课件8张PPT。3.1.1 两角差的余弦公式3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三章 三角恒等变换
1、两角差的余弦公式是什么？
2、两角差的余弦公式有哪些结构特征？(1)同名积(2)符号反简记作自主学习： 已知OP为角?的终边，在单位圆中用角?的三角函数来表示点P的坐标POXY?温故知新：(x,y)cos? sin?合作交流： 请同学们思考、讨论以下问题： 1、点A，点B的坐标及向量OA、OB的坐标是什么？ 2、向量OA、OB的数量积由坐标怎么表示？ 4、向量OA、OB的数量积由定义怎么表
示？==题后小结: 1、把非特殊角拆分成特殊角的差.
2、公式的直接应用.题后小结: 1、注意角的范围，也就是符号问题.
2、公式的直接应用.例2、例题讲解练习.已知
解:巩固练习：小结注意：1.公式的结构特点：2.公式的作用： 求任意角α,β差的余弦值.两角差的余弦公式cosαcosβ+sinαsinβ课件28张PPT。3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三章 三角恒等变换 在研究三角函数时，我们还常常遇到这样
的问题：已知任意角α、β的三角函数值，
如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值？
下面我们先引出平面内两点间的距离公式，
并从两角和的余弦公式谈起.在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),..P1(x1, y1)P2(x2, y2)M1(x1, 0)M2(x2, 0)N1(0, y1)N2(0, y2)QP1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃，由勾股定理，可得P1P22=P1Q2+QP22=(x1–x2)2+(y1–y2)2,=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2由此得到平面内
P1(x1, y1), P2(x2, y2)
两点间距离公式：P1P2=∟∟∟∟∟ 接下来，我们继续考虑如何运用两点间
的距离公式，把两角和的余弦cos(α+β)用
α、β的三角函数来表示的问题. 如图，在直角坐标
平面xOy内作单位圆O,
并作出角α、β和–β，αP1P2P3P4β–βα+βP1(1, 0),各点坐标：P2(cosα, sinα),P3(cos(α+β), sin(α+β)),P4(cos(–β), sin(–β)),αP1P2P3P4β–βα+βP1(1, 0),各点坐标：P2(cosα, sinα),P3(cos(α+β), sin(α+β)),P4(cos(–β), sin(–β)),由P1P3＝P2P4及两点间距离公式，得[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)=[cos(–β)–cosα]2+[sin(–β)–sinα]2,[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)=[cos(–β)–cosα]2+[sin(–β)–sinα]2,cos2(α+β)–2cos(α+β)+1+sin2(α+β)=cos2β–2cosα cosβ+ cos2α+ sin2α+2sinα sinβ+ sin2β，2–2cos(α+β)=2–2cosα cosβ+2sinα sinβ，∴ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，（C（α+β））cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ（C（α+β））这个公式对于任意角α、β都成立.例如 cos(62°＝cos62°–cos59°+59°)sin62°sin59°;cos(113°＝cos113°–cos27°+27°)sin113°sin27°;cos[α＝cosα–cos(–β)+(–β)]sinαsin(–β)，cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.（C（α+β））cos[α＝cosα–cos(–β)+(–β)]sinαsin(–β)，cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ.（C（α–β））例如 cos(113°＝cos113°+cos27°–27°)sin113°sin27°;cos(113°＝cos113°+cos27°+27°)sin113°sin27°;cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ.（C（α–β））+cosα–α)sinα=sinα，即=sinα，即–α)cos(π
2=sinα，π
2这里，等号两边的角的和为 ，αcosπ
2=sin( –α)，∴这就是说，诱导公式当α为任意角时仍然成立.–α)cos(π
2=sinα，cosα,π
2sin( –α)＝cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.运用上述公式，得sin(α+β)==sinαcosβ+cosαsinβ,即 sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,（S（α+β））在上式中用–β代替β，得sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ,（S（α–β））当 cos(α+β)≠0 时，有tan (α+β)=若 cos αcosβ≠0，得tan (α+β)=（T（α+β））∵ tan (–β)== –tanβ，（T（α–β）） 公式S（α+β）、 C（α+β）、 T（α+β）给出
了任意角α、β的三角函数值(这里指正弦、
余弦或正切)与其和角α+β的三角函数值之
间的关系. 为方便起见，我们把这三个公式
都叫作和角公式.（T（α+β））∵ tan (–β)== –tanβ，（T（α–β）） 类似地，公式S（α–β）、 C（α–β）、
T（α–β）都叫作差角公式.sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,（S（α+β））sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ,（S（α–β）） cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，（C（α+β）） cos(α–β)= cosα cosβ +sinα sinβ，（C（α–β））等号右边“±”的记忆方式：在锐角范围内，正弦函数是增函数，
余弦函数是减函数，
∴sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,（S（α+β）） cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，（C（α+β））记忆方式：αPQβMNEFαsin(α+β)=QM=ONsinα+QNcosα= sinαcosβ + cosαsinβ;cos(α+β)=OM=ONcosα– QNsinα= cosαcosβ – sinαsinβ.=NE+QF=OE–FN∟∟∟∟例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
余弦和正切的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°–sin45°sin30°例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
余弦和正切的值.tan75°=或 tan75°=tan(45°+30°)例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
余弦和正切的值.sin15°=cos75°或 sin15°=sin(45°–30°)=sin45°cos30°–cos45°sin30°例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
余弦和正切的值.cos15°=sin75°或 cos75°=cos(45°–30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
余弦和正切的值.tan15°=或 tan15°=tan(45°–30°)例2、已知 sinα= ，α∈( , π)，3
4π
2cosβ= – , β∈(π， ),3π
2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).解：2
3∴ cosα=∴ sinβ=例2、已知 sinα= ，α∈( , π)，3
4π
2cosβ= – , β∈(π， ),3π
2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).2
3∴ sin(α–β)=sinαcosβ+cosαsinβ例2、已知 sinα= ，α∈( , π)，3
4π
2cosβ= – , β∈(π， ),3π
2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).2
3cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ例2、已知 sinα= ，α∈( , π)，3
4π
2cosβ= – , β∈(π， ),3π
2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).2
3sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ∴ tan (α+β)=例3、利用和角公式求 的值.解：=tan(45°+15°)=tan60°例3′、△ABC中，
求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明：∴ tanA+tanB=∵tanA、tanB、tanC 都有意义，∴△ABC中没有直角，∵ tan(A+B)==tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C)= –tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B)∴tanAtanB≠1.本课小结： 在这节课中，我们研究了两个角的
和与差的正弦、余弦和正切公式，
这些公式在今后有大量的应用，
应熟练地、灵活地掌握
(例3就是反过来用公式的例子).课件12张PPT。3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三章 三角恒等变换∴ 当α＝β 时，sin(α+β)＝sin2α＝2sinαcosα
∴ 当α = β时, cos(α＋β)＝cos2α ＝cos2α －sin2α
∵ sin(α＋β)＝sinαcos β＋cosαsin β,sin2α＝2sinαcosα (S2 α)∵ cos(α +β)＝cosαcosβ －sinαsinβcos2α＝cos2α－sin2α (C2 α)1.二倍角的正弦、余弦、正切 利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为：cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.＝tan2θ＝右边 ∴ ①式成立. 即：原式成立。 2. 降幂公式由cos2α =2cos2α–1=1 –2sin2α可得：由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的). 例6. 求值：cos215°+sin250°–cos175°·cos95° 这三式有一个共同特点：
用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数 。A课件16张PPT。3.2 简单的三角恒等变换第三章 三角恒等变换例1解例2 求证解(1) sin(?+?) ＝ sin?cos?+cos?sin?
sin(?-?) ＝ sin?cos?-cos?sin?
两式相加,得
sin(?+?) + sin(?-?) ＝ 2sin?cos?(2) 由(1)可得
sin(?+?) + sin(?-?) ＝ 2sin?cos? ①
设 ?+?=?, ?-?=?把?,?的值代入①,即得例２证明中用到换元思想，
①式是积化和差的形式，
②式是和差化积的形式；
在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.例4分析:要求当角?取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分二步进行.
①找出S与?之间的函数关系;
②由得出的函数关系,求S的最大值.解在Rt△OBC中,OB=cos?,BC=sin?在Rt△OAD中,设矩形ABCD的面积为S,则通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(??+?)的函数,从而使问题得到简化分析：欲求最小正周期主最大最小值，首先要将函数式化为单一函数． 练习A．0D．－1CCD对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用 小结
