【备考2018】高考数学真题精讲精练专题4.3　平面向量的数量积（2013-2017）

2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
4.3　平面向量的数量积
考纲剖析
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
知识回顾
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即 .21*cnjy*com
(2)几何意义：数量积a·b等于 ．
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝| ＝ .
(2)模：|a|＝＝ .
(3)夹角：cos θ＝＝ .
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0? .
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)? .
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
精讲方法
一、平面向量的数量积及平面向量应用举例
（一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题
1、向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式来计算，二是利用来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。21·cn·jy·com
2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
（二）平面向量的垂直问题
1、非零向量
2、当向量与是非坐标形式时，要把、用已知的不共线的向量表示。
注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异。
（三）平面向量的夹角问题
1、当与是非坐标形式时，求与的夹角。需求得及或得出它们的关系。
2、若已知与的坐标，则可直接利用公式.
注：平面向量、的夹角
真题精析
一、单选题（共4题；共8分）
1、（2016?全国）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（　　） 2·1·c·n·j·y
A、30°B、45°C、60°D、120°
2、（2014?四川）平面向量 =（1，2）， =（4，2）， =m + （m∈R），且 与 的夹角等于 与 的夹角，则m=（?? ）
A、﹣2B、﹣1C、1D、2
3、（2014?新课标II）设向量 ， 满足| + |= ，| ﹣ |= ，则 ? =（?? ） 21世纪教育网版权所有
A、1B、2C、3D、5

4、（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= ? ，I2= ? ，I3= ? ，则（??? ）2-1-c-n-j-y
A、I1＜I2＜I3B、I1＜I3＜I2C、I3＜I1＜I2D、I2＜I1＜I3
二、填空题
5、（2016?全国）设向量 =（x，x+1）， =（1，2），且 ⊥ ，则x=________．

6、（2013?新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =________． www.21-cn-jy.com

7、（2014?新课标I）已知A，B，C为圆O上的三点，若 = （ + ），则 与 的夹角为________． 【出处：21教育名师】

8、（2017?新课标Ⅰ卷）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则m=________． 【来源：21·世纪·教育·网】
9、（2017?新课标Ⅰ卷）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________． 21教育名师原创作品
10、（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
11、（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．

12、（2017?天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
13、（2017?山东）已知 ， ?是互相垂直的单位向量，若 ﹣ ? 与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________． 【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
14、（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 ? =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017黑龙江佳木斯六中三模）已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足 ，若 ，则t的值为（?? ）
A、B、C、D、
2、（2017河南质检）已知向量 ， ，且 ，则 等于（?? ）
A、B、1C、2D、
3、（2017安徽安庆一中三模）已知平面向量 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角（?? ） 21教育网
A、B、C、D、
（2017甘肃天水一中三诊）已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则 的值为（?? ）www-2-1-cnjy-com

A、﹣1B、C、D、2
5、（2017广东汕头潮南考前冲刺）已知 、 为平面向量，若 + 与 的夹角为 ， + 与 的夹角为 ，则 =（?? ）
A、B、C、D、
6、（2017黑龙江佳木斯六中三模）已知向量 ， 满足 ? =1，| |=2，| |=3，则| ﹣ |=（?? ） 21cnjy.com
A、B、6C、D、5

7、（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，| |=2， = ﹣ ，若M是线段AB的中点，则 ? 的值为（?? ） 【版权所有：21教育】
A、3B、2 C、2D、﹣3
8、（2017湖北襄阳五中三模）已知向量| |=3，| |=2， =m +n ，若 与 的夹角为60°，且 ⊥ ，则实数 的值为（?? ）
A、B、C、6D、4
9、（2017湖南衡阳衡阳三中模拟）等边三角形ABC中，若 ，则当 取得最小值时，λ=（?? ） 21*cnjy*com
A、B、C、D、1
10、（2017湖南师大附中一模）已知A、B是圆O：x2+y2=16的两个动点，| |=4， = ﹣ ．若M是线段AB的中点，则 ? 的值为（?? ）
A、8+4 B、8﹣4 C、12D、4
11、（2017辽宁实验中学分校仿真模拟）已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则 ? 的取值范围是（?? ）
A、[﹣1，0]B、[﹣1，2]C、[﹣1，3]D、[﹣1，4]
12、（2017宁夏六盘山高级中学四模）已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则 =（?? ）
A、﹣6B、12C、6D、﹣12
二、填空题
13、（2017湖南怀化一模）在平面四边形ABCD中，AB=3，AC=12，cos∠BAC= ， ? =0，则BD的最大值为________． 21·世纪*教育网
14、（2017安徽合肥巢湖柘皋中学最后一次模拟）已知 ，若向量 与 共线，则 在 方向上的投影为________．
15、（2017广东东莞北师大石竹附中三模）不共线向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为________．
16、（2017江西上饶二模）若正方形ABCD的边长为 ，若 ，则λ的值为________．
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
4.3　平面向量的数量积（答案）
知识回顾
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
真题精析
一、单选题（共4题；共8分）
1、（2016?全国）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（　　） 2·1·c·n·j·y
A、30°B、45°C、60°D、120°
【答案】A
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解： ， ； ∴ ；又0≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．【分析】根据向量 的坐标便可求出 ，及 的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．；考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．
2、（2014?四川）平面向量 =（1，2）， =（4，2）， =m + （m∈R），且 与 的夹角等于 与 的夹角，则m=（?? ）
A、﹣2B、﹣1C、1D、2
【答案】D
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵向量 =（1，2）， =（4，2）， ∴ =m + =（m+4，2m+2），又∵ 与 的夹角等于 与 的夹角，∴ = ，∴ = ，∴ = ，解得m=2，故选：D【分析】由已知求出向量 的坐标，再根据 与 的夹角等于 与 的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．

3、（2014?新课标II）设向量 ， 满足| + |= ，| ﹣ |= ，则 ? =（?? ）
A、1B、2C、3D、5

【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：∵| + |= ，| ﹣ |= ， ∴分别平方得 +2 ? + =10， ﹣2 ? + =6，两式相减得4 ? =10﹣6=4，即 ? =1，故选：A．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论． 21·世纪*教育网
4、（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= ? ，I2= ? ，I3= ? ，则（??? ）
A、I1＜I2＜I3B、I1＜I3＜I2C、I3＜I1＜I2D、I2＜I1＜I3
【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2 ，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞ ? ＞ ? ， ? ＞0，即I3＜I1＜I2 ， 故选：C．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．
二、填空题
5、（2016?全国）设向量 =（x，x+1）， =（1，2），且 ⊥ ，则x=________．
【答案】
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵ ； ∴ ；即x+2（x+1）=0；∴ ．故答案为： ．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出 ，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．；考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念． 21*cnjy*com

6、（2013?新课标Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =________．

【答案】2
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =0， 故 =（ ?）?（ ）=（ ）?（ ）= ﹣ + ﹣ =4+0﹣0﹣ =2，故答案为 2．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（ ）?（ ），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．

7、（2014?新课标I）已知A，B，C为圆O上的三点，若 = （ + ），则 与 的夹角为________． 【版权所有：21教育】

【答案】90°
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：在圆中若 = （ + ）， 即2 = + ，即 + 的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则 ⊥ ，即 与 的夹角为90°，故答案为：90°【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．
8、（2017?新课标Ⅰ卷）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则m=________． www.21-cn-jy.com
【答案】7
【考点】平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵向量 =（﹣1，2）， =（m，1），∴ =（﹣1+m，3），∵向量 + 与 垂直，∴（ ）? =（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出 ，再由向量 + 与 垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值． 21教育名师原创作品
9、（2017?新课标Ⅰ卷）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________．
【答案】
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：∵向量 ， 的夹角为60°，且| |=2，| |=1，∴ = +4 ? +4 =22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴| +2 |=2 ．故答案为：2 ．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可． 21cnjy.com
10、（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
【答案】[-5 ，1]
【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设P（x0 ， y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0 ， ﹣y0）?（﹣x0 ， 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0+6y0+30≤0，即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立 ，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5 ，1]，故答案为：[﹣5 ，1]． 【分析】根据题意，设P（x0 ， y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．
11、（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
【答案】
【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义，数量积的坐标表达式，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图所示， △ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2 ，∴ = + = + = + （ ﹣ ）= + ，又 =λ ﹣ （λ∈R），∴ =（ + ）?（λ ﹣ ）=（ λ﹣ ） ? ﹣ + λ =（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，∴ λ=1，解得λ= ．故答案为： ．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值．
12、（2017?天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．
【答案】
【考点】向量加减法的应用，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图所示， △ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2 ，∴ = + = + = + （ ﹣ ）= + ，又 =λ ﹣ （λ∈R），∴ =（ + ）?（λ ﹣ ）=（ λ﹣ ） ? ﹣ + λ =（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，∴ λ=1，解得λ= ．故答案为： ．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值． 【来源：21·世纪·教育·网】
13、（2017?山东）已知 ， ?是互相垂直的单位向量，若 ﹣ ? 与 +λ 的夹角为60°，则实数λ的值是________． 2-1-c-n-j-y
【答案】
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解： ， ?是互相垂直的单位向量，∴| |=| |=1，且 ? =0；又 ﹣ ? 与 +λ 的夹角为60°，∴（ ﹣ ）?（ +λ ）=| ﹣ |×| +λ |×cos60°，即 +（ ﹣1） ? ﹣λ = × × ，化简得 ﹣λ= × × ，即 ﹣λ= ，解得λ= ．故答案为： ．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
三、解答题
14、（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 ? =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【答案】
解：（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0），设P（x，y），由点P满足 = ．可得（x﹣x0 ， y）= （0，y0），可得x﹣x0=0，y= y0 ， 即有x0=x，y0= ，代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），? =1，可得（ cosα， sinα）?（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1，即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，解得m= ，即有Q（﹣3， ），椭圆 +y2=1的左焦点F（﹣1，0），由kOQ=﹣ ，kPF= ，由kOQ?kPF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【考点】平面向量数量积的运算，同角三角函数间的基本关系，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，轨迹方程，椭圆的简单性质
【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；（Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证． 21*cnjy*com
模拟题精练
一、单选题
1、（2017黑龙江佳木斯六中三模）已知AB⊥AC，AB=AC，点M满足 ，若 ，则t的值为（?? ）
A、B、C、D、
【答案】C
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（0，0）． 不妨设C（3，0），B（0，3），∵点M满足 ，∴点M在BC上．设|AM|=a，则acos + a=3，解得a=3 ﹣3．∴M ．∵点M满足 ，∴ =0+（1﹣t）×3，解得t= ．故选：C． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（0，0）．不妨设C（3，0），B（0，3），由点M满足 ，可得点M在BC上．设|AM|=a，则acos + a=3，解得a．可得M坐标．利用点M满足 ，向量相等即可得出．
2、（2017河南质检）已知向量 ， ，且 ，则 等于（?? ）
A、B、1C、2D、
【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：∵ ， ，且 ， ∴ ? =2m﹣2=0，解得m=1，∴ =（1，2），∴2 ﹣ =2（1，2）﹣（2，﹣1）=（0，5）， + =（1，2）+（2，﹣1）=（3，1）∴|2 ﹣ |=5， ?（ + ）=1×3+2×1=5，∴ =1，故选：B．【分析】根据向量的坐标运算和向量的垂直和向量的模，即可求出．
3、（2017安徽安庆一中三模）已知平面向量 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角（?? ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、B、C、D、
【答案】C
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设向量 与 的夹角为θ，θ∈[0，π] 由 ?（ + ）=3可得 ? + =3，代入数据可得2×1×cosθ+22=3，解得cosθ=﹣ ，∴θ= ．故选：C．【分析】根据平面向量的数量积公式与夹角公式，求出cosθ与θ的值．
（2017甘肃天水一中三诊）已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则 的值为（?? ）

A、﹣1B、C、D、2
【答案】D
【考点】平面向量数量积的运算，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=sin（πx+φ）的周期T= =2， 则BC= =1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知： =2 ， = ∴ =2 ? =2| |2=2×12=2．故选：D．【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论． www-2-1-cnjy-com
5、（2017广东汕头潮南考前冲刺）已知 、 为平面向量，若 + 与 的夹角为 ， + 与 的夹角为 ，则 =（?? ）
A、B、C、D、
【答案】D
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图所示： 在平行四边形ABCD中， = ， = ， = ，∠BAC= ，∠DAC= ，在△ABC中，由正弦定理得， = = = ．故选：D． 【分析】根据题意，画出平行四边形表示向量 = ， = ， = ，利用正弦定理即可求出． 【出处：21教育名师】
6、（2017黑龙江佳木斯六中三模）已知向量 ， 满足 ? =1，| |=2，| |=3，则| ﹣ |=（?? ）
A、B、6C、D、5
【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：向量 ， 满足 ? =1，| |=2，| |=3， ∴ = ﹣2 + =22﹣2×1+32=11，∴| ﹣ |= ．故选：C．【分析】根据平面向量数量积的定义与模长公式，求模长| ﹣ |即可．
7、（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，| |=2， = ﹣ ，若M是线段AB的中点，则 ? 的值为（?? ） 21·cn·jy·com
A、3B、2 C、2D、﹣3
【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，| |=2， ∴ 与 的夹角为 ，∴ ? =| |?| |?cos =2×2× =2，∵M是线段AB的中点，∴ = （ + ），∵ = ﹣ ，∴ ? = （ + ）?（ ﹣ ）= （5| |2+3? ? ﹣2| |2）= （20+6﹣8）=3，故选：A【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，| |=2，得到 与 的夹角为 ，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．
8、（2017湖北襄阳五中三模）已知向量| |=3，| |=2， =m +n ，若 与 的夹角为60°，且 ⊥ ，则实数 的值为（?? ）
A、B、C、6D、4
【答案】A
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵向量| |=3，| |=2， =m +n ，若 与 的夹角为60°， ∴ ? =3?2?cos60°=3，∴ =（ ﹣ ）?（m +n ）=（m﹣n）? ﹣m +n? =3（m﹣n）﹣9m+4n=﹣6m+n=0，∴实数 = ，故选：A．
【分析】根据两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，先求得 的值，再根据 =0求得实数 的值．
9、（2017湖南衡阳衡阳三中模拟）等边三角形ABC中，若 ，则当 取得最小值时，λ=（?? ）
A、B、C、D、1
【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平行线为y轴，建立如图所示的直角坐标系， 设等边三角形的边长为2，则A（﹣1，0），B（1，0），C，（0， ），设P（x，y），∵ ，∴（x+1，y）=λ（2，0）+（1， ），∴x=2λ，y= ，∴ =（1﹣x，﹣y）?（﹣x， ﹣y）=﹣x（1﹣x）﹣y（ ﹣y）=2λ（2λ﹣1）=4（λ﹣ ）2﹣ ，当λ= 时，有最小值，故选：A 【分析】以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平行线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设等边三角形的边长为2，根据向量的坐标运算和向量的数量积，结合二次函数的性质即可求出．
10、（2017湖南师大附中一模）已知A、B是圆O：x2+y2=16的两个动点，| |=4， = ﹣ ．若M是线段AB的中点，则 ? 的值为（?? ）
A、8+4 B、8﹣4 C、12D、4
【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：因为M是线段AB的中点，所以 = + ， 从而 ? =（ ﹣ ）?（ + ）= 2﹣ 2+ ? ，由圆的方程可知圆O的半径为4，即| |=| |=4，又因为| |=4，所以＜ ， ＞=60°，故 ? =8，所以 ? = ×16﹣ ×16+ ×8=12．故选：C．【分析】M是线段AB的中点? = + ，从而 ? =（ ﹣ ）?（ + ）= 2﹣ 2+ ? ，再结合题意，可知＜ ， ＞=60°，| |=| |=4，故 ? =8， ? =12．
11、（2017辽宁实验中学分校仿真模拟）已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则 ? 的取值范围是（?? ）
A、[﹣1，0]B、[﹣1，2]C、[﹣1，3]D、[﹣1，4]
【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图所示， 由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y
﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）A（0，0），B（2，0）．∴ ? =（﹣x，﹣y）?（2﹣x，﹣y）=﹣x（2﹣x）+y2=（x﹣1）2+y2﹣1，由 ∈[0，2]，∴ ? ∈[﹣1，3]，故选：C． 【分析】如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）可得 ? =（x﹣1）2+y2﹣1，由 ∈[0，2]，即可得出．
12、（2017宁夏六盘山高级中学四模）已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则 =（?? ）
A、﹣6B、12C、6D、﹣12
【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：以A为原点建立坐标系，如图所示： 则A（0，0），B（6，0），M（6，2），N（3，6），∴ =（6，2）， =（﹣3，6），∴ =﹣18+12=﹣6．故选A． 【分析】建立坐标系，求出两向量的坐标，再计算数量积．
二、填空题
13、（2017湖南怀化一模）在平面四边形ABCD中，AB=3，AC=12，cos∠BAC= ， ? =0，则BD的最大值为________．
【答案】10
【考点】平面向量数量积的运算，轨迹方程
【解析】【解答】解：由题意在平面四边形ABCD中，AB=3，AC=12，cos∠BAC= ， ? =0， 可知D的轨迹是以AC为直径的圆，BD的最大值为AC的中点与B的距离加上半径．BC= = =4．则BD的最大值为：6+4=10．故答案为：10；【分析】利用数量积为0，转化为D的轨迹是以AC为直径的圆，BD的最大值为AC的中点与B的距离加上半径． 21教育网
14、（2017安徽合肥巢湖柘皋中学最后一次模拟）已知 ，若向量 与 共线，则 在 方向上的投影为________．
【答案】
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：2 =（4，2λ+1）， ∵ 与 共线，∴2λ+1=3，即λ=1．∴ =2+λ=3，∴ 在 方向上的投影为| |?cos＜ ＞= = = ．故答案为： ．【分析】根据向量共线求出λ，计算 ，代入投影公式即可．
15、（2017广东东莞北师大石竹附中三模）不共线向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为________．
【答案】
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设 与 的夹角为θ，∵不共线向量 ， 满足 ，且 ，则θ∈（0，π）， ∴ （ ﹣2 ）= ﹣2 = ﹣2| |?| |cosθ= ﹣2 cosθ=0，∴cosθ= ，∴θ= ，故答案为： ．【分析】设 与 的夹角为θ，利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得cosθ的值，可得θ的值． 21世纪教育网版权所有
16、（2017江西上饶二模）若正方形ABCD的边长为 ，若 ，则λ的值为________．
【答案】-4
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为 ，作图如下： ∴ = ﹣ = ﹣ ，= + = + = ﹣ ，∴ =（ ﹣ ）?（ ﹣ ）= + = ×4+ =1，解得：λ=﹣4，故答案为：﹣4．【分析】作出图形，依题意得： = ﹣ ， = ﹣ ，于是 =（ ﹣ ）?（ ﹣ ）= + = ×4+ =1，可解得λ的值．