陕西省西安市2016-2017学年高一数学下学期期末试卷（实验班，含解析）

2016-2017学年陕西省西安实验班高一（下）期末数学试卷
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（　　）
A．第22项
B．第23项
C．第24项
D．第28项
2．不等式＞1的解集是（　　）
A．{x|x＜﹣2}
B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜1}
D．{x|x∈R}
3．△ABC中，a=，b=，sinB=，则符合条件的三角形有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
4．关于x的不用等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，1），则关于x的不等式（bx﹣a）（x+2）＞0的解集为（　　）
A．（﹣2，1）
B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）
C．（﹣2，﹣1）
D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
5．若a＞b＞c，则一定成立的不等式是（　　）
A．a|c|＞b|c|
B．ab＞ac
C．a﹣|c|＞b﹣|c|
D．
6．若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　）
A．{lgan}
B．{1+an}
C．
D．
7．如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C、D两观测点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°．在水平面上测得∠BCD=120°，C、D两地相距600m，则铁塔AB的高度是（　　）
A．120m
B．480m
C．240m
D．600m
8．已知无穷等差数列{an}中，它的前n项和Sn，且S7＞S6，S7＞S8那么（　　）
A．{an}中a7最大
B．{an}中a3或a4最大
C．当n≥8时，an＜0
D．一定有S3=S11
9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，S2m﹣1=38，则m=（　　）
A．9
B．10
C．20
D．38
　
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最大值为　
　．
12．已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，令，则数列bn的前n项和Tn=　
　．
13．设x，y∈R+且x+y=2，则+的最小值为　
　．
14．一个等比数列前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为　
　．
15．给出下列语句：
①若a，b为正实数，a≠b，则a3+b3＞a2b+ab2；
②若a，b，m为正实数，a＜b，则
③若，则a＞b；
④当x∈（0，）时，sin
x+的最小值为2，其中结论正确的是　
　．
　
三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos
A=，
=6．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=7，求a的值．
17．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占总面积为S平方米．
（Ⅰ）试用x表示S；
（Ⅱ）当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．
18．已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）．
（1若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，求a，m的值；
（2）设关于x的不等式f（x）≤0的解集是A，集合B={x|0≤x≤1}，若
A∩B= ，求实数a的取值范围．
19．已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且an+1=2an+1，n∈N
．
（1）证明数列{an+1}是等比数列并求数列{an}的通项公式；
（2）证明：．
　
2016-2017学年陕西省西安中学实验班高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（　　）
A．第22项
B．第23项
C．第24项
D．第28项
【考点】81：数列的概念及简单表示法．
【分析】先化简3=，进而利用通项即可求出答案．
【解答】解：∵3=，令45=2n﹣1，解得n=23．∴3是此数列的第23项．
故选B．
　
2．不等式＞1的解集是（　　）
A．{x|x＜﹣2}
B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜1}
D．{x|x∈R}
【考点】7E：其他不等式的解法．
【分析】移项通分变形可化原不等式为＞0，即x+2＜0，易得答案．
【解答】解：＞1可化为﹣1＞0，
整理可得＞0，即x+2＜0，
解得x＜﹣2，解集为{x|x＜﹣2}
故选：A
　
3．△ABC中，a=，b=，sinB=，则符合条件的三角形有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【分析】根据sinB的值，求得cosB的值，进而利用余弦定理建立等式求得c的值，根据c的解得个数来判断符合条件的三角形的个数．
【解答】解：∴sinB=，
∴cosB=±=±
①当cosB=时，cosB===，
∴整理可得c2﹣c+2=0，求得c=有两个解，
②当cosB=﹣时，cosB===﹣，
整理得c2+c+2=0，求得c=＜0，与c＞0矛盾．
综合可知，c=，
即这样的三角形有2个．
故选B．
　
4．关于x的不用等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，1），则关于x的不等式（bx﹣a）（x+2）＞0的解集为（　　）
A．（﹣2，1）
B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）
C．（﹣2，﹣1）
D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】根据不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，1），得出a＜0且b=﹣a＞0；再把不等式（bx﹣a）（x+2）＞0化为（x+1）（x+2）＞0，求出解集即可．
【解答】解：∵关于x的不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，1），
∴a＜0，且b=﹣a＞0；
∴关于x的不等式（bx﹣a）（x+2）＞0可化为
（x+1）（x+2）＞0，
解得x＜﹣2或x＞﹣1；
∴不等式（bx﹣a）（x+2）＞0的解集为（﹣∞﹣2）∪（﹣1+∞）．
故选：B．
　
5．若a＞b＞c，则一定成立的不等式是（　　）
A．a|c|＞b|c|
B．ab＞ac
C．a﹣|c|＞b﹣|c|
D．
【考点】71：不等关系与不等式．
【分析】利用赋值法，排除错误选项，从而确定正确答案．
【解答】解：∵a＞b＞c，
∴令a=1，b=0，c=﹣1，则A、B、D都错误，
故选C．
　
6．若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　）
A．{lgan}
B．{1+an}
C．
D．
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】求出，在A中，不一定是常数；在B中，{1+an}可能有项为0；在C中，利用等比数列的定义，可知{}的公比是原来公比的倒数；在D中，当q＜0时，数列{an}存在负项，此时无意义．
【解答】解：∵数列{an}是等比数列，∴，
在A中，
==不一定是常数，故A不一定是等比数列；
在B中，{1+an}可能有项为0，故B不一定是等比数列；
在C中，利用等比数列的定义，可知{}的公比是原来公比的倒数，故C一定是等比数列；
在D中，当q＜0时，数列{an}存在负项，此时无意义，故D不符合题意．
故选：C．
　
7．如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C、D两观测点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°．在水平面上测得∠BCD=120°，C、D两地相距600m，则铁塔AB的高度是（　　）
A．120m
B．480m
C．240m
D．600m
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】设出AB=x，则BC，BD均可用x表达，进而在△BCD中，由余弦定理和BD，BC的值列方程求得x，即AB的长．
【解答】解：设AB=x，则BC=x，BD=x，
在△BCD中，由余弦定理知cos120°==﹣，
求得x=600米，
故铁塔的高度为600米．
故选D．
　
8．已知无穷等差数列{an}中，它的前n项和Sn，且S7＞S6，S7＞S8那么（　　）
A．{an}中a7最大
B．{an}中a3或a4最大
C．当n≥8时，an＜0
D．一定有S3=S11
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】由S7＞S6，知a7＞0，由S7＞S8，知a8＜0，从而d＜0，由此得到当n≥8时，an＜0．
【解答】解：∵无穷等差数列{an}中，它的前n项和Sn，且S7＞S6，S7＞S8，
∴由S7＞S6，知a7=S7﹣S6＞0，
由S7＞S8，知a8=S8﹣S7＜0，
∴d=a8﹣a7＜0，
∴当n≥8时，an＜0．
故选：C．
　
9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
【考点】GZ：三角形的形状判断．
【分析】可利用余弦定理将cosB与cosC化为边的关系，
【解答】解法1：∵，，
∴acosB+acosC=+==
==b+c，∵b+c＞0，
∴a2﹣b2﹣c2+2bc=2bc，
∴a2=b2+c2，
故选D．
解法2：由acosB+acosC=b+c可知，∠B，∠C不可能为钝角，过点C向AB作垂线，垂足为D，则acosB=BD≤BA=c，同理acosC≤b，
∴acosB+acosC≤b+c，
又∵acosB+acosC=b+c，
∴acosB=c，acosC=b，∴∠A=90°；
故选D．
　
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，S2m﹣1=38，则m=（　　）
A．9
B．10
C．20
D．38
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列的性质可知，第m﹣1项与第m+1项的和等于第m项的2倍，代入am﹣1+am+1﹣am2=0中，即可求出第m项的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m﹣1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m的值．
【解答】解：根据等差数列的性质可得：am﹣1+am+1=2am，
则am﹣1+am+1﹣am2=am（2﹣am）=0，
解得：am=0或am=2，
又S2m﹣1==（2m﹣1）am，
若am=0，显然（2m﹣1）am=38不成立，故应有am=2
此时S2m﹣1=（2m﹣1）am=4m﹣2=38，解得m=10
故选B．
　
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最大值为　15　．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形求出目标函数z=x﹣2y过点B时取得最大值．
【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；
由解得B（3，﹣6）；
则目标函数z=x﹣2y过点B时，
z取得最大值为zmax=3﹣2×（﹣6）=15．
故答案为：15．
　
12．已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，令，则数列bn的前n项和Tn=　　．
【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．
【分析】根据所给的等差数列的三个连续奇数项，得到数列的公差，写出数列的通项，构造新数列，整理出可以应用裂项求和的形式，得到结果．
【解答】解：∵等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，
∴a3+a5+a7=33，
∴a5=11
∴d==2
∴an=2n+1，
∴
∴4
==
∴
故答案为：
　
13．设x，y∈R+且x+y=2，则+的最小值为　　．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x，y∈R+且x+y=2，
∴+===，当且仅当=时取等号．
∴+的最小值为．
故答案为：．
　
14．一个等比数列前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为　63　．
【考点】8G：等比数列的性质．
【分析】由题意可得Sn=48，S2n=60，又Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，代值计算可得．
【解答】解：由题意可得Sn=48，S2n=60，
又Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，
∴（S2n﹣Sn）2=Sn（S3n﹣S2n），
代入数据可得∴（60﹣48）2=48（S3n﹣60），
解得前3n项和S3n=63
故答案为：63
　
15．给出下列语句：
①若a，b为正实数，a≠b，则a3+b3＞a2b+ab2；
②若a，b，m为正实数，a＜b，则
③若，则a＞b；
④当x∈（0，）时，sin
x+的最小值为2，其中结论正确的是　①③　．
【考点】R3：不等式的基本性质．
【分析】①，若a，b∈R+，a≠b，∵a3+b3﹣（a2b+ab2）=（a﹣b）2（a+b）＞0；
②，若a，b，m∈R+，a＜b，作差判断即可；
③不等式中c≠0，不等式的两边同乘以c2，判断结论即可；
④，当x∈（0，）时，sinx∈（0.1），结合不等式的性质判断即可．
【解答】解：对于①，若a，b∈R+，a≠b，
∵a3+b3﹣（a2b+ab2）=（a﹣b）2（a+b）＞0，
故a3+b3＞a2b+ab2正确；
对于②，若a，b，m∈R+，a＜b，
则﹣=＞0，
则＞故错；
对于③，若，则a＞b，故正确；
对于④，当x∈（0，）时，
若sin
x+的最小值为2，
则sinx=，显然不成立，故错误，
故答案为：①③．
　
三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos
A=，
=6．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=7，求a的值．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）先求出sin
A=，再由 =|| || cos
A=bc=6，求出bc=10，由此能求出△ABC的面积．
（2）由bc=10，b+c=7，利用余弦定理能求出a的值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos
A=，
∴A∈（0，π），sin
A==，
∵ =|| || cos
A=bc=6，
∴bc=10，
∴△ABC的面积为：
bcsin
A=×10×=4．
（2）由（1）知bc=10，
b+c=7，
∴a====．
　
17．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占总面积为S平方米．
（Ⅰ）试用x表示S；
（Ⅱ）当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．
【考点】5D：函数模型的选择与应用．
【分析】（1）由已知该项目占地为1800平方米的矩形地块，我们可得xy=1800，结合图形及x=3a+6，由此我们易将池塘所占面积S表示为变量x的函数．
（2）要求S的最大值，根据xy=1800，直接使用基本不等式，即可求最大值．
【解答】解：（1）由题可得：xy=1800，则x=a+2a+6=3a+6，即a=
∴S=（y﹣4）a+（y﹣6）×2a=（3y﹣16）a=1832﹣6x﹣y=1832﹣（16x+）（x＞0）．
（2）∵16x+≥1440，当且仅当16x=，即x=45m时，取等号，
∴x=45m时，S取得最大值1352，此时y=40．
　
18．已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）．
（1若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，求a，m的值；
（2）设关于x的不等式f（x）≤0的解集是A，集合B={x|0≤x≤1}，若
A∩B= ，求实数a的取值范围．
【考点】3W：二次函数的性质．
【分析】（1）应用一元二次不等式和方程的关系结合根与系数的关系得到关于a，m的方程组，求出a，m的值即可；
（2）问题转化为a+1＜x+对于x∈（0，1]恒成立（当x=0时，1＞0恒成立）；求出a的范围即可．
【解答】解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，
∴对应方程x2﹣（m+1）x+1=0的两个实数根为m、2，
由根与系数的关系，得，解得a=，m=；
（2）∵关于x的不等式f（x）≤0的解集是
A，
集合B={x|0≤x≤1}，当
A∩B=φ时，即不等式f（x）＞0对x∈B恒成立；
即x∈时，x2﹣（a+1）x+1＞0恒成立，
∴a+1＜x+对于x∈（0，1]恒成立（当x=0时，1＞0恒成立）；
∵当x∈（0，1]时，
∴a+1＜2，即a＜1，∴实数a的取值范围是{a|a＜1}．
　
19．已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且an+1=2an+1，n∈N
．
（1）证明数列{an+1}是等比数列并求数列{an}的通项公式；
（2）证明：．
【考点】8K：数列与不等式的综合；88：等比数列的通项公式．
【分析】（1）由an+1=2an+1，得an+1+1=2（an+1），由a1=1，得a1+1=2，由此能证明数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，利用放缩法和等比数列前n项和公式能证明．
【解答】解：（1）∵an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
又a1=1，a1+1=2，
=2，
∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an+1=2n，∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1，
证明：（2）∵，
∴，
∴．