陕西省2016-2017学年高二数学下学期期末试卷文（含解析）

2016-2017学年陕西省高二（下）期末数学试卷（文科）
　
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（1+i）（2+i）=（　　）
A．1﹣i
B．1+3i
C．3+i
D．3+3i
3．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（　　）
A．
B．
C．π
D．2π
4．如图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出的y的值是（　　）
A．﹣6
B．﹣2
C．2
D．6
5．已知命题p： x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（　　）
A．p∧q
B．p∧￢q
C．￢p∧q
D．￢p∧￢q
6．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，3，…，8），其回归方程为y=x+a，且x1+x2+x3+…+x8=6，y1+y2+y3+…+y8=9，则实数a的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
7．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
8．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．函数y=的部分图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（　　）
A．f（x）=2﹣x
B．f（x）=x2
C．f（x）=3﹣x
D．f（x）=cosx
　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11．已知，tan
α=2，则cosα=　
　．
12．曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为　
　．
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=　
　．
14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈时，f（x）=6﹣x，则f（一）必考题：5小题，共54分
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，
=﹣6，S△ABC=3，求A和a．
16．已知函数f（x）=，
①若f（a）=14，求a的值
②在平面直角坐标系中，作出函数y=f（x）的草图．（需标注函数图象与坐标轴交点处所表示的实数）
17．某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．
（1）根据以上信息填好下列2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？
是否优良班级
优良（人数）
非优良（人数）
合计
甲
乙
合计
（2）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选2人来作书面发言，求2人都来自甲班的概率．
下面的临界值表供参考：
P（x2 k）
0.10
0.05
0.010
k
2.706
3.841
6.635
（以下临界值及公式仅供参考，n=a+b+c+d）
18．已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F，F，左右顶点分别为A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4
（1）求椭圆的方程；
（2）过F1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF2N的面积为，求直线l的方程．
19．已知函数
f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．
（1）讨论
f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
　
（二）选考题：共10分。请考生在第20、21题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
20．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求|AB|．
　
21．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
　
2016-2017学年陕西省西北大学附中高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．
【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，
∴A∩B={2，4}，
∴A∩B中元素的个数为2．
故选：B．
　
2．（1+i）（2+i）=（　　）
A．1﹣i
B．1+3i
C．3+i
D．3+3i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．
故选：B．
　
3．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（　　）
A．
B．
C．π
D．2π
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期．
【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
∵ω=2，
∴T=π，
故选：C
　
4．如图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出的y的值是（　　）
A．﹣6
B．﹣2
C．2
D．6
【考点】EF：程序框图．
【分析】直接模拟程序的运行即得结论．
【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，
所以y=2+log2=2﹣log224=﹣2，
故选：B．
　
5．已知命题p： x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（　　）
A．p∧q
B．p∧￢q
C．￢p∧q
D．￢p∧￢q
【考点】2K：命题的真假判断与应用；2E：复合命题的真假．
【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．
【解答】解：命题p： x=0∈R，使x2﹣x+1≥0成立．
故命题p为真命题；
当a=1，b=﹣2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，
故命题q为假命题，
故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；
命题p∧￢q为真命题，
故选：B．
　
6．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，3，…，8），其回归方程为y=x+a，且x1+x2+x3+…+x8=6，y1+y2+y3+…+y8=9，则实数a的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：∵x1+x2+x3+…+x8=6，（y1+y2+y3+…+y8）=9，
∴=，
=，∴样本中心点的坐标为（，），
代入回归直线方程得，
=×+a，∴a=1．
故选：D．
　
7．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小．
【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，
∴a=﹣f（）=f（log25），
b=f（log24.1），
c=f（20.8），
又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，
∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），
即c＜b＜a．
故选：C．
　
8．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．
【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），
PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，
则P（2，3），
∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，
∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，
同理当y＜0时，则△APF的面积S=，
故选D．
　
9．函数y=的部分图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．
【解答】解：函数y=，
可知函数是奇函数，排除选项B，
当x=时，f（）==，排除A，
x=π时，f（π）=0，排除D．
故选：C．
　
10．若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（　　）
A．f（x）=2﹣x
B．f（x）=x2
C．f（x）=3﹣x
D．f（x）=cosx
【考点】3F：函数单调性的性质．
【分析】根据已知中函数f（x）具有M性质的定义，可得f（x）=2﹣x时，满足定义．
【解答】解：当f（x）=2﹣x时，函数exf（x）=（）x在R上单调递增，函数f（x）具有M性质，
故选：A
　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11．已知，tan
α=2，则cosα=　　．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值．
【解答】解：∵已知，∴sinα＞0，cosα＞0，
∵tan
α=2=，sin2α+cos2α=1，则cosα=，
故答案为：．
　
12．曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为　x﹣y+1=0　．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．
【解答】解：曲线y=x2+，可得y′=2x﹣，
切线的斜率为：k=2﹣1=1．
切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．
故答案为：x﹣y+1=0．
　
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=　　．
【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可
【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，
2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB=，
∵0＜B＜π，
∴B=，
故答案为：
　
14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈时，f（x）=6﹣x，则f=f（x），函数的周期性可知：f（x）周期为6，则f=f（1），由f（x）为偶函数，则f（1）=f（﹣1），即可求得答案．
【解答】解：由f（x+4）=f（x﹣2）．则f（x+6）=f（x），
∴f（x）为周期为6的周期函数，
f=f（1），
由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）=f（﹣1），
当x∈时，f（x）=6﹣x，
f（﹣1）=6﹣（﹣1）=6，
∴f（一）必考题：5小题，共54分
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，
=﹣6，S△ABC=3，求A和a．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．
【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，
由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②
∴tanA=﹣1，
∵0＜A＜180°，
∴A=135°，
∴c==2，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29
∴a=
　
16．已知函数f（x）=，
①若f（a）=14，求a的值
②在平面直角坐标系中，作出函数y=f（x）的草图．（需标注函数图象与坐标轴交点处所表示的实数）
【考点】3O：函数的图象；36：函数解析式的求解及常用方法．
【分析】①分当a≥0时和当a＜0时2种情况，分别根据f（a）=14，求得a的值．
②分当x≥0时和当x＜0时2种情况，分别作出函数f（x）的图象．
【解答】解：①∵函数f（x）=，f（a）=14，
当a≥0时，由f（a）=2a﹣2=14，求得a=4；
当a＜0时，由f（a）=1﹣2a=14，求得a=﹣．
综上可得，a=4或a=﹣．
②当x≥0时，把函数y=2x的图象向下平移2个单位，
可得f（x）的图象；
当x＜0时，作出函数y=1﹣2x的图象即可得到f（x）的图象．
在平面直角坐标系中，作出函数y=f（x）的草图，如图所示：
　
17．某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．
（1）根据以上信息填好下列2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？
是否优良班级
优良（人数）
非优良（人数）
合计
甲
乙
合计
（2）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选2人来作书面发言，求2人都来自甲班的概率．
下面的临界值表供参考：
P（x2 k）
0.10
0.05
0.010
k
2.706
3.841
6.635
（以下临界值及公式仅供参考，n=a+b+c+d）
【考点】BL：独立性检验．
【分析】（1）根据所给数据可得列联表，利用公式计算K2的值，对照临界值即可得结论；
（2）利用分层抽样原理与列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．
【解答】解：（1）根据题意，填写2×2列联表如下；
是否优良班级
优良（人数）
非优良（人数）
合计
甲
30
30
60
乙
20
40
60
合计
50
70
120
计算，
则有90%的把握认为学生成绩优良与班级有关；
（2）分层抽样甲班抽取了3人，记作a1，a2，a3，乙班抽取了2人，记作b1，b2，
从中任意抽取2人，有{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，
{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，b1}，{a3，b2}，{b1，b2}10种情形，
其中2人都来自甲班的有3种情形，
则至少有2人来自甲班的概率为P=．
　
18．已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F，F，左右顶点分别为A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4
（1）求椭圆的方程；
（2）过F1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF2N的面积为，求直线l的方程．
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．
【分析】（1）由|F1F2|=4，|AB|=4，建立方程组，求出a=2，c=2，b=2，由此能求出椭圆的方程．
（2）由F1（﹣2，0），设过F1的直线l的方程为：x+2=my，由，得（m2+2）y2﹣4my﹣4=0，利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式，能求出m=±1，由此能求出直线l的方程．
【解答】解：（1）∵椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，
左右焦点分别为F，F，左右顶点分别为A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4，
∴，解得a=2，c=2，b=2，
∴椭圆的方程为．
（2）由（1）知F1（﹣2，0），设过F1的直线l的方程为：x+2=my，
由，得（m2+2）y2﹣4my﹣4=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
∵△MF2N的面积为，
∴==2=，
化简，得2m4﹣m2﹣1=0，解得m2=1或m2=﹣（舍），
解得m=±1，此时直线l的方程为x﹣y+2=0，或x+y+2=0．
　
19．已知函数
f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．
（1）讨论
f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，
（2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．
【解答】解：（1）f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x，
∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），
①当a=0时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在R上单调递增，
②当a＞0时，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，
当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
③当a＜0时，ex﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣），
当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递增，
（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，
②当a＞0时，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，
∴lna≤0，
∴0＜a≤1，
③当a＜0时，由（1）可得f（x）min=f（ln（﹣））=﹣a2ln（﹣）≥0，
∴ln（﹣）≤，
∴﹣2≤a＜0，
综上所述a的取值范围为
　
（二）选考题：共10分。请考生在第20、21题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
20．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求|AB|．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）直接由曲线C的极坐标方程求出曲线C的直角坐标方程即可；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的方程得5t2+4t﹣12=0，求出t1+t2和t1t2的值，由此能求出|AB|．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，
∴曲线C的直角坐标方程为3x2+4y2=12，化简得；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的方程，化简整理得5t2+4t﹣12=0，
∴，，
∴|AB|=|t1﹣t2|=．
　
21．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（2）依题意可得m≤max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）=，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；
综上，g（x）max=，
∴m的取值范围为（﹣∞，]．