课件20张PPT。11.1 平方根与立方根第11章 数的开方导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.平方根学习目标1.理解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根.
2. 会求某些数的平方根、算术平方根.
3.会用计算器求一个非负数的算术平方根.问题1：学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 cm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？导入新课观察与思考13456问题2：若正方形的面积如下，请填表：
你能指出“面积→边长”这些数据变化的共同点吗？讲授新课如果一个数的平方等于a，即x2= a，那么这个数叫做a 的平方根.
5的平方等于25，所以5叫做25的平方根. 25的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于25？概念
因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根.也可以说:9的平方根是3和-3.求法
根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根.
1. 144的平方根是什么？2. 0的平方根是什么？3.的平方根是什么？4. -4有没有平方根？为什么？0没有，因为一个数的平方不可能是负数试一试通过这些题目的解答，你能发现什么?问题：（1）正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？有没有一个数的平方是负数？想一想因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.
平方根的性质：
1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2.0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
要点归纳特殊：0的算术平方根是0. 记作 . 记法
a（a≥0）的算术平方根记为 ，读作“根号a”，另一个平方根是它的相反数，即 ，因此正数a的平方根可以记作 ，其中a叫做被开方数.概念一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，也就是a的正的平方根. 被开方数+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9x x21
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
这是什么运算？平方运算x2 x问题1：算一算，下面两种运算有什么关系？ 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.
平方与开平方有什么关系？平方与开平方互为逆运算思考：例1 将下列各数开平方：
（1）49；（2） ；（3）0.01. （2）因为 = ，所以 ，因此 的平方根为± .问题2：将2016开平方运算的结果是多少？如何计算呢？计算器计算算术平方根的方法：
在计算器上依次键入： . 对于较大的数，或无法直接找到平方等于某个数时，可以借助计算器来求一个数的算术平方根（有时会是近似值）.被开方数=例2 用计算器求下列各数的算术平方根： （1）529 ； （2）44.81（精确到0.01）．说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.1.填一填（1）9的算术平方根是 ;（2） 的算术平方根是 ;
（3）0.01的算术平方根是 ;
（4）10-6 的算术平方根是 ;（5）(-4)2的算术平方根是 ;（6）10的算术平方根是 .30.110-34当堂练习2.判断
（1）5是25的算术平方根；
（2）-6是36的算术平方根；
（3）0的算术平方根是0；
（4）0.01是0.1的算术平方根；
（5）-5是-25的算术平方根.3.你知道下列各式中字母x的取值范围吗？（1）正数的算术平方根是____数，0的算术平方根
是____，算术平方根等于它本身的数是_____;0，10 正（2） 的算术平方根是_____. 43.填空平方根平方根的概念和性质用计算器求一个数的算术平方根算术平方根的概念和性质课堂小结课件17张PPT。11.1 平方根与立方根第11章 数的开方导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.立方根学习目标1.了解立方根和开立方的概念.
2. 会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算.
3.会用计算器求一个数的立方根.导入新课观察与思考 要做一个体积为216cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？解析：设正方体的棱长为x㎝,则这就是要求一个数,使它的立方等于216.因为 63=216 所以 x=6.
正方体的棱长为6㎝.思考：如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？1.如何表示一个数的立方根?一个数a的立方根可以表示为:根指数被开方数其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.读作:三次根号 a，讲授新课如果正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？解：设正方体的边长为x,则 所以正方体的边长是㎝.想一想求一个数的立方根的运算,叫做开立方.立方开立方互逆到现在我们学了几种运算?+，-，×，÷，乘方，开方（开平方，开立方）根据立方根的意义填空.因为23=8，所以8的立方根是( )因为( )3=0.125,所以0.125的立方是( )因为( )3＝－8，所以－8的立方根是( )因为( )3 ＝ ，所以 的立方( ) 2-2因为( )3 ＝0，所以0的立方根是( )00-2通过这些题目的解答，你能看出正数、0、负数的
立方根各有什么特点?请你自己也编三道求立方根的题目，并给出答案.想一想正数有立方根吗？如果有，有几个?负数呢？零呢？一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.立方根的特征归纳总结有两个互为相反数有一个,是正数无平方根零有一个,是负数零正数负数零讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗?立方根是它本身的数有那些?有1, -1, 0平方根是它本身的数呢?只有0想一想引伸探究猜一猜:你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系吗？=-2-2=-3-3规律：对于任何数a都有2-2-34 0例1 计算：规律：对于任何数a都有 8-8 27 -27 0说明：用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可.例2 用计算器求下列各数的立方根： （1）1331 ； （2）9.263（精确到0.01）．探究用计算器求立方根1.判断下列说法是否正确，并说明理由.×（2） 25的平方根是5×（3） -64没有立方根×（4） -4的平方根是±2×（5） 0的平方根和立方根都是0√（1）的立方根是当堂练习2.求下列各式的值:（1） ; ; .（2）（3）解:（1）=4;（2）==-5;（3）== .34-归纳:求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对值的立方根,然后再取它的相反数.立方根立方根的概念、表示及性质用计算器求一个数的立方根课堂小结课件22张PPT。11.2 实 数第11章 数的开方导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.了解实数的意义，能对实数按要求分类．（重点）
2.了解实数范围内相关概念的意义．（重点）
3.了解实数与数轴上点的一一对应关系.能用数轴上的点表示无理数.（难点）
导入新课观察与思考（1）用计算器求 ;
（2）利用平方运算验算（1）中所得的结果.用计算机计算，你可能会大吃一惊： 我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如： 请你随意写出三个分数，将它化成小数，验证这个结论. 定义：无限不循环的小数叫做无理数.讲授新课例1 判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？ 解：
２．开方开不尽的数，如：３．有一定的规律，但不循
环的无限小数，如：无理数的特征:注意:带根号的数不一定是无理数
判定一个数是不是无理数:
(1)是看它是不是无限小数；
(2)看它是不是不循环小数；
(3)所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能.
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数；
(2) 是无理数；
(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；
(4)无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数.归纳总结有理数和无理数统称为实数.无理数：
无限不循环小数有理数：
有限小数或无限循环小数实数分数整数开方开不尽的数有规律但不循环的数按概念分类：负实数正实数数实正有理数负有理数按正负性分类： 0正无理数负无理数 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.
例如：与 互为相反数与 互为倒数=？探究：11将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形.你能在数轴上找到表示 的点吗？在数轴上找表示 的点 数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的一个点来表示.即：实数与数轴上的点一一对应.归纳总结 例2 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小.（用“＜”号连接） 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
＜＜＜＜ 解：
例3 试比较 与π的大小关系.分析：用计算器求得
而
这样，容易判断实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行.例4 计算: . (结果精确到0.01) 解: 用计算器求得于是所以一、判断1.实数不是有理数就是无理数.（ ）2.无理数都是无限不循环小数.（ ）3.无理数都是无限小数.（ ）4.带根号的数都是无理数.（ ）5.无理数一定都带根号.（ ）6.两个无理数之积不一定是无理数.（ ）7.两个无理数之和一定是无理数.（ ）8.数轴上的任何一点都可以表示实数.（ ）×××当堂练习２. 的相反数是 ，绝对值是 . ３.绝对值等于 的数是 ， 的平方是 .二、填空与选择１.正实数的绝对值是 ，０的绝对值是 ，
负实数的绝对值是 .它本身0它的相反数 5.一个数的绝对值是 ，则这个数是 .<6.（金华·中考）在 -3，－ ， －1， 0 这四个实数中，最大的是（ ）
A. -3 B.－ C. －1 D. 0【解析】因为 -3，－ ，－1为负数，都小于0，所以0最大.
答案：D
D7.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 ．【解析】1＜ ＜2，2＜ ＜3，在 与 之间
的整数是2.
答案：2 实数有理数和无理数统称实数课堂小结在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.实数与数轴上点的一一对应课件20张PPT。 小结与复习第11章 数的开方要点梳理考点讲练课堂小结课后作业一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质若 ，
则x叫做a的平方根. 正数有两个平方根，互为相反数
0的平方根是0.
负数没有平方根.若 则x的非负数值 叫做a的算术平方根. 非负性：当a ≥0时， ≥0.若 ，则x叫做的立方根. 正数的立方根是一个正数；
负数的立方根是一个负数；
0的立方根是0. 要点梳理非负数0逆－二、开平方与开立方
求一个非负数a的 的运算，叫做开平方．其中a叫做 .
求一个数a的 的运算，叫做开立方．其中a叫做 .
开平方与 、开立方与 都分别互为逆运算．
[点拨] (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“±”号；(2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方根(立方根)．平方根被开方数立方根被开方数平方立方强调：数的开方的几个重要性质 [点拨]算术平方根的双重非负性：算术平方根的符号“ ”不仅是一个运算符号(对被开方数实施开平方运算)，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根．1. 用计算器求一个正数的算术平方根三、用计算器求算术平方根、立方根2. 用计算器求立方根 用计算器求一个数a的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入
（ ） 用计算器求一个正数a的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入四、实数1.实数的分类(1)按定义分：(2)按符号分：2.实数与数轴(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.3.在实数范围内，有理数的有关概念、大小比较法则、运算法则以及运算律同样适用.考点讲练 例1 已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-18，求这个正数.【解析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，可以得到关于a的一元一次方程，解之求得a的值，从而可求出这个正数.解：根据平方根的性质，有a+3+2a-18=0，解得a=5，a+3=8，82=64，所以这个正数是64. 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．而一个非负数的算术平方根只有一个.另外，一个数的立方根也只有一个，且与它本身的符号相同.BC-111BAC【解析】数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故A不正确；根据点A，B与原点的距离知|a|<|b|，B不正确；-a>0，根据|a|<|b|，知-a A.原点左侧 B.原点或原点左侧
C.原点右侧 D.原点或原点右侧BB 像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有根号的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的，一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利用平方法，将无理数平方后，与已知的平方数作比较.7. 比较大小: .
＜ 分类讨论思想 例7 a的算术平方根是3，b是16的平方根，则a+b= ．【解析】a的算术平方根是3，可知a=9；16的平方根有两个，为±4.由此可以确定a，b的值，然后代入计算即可.当a=9，b=4时，a+b=13；当a=9，b=-4时，a+b=5.故答案为13或5.13或5 对于该类问题，在求解时，按一定的标准进行分类，并考虑到所有可能的情况，避免漏解或重复.10.若a是16的平方根，b是-27的立方根，c的绝对值为2，求a-b+c的值.解：由题意可知a=4或-4，b=-3，c=2或-2.有以下四种情况：
（1）当a=4，b=-3，c=2时，a-b+c=4-（-3）+2=9；
（2）当a=-4，b=-3，c=2时，a-b+c=-4-（-3）+2=1；
（3）当a=4，b=-3，c=-2时，a-b+c=4-（-3）+（-2）=5；
（4）当a=-4，b=-3，c=-2时，a-b+c=-4-（-3）+（-2）=-3.
综上所述，a-b+c的值为9或1或5或-3.数形结合思想 例8 如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和 ，若点A关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为 ．【解析】设点C所对应的实数是x．根据对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．设点C所对应的实数是x，则有x- = -1，解得x=2 -1．故答案为2 -1．11.数轴上A，B两点对应的实数分别是 和2，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为 . 数的范围由有理数扩大到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系，这样可以通过观察“形”的特点（借助数轴），解答一些关于实数的比较抽象的问题.对于该类问题，运用数形结合思想，先利用数轴表示出三个点的位置，再根据对称的性质解答.平方根实 数数的开方性质有理数整数无理数立方根性质分数课堂小结
