，1）
7、（2017山东济宁二模）在△ABC中，点M为边BC上任意一点，点N为AM的中点，若 =λ +μ （λ，μ∈R），则λ+μ的值为（?? ）
A、 B、 C、 D、
8、（2017辽宁鞍山一中考前最后一卷）已知△ABC的外心P满足 ，则cosA=（?? ） 21教育网
A、 B、 C、 D、
9、（2017辽宁沈阳东北育才学校模拟）平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（1，1）、（﹣3，3）．若动点P满足 ，其中λ、μ∈R，且λ+μ=1，则点P的轨迹方程为（?? ）
A、x﹣y=0 B、x+y=0 C、x+2y﹣3=0 D、（x+1）2+（y﹣2）2=5
填空题
10、（2017江苏南通全真模拟）将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星．如图所示的正六角星的中心为点O，其中x，y分别为点O到两个顶点的向量．若将点O到正六角星12个顶点的向量都写成ax+by的形式，则a+b的最大值为________．
11、（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）设向量 ，且 ，则 =________．
12、（2017贵州铜仁四中模拟）在△ABC中，∠A= ，O为平面内一点．且| |，M为劣弧 上一动点，且 ．则p+q的取值范围为________． 21cnjy.com
13、（2017河北邢台二中二模）已知 R），若 ，则 =________．
14、（2017湖北襄阳四中五模）已知| |=1，| |=m，∠AOB= π，点C在∠AOB内且 =0，若 （λ≠0），则m=________．
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
4.2平面向量基本定理及坐标表示（答案）
知识回顾
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.21世纪教育网版权所有
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
真题精析
一、单选题
1、（2015·新课标I）设D为所在平面内一点，则（??）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】由题知：，故选A。 【分析】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量标示为，再用已知条件和向量减法将用，表示出来。 【来源：21cnj*y.co*m】
2、（2015福建）设,若则实数k的值等于（?????）
A、- B、- C、 D、
【答案】A
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】由已知得，因为,则，因此k+1+k+2=0，解得k=-，故选A.【分析】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算以及平面向量基本定理，由已知,的坐标计算的坐标，再利用已知条件列方程求参数的值；本题还可以先利用向量运算，即,，再引入坐标运算，属于中档题．
3、（2016?全国）已知向量 ，且 ，则m=(? )
A、－8 B、－6 C、6 D、8
【答案】D
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】 ， ∵ ，∴ 解得 ， 故选D 【分析】求出向量 + 的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案
4、（2013?重庆）在平面上， ⊥ ，| |=| |=1， = + ．若| |＜ ，则| |的取值范围是（?? ） 21*cnjy*com
A、（0， ] B、（ ， ] C、（ ， ] D、（ ， ]
【答案】D
【考点】平面向量的基本定理及其意义，向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：根据条件知A，B1 ， P，B2构成一个矩形AB1PB2 ， 以AB1 ， AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b）， 由| |=| |=1，得 ，则 ∵| |＜ ，∴ ∴ ∴ ∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1， ∴y2≤1 同理x2≤1 ∴x2+y2≤2② 由①②知 ， ∵| |= ，∴ ＜| |≤ 故选D． 【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论． 21教育名师原创作品
5、2014?福建）在下列向量组中，可以把向量 =（3，2）表示出来的是（?? ）
A、=（0，0）， =（1，2） B、=（﹣1，2）， =（5，﹣2） C、=（3，5）， =（6，10） D、=（2，﹣3）， =（﹣2，3） 【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】B
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：根据 ， 选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能； 选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能． 选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能． 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能． 故选：B． 【分析】根据向量的坐标运算， ，计算判别即可．
6、（2014?重庆）已知向量 =（k，3）， =（1，4）， =（2，1）且（2 ﹣3 ）⊥ ，则实数k=（?? ） 21*cnjy*com
A、﹣ B、0 C、3 D、
【答案】C
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：∵ =（k，3）， =（1，4）， =（2，1） ∴2 ﹣3 =（2k﹣3，﹣6）， ∵（2 ﹣3 ）⊥ ， ∴（2 ﹣3 ）? =0' ∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0， 解得，k=3． 故选：C． 【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．
二、填空题
7、（2015新课标II）设向量,不平行，向量++2平行，则实数=?________
【答案】
【考点】向量的共线定理，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为向量+与+2平行，所以+=k（+2），则,所以= 【分析】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题。
8、（2016?全国）已知向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ，则m=________．
【答案】-6
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ， 可得12=﹣2m，解得m=﹣6． 故答案为：﹣6． 【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．；本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力． 21·世纪*教育网
9、（2013?北京）向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若 （λ，μ∈R），则 =________． 2-1-c-n-j-y
【答案】4
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：以向量 、 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得 =（﹣1，1）， =（6，2）， =（﹣1，﹣3） ∵ ∴ ，解之得λ=﹣2且μ=﹣ 因此， = =4 故答案为：4 【分析】以向量 、 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量 、 、 的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣ ，即可得到 的值．
10、（2013?江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD= AB，BE= BC，若 =λ1 +λ2 （λ1 ， λ2为实数），则λ1+λ2的值为________．
【答案】
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：由题意结合向量的运算可得 = = = 又由题意可知若 =λ1 +λ2 ， 故可得λ1= ，λ2= ，所以λ1+λ2= 故答案为： 【分析】由题意和向量的运算可得 = ，结合 =λ1 +λ2 ，可得λ1 ， λ2的值，求和即可． 2·1·c·n·j·y
11、（2014?陕西）设0＜θ＜ ，向量 =（sin2θ，cosθ）， =（cosθ，1），若 ∥ ，则tanθ=________．
【答案】
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ ∥ ，向量 =（sin2θ，cosθ）， =（cosθ，1）， ∴sin2θ﹣cos2θ=0， ∴2sinθcosθ=cos2θ， ∵0＜θ＜ ，∴cosθ≠0． ∴2tanθ=1， ∴tanθ= ． 故答案为： ． 【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
12、（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n （m，n∈R），则m+n=________．
【答案】3
【考点】平面向量的基本定理及其意义，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）． 由 与 的夹角为α，且tanα=7． ∴cosα= ，sinα= ． ∴C ． cos（α+45°）= （cosα﹣sinα）= ． sin（α+45°）= （sinα+cosα）= ． ∴B ． ∵ =m +n （m，n∈R）， ∴ =m﹣ n， =0+ n， 解得n= ，m= ． 则m+n=3． 故答案为：3． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由 与 的夹角为α，且tanα=7．可得cosα= ，sinα= ．C ．可得cos（α+45°）= ．sin（α+45°）= ．B ．利用 =m +n （m，n∈R），即可得出．
13、（2017·山东）已知向量 =（2，6）， =（﹣1，λ），若 ，则λ=________．
【答案】﹣3
【考点】平行向量与共线向量，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：∵ ，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3． 故答案为：﹣3． 【分析】利用向量共线定理即可得出．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017四川名校联考一模）在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，3），O为坐标原点，且 =α +β （α+β=1），N（1，0），则| |的最小值为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【考点】向量的模，平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：∵ =α +β （α+β=1）， ∴A，B，M共线， ∵A（﹣2，0），B（1，3）， ∴直线AB的方程为x﹣y+2=0， ∵N（1，0），设点N到直线的距离为d， ∴d= = ∴| |的N的最小值为N到直线AB的距离 ， 故选：B． 【分析】由题意知A，B，M共线，先求出直线AB的方程，再根据点到直线的距离公式，点N到直线的距离为d，即为| |的最小值． www-2-1-cnjy-com
（2017福建泉州适应性）如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若 ，则x+y的取值范围是（?? ）
A、[﹣4，4] B、 C、[﹣5，5] D、[﹣6，6]
【答案】C
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：设 = ﹐ = ﹐求x+y的最大值﹐只需考虑右图中6个顶点的向量即可， 讨论如下﹔（1）∵ = ﹐∴（x，y）=（1，0）；（2）∵ = + = +3 ﹐∴（x，y）=（3，1）；（3）∵ = + = +2 ﹐∴（x，y）=（2，1）； （4）∵ = + + = + +（ +2 ）=3 +3 ，∴（x，y）=（3，2）； （5）∵ = + = + ﹐∴（x，y）=（1，1）； （6）∵ = ﹐∴（x，y）=（0，1） ∴x+y的最大值为3+2=5﹒ 根据其对称性，可知x+y的最小值为﹣5﹒ 故x+y的取值范围是[﹣5，5]， 故选：C． 【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求x+y的最大值时﹐只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．根据其对称性，可知x+y的最小值
（2017河南洛阳三模）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若 ，则λ+μ的值为（ ??）
A、 B、 C、1 D、﹣1
【答案】A
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：∵ = + = + = + ， = + = ﹣ ， ∴ = + ， = ﹣ ∴ = + = + = + + ﹣ = + ， ∵ ， ∴λ= ，μ= ， ∴λ+μ= ， 故选：A 【分析】根据向量的平行四边形法则和三角形法则和向量的数乘运算即可求出
4、（2017河南信阳息县一中三模）已知向量 ，向量 如图表示，则（?? ）
A、?λ＞0，使得 B、?λ＞0，使得＜ ， ＞=60° C、?λ＜0，使得＜ ， ＞=30° D、?λ＞0，使得 为不为0的常数）
【答案】D
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：向量 ，向由图可得 =（5，5）﹣（1，2）=（4，3）． 对于A，若 ，则（1，λ）?（4，3）=0，解得 ，故错； 对于B，若＜ ， ＞=60°，则 ，得11λ2+96λ+39=0，方程无解，故错； 对于C，若＜ ， ＞=30°，则 ，得39λ2﹣96λ+11=0，方程无解，故错； 对于D，若 为不为0的常数），则（1，λ）=c（4，3），解得λ= ，故正确； 故选：D 【分析】由题意可得向量 ，向由图可得 =（5，5）﹣（1，2）=（4，3）．再对选项逐一判定即可． 21·cn·jy·com
5、（2017黑龙江哈尔滨六中二模）已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且 的最大值是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则△ABC外接圆的方程为x2+y2=2.52 ， 设P的坐标为（ cosθ， sinθ）， 过点B作BD垂直x轴， ∵sinA= ，AB=3 ∴BD=ABsinA= ，AD=AB?cosA= ×3= ， ∴OD=AO﹣AD=2.5﹣ = ， ∴B（﹣ ， ）， ∵A（﹣ ，0），C（ ，0） ∴ =（ ， ）， =（5，0）， =（ cosθ+ ， sinθ） ∵ =x +y ∴（ cosθ+ ， sinθ）=x（ ， ）+y（5，0）=（ x+5y， x） ∴ cosθ+ = x+5y， sinθ= x， ∴y= cosθ﹣ sinθ+ ，x= sinθ， ∴x+y= cosθ+ sinθ+ = sin（θ+φ）+ ，其中sinφ= ，cosφ= ， 当sin（θ+φ）=1时，x+y有最大值，最大值为 + = ， 故选：B 【分析】以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设P的坐标为（ cosθ， sinθ），求出点B的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到x+y= sin（θ+φ）+ ，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案 【版权所有：21教育】
6、（2017福建泉州二模）已知直线PA，PB分别与半径为1的圆O相切于点A，B，PO=2， ．若点M在圆O的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是（?? ）
A、（﹣1，1） B、 C、 D、（0，1）
【答案】B
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解法一：如图，在线段PA的延长线上取点Q，使得PA=AQ，连接OQ，交圆于C， 由圆的半径为1，PO=2可得∠BOP=∠AOP=∠AOQ=60°，PB= ，故B，O，Q三点共线，且BQ=3 因为2 = ，∴ =λ +（1﹣λ） ．? ． 由点M在圆O的内部（不包括边界），∴0＜ 故选：B 解法二：以O为原点， 的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则P（2，0） A（ ），B（ ，﹣ ），设M（x0 ， y0）， 由 ．得 ，y0= ， ∵M（x0 ， y0）在圆O的内部（不包括边界），∴ ， 整理得﹣1＜3λ﹣1＜1，解得0＜ 故选：B 【分析】解法一，在线段PA的延长线上取点Q，使得PA=AQ，连接OQ，交圆于C，可得∠BOP=∠AOP=∠AOQ=60°，PB= ，故B，O，Q三点共线，且BQ=3，2 = ，? ．由点M在圆O的内部（不包括边界），∴0＜ 解法二：以O为原点， 的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则P（2，0） A（ ），B（ ，﹣ ），设M（x0 ， y0），得 ，y0= ， 得 ，解得0＜ www.21-cn-jy.com
7、（2017山东济宁二模）在△ABC中，点M为边BC上任意一点，点N为AM的中点，若 =λ +μ （λ，μ∈R），则λ+μ的值为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：设 =t ， 则 = = （ + ）= + ， = + ×t = + （ ﹣ ）， =（ ﹣ ） + ， ∴λ= ﹣ ，μ= ， ∴λ+μ= ， 故选：A． 【分析】设 =t ，将向量 用向量 、 表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．
8、（2017辽宁鞍山一中考前最后一卷）已知△ABC的外心P满足 ，则cosA=（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：∵△ABC的外心P满足 ， ∴ ， ， ∵ ∴ ， ?b=c?cosA= ． 故选：A 【分析】由 ，得 ， 即 ， ?b=c?cosA= ．
9、（2017辽宁沈阳东北育才学校模拟）平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（1，1）、（﹣3，3）．若动点P满足 ，其中λ、μ∈R，且λ+μ=1，则点P的轨迹方程为（?? ）
A、x﹣y=0 B、x+y=0 C、x+2y﹣3=0 D、（x+1）2+（y﹣2）2=5
【答案】C
【考点】平面向量的基本定理及其意义，轨迹方程
【解析】【解答】解：由 ，且λ+μ=1，得 = ， ∴ ，即 ，则P、A、B三点共线． 设P（x，y），则P在AB所在的直线上， ∵A（1，1）、B（﹣3，3）， ∴AB所在直线方程为 ，整理得：x+2y﹣3=0． 故P的轨迹方程为：x+2y﹣3=0． 故选：C． 【分析】由已知向量等式可知P在AB所在的直线上，由直线方程的两点式得答案．
二、填空题
10、（2017江苏南通全真模拟）将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星．如图所示的正六角星的中心为点O，其中x，y分别为点O到两个顶点的向量．若将点O到正六角星12个顶点的向量都写成ax+by的形式，则a+b的最大值为________．
【答案】5
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：欲求a+b的最大值﹐只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下﹔（1）∵ ═ ﹐∴（a，b）=（1，0）；（2）∵ ，所以（a，b）=（3，1）；（3）∵ ，所以（a，b）=（2，1）；（4）∵ ，所以（a，b）=（3，2）；（5）∵ ，所以（a，b）=（1，1）；（6）∵ ，所以（a，b）=（0，1）； 因此﹐a+b的最大值为3+2=5﹒ 故答案为：5﹒ 【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求a+b的最大值时﹐只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论． 21cnjy.com
11、（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）设向量 ，且 ，则 =________．
【答案】﹣5
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：∵向量 ，且 ， ∴ ，解得x=﹣1， ∴ =（﹣1，﹣2）， ∴ =﹣1﹣4=﹣5． 故答案为：﹣5． 【分析】由 ，列出方程求出x=﹣1，从而 =（﹣1，﹣2），由此能求出 ．
12、（2017贵州铜仁四中模拟）在△ABC中，∠A= ，O为平面内一点．且| |，M为劣弧 上一动点，且 ．则p+q的取值范围为________．
【答案】[1，2]
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A= ，∴∠BOC= ； 设| =r，则O为△ABC外接圆圆心； ∵ =p +q ， ∴ = =r2 ， 即p2r2+q2r2+2pqr2cos =r2 ， ∴p2+q2﹣pq=1， ∴（p+q）2=3pq+1； 又M为劣弧AC上一动点， ∴0≤p≤1，0≤q≤1， ∴p+q≥2 ， ∴pq≤ = ， ∴1≤（p+q）2≤ （p+q）2+1， 解得1≤（p+q）2≤4， ∴1≤p+q≤2； 即p+q的取值范围是[1，2]． 故答案为：[1，2]． 【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对 =p +q 两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．
13、（2017河北邢台二中二模）已知 R），若 ，则 =________．
【答案】
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：∵ ⊥ ，且| |=4，| |=5， ∴可设 =（4，0）， =（0，5）． ∴ =（4λ，5μ）． ∵ ⊥（ ）． ∴ ?（ ）=﹣16λ+25μ=0． ∴ = ． 故答案为： ． 【分析】 ⊥ ，且| |=4，| |=5，可设 =（4，0）， =（0，5）．再利用向量垂直与数量积的关系即可得出． 【出处：21教育名师】
14、（2017湖北襄阳四中五模）已知| |=1，| |=m，∠AOB= π，点C在∠AOB内且 =0，若 （λ≠0），则m=________．
【答案】
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】解：如图，过C分别作CD∥OB，CE∥OA，并分别交OA，OB于D，E，则： ， ； ∴ ， ； △OCE为等腰直角三角形； ∴ ； 即 ； ∴ ． 故答案为： ． 【分析】作CD∥OB，CE∥OA，根据向量加法的平行四边形法则即可得到 ， ，从而得到 ， ，而△OCE为等腰直角三角形，从而得到 ，这样即可求出m． 21教育网
